空間中的夾角和距離1．距離空間中的距離是立體幾何的重要內(nèi)容，其內(nèi)容主要包括：點(diǎn)點(diǎn)距，點(diǎn)線距，點(diǎn)面距，線線距，線面距，面面距。其中重點(diǎn)是點(diǎn)點(diǎn)距、點(diǎn)線距、點(diǎn)面距以及兩異面直線間的距離．因此，掌握點(diǎn)、線、面之間距離的概念，理解距離的垂直性和最近性，理解距離都指相應(yīng)線段的長(zhǎng)度，懂得幾種距離之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，所有這些都是十分重要的求距離的重點(diǎn)在點(diǎn)到平面的距離，直線到平面的距離和兩個(gè)平面的距離可以轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到平面的距離，一個(gè)點(diǎn)到平面的距離也可以轉(zhuǎn)化成另外一個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離。（1）兩條異面直線的距離兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段的長(zhǎng)度，叫做兩條異面直線的距離；求法：如果知道兩條異面直線的公垂線，那么就轉(zhuǎn)化成求公垂線段的長(zhǎng)度（2）點(diǎn)到平面的距離平面外一點(diǎn)P在該平面上的射影為P′，則線段PP′的長(zhǎng)度就是點(diǎn)到平面的距離；求法：eq\o\ac(○,1)“一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫出來。eq\o\ac(○,2)等體積法。（3）直線與平面的距離：一條直線和一個(gè)平面平行，這條直線上任意一點(diǎn)到平面的距離，叫做這條直線和平面的距離；（4）平行平面間的距離：兩個(gè)平行平面的公垂線段的長(zhǎng)度，叫做兩個(gè)平行平面的距離。求距離的一般方法和步驟：應(yīng)用各種距離之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系和“平行移動(dòng)”的思想方法，把所求的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)點(diǎn)距、點(diǎn)線距或點(diǎn)面距求之，其一般步驟是：①找出或作出表示有關(guān)距離的線段；②證明它符合定義；③歸到解某個(gè)三角形．若表示距離的線段不容易找出或作出，可用體積等積法計(jì)算求之。異面直線上兩點(diǎn)間距離公式，如果兩條異面直線a、b所成的角為，它們的公垂線AA′的長(zhǎng)度為d，在a上有線段A′E＝m，b上有線段AF＝n，那么EF＝（“±”符號(hào)由實(shí)際情況選定）2．夾角空間中的各種角包括異面直線所成的角，直線與平面所成的角和二面角，要理解各種角的概念定義和取值范圍，其范圍依次為0°，90°、[0°，90°]和[0°，180°]。（1）兩條異面直線所成的角求法：eq\o\ac(○,1)先通過其中一條直線或者兩條直線的平移，找出這兩條異面直線所成的角，然后通過解三角形去求得；eq\o\ac(○,2)通過兩條異面直線的方向量所成的角來求得，但是注意到異面直線所成角得范圍是，向量所成的角范圍是，如果求出的是鈍角，要注意轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的銳角（2）直線和平面所成的角求法：“一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫出來。除特殊位置外，主要是指平面的斜線與平面所成的角，根據(jù)定義采用“射影轉(zhuǎn)化法”（3）二面角的度量是通過其平面角來實(shí)現(xiàn)的解決二面角的問題往往是從作出其平面角的圖形入手，所以作二面角的平面角就成為解題的關(guān)鍵。通常的作法有：（Ⅰ）定義法；（Ⅱ）利用三垂線定理或逆定理；（Ⅲ）自空間一點(diǎn)作棱垂直的垂面，截二面角得兩條射線所成的角，俗稱垂面法．此外，當(dāng)作二面角的平面角有困難時(shí)，可用射影面積法解之，cos＝，其中S為斜面面積，S′為射影面積，為斜面與射影面所成的二面角【典例解析】題型1：直線間的距離問題例1．已知正方體的棱長(zhǎng)為1，求直線DA'與AC的距離。解法1：如圖1連結(jié)A'C'，則AC∥面A'C'D'，連結(jié)DA'、DC'、DO'，過O作OE⊥DO'于E因?yàn)锳'C'⊥面BB'D'D，所以A'C'⊥OE。又O'D⊥OE，所以O(shè)E⊥面A'C'D。因此OE為直線DA'與AC的距離圖2在Rt△OO'D中，，可求得圖2點(diǎn)評(píng)：此題是異面直線的距離問題：可作出異面直線的公垂線。解法2：如圖2連接A'C'、DC'、B'C、AB'A'，得到分別包含DA'和AC的兩個(gè)平面A'C'D和平面AB'C，又因?yàn)锳'C'∥AC，A'D∥B'C，所以面A'C'D∥面AB'C。故DA'與AC的距離就是平面A'C'D和平面AB'C的距離，連BD'分別交兩平面于兩點(diǎn)，易證是兩平行平面距離不難算出，所以，所以異面直線BD與之間的距離為。點(diǎn)評(píng)：若考慮到異面直線的公垂線不易做出，可分別過兩異面直線作兩平面互相平行，則異面直線的距離就是兩平面的距離題型3：點(diǎn)線距離例1.已知ABCD是矩形，AB=a,AD=b,,Q是PA的中點(diǎn)，求Q到BD的距離。（金海洋171）例2．（2009天津卷理）（本小題滿分12分）如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A平面ABCD,AD//BC//FE，ABAD，M為EC的中點(diǎn)，AF=AB=BC=FE=AD(I)求異面直線BF與DE所成的角的大小；(II)證明平面AMD平面CDE；（III）求二面角A-CD-E的余弦值。方法一：（Ⅰ）解：由題設(shè)知，BF//CE，所以∠CED（或其補(bǔ)角）為異面直線BF與DE所成的角。設(shè)P為AD的中點(diǎn)，連結(jié)EP，PC。因?yàn)镕EAP，所以FAEP，同理ABPC。又FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD。而PC，AD都在平面ABCD內(nèi),故EP⊥PC，EP⊥AD。由AB⊥AD，可得PC⊥AD設(shè)FA=a，則EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=，故∠CED=60°。所以異面直線BF與DE所成的角的大小為60°（II）證明：因?yàn)椋↖II）由（I）可得，方法二：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。設(shè)依題意得（I）所以異面直線與所成的角的大小為.（II）證明：，（III）又由題設(shè)，平面的一個(gè)法向量為題型4：點(diǎn)面距離求點(diǎn)到面的距離一般有三種辦法：①直接法———過“點(diǎn)”作“面”的垂線（盡可能找到過這一點(diǎn)的一個(gè)與“面”垂直的平面，然后過“點(diǎn)”作它們交線的垂線）；②等積轉(zhuǎn)換；③法向量:若平面的法向量為，直線AB與平面交于點(diǎn)A，則點(diǎn)B到平面的距離=。例1.正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為，點(diǎn)M在BC邊上，是以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，（1）求證：點(diǎn)M為BC邊的中點(diǎn)；（2）求點(diǎn)C到平面的距離；（金海洋172）例2．（2009重慶卷理）（本小題滿分12分，（Ⅰ）問5分，（Ⅱ）問7分）如題（19）圖，在四棱錐中，且；平面平面，；為的中點(diǎn)，．求：（Ⅰ）點(diǎn)到平面的距離；（Ⅱ）二面角的大?。?（19）（本小題12分）解法一：（Ⅰ）因?yàn)锳D//BC,且所以從而A點(diǎn)到平面的距離等于D點(diǎn)到平面的距離。因?yàn)槠矫婀?從而，由AD//BC，得,又由知，從而為點(diǎn)A到平面的距離，因此在中(Ⅱ)如答（19）圖1，過E電作交于點(diǎn)G，又過G點(diǎn)作,交AB于H，故為二面角的平面角，記為，過E點(diǎn)作EF//BC,交于點(diǎn)F,連結(jié)GF,因平面,故.由于E為BS邊中點(diǎn)，故,在中，,因，又故由三垂線定理的逆定理得,從而又可得因此而在中，.在中，可得，故所求二面角的大小為解法二：（Ⅰ）如答（19）圖2，以S(O)為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線OD,OC分別為x軸，y軸正向，建立空間坐標(biāo)系，設(shè)，因平面即點(diǎn)A在xoz平面上，因此又因AD//BC，故BC⊥平面CSD，即BCS與平面yOx重合，從而點(diǎn)A到平面BCS的距離為.(Ⅱ)易知C(0,2,0)，D(,0,0).因E為BS的中點(diǎn).ΔBCS為直角三角形,知設(shè)B(0,2,)，＞0，則＝2，故B（0，2，2），所以E（0，1，1）.在CD上取點(diǎn)G，設(shè)G（），使GE⊥CD..由故①又點(diǎn)G在直線CD上，即，由=（），則有②聯(lián)立①、②，解得G＝,故=.又由AD⊥CD，所以二面角E－CD－A的平面角為向量與向量所成的角，記此角為.因?yàn)?，,所以.，故所求的二面角的大小為.點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、異面直線所成的角以及點(diǎn)到平面的距離等基本知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力[舉例1]已知線段AD∥平面，且與平面的距離為4，點(diǎn)B是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足AB=5，AD=10，則B、D兩點(diǎn)之間的距離（）A．有最大值，無最小值；B．有最小值，無最大值；C．有最大值，最小值；D．有最大值，最小值；解析：記A、D在面內(nèi)的射影分別為A1、D1，∵AB=5，AA1=4，∴A1B=3，即B在面內(nèi)以A1為圓心、3為半徑的圓周上，又A1D1=10，故D1B最大為13，最小為7，而DD1=4，于是：由勾股定理得BD最大，最小，選D。z[舉例2]在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，點(diǎn)P在棱CC1上，且CC1=4CP.求點(diǎn)P到平面ABDz·B1·B1PACDA1C1D1BOH·圖5-2·B1PACDA1C1D1BOH·圖5-1E圖5-3·B1PACDA1C1D1BOH·xyQ解析：方法一：“等積轉(zhuǎn)換”。如果直接研究三棱錐P-ABD1的體積，無論怎樣“轉(zhuǎn)換”都不易求；在DD1上取一點(diǎn)Q，使DD1=4DQ，則PQ∥面ABD1，如圖5-1；故=，記P到面ABD1的距離為h，則Q到面ABD1的距離為h，由=得：h=；方法二：以D為原點(diǎn)建系，如圖5-2，A（4，0，0），B（4，4，0），D1（0，0，4），P（0，4，1），不難求出面ABD1的法向量=(1,0,1),=(4,0,-1),h==；方法3：“補(bǔ)齊”截面ABD1即正方體的對(duì)角面ABC1D1，過P作PE⊥BC1于E，如圖5-3，∵PE⊥AB，∴PE⊥面ABD1，∴PE的長(zhǎng)度即為點(diǎn)P到平面ABD1的距離，易求PE=。[鞏固1]已知平面∥平面，直線，點(diǎn)，平面、之間的距離為8，則在內(nèi)到P點(diǎn)的距離為9的點(diǎn)的軌跡是：（）A．一個(gè)圓B．兩條直線C．四個(gè)點(diǎn)D．兩個(gè)點(diǎn)[鞏固2]（1）正三棱錐的高為，側(cè)棱與底面成角，則點(diǎn)到側(cè)面的距離為_____（07高考江蘇卷14）。（2）正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都為，為中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（07高考福建理18）．答案2、[鞏固1]1、2、3、4，[鞏固2]900，3、[鞏固1]0或無數(shù)、300，[鞏固2]方法一：“懸空射影”，方法二：“建系”，方法三：取PC中點(diǎn)D，PA∥OD，去求直線OD與平面PBC所成的角，過O作面PBC的垂面，找射影；arcsin；4、[鞏固]方法一：延長(zhǎng)DE、BA交于P，CP是二面角的棱，∠DCB是二面角的平面角，∠DCB=450；方法二：“平移“平面。取CD中點(diǎn)F，BD中點(diǎn)G，二面角D-EF-G為所求；方法三：以AB中點(diǎn)為原點(diǎn)“建系“；方法四：用公式：cos=。5、[鞏固1]C，[鞏固2]，。題型5：線面距離例1.已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為8，對(duì)角線,AC的中點(diǎn)為D,求證：∥平面求直線到平面的距離（金海洋172）例2．（2009重慶卷）（本小題滿分13分，（Ⅰ）問7分，（Ⅱ）問6分）如題（18）圖，在五面體中，∥，，，四邊形為平行四邊形，平面，．求：（Ⅰ）直線到平面的距離；（Ⅱ）二面角的平面角的正切值．解法一:（Ⅰ）平面,AB到面的距離等于點(diǎn)A到面的距離，過點(diǎn)A作于G，因∥，故；又平面，由三垂線定理可知，，故，知，所以AG為所求直線AB到面的距離在中，由平面，得AD，從而在中，。即直線到平面的距離為。（Ⅱ）由己知，平面，得AD，又由，知，故平面ABFE，所以，為二面角的平面角，記為.在中,,由得,,從而在中,,故所以二面角的平面角的正切值為.解法二:（Ⅰ）如圖以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)榈恼较蚪⒖臻g直角坐標(biāo)系數(shù),則A(0,0,0)C(2,2,0)D(0,2,0)設(shè)可得,由.即,解得∥，面,所以直線AB到面的距離等于點(diǎn)A到面的距離。設(shè)A點(diǎn)在平面上的射影點(diǎn)為,則因且,而,此即解得①,知G點(diǎn)在面上,故G點(diǎn)在FD上.,故有②聯(lián)立①,②解得,.為直線AB到面的距離.而所以（Ⅱ）因四邊形為平行四邊形,則可設(shè),.由得,解得.即.故由,因,,故為二面角的平面角，又,,,所以點(diǎn)評(píng)：線面距離往往轉(zhuǎn)化成點(diǎn)面距離來處理，最后可能轉(zhuǎn)化為空間幾何體的體積求得，體積法不用得到垂線。題型6：面面距離例1．在長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，如圖：（1）求證：平面A1BC1∥平面ACD1；（2）求(1)中兩個(gè)平行平面間的距離；（3）求點(diǎn)B1到平面A1BC1的距離。（1）證明：由于BC1∥AD1，則BC1∥平面ACD1，同理，A1B∥平面ACD1，則平面A1BC1∥平面ACD1。（2）解：設(shè)兩平行平面A1BC1與ACD1間的距離為d，則d等于D1到平面A1BC1的距離。易求A1C1=5，A1B=2，BC1=，則cosA1BC1=，則sinA1BC1=，則S=。由于，則S·d=·BB1，代入求得d=，即兩平行平面間的距離為。（3）解：由于線段B1D1被平面A1BC1所平分，則B1、D1到平面A1BC1的距離相等，則由（2）知點(diǎn)B1到平面A1BC1的距離等于。點(diǎn)評(píng)：立體幾何圖形必須借助面的襯托，點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系才能顯露地“立”起來。在具體的問題中，證明和計(jì)算經(jīng)常依附于某種特殊的輔助平面即基面。這個(gè)輔助平面的獲取正是解題的關(guān)鍵所在，通過對(duì)這個(gè)平面的截得，延展或構(gòu)造，綱舉目張，問題就迎刃而解題型7：線線夾角例1．如圖1，在三棱錐S—ABC中，，，，，求異面直線SC與AB所成角的余弦值。圖1解法1：用公式當(dāng)直線平面，AB與所成的角為，l是內(nèi)的一條直線，l與AB在內(nèi)的射影所成的角為，則異面直線l與AB所成的角滿足。以此為據(jù)求解由題意，知平面ABC，，由三垂線定理，知，所以平面SAC。因?yàn)?，由勾股定理，得。在中，，在中，。設(shè)SC與AB所成角為，則，解法2：平移過點(diǎn)C作CD//BA，過點(diǎn)A作BC的平行線交CD于D，連結(jié)SD，則是異面直線SC與AB所成的角，如圖2。又四邊形ABCD是平行四邊形。由勾股定理，得：。圖2在中，由余弦定理，得：。點(diǎn)評(píng)：若不垂直，可經(jīng)過如下幾個(gè)步驟求解：（1）恰當(dāng)選點(diǎn)，作兩條異面直線的平行線，構(gòu)造平面角；（2）證明這個(gè)角（或其補(bǔ)角）就是異面直線所成角；（3）解三角形（常用余弦定理），求出所構(gòu)造角的度數(shù)例2.已知兩個(gè)正四棱錐的高分別為1和2,，(Ⅰ)證明:;(Ⅱ)求異面直線AQ與PB所成的角;解析：(Ⅰ)記AC、BD交于O，連PO、QO，則PO⊥面ABCD，QO⊥面ABCD，∴P、Q、O共線，PQ⊥面ABCD；(Ⅱ)方法一：“平移”：注意到AC、PQ交于O，取OC的中點(diǎn)N，連結(jié)PN，BN，QBCPADON圖1-2xyz∵，∴，故AQQBCPADON圖1-2xyz所成的角（或其補(bǔ)角）.∵∴故異面直線AQ與PB所成的角是．方法二：“建系”：由題設(shè)知，ABCD是正方形，∴．由（I），平面，故可以分別以直線CA、DB、QP為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖1-2），由題設(shè)，相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，，，,于是注：在“平移”時(shí)常用到一些平面圖形的性質(zhì)，如：三角形的中位線、梯形中位線、平行四邊形、平行線分線段成比例定理的逆定理甚至三角形相似等。題型8：線面夾角直線與平面所成的角要“抓住”直線在平面內(nèi)的射影，然后在直角三角形內(nèi)求得；直線與平面所成的角是直線與平面內(nèi)任意直線所成角的最小值。線面角的范圍：[00，900]。例1.在如圖所示的幾何體中，平面，平面，，且，是的中點(diǎn)．求與平面所成的角．解析：方法一：“找射影”。過M作MF⊥ED于F，連CF，F(xiàn)由CM⊥AB，CM⊥AE得CM⊥面ABDE，故CM⊥ED，F(xiàn)∴ED⊥面CMF，于是有面CED⊥面CMF于CF，過M作MH⊥CF于H，則MH⊥面CED，∴∠MCH為與平面所成的角；設(shè)，，在直角梯形中，，是的中點(diǎn)，所以，，，得是直角三角形，其中，∴MF=在中，CM=MF，∴，故與平面所成的角是．注：“作垂面”是求作點(diǎn)M在面內(nèi)的射影的最重要、最常用的方法，其過程是：過M點(diǎn)作平面⊥于，則M在面內(nèi)的射影M/∈。方法二：“建系”。如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，分別為軸和軸，過點(diǎn)作與平面垂直的直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，．，．設(shè)向量與平面垂直，則，，即n·=0,n·=0,∵，，得：，，即，由向量夾角公式得：cos<n,>=,直線與平面所成的角是與夾角的余角，所以，故直線與平面所成的角是．注：線與面的法向量所成的角與線面角互余；注意到線面角不為鈍角，故：AB與面所成的角為：arcsin（為面的法向量）。用法向量求線面角，以計(jì)算代替說理（找射影），最大限度地實(shí)現(xiàn)了“去邏輯化”，為疏于邏輯思維的同學(xué)求線面角提供了一條相對(duì)方便的路徑；但是，并非所有的空間形體都可以建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系。例2.如圖3-1，在四棱錐P-ABCD中，底面為直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD，且PA＝AD=AB=2BC,M、N分別為PC、PB的中點(diǎn).求CD與平面ADMN所成的角。BBCADPNM圖3-1BBCADPNM圖3-2QBBCADPNM圖3-3E解析：確定C點(diǎn)在面ADMN上的射影Q的位置很困難。方法一：“射影懸空”。先不管Q點(diǎn)的位置，∠CDQ為CD與平面ADMN所成的角，入圖3-2；記BC=a,在Rt⊿CQD中，CD=a,只需求出CQ（C到面ADMN的距離）即可，記為h；注意到，不難知道⊿AMD中AD邊上的高為AN，AN=a,∴=a2；=2a2，M到面ACD的距離為a，∴h=a,故在Rt⊿CQD中，∠CDQ=arcsin。注：射影“懸空”求線面角的“革命”性意義在于繞開了求線面角中最困難的一步——確定射影的位置，把問題化歸為求點(diǎn)到面的距離；而求點(diǎn)到面的距離可以通過“等積轉(zhuǎn)換”實(shí)現(xiàn)，并不需要知道射影的確切位置。方法二：“平移”線段。取AD中點(diǎn)E，連BE，如圖3-3，易見：BE∥CD，∴CD與平面ADMN所成的角即BE與平面ADMN所成的角；不難證明：BN⊥AN，BN⊥AC，∴BN⊥面ADMN，即點(diǎn)B在面ADMN上的射影為N，∠BEN為BE與平面ADMN所成的角；記BC=a，BN=a，BE=a，在Rt⊿BNE中，∠BEN=arcsin。本題也可以“建系”求，略。鞏固1.太陽光線斜照地面，地面上與太陽光線成600角的直線有_________條？若太陽光線與地面成60°角時(shí)，要使一根長(zhǎng)2米的竹竿影子最長(zhǎng)，則竹竿與地面所成的角為。鞏固2.在三棱錐P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC，PA=2BC，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，OP⊥底面ABC．求直線PA與平面PBC所成角的大小．例3．2009湖南卷）（本小題滿分12分）如圖3，在正三棱柱中，AB=4,,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AC上，且DEE.（Ⅰ）證明：平面平面;（Ⅱ）求直線AD和平面所成角的正弦值解:（Ⅰ）如圖所示，由正三棱柱的性質(zhì)知平面.又DE平面ABC，所以DE.而DEE，,所以DE⊥平面.又DE平面，故平面⊥平面.（Ⅱ）解法1:過點(diǎn)A作AF垂直于點(diǎn),連接DF.由（Ⅰ）知，平面⊥平面，所以AF平面,故是直線AD和平面所成的角。因?yàn)镈E，所以DEAC.而ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形，于是AD=，AE=4-CE=4-=3.又因?yàn)?，所以E==4,,.即直線AD和平面所成角的正弦值為.解法2:如圖所示，設(shè)O是AC的中點(diǎn)，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(2,0,0,),(2,0,),D(-1,,0),E(-1,0,0).易知=（-3，，-），=（0，-，0），=（-3，，0）.設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則解得.故可取.于是=.由此即知，直線AD和平面所成角的正弦值為.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查幾何體的概念、線面夾角、兩平面垂直等。能力方面主要考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力題型8：二面角求二面角的方法很多，概括起來有兩類，一類是作平面角，一類是不作平面角。作平面角又有直接作和間接作兩種，形形色色的方法都是在做一件事：作二面角的棱的垂面；而不作平面角，要么建系用法向量求，要么用公式cos=（其中S表示平面內(nèi)的封閉圖形C的面積，S/表示C在平面內(nèi)的射影C/的面積，表示與所成的銳二面角的大小）。二面角的范圍（00，1800)。如cos=-，則=arccos（-）=-arccos。例1．如圖，在長(zhǎng)方體中，分別是的中點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)，。（Ⅰ）求證：面；（Ⅱ）求二面角的大小。（Ⅲ）求三棱錐的體積。解析：（Ⅰ）證明：取的中點(diǎn)，連結(jié)∵分別為的中點(diǎn)，∵，∴面，面∴面面∴面（Ⅱ）設(shè)為的中點(diǎn)∵為的中點(diǎn)∴∴面作，交于，連結(jié)，則由三垂線定理得。從而為二面角的平面角在中，，從而。在中，，故二面角的正切值為。（Ⅲ），作，交于，由面得，∴面，∴在中，，∴。點(diǎn)評(píng)：求角和距離的基本步驟是作、證、算。此外還要特別注意融合在運(yùn)算中的推理過程，推理是運(yùn)算的基礎(chǔ)，運(yùn)算只是推理過程的延續(xù)。如求二面角，只有根據(jù)推理過程找到二面角后，進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)算，才能求出。因此，求角與距離的關(guān)鍵還是直線與平面的位置關(guān)系的論證。ABEDABEDCPF直角梯形，∠ADC=，AB∥CD，PC⊥面ABCD，PC=AD=DC=AB，E為線段AB的中點(diǎn)。（1）求證：平面PAC⊥平面PDE；（2）求二面角A-PE-D的大小。ABABEDCPFO邊形AECF是正方形，∴DE⊥AC，又DE⊥PC∴DE⊥面PAC，∴面PDE⊥面PAC；（2）記PC=a，方法一：用三垂線定理作二面角的平面角。記AC、DE交于O，連PO，PO是相互垂直的平面PDE和PAC的交線，過A作PO的垂線交PO（的延長(zhǎng)線）于F，則AF⊥面PDE，即F是A在面PDE內(nèi)的射影，又容易證明AE⊥面PEC，則AE⊥PE，于是FE⊥PE，∴∠AEF是二面角A-PE-D的平面角；在⊿PAO中有面積相等不難算出AF=a，而AE=a，在Rt⊿AFE中，∠AEF=arcsin。注：用三垂線定理作二面角的平面角，是作二面角的平面角的最常用、最重要的方法。其過程概括為：找一垂——找（作）一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)P在另一個(gè)面內(nèi)的射影P/，作二垂——過P（或P/）作二面角棱l的垂線，垂足為Q，連三垂——連P/Q，則l⊥P/Q，于是∠PQP/為二面角的平面角；計(jì)算該角在直角三角形內(nèi)進(jìn)行；在上述過程中，“找一垂”是關(guān)鍵。方法二：射影“懸空”作二面角的平面角注意到AE⊥PE，記點(diǎn)A在面PDE內(nèi)的射影為F（無須知道點(diǎn)F的確切位置），連EF，則PE⊥FE，于是∠AEF是二面角A-PE-D的平面角；以下問題化歸到求AF的長(zhǎng)度（即A點(diǎn)到面PDE的距離）上。以下用“等積轉(zhuǎn)換”求AF，計(jì)算略。ABEDCPMNABEDCPMN又容易知道AE⊥PE，取PA的中點(diǎn)N，連NM，則NM∥AE，∴PE⊥MN，于是∠NMD為二面角A-PE-D的平面角；以下在⊿DMN中，用余弦定理求∠NMD，計(jì)算略。方法四：用割補(bǔ)法求。視二面角A-PE-D為二面角A-PE-C與二面角D-PE-C的差。對(duì)二面角A-PE-C，∵AE⊥面PEC，∴面AEP⊥面PEC，即二面角A-PE-C為；對(duì)二面角D-PE-C，點(diǎn)C是點(diǎn)DABEDCPABEDCPM∴PE⊥MC，于是有：PE⊥MD，則∠DMC為二面角D-PE-C的平面角，在Rt⊿DCM中，∠DMC=arctan,∴二面角A-PE-D的大小為-arctan。注：在求鈍二面角時(shí)“割補(bǔ)法”往往很有效。方法五：用平面的“法向量”求∵CP⊥CE,CP⊥CD,CE⊥CD,故可以C為原點(diǎn)，ABEDPxyABEDPxyCz直角坐標(biāo)系。A（a,a,0）、D(a,0,0)、E(0,a,0)、P(0,0,a)，則=(a,0,0),=(a,-a,0),=(0,-a,a)由此不難求出平面PAE的法向量=（0，1，1），平面PAE的法向量=（1，1，1）則有：cos<,>=,∴二面角A-PE-D的大小為arccos。注：用“法向量”求二面角有一處嚴(yán)重的不足：二面角兩個(gè)面的法向量的夾角未必等于二面角，也可能與二面角互補(bǔ)，這取決于法向量的方向，而確定法向量的方向卻是中學(xué)生力不能及的。[鞏固]如圖，在多面體ABCDE中，AE⊥面ABC，BD∥AE，且AC=AB=BC=BD=2，AE=1，求面CDE與面CAB所成的銳二面角．CCABDE五．【思維總結(jié)】空間的角和距離是空間圖形中最基本的數(shù)量關(guān)系，空間的角主要研究射影以及與射影有關(guān)的定理、空間兩直線所成的角、直線和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等．解這類問題的基本思路是把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題去解決．1．空間的角，是對(duì)由點(diǎn)、直線、平面所組成的空間圖形中各種元素間的位置關(guān)系進(jìn)行定量分析的一個(gè)重要概念，由它們的定義，可得其取值范圍，如兩異面直線所成的角θ∈(0，)，直線與平面所成的角θ∈，二面角的大小，可用它們的平面角來度量，其平面角θ∈(0，π)。對(duì)于空間角的計(jì)算，總是通過一定的手段將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)平面內(nèi)的角，并把它置于一個(gè)平面圖形，而且是一個(gè)三角形的內(nèi)角來解決，而這種轉(zhuǎn)化就是利用直線與平面的平行與垂直來實(shí)現(xiàn)的，因此求這些角的過程也是直線、平面的平行與垂直的重要應(yīng)用．通過空間角的計(jì)算和應(yīng)用進(jìn)一步培養(yǎng)運(yùn)算能力、邏輯推理能力及空間想象能力．（1）求異面直線所成的角，一般是平移轉(zhuǎn)化法。方法一是在異面直線中的一條直線上選擇“特殊點(diǎn)”，作另一條直線的平行線；或過空間任一點(diǎn)分別作兩異面直線的平行線，這樣就作出了兩異面直線所成的角θ，構(gòu)造一個(gè)含θ的三角形，解三角形即可。方法二是補(bǔ)形法：將空間圖形補(bǔ)成熟悉的、完整的幾何體，這樣有利于找到兩條異面直線所成的角θ。（2）求直線與平面所成的角，一般先確定直線與平面的交點(diǎn)（斜足），然后在直線上取一點(diǎn)（除斜足外）作平面的垂線，再連接垂足和斜足（即得直接在平面內(nèi)的射影），最后解由垂線、斜線、射影所組成的直角三角形，求出直線與平面所成的角（3）求二面角，一般有直接法和間接法兩種。所謂直接法求二面角，就是作出二面角的平面角來解。其中有棱二面角作平面角的方法通常有：①根據(jù)定義作二面角的平面角；②垂面法作二面角的平