函數(shù)模型的應(yīng)用

■基礎(chǔ)練一水平一

（30分鐘60分）

一、選擇題（每小題5分，共30分）

1.某種植物生長發(fā)育的數(shù)量y與時間x的關(guān)系如下表:

X123???

???

y125

下面的函數(shù)關(guān)系式中，能表達這種關(guān)系的是（）

A.尸log2（x+1）B.j=2x-l

C.尸2尸1D.尸（xT）2+l

【解析】選D.代入數(shù)值檢驗,把戶2代入可排除A,B,C,把A=1,2,3代入D選項,符合題意.

2.（2021?肇慶高一檢測）sigmoid函數(shù).）二事是描述在資源有限的條件下種群增長

規(guī)律的一個最佳數(shù)學(xué)模型.某研究所根據(jù)試驗數(shù)據(jù)建立了一種病毒的sigmoid函數(shù)模型

當(dāng)S9,時,病毒增長達到最大,則「約為山9^2.2）（）

A.90B.83C.74D.63

【解析】選C?由題意得"，+eO2『63）=°3

整理得------1*.=0.9,即e-O.2（t-63）

二一,可得-0.2（方*-63）=-ln9--2.2,所以f*=74.

1+e-o2（t-63）9

3.“紅豆生南國,春來發(fā)幾枝？”如圖給出了紅豆生長時間方（月）與枝數(shù)y（枝）的散點圖.那

么紅豆生長時間與枝數(shù)的關(guān)系用下列哪個函數(shù)模型擬合最好（）

M枝）

01234567

A.指數(shù)函數(shù):尸2"B.對數(shù)函數(shù):尸10g2方

C.哥函數(shù):尸/D.二次函數(shù):產(chǎn)2/

【解析】選A.由題意知函數(shù)的圖象在第一象限是一個單調(diào)遞增的函數(shù)，并且增長速度很快,

符合指數(shù)型函數(shù)模型,且圖象過點（1,2）,所以圖象由指數(shù)函數(shù)來模擬比較好.

4.素數(shù)也叫質(zhì)數(shù)，法國數(shù)學(xué)家馬林?梅森是研究素數(shù)的數(shù)學(xué)家中成就很高的一位，因此后人

將“2〃-1”形式5是素數(shù)）的素數(shù)稱為梅森素數(shù).已知第20個梅森素數(shù)為題儂t,第19個

P

梅森素數(shù)為小2"雙_1,則下列各數(shù)中與一最接近的數(shù)為（參考數(shù)據(jù)：1g2Po.3）（）

Q

A.1045B.10”C.1056D.1059

p24423_I

【解析】選B.由題知一=弋2"°.令2"°="，則lg2170=lg左所以1701g2=lg上又1g

Q24253-1

2-0.3,所以51=lgk,即A=1051,所以與一最接近的數(shù)為1051.

Q

5.某高校為提升科研能力,計劃逐年加大科研經(jīng)費投入.若該高校2017年全年投入科研經(jīng)費

1300萬元,在此基礎(chǔ)上,每年投入的科研經(jīng)費比上一年增長12%,則該高校全年投入的科研經(jīng)

費開始超過2000萬元的年份是（參考數(shù)據(jù):1g1.12心0.05,

lg1.3?=0.11,lg2^0.30）（）

A.2020年B.2021年C.2022年D.2023年

【解析】選B.若2018年是第一年,則第〃年科研經(jīng)費為1300XL12",由1300X1.12">2000,

可得lg1.3+Mg1.12>lg2,得nXO.05>0.19,n>3.8,A與4,即到2021年科研經(jīng)費超過2000

萬元.

6.（多選題）已知光線每通過一塊玻璃板，光線的強度就減弱10%,要使通過玻璃板的光線的

1

強度減弱到原來強度的一以下,則需要重疊玻璃板數(shù)可能為（）

3

A.9塊B.10塊C.11塊D.12塊

1

【解析】選C、D.設(shè)至少需要重疊玻璃板數(shù)為n,由題意得（1-10%）解得則至少

3

需要重疊玻璃板數(shù)為11塊.

二、填空題（每小題5分，共10分）

7.某公司為了業(yè)務(wù)發(fā)展制定了一個激勵銷售人員的獎勵方案,在銷售額x為8萬元時,獎勵1

萬元.銷售額x為64萬元時,獎勵4萬元.若公司擬定的獎勵模型為尸alog4x+4某業(yè)務(wù)員要

得到8萬元獎勵,則他的銷售額應(yīng)為萬元.

alog8+b=1,

【解析】依題意得4

alog464+b=4,

ja+b=1,

即

(3a+b=4.

解得a=2,反-2.

所以j=21og4X-2,

當(dāng)產(chǎn)8時，即210g4『2=8.

解得戶1024（萬元）.

答案:1024

8.某種病毒經(jīng)30分鐘繁殖為原來的2倍,且知病毒的繁殖規(guī)律為戶e*'（其中左為常數(shù)，t表示

時間,單位:h,y表示病毒個數(shù)），則k,經(jīng)過5h,1個病毒能繁殖為個.

k

【解析】因為當(dāng)t=0.5時，尸2,所以2-62,所以A=21n2,

所以尸產(chǎn)叱當(dāng)t=5y=e101n2=210=l024.

答案:21n21024

教師

專用【補償訓(xùn)練】

某商品價格y（單位:元）因上架時間x（單位:天）的不同而不同，假定商品的價格與上架時間

的函數(shù)關(guān)系是一種指數(shù)型函數(shù),即y=k-/（a>0且aWl）,xGN*.當(dāng)商品上架第1天的價格為

96元,而上架第3天的價格為54元,則該商品上架第4天的價格為元.

(3

‘kxa1—96Q=1

【解析】由題意可得方程組：｛,oL/結(jié)合a>0且aWl可得4

kkxa3=54,Ik=128,

即尸128x（：），則該商品上架第4天的價格為128義（,）=￡=40.5,即該商品上架第4

天的價格為40.5（或為元.

答案：40.5（或苫）

三、解答題（每小題10分，共20分）

9.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)目前人均一年占有糧食360kg,如果該鄉(xiāng)鎮(zhèn)人口平均每年增長1.2%,糧食總產(chǎn)量平

均每年增長4%,那么x年后人均一年占有ykg糧食,求函數(shù)y關(guān)于x的解析式.

【解析】設(shè)該鄉(xiāng)鎮(zhèn)目前人口量為m,則該鄉(xiāng)鎮(zhèn)目前一年的糧食總產(chǎn)量為360加

經(jīng)過1年后,該鄉(xiāng)鎮(zhèn)糧食總產(chǎn)量為360加1+4%）,人口總量為2%）,

360?n(l+4%)

則人均占有糧食為

3607n(1+4狗2

經(jīng)過2年后,人均占有糧食為

771(1+1.2%)2

3607n(l+4%)”

經(jīng)過x年后，人均占有糧食為產(chǎn)，

?n(l+1.2%)x

1.04260

=360(■■)=360(一

1.012253

260

即所求函數(shù)解析式為尸360（——）,.

253

10.某化工廠生產(chǎn)一種溶液,按市場要求,雜質(zhì)含量不能超過0.1%,若初時含雜質(zhì)2%,每過濾

1

一次可使雜質(zhì)含量減少一，問至少應(yīng)過濾幾次才能使產(chǎn)品達到市場要求？（已

3

知：lg2=0.3010,lg3=0.4771)

22/2\x

【解析】解法1：因為每次過濾雜質(zhì)含量降為原來的一，過濾〃次后雜質(zhì)含量為--------.

3100\37

78

2，匕因為目12812\2561

依題意,得一」=-----＞一,

100(\3J71000唔）20\3721872037656120,

所以由題意知至少應(yīng)過濾8次才能使產(chǎn)品達到市場要求.

21l+lg2

解法2:接解法1:法)"W—,則〃(lg2Tg3)W-(l+lg2),即杉;--;一27.4,又〃GN+,所以

320Ig3-lg2

〃三8,即至少應(yīng)過濾8次才能使產(chǎn)品達到市場要求.

國提升練一水平二

（20分鐘40分）

一、選擇題（每小題5分，共20分）

1.（2021?北京高一檢測）植物研究者在研究某種植物1-5年內(nèi)的植株高度時,將得到的數(shù)據(jù)

用下圖直觀表示.現(xiàn)要根據(jù)這些數(shù)據(jù)用一個函數(shù)模型來描述這種植物在卜5年內(nèi)的生長規(guī)律,

A.y=ka+b{k>D,a>0且aNl)

B.y=klog,rx+b(k>0,a>0,且aWl)

C.y=—+Z)(A>0)

x

D.產(chǎn)aV+6x+c(a〉0)

【解析】選B.由散點圖可知,植物高度增長越來越緩慢,故選擇對數(shù)模型，即B符合.

2.某工廠生產(chǎn)兩種成本不同的產(chǎn)品，由于市場銷售發(fā)生變化,/產(chǎn)品連續(xù)兩次提價20%,8產(chǎn)品

連續(xù)兩次降價20%,結(jié)果都以23.04元出售,此時廠家同時出售A,6產(chǎn)品各1件,盈虧情況是

()

A.不虧不賺B.虧5.92元

C.賺5.92元D.賺28.96元

【解析】選B.設(shè)/產(chǎn)品的原價為a元，方產(chǎn)品的原價為b元，則a(l+20%)z=23.04,求得

a=16;6(1-20%)=23.04,求得為36.

則刑斤52元,而23.04X2=46.08元.故虧52-46.08=5.92(元).

教師

專用

某位股民購進某只股票,在接下來的交易時間內(nèi)，他的這只股票先經(jīng)歷了3次漲停(每次上漲

10%)又經(jīng)歷了3次跌停(每次下降10%),則該股民這只股票的盈虧情況(不考慮其他費用)為

()

A.略有虧損

B.略有盈利

C.沒有盈利也沒有虧損

D.無法判斷盈虧情況

【解析】選A.由題意可得：（1+10%）3（1-10%）340.97《1.因此該股民這只股票的盈虧情況為:

略有虧損.

3.（多選題）某公司為激勵創(chuàng)新,計劃逐年加大研發(fā)資金投入.若該公司2016年全年投入研發(fā)

資金130萬元,在此基礎(chǔ)上,每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%,則該公司全年投入的研

發(fā)資金超過200萬元的年份是（）

（參考數(shù)據(jù):IgL12=0.05,Igl.3=0.ll,lg2=0.30）

A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年

【解析】選C、D.設(shè)經(jīng)過n年該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元，由題意得

202

130(1+12%)">200,所以1.12"〉一二—,兩邊取對數(shù)，得

131.3

2坨展lg2-lgl.30.30-0.11

z?>logi.i2----------;----------=---------=3.8,因為〃GN+,所以n的最小值為4.

1.3Igl.12Igl.120.05

故2020年開始該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元.

4.在標(biāo)準(zhǔn)溫度和大氣壓下,人體血液中氫離子的物質(zhì)的量的濃度（單位iuol/L,記作[H+]）

和氫氧根離子的物質(zhì)的量的濃度（單位mol/L,記作0H-）的乘積等于常數(shù)10%.已知pH

的定義為pH=-lg[H+],健康人體血液的pH保持在7.35-7.45之間，那么健康人體血液中

[H+]

的f-----y可以為(參考數(shù)據(jù)：1g220.30,1g320.48)()

[OH]

1111

A.-B.-C.-D.—

23610

【解析】選c.因為[H+]?0H-=10",

因為7.35<-lg[H+]〈7.45,

所以io^[H+]<io_7SS,

所以1009〈^I^=".[H+]2<10-。，，

>—,lg(10°-7)=0.7>lg3>lg2,

IO0910v'

11

所以10°-7>3>2,10-°-7<-<-

32

1[H+]1

所以

10[OH]3

二、填空題（每小題5分，共10分）

5.某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放,排放時污染物的含量不超過1%.已知在過濾過程中廢

氣中的污染物數(shù)量?（單位：毫克/升）與過濾時間t（單位：時）之間的函數(shù)關(guān)系式

為:片Re"（k,R均為正的常數(shù)）.若在前5小時的過濾過程中污染物被排除了90%,那么，至少

還需要過濾小時才可以排放.

【解析】仁0時，尸必由題意，知前5小時消除了90%的污染物，因為尸He",所以

1

（1-90%）/o=/oe-5A,所以0.l=e即-5公In0.1,所以公-gin0.1.

由1%R=Re"",即0.01'e"；

所以-AQln0.01,QlnO.l）片In0.01,

所以占10,所以至少還需要過濾5小時才可以排放.

答案：5

6.某企業(yè)準(zhǔn)備投入適當(dāng)?shù)膹V告費對甲產(chǎn)品進行促銷宣傳,在一年內(nèi)預(yù)計銷售量y（萬件）與廣

3x

告費x（萬元）之間的函數(shù)關(guān)系為戶1+—（x'O）.已知生產(chǎn)此產(chǎn)品的年固定投入為4萬元,

x+2

每生產(chǎn)1萬件此產(chǎn)品仍需再投入30萬元,且能全部售完.若每件甲產(chǎn)品售價（元）定為“平均

每件甲產(chǎn)品所占生產(chǎn)成本的150%"與"年平均每件甲產(chǎn)品所占廣告費的50獷之和,則當(dāng)廣

告費為1萬元時,該企業(yè)甲產(chǎn)品的年利潤為.,萬元.

30y+4x

【解析】由題意,產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為（30y+4）萬元,銷售單價為-------X150%+-X50%,故年

yy

銷售收入為乂牛x150%+]x50%）.e尹6+]所以