13.3.1等腰三角形

第2課時

【教學目標】

知識與能力

1.理解并掌握等腰三角形的判定定理及推論

2.能利用其性質與判定證明線段或角的相等關系.

過程與方法

探索等腰三角形的判定定理,進一步體驗軸對稱的特征,發(fā)展空間觀念.

情感態(tài)度與價值觀

通過對等腰三角形的判定定理的探索，讓學生體會探索學習的樂趣，并通

過等腰三角形的判定定理的簡單應用，加深對定理的理解.從而培養(yǎng)學生

利用已有知識解決實際問題的能力.

【重點難點】

重點:等腰三角形的判定定理及推論的運用.

難點：正確區(qū)分等腰三角形的判定與性質，能夠利用等腰三角形的判定定

理證明線段的相等關系.

【教學過程】

一、創(chuàng)設情境，導入新課

出示投影片.某地質專家為估測一條東西流向河流的寬度，選擇河流北岸

上一棵樹（B點）為B標,然后在這棵樹的正南方（南岸A點插一小旗作標志）

沿南偏東60。方向走一段距離到C處時，測得NACB為30°,這時,地質專

家測得AC的長度就可知河流寬度.

學生們很想知道,這樣估測河流寬度的根據(jù)是什么？帶著這個問題，引導學

生學習“等腰三角形的判定”.

8北

南

二、探究歸納

活動一:探究等角對等邊

1.問題1:如圖，位于海上A、B兩處的兩艘救生船接到0處遇險船只的報警,

當時測得NA=NB.如果這兩艘救生船以同樣的速度同時出發(fā)，能不能大約

同時趕到出事地點（不考慮風浪因素）？

0

AB

同學們思考上面的問題并討論：

［生1］應該能同時趕到出事地點.因為兩艘救生船的速度相同，同時出發(fā),

在相同的時間內(nèi)走過的路程應該相同，也就是OA=OB,所以兩船能同時趕到

出事地點.

［生2］我認為能同時趕到.0點的位置很重要,也就是NA如果不等于NB,

那么同時以同樣的速度就不一定能同時趕到出事地點.

2.問題2:在一般的三角形中，如果有兩個角相等，那么它們所對的邊有什

么關系？

學生思考討論,教師訂正點撥.

上面問題轉化為已知:在4ABC中，NB=NC（如圖）.

求證:AB=AC.

A

BDC

證明：作NBAC的平分線AD.

在ABAD和4CAD中，

因為N1=N2,ZB=ZC,AD=AD,

所以4BAD之Z\CAD（AAS）.所以AB=AC.

3.師引導學生總結證明的結論：在一個三角形中，如果有兩個角相等，那么

它們所對的邊也相等，也就說這個三角形就是等腰三角形.這個結論也回

答了我們一開始提出的問題.也就是如何來判定一個三角形是等腰三角

形.

4.歸納:等腰三角形的判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩

個角所對的邊也相等（簡寫成”等角對等邊”）.

5.教師引導學生明確：等腰三角形的判定定理與性質的關系：判定定理與

性質定理是互逆的，性質:|線段相等卜麗得；判定:|角相等H線段相等?

6.點撥：（1）性質和判定應用的前提都是在同一三角形中，并且不經(jīng)過三角

形全等的證明，直接由等邊得等角或由等角得等邊,所以應用起來更簡單、

便捷.

⑵等腰三角形的判定方法的理解

教材中涉及等腰三角形的判定方法主要有兩種：一是判定定理，二是定義.

另外還有很多方法，如在同一個三角形中，三線中兩線重合，也能說明是等

腰三角形.但不常用，一般是通過推理得出角相等或邊相等，再得出是等腰

三角形.

活動二:活動與探究

［探究1］等腰三角形兩底角的平分線相等.

分析:利用等腰三角形的性質即等邊對等角、全等三角形的判定及性質.

已知:如圖，在4ABC中,AB=AC,BD、CE是AABC的平分線.

求證:BD=CE.

證明：因為AB=AC,

所以NABC=NACB（等邊對等角）.

因為N1=±NABC,Z2=-ZACB,

22

所以N1=N2.

在aBDC和4CEB中，

因為NACB=NABC,BC=CB,Z1=Z2,

所以aBDCgZSCEB（ASA）.

所以BD=CE（全等三角形的對應邊相等）.

［探究2］等腰三角形兩腰上的高相等.

已知:如圖，在4ABC中，AB=AC,BE、CF分別是AABC的高.

A

求證:BE=CF.

證明：因為AB=AC,

所以ZABC=ZACB（等邊對等角）.

又因為BE、CF分別是AABC的高，

所以NBFC=NCEB=90°.

在4BFC和ACEB中，

因為NABC=NACB,ZBFC=ZCEB,BC=CB,

所以ABFC之ACEB(AAS).

所以BE=CF.

［探究3］等腰三角形兩腰上的中線相等.

已知：如圖，在AABC中,AB=AC,BD、CE分別是兩腰上的中線.

求證:BD=CE.

證明：因為AB=AC,

所以ZABC=ZACB(等邊對等角).

又因為CD=-AC,BE=-AB,

22

所以CD=BE.

在ABEC^DACDB中，

因為BE=CD,NABC=NACB,BC=CB,

所以aBEC也△CDB(SAS).

所以BD=CE.

活動三:等腰三角形的判定定理的應用

例1:如圖,BE平分ZABC,交AC于E,過E作DE〃BC,交AB于D.試證明ABDE

是等腰三角形.

分析:根據(jù)等角對等邊進行判定.

證明：因為DE〃BC,

所以NEBC=NDEB.

因為BE平分NABC,

所以NDBE=NEBC.

所以NDBE=NDEB.

所以BD=DE,即4BDE是等腰三角形.

總結:等腰三角形判定三種方法

⑴當三角形有兩條邊相等時一，應用“有兩條邊相等的三角形是等腰三角

形”來判定三角形是等腰三角形.

⑵當三角形中有兩個角相等時一，應用“如果一個三角形有兩個角相等，那

么這兩個角所對的邊也相等”來證明.

⑶當線段垂直平分線上的點與線段兩端點構成三角形時.應用“線段垂直

平分線上的點到線段兩端點的距離構成的三角形是等腰三角形”來證明.

例2:求證：如果三角形一個外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個

三角形是等腰三角形.

分析：這個題是文字敘述的證明題，我們首先將文字語言轉化成相應的數(shù)

學語言,再根據(jù)題意畫出相應的幾何圖形.

已知：NCAE是AABC的外角，N1=N2,AD〃BC（如圖）.E

求證:AB=AC.%—D

證明：因為AD〃BC,/\

BC

所以N1=NB（兩直線平行，同位角相等），

N2=NC（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）.

又因為N1=N2,

所以NB=NC,

所以AB=AC(等角對等邊).

例3:如圖(1),標桿AB的高為5米,為了將它固定，需要由它的中點C向地

面上與點B距離相等的D、E兩點拉兩條繩子，使得D、B、E在一條直線上,

量得DE=4米,繩子CD和CE要多長？

分析：這是一個與實際生活相關的問題，解決這類型問題，需要將實際問題

抽象為數(shù)學模型.本題是在等腰三角形中已知等腰三角形的底邊和底邊上

的高,求腰長的問題.

解:選取比例尺為1：100(即為1cm代表1m).

(1)作線段DE=4cm;

⑵作線段DE的垂直平分線MN,與DE交于點B;

⑶在MN上截取BC=2.5cm;

(4)連接CD、CE,ACDE就是所求的等腰三角形，量出CD的長，就可以算出

要求的繩長.

三、交流反思

本節(jié)課我們主要探究了等腰三角形判定定理，并對判定定理的簡單應用作

了一定的了解.在利用定理的過程中體會定理的重要性.在直觀的探索和

抽象的證明中發(fā)現(xiàn)和養(yǎng)成一定的邏輯推理能力.

四、檢測反饋

1.如圖，在4ABC中，ZB=ZC,AB=5,則AC的長為()

A

5

------------------------4c

A.2B.3

C.4D.5

2.如圖，把兩個一樣大的含30°的直角三角板，按如圖方式拼在一起，其中

等腰三角形有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

3.如圖，NB=NC=36°,ZADE=ZAED=72°，則圖中的等腰三角形的個數(shù)為

()

A.3個B.4個

C.5個D.6個

4.如圖，ZC=36°,ZB=72°,ZBAD=36°,AD=4,則CD=.

A

5.如圖,SAABC中，點D在BC邊上，且AC=AB=BD,DA=DC,貝ijNBAC=___.

A

BDC

6,已知：如圖,AD〃BC,BD平分NABC.

求證:AB=AD.

AD

7.上午8時,一條船從海島A出發(fā)，以20海里/時的速度向北航行，11時到

達海島B處，從A、B望燈塔C,測得NNAC=40°,ZNBC=80°,求從海島B到

燈塔C的距離.

8.如圖，在ZiABD中,C是BD上的一點，且AC±BD,AC=BC=CD.

⑴求證：AABD是等腰三角形.

⑵求NBAD的度數(shù).

五、布置作業(yè)

教科書P79練習第1,2,3,4題

六、板書設計

13.3.1等腰三角形（第2課時）

一、等腰三角形的判定定理一一等角對等邊

二、等腰三角形判定定理的應用

七、教學反思

等腰三角形的判定定理，（該定理是證明兩條線段相等的重要定理，它

是把三角形中角的相等關系轉化為邊的相等關系的重要依據(jù)，此定理為證

明線段相等提供了又一種方法）；本節(jié)內(nèi)容的難點是性質定理與判定定理

的區(qū)別（等腰三角形的性質定理與判定定理是互逆定理，學生們在應用它

們的時候，經(jīng)?；煜瑤椭鷮W生認識判定與性質的區(qū)別，這是本節(jié)課的難

點）；另外由于知識點的增加，題目復雜程度的提高，一定要讓學生真正理

解定理，讓學生逐步掌握解題的思想方法，才能在解題時結合條件選擇定

理加以應用.

等腰三角形的性質定理一等邊對等角的逆命題,順利提出本節(jié)課我們

所要解決的問題，引出課題《等腰三角形的判定》.

操作：在紙上畫AABC,使NB=NC（利用量角器）；再用量角器畫出N

BAC的平分線AD,設AD與BC相交于點D.三角形紙片可讓學生課前準備,

鑒于學