5/5/20241第二章控制系統的數學模型第1頁控制系統性能普通從哪三個方面來評價？5/5/20242第二章控制系統的數學模型第2頁第二章控制系統數學模型1.定義：數學模型是描述系統輸入輸出變量以及內部其它變量之間關系數學表示式2.描述方法：輸入-輸出描述（端部描述）

常微分方程傳遞函數系統框圖狀態(tài)變量描述（內部描述）狀態(tài)方程是這種描述最基本形式，適用多輸入多輸出系統一.描述系統運動數學模型5/5/20243第二章控制系統的數學模型第3頁二.建立系統數學模型方法解析法:依據系統各變量所依據物理定律、化學定律或者其它自然規(guī)律，列寫出每一個元件輸入-輸出關系式，然后消去中間變量，從而求得系統輸出與輸入表示式。

試驗法：給系統施加一定測試信號，依據系統對測試信號響應或試驗數據來建立數學模型，又稱系統辨識。5/5/20244第二章控制系統的數學模型第4頁2.1列寫系統微分方程普通方法一.用解析法建立系統微分方程普通步驟

分析元件工作原理和在系統中作用，確定元件輸入量和輸出量，并依據需要引進一些中間變量（必要擾動）。依據各元件在工作過程中所遵照物理、化學定律，列寫系統中每一個元件輸入與輸出微分方程式（考慮相鄰元件之間影響）。消去中間變量，求得只含輸出、輸入變量及其各階導數微分方程。對所求微分方程進行標準化處理。與輸入相關項寫在方程等號右方，與輸出相關項寫在方程等號左方。5/5/20245第二章控制系統的數學模型第5頁圖2-1Ｒ-L-C電路二.例子消去中間變量，則有:解：由基爾霍夫定律得：1、電氣網絡系統例1：無負載效應電路5/5/20246第二章控制系統的數學模型第6頁圖2-2R-C濾波網絡消去中間變量i1、i2得或寫作例2：有負載效應電路列寫2極相同形式RC串聯電路組成濾波電路微分方程對于圖2-2所表示電路，在列寫方程時必須考慮后級電路對前級電路影響，由基爾霍夫定律列出以下方程組：解：5/5/20247第二章控制系統的數學模型第7頁例3：求圖2-3所表示彈簧-質量-阻尼器系統數據模型解：由牛頓第二定律列出方程圖2-3彈簧-質量-阻尼器系統即式中：-阻尼器阻力ky(t)-彈簧拉力ｋ-為彈簧彈性系數2、機械位移系統ｆ-為阻尼系數5/5/20248第二章控制系統的數學模型第8頁描述線性定常系統輸入與輸出關系微分方程式為列寫元件和系統方程式前,首先要明確誰是輸入量和輸出量，把與輸出量相關項寫在方程式等號左方，與輸入量相關系項寫在等號右方，列寫系統中各元件輸入－輸出微分方程式，消去中間變量，求得系統輸出與輸入微分方程式

寫微分方程式普通步驟5/5/20249第二章控制系統的數學模型第9頁直流他勵發(fā)電機由電機學原理得：圖2-4直流他勵電動機電路圖把式（2-2）代入（2-1），則得（2-1）（2-2）（2-3）式中假設拖動發(fā)電機原動機轉速n0恒定不變，發(fā)電機沒有磁滯回線和剩磁，發(fā)電機磁化曲線為一直線，即Φ/ib=L。5/5/202410第二章控制系統的數學模型第10頁2.2非線性數學模型線性化一、可線性化條件變量對于平衡工作點偏離較小非線性函數不但連續(xù)，而且其多階導數均存在二、微偏法在給定工作點鄰域將此非線性函數展開為泰勒級數，并略去二階及二階以上各項，用所得線性化方程代替原有非線性方程。5/5/202411第二章控制系統的數學模型第11頁設一非線性元件輸入為x、輸出為y，它們間關系如圖2-5所表示，對應數學表示式為

圖2-5非線性特征線性化y=f(x)（2-4）在給定工作點A（x0,y0）附近，將上式展開為泰勒級數5/5/202412第二章控制系統的數學模型第12頁y=f(x)→5/5/202413第二章控制系統的數學模型第13頁三、舉例直流他勵發(fā)電動機微分方程式時，曾假設其磁化曲線為直線，實際上發(fā)電機磁化曲線如圖2-5所表示。

設發(fā)電機原工作于磁化曲線A點，若令發(fā)電機勵磁電壓增加△U1，求其增量電勢△EG改變規(guī)律。圖2-5發(fā)電機磁化曲線若勵磁電壓增量，則有

假如發(fā)電機在小信號勵磁電壓作用下，工作點A偏離便較小，從而能夠經過點A作一切線CD，且以此切線CD近似代替原有曲線EAF。在平衡點A處，直流電機方程為5/5/202414第二章控制系統的數學模型第14頁由式（2-21）減式（2-19），式（2-22）減式（2-20）后得

式（2-23）、（2-24）均為增量方程，它們描述了發(fā)電機在平衡點A處受到△u1作用后運動過程。對增量方程式而言，磁化曲線坐標原點不是在O點，而是移到A點。因而發(fā)電機初始條件仍為零。式中N為勵磁繞組匝數。5/5/202415第二章控制系統的數學模型第15頁5/5/202416第二章控制系統的數學模型第16頁在實際應用中，常把增量符號“△”省去，這么上述兩式顯然和（2-9）（2-10）完全相同小結伴隨發(fā)電機