領航教育2015年暑假3-8人班VIP精品教案—夏【補充知識】含絕對值的不等式與一元二次不等式的解法（1）含絕對值的不等式的解法不等式解集或把看成一個整體，化成，型不等式來求解（2）一元二次不等式的解法判別式二次函數(shù)的圖象一元二次方程的根（其中無實根的解集或的解集函數(shù)函數(shù)的概念（1）函數(shù)的概念①設、是兩個非空的數(shù)集，如果按照某種對應法則，對于集合中任何一個數(shù)，在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對應，那么這樣的對應（包括集合，以及到的對應法則）叫做集合到的一個函數(shù)，記作．那么就稱．從集合A到集合B的一個函數(shù)．記作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．注意：eq\o\ac(○,1)“y=f(x)”是函數(shù)符號，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；eq\o\ac(○,2)函數(shù)符號“y=f(x)”中的f(x)表示與x對應的函數(shù)值，一個數(shù)，而不是f乘x．判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)只有定義域相同，且對應法則也相同的兩個函數(shù)才是同一函數(shù)． 說明：eq\o\ac(○,1)構成函數(shù)三個要素是定義域、對應關系和值域．由于值域是由定義域和對應關系決定的，所以，如果兩個函數(shù)的定義域和對應關系完全一致，即稱這兩個函數(shù)相等（或為同一函數(shù)）eq\o\ac(○,2)兩個函數(shù)相等當且僅當它們的定義域和對應關系完全一致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關。判斷下列函數(shù)f（x）與g（x）是否表示同一個函數(shù)，說明理由？（1）f(x)=(x－1)0；g(x)=1（2）f(x)=x；g(x)=（3）f(x)=x2；f(x)=(x+1)2（4）f(x)=|x|；g(x)=課堂練習求下列函數(shù)的定義域（1）（2）（3）（4）（2）區(qū)間的概念及表示法①設是兩個實數(shù)，且，滿足的實數(shù)的集合叫做閉區(qū)間，記做；滿足的實數(shù)的集合叫做開區(qū)間，記做；滿足，或的實數(shù)的集合叫做半開半閉區(qū)間，分別記做，；滿足的實數(shù)的集合分別記做．注意：對于集合與區(qū)間，前者可以大于或等于，而后者必須．（3）求函數(shù)的定義域時，一般遵循以下原則：①是整式時，定義域是全體實數(shù)．②是分式函數(shù)時，定義域是使分母不為零的一切實數(shù)．③是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數(shù)的集合．④對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時，底數(shù)須大于零且不等于1．⑤中，．⑥零（負）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零．⑦若是由有限個基本初等函數(shù)的四則運算而合成的函數(shù)時，則其定義域一般是各基本初等函數(shù)的定義域的交集．⑧對于求復合函數(shù)定義域問題，一般步驟是：若已知的定義域為，其復合函數(shù)的定義域應由不等式解出．⑨對于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，根據(jù)問題具體情況需對字母參數(shù)進行分類討論．⑩由實際問題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問題的實際意義．例(1)若函數(shù)y＝f(x)的定義域是[0,2]，則函數(shù)g(x)＝eq\f(f2x,lnx)的定義域是 ()A．[0,1] B．[0,1)C．[0,1)∪(1,4] D．(0,1)答案D解析由函數(shù)y＝f(x)的定義域是[0,2]得，函數(shù)g(x)有意義的條件為0≤2x≤2且x>0，x≠1，故x∈(0,1)．(1)若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x≥4，,fx＋3，x<4，))則f(log23)等于 ()A．3 B．4 C．16 D.．24（4）求函數(shù)的值域或最值求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的．事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最?。ù螅?shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最?。ù螅┲担虼饲蠛瘮?shù)的最值與值域，其實質(zhì)是相同的，只是提問的角度不同．求函數(shù)值域與最值的常用方法：①觀察法：對于比較簡單的函數(shù)，我們可以通過觀察直接得到值域或最值．②配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的值域或最值．③判別式法：若函數(shù)可以化成一個系數(shù)含有的關于的二次方程，則在時，由于為實數(shù)，故必須有，從而確定函數(shù)的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值．⑤換元法：通過變量代換達到化繁為簡、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題．⑥反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關系確定函數(shù)的值域或最值．⑦數(shù)形結合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值．⑧函數(shù)的單調(diào)性法．函數(shù)的表示法（5）函數(shù)的表示方法表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種．解析法：就是用數(shù)學表達式表示兩個變量之間的對應關系．列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對應關系．圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應關系．（6）映射的概念①設、是兩個集合，如果按照某種對應法則，對于集合中任何一個元素，在集合中都有唯一的元素和它對應，那么這樣的對應（包括集合，以及到的對應法則）叫做集合到的映射，記作．②給定一個集合到集合的映射，且．如果元素和元素對應，那么我們把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象．函數(shù)的基本性質(zhì)（1）函數(shù)的單調(diào)性①定義及判定方法函數(shù)的性質(zhì)定義圖象判定方法函數(shù)的單調(diào)性如果對于屬于定義域I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1、x2,當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就說f(x)在這個區(qū)間上是增函數(shù)．（1）利用定義（2）利用已知函數(shù)的單調(diào)性（3）利用函數(shù)圖象（在某個區(qū)間圖象上升為增）（4）利用復合函數(shù)如果對于屬于定義域I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1、x2，當x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，那么就說f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù)．（1）利用定義（2）利用已知函數(shù)的單調(diào)性（3）利用函數(shù)圖象（在某個區(qū)間圖象下降為減）（4）利用復合函數(shù)②在公共定義域內(nèi)，兩個增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個減函數(shù)的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去一個減函數(shù)為增函數(shù)，減函數(shù)減去一個增函數(shù)為減函數(shù)．yxo③對于復合函數(shù)，令，若為增，為增，則為增；若為減，為減，則為增；若為增，為減，則為減；若為減，為增，則為減．yxo（2）打“√”函數(shù)的圖像與性質(zhì)分別在、上為增函數(shù)，分別在、上為減函數(shù)．（3）最大（?。┲刀x①一般地，設函數(shù)的定義域為，如果存在實數(shù)滿足：（1）對于任意的，都有；（2）存在，使得．那么，我們稱是函數(shù)的最大值，記作．②一般地，設函數(shù)的定義域為，如果存在實數(shù)滿足：（1）對于任意的，都有；（2）存在，使得．那么，我們稱是函數(shù)的最小值，記作．奇偶性（4）函數(shù)的奇偶性①定義及判定方法函數(shù)的性質(zhì)定義圖象判定方法函數(shù)的奇偶性如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)=－f(x),那么函數(shù)f(x)叫做奇函數(shù)．（1）利用定義（要先判斷定義域是否關于原點對稱）（2）利用圖象（圖象關于原點對稱）如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)=f(x),那么函數(shù)f(x)叫做偶函數(shù)．（1）利用定義（要先判斷定義域是否關于原點對稱）（2）利用圖象（圖象關于y軸對稱）②若函數(shù)為奇函數(shù)，且在處有定義，則．③奇函數(shù)在軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相同，偶函數(shù)在軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相反．④在公共定義域內(nèi)，兩個偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的和（或差）仍是偶函數(shù)（或奇函數(shù)），兩個偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的積（或商）是偶函數(shù)，一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的積（或商）是奇函數(shù)．例題講解：1．下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，＋∞)上不是增函數(shù)的是()A．y＝2x＋1 B．y＝3x2＋1C．y＝eq\f(2,x) D．y＝|x|解析：由函數(shù)單調(diào)性定義知選C.答案：C2．定義在R上的偶函數(shù)f(x)的部分圖象如圖所示，則在(－2,0)上，下列函數(shù)中與f(x)的單調(diào)性不同的是()A．y＝x2＋1B．y＝|x|＋1C．y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1，x≥0，,x3＋1，x<0))D．y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex，x≥0，,e－x，x<0))解析：利用偶函數(shù)的對稱性知f(x)在(－2,0)上為減函數(shù)．又y＝x2＋1在(－2,0)上為減函數(shù)；y＝|x|＋1在(－2,0)上為減函數(shù)；y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1，x≥0，,x3＋1，x<0))在(－2,0)上為增函數(shù)，y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex，x≥0，,e－x，x<0))在(－2,0)上為減函數(shù)．故選C.3．(2010·北京)給定函數(shù)①y＝xeq\f(1,2)；②y＝logeq\f(1,2)(x＋1)；③y＝|x－1|；④y＝2x＋1，其中在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減的函數(shù)的序號是()A．①②B．②③C．③④D．①④解析：①是冪函數(shù)，其在(0，＋∞)上為增函數(shù)，故此項不符合題意；②中的函數(shù)是由函數(shù)y＝logeq\f(1,2)x向左平移1個單位而得到的，因原函數(shù)在(0，＋∞)上為減函數(shù)，故此項符合題意；③中的函數(shù)圖象是函數(shù)y＝x－1的圖象保留x軸上方的部分，下方的圖象翻折到x軸上方而得到的，由其圖象可知函數(shù)符合題意；④中的函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，其底數(shù)大于1，故其在R上單調(diào)遞增，不符合題意，綜上可知選擇B.答案：B〖補充知識〗函數(shù)的圖象（1）作圖利用描點法作圖：①確定函數(shù)的定義域；②化解函數(shù)解析式；③討論函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性）；④畫出函數(shù)的圖象．利用基本函數(shù)圖象的變換作圖：要準確記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等各種基本初等函數(shù)的圖象．①平移變換②伸縮變換③對稱變換（2）識圖對于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分別范圍、變化趨勢、對稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性，注意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關系．（3）用圖函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關系問題提供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑，獲得問題結果的重要工具．要重視數(shù)形結合解題的思想方法．例.作出下列各函數(shù)的圖象。（1）；（3）。解：（1）先作出的圖象，如圖1。把圖1中x軸下方的圖象翻上去，得到圖2。圖2就是要畫的函數(shù)圖象。圖1圖2（2）先作出的圖象，如圖3。把圖3中x軸下方的圖象翻上去，得到圖4。圖4就是要畫的函數(shù)圖象。圖3圖4三、分段函數(shù)作圖法分段函數(shù)作圖法是把原函數(shù)等價轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)后再作圖，這種方法是畫含有絕對值的函數(shù)的圖象的有效方法。例.作出下列函數(shù)的圖象。（1）；（2）；（3）。解：（1）圖5就是所要畫的函數(shù)圖象。（2）圖6就是所要畫的函數(shù)圖象。3）圖7就是所要畫的函數(shù)圖象。圖5圖6圖7基本初等函數(shù)一、指數(shù)函數(shù)（一）指數(shù)與指數(shù)冪的運算1．根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中>1，且∈*．負數(shù)沒有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作。當是奇數(shù)時，，當是偶數(shù)時，2．分數(shù)指數(shù)冪正數(shù)的分數(shù)指數(shù)冪的意義，規(guī)定：，0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0，0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義3．實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)（1）· ；（2） ；（3） ．（二）指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域為R．注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負數(shù)、零和1．2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)a>10<a<1定義域R定義域R值域y＞0值域y＞0在R上單調(diào)遞增在R上單調(diào)遞減非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)函數(shù)圖象都過定點（0，1）函數(shù)圖象都過定點（0，1）注意：利用函數(shù)的單調(diào)性，結合圖象還可以看出：

（1）在[a，b]上，值域是或；

（2）若，則；取遍所有正數(shù)當且僅當；

（3）對于指數(shù)函數(shù)，總有；例1．求下列函數(shù)的定義域、值域：（1）（2）（3）解：（1）∴原函數(shù)的定義域是，令則∴得，所以，原函數(shù)的值域是．（2）∴原函數(shù)的定義域是，令則，在是增函數(shù)∴，所以，原函數(shù)的值域是．（3）原函數(shù)的定義域是，令則，在是增函數(shù)，∴，所以，原函數(shù)的值域是．例2．設是實數(shù)，，（1）試證明：對于任意在為增函數(shù)；（2）試確定的值，使為奇函數(shù)。分析：此題雖形式較為復雜，但應嚴格按照單調(diào)性、奇偶性的定義進行證明。還應要求學生注意不同題型的解答方法。（1）證明：設，則，由于指數(shù)函數(shù)在上是增函數(shù)，且，所以即，又由，得，，所以，即．因為此結論與取值無關，所以對于取任意實數(shù)，在為增函數(shù)。評述：上述證明過程中，在對差式正負判斷時，利用了指數(shù)函數(shù)的值域及單調(diào)性。（2）解：若為奇函數(shù)，則，即變形得：，解得：，所以，當時,為奇函數(shù)。二、對數(shù)函數(shù)（一）對數(shù)1．對數(shù)的概念：一般地，如果，那么數(shù)叫做以為底的對數(shù)，記作：（—底數(shù)，—真數(shù)，—對數(shù)式）說明：eq\o\ac(○,1)注意底數(shù)的限制，且；eq\o\ac(○,2)；eq\o\ac(○,3)注意對數(shù)的書寫格式．兩個重要對數(shù)：eq\o\ac(○,1)常用對數(shù)：以10為底的對數(shù)；eq\o\ac(○,2)自然對數(shù)：以無理數(shù)為底的對數(shù)的對數(shù)．指數(shù)式與對數(shù)式的互化指數(shù)式底數(shù)冪指數(shù)對數(shù)式對數(shù)的底數(shù)真數(shù)對數(shù)說明：1．在指數(shù)式中冪N>0，∴在對數(shù)式中，真數(shù)N>0．（負數(shù)與零沒有對數(shù)）2．對任意且,都有∴，同樣：．3．如果把中的寫成，則有（對數(shù)恒等式）．例1．將下列指數(shù)式寫成對數(shù)式：（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）；（2）；（3）；（4）．（二）對數(shù)的運算性質(zhì)如果，且，，，那么：eq\o\ac(○,1)·＋；eq\o\ac(○,2)－；eq\o\ac(○,3)．注意：換底公式 （，且；，且；）．利用換底公式推導下面的結論；（2）．例2．計算：（1）；（2）．解：（1）原式=；（2）原式=．（二）對數(shù)函數(shù)1、對數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù)，且叫做對數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域是（0，+∞）．注意：eq\o\ac(○,1)對數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定義，注意辨別。如：，都不是對數(shù)函數(shù)，而只能稱其為對數(shù)型函數(shù)．eq\o\ac(○,2)對數(shù)函數(shù)對底數(shù)的限制：，且．2、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：a>10<a<1定義域x＞0定義域x＞0值域為R值域為R在R上遞增在R上遞減函數(shù)圖象都過定點（1，0）函數(shù)圖象都過定點（1，0）例1．求下列函數(shù)的定義域：（1）；（2）；（3）．分析：此題主要利用對數(shù)函數(shù)的定義域求解。解：（1）由>0得，∴函數(shù)的定義域是；（2）由得，∴函數(shù)的定義域是；（3）由9-得-3，∴函數(shù)的定義域是．例2．比較下列各組數(shù)中兩個值的大小：（1），；（2），；（3），.解：（1）對數(shù)函數(shù)在上是增函數(shù)，于是；（2）對數(shù)函數(shù)在上是減函數(shù)，于是；（3）當時，對數(shù)函數(shù)在上是增函數(shù)，于是，當時，對數(shù)函數(shù)在上是減函數(shù)，于是．例3．比較下列比較下列各組數(shù)中兩個值的大?。海?），；（2），；（3），，；（4），，．解：（1）∵，，∴；（2）∵，，∴．（3）∵，，，∴．（4）∵，∴．例4．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。解：令在上遞增，在上遞減，又∵，∴或，故在上遞增，在上遞減，又∵為減函數(shù)，所以，函數(shù)在上遞增，在上遞減。課堂練習：1.已知a>0，a0，函數(shù)y=ax與y=loga(-x)的圖象只能是()2.計算：①;②=；=;③=3.函數(shù)y=log(2x2-3x+1)的遞減區(qū)間為4.若函數(shù)在區(qū)間上的最大值是最小值的3倍，則a=5.已知，（1）求的定義域（2）求使的的取值范圍（三）冪函數(shù)1、冪函數(shù)定義：一般地，形如的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中為常數(shù)．定義域RRR奇偶性奇奇奇非奇非偶奇在第Ⅰ象限的增減性在第Ⅰ象限單調(diào)遞增在第Ⅰ象限單調(diào)遞增在第Ⅰ象限單調(diào)遞增在第Ⅰ象限單調(diào)遞增在第Ⅰ象限單調(diào)遞減2、冪函數(shù)性質(zhì)歸納．（1）所有的冪函數(shù)在（0，+∞）都有定義并且圖象都過點（1，1）；（2）時，冪函數(shù)的圖象通過原點，并且在區(qū)間上是增函數(shù)．特別地，當時，冪函數(shù)的圖象下凸；當時，冪函數(shù)的圖象上凸；（3）時，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù)．在第一象限內(nèi)，當從右邊趨向原點時，圖象在軸右方無限地逼近軸正半軸，當趨于時，圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸．例:1：下列關于冪函數(shù)的命題中不正確的是()A冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(1,1)B冪函數(shù)的圖象不可能在第四象限內(nèi)C當?shù)膱D象經(jīng)過原點時,一定有n>0D若是奇函數(shù),則在其定義域內(nèi)一定是減函數(shù)例2：討論在的單調(diào)性.解析：證明函數(shù)的單調(diào)性一般用定義法。證明：任取，且，則，因為，，所以，所以，即在為增函數(shù)。例3：利用單調(diào)性比較大小：（1）與；（2）與；（3）與.關于指數(shù)式值的比較，主要有：①同底異指，用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較；②異底同指，用冪函數(shù)單調(diào)性比較；③異底異指，構造中間量（同底或同指）進行比較。練習題1．在函數(shù)中，冪函數(shù)的個數(shù)為()A．0 B．1 C．2 D．32、冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點（）A．（1，1）B．（0，1）C．（0，0）D．（1，0）3.在下列函數(shù)中，定義域為R的是（）ABCD4.函數(shù)與函數(shù)的圖象（）A關于原點對稱B關于y軸對稱C關于x軸對稱D關于直線y=x對稱5.函數(shù)的圖像可以看成由冪函數(shù)的圖像向__________平移________個單位.函數(shù)的應用零點概念：對于函數(shù)y＝f（x）（x∈D），把使f（x）＝0成立的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f（x）（x∈D）的零點。函數(shù)零點的意義：函數(shù)的零點就是方程實數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標．方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點。方程的根與函數(shù)的零點零點圖像示意橫坐標xy函數(shù)的零點：對于函數(shù)，我們把使的實數(shù)，叫做函數(shù)的零點。零點圖像示意橫坐標xy注意：零點不是點，是一個實數(shù)?。》匠痰母c函數(shù)的零點：①方程的不同實數(shù)根的個數(shù)＝函數(shù)的零點個數(shù)②方程的實數(shù)根（值）＝函數(shù)的零點（值）二次函數(shù)的零點：看△.１）△＞０，方程有兩不等實根，二次函數(shù)的圖象與軸有兩個交點，二次函數(shù)有兩個零點．２）△＝０，方程有兩相等實根（二重根），二次函數(shù)的圖象與軸有一個交點，二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點．３）△＜０，方程無實根，二次函數(shù)的圖象與軸無交點，二次函數(shù)無零點．零點存在性定理：如果函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線并且有f（a）·f（b）<0，那么函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，這個c也就是方程f（x）＝0的根。補充：1）函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線2）在區(qū)間[a，b]上有f（a）·f（b）<03）函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[a，b]內(nèi)單調(diào)則函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)有且只有一個零點概括：1.若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)·f(b)<0，則只能確定f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點，有幾個不一定。2.若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)·f(b)>0，則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)也可能有零點。3.在零點存在性定理的條件下，如果函數(shù)再具有單調(diào)性,函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a,b)上可存在唯一零點。整理思想方法，靈活應用解題（1）求下列函數(shù)的零點個數(shù)；（2）函數(shù)f(x)=x(x2-16)的零點為(

)Ａ.(0,0),(4,0)

Ｂ.0,4

Ｃ.(–4,0),(0,0),(4,0)

Ｄ.–4,0,4（3）函數(shù)f(x)=–x3–3x+5的零點所在的大致區(qū)間為（

）

A.(–2，0)B.(1，2)C.(0，1)D.(0，0.5)例題講解例1．下列函數(shù)中在區(qū)間[1,2]上有零點的是()A．f(x)＝3x2－4x＋5B．f(x)＝x3－5x－5C．f(x)＝lnx－3x＋6 D．f(x)＝ex＋3x－6[解析]對于函數(shù)f(x)＝ex＋3x－6來說f(1)＝e－3<0，f(2)＝e2>0∴f(1)f(2)<0，故選D.例2．(天津)設函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x－lnx(x＞0)則y＝f(x)()A．在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))，(1，e)內(nèi)均有零點B．在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))，(1，e)內(nèi)均無零點C．在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))內(nèi)有零點；在區(qū)間(1，e)內(nèi)無零點D．在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))內(nèi)無零點，在區(qū)間(1，e)內(nèi)有零點[解析]∵f(x)＝eq\f(1,3)x－lnx(x＞0)，∴f(e)＝eq\f(1,3)e－1＜0，f(1)＝eq\f(1,3)＞0，f(eq\f(1,e))＝eq\f(1,3e)＋1＞0，∴f(x)在(1，e)內(nèi)有零點，在(eq\f(1,e)，1)內(nèi)無零點．故選D.例3．(2010·天津文，4)函數(shù)f(x)＝ex＋x－2的零點所在的一個區(qū)間是()A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)[解析]∵f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，即f(0)f(1)<0，∴由零點定理知，該函數(shù)零點在區(qū)間(0,1)內(nèi)．例4．函數(shù)y＝eq\r(3,x)－eq\f(1,x2)的一個零點是()A．－1 B．1C．(－1,0) D．(1,0)[點評]要準確掌握概念，“零點”是一個數(shù)，不是一個點．例5．若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且有三個零點x1、x2、x3，則x1＋x2＋x3的值為()A．－1 B．0C．3 D．不確定[解析]因為f(x)是奇函數(shù)，其圖象關于原點對稱，它有三個零點，即f(x)的圖象與x軸有三個交點，故必有一個為原點另兩個橫坐標互為相反數(shù)．∴x1＋x2＋x3＝0.例6．已知f(x)＝－x－x3，x∈[a，b]，且f(a)·f(b)<0，則f(x)＝0在[a，b]內(nèi)()A．至少有一實數(shù)根 B．至多有一實數(shù)根C．沒有實數(shù)根 D．有惟一實數(shù)根[解析]∵f(x)為單調(diào)減函數(shù)，x∈[a，b]且f(a)·f(b)<0，∴f(x)在[a，b]內(nèi)有惟一實根x＝0.例7．若函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的圖象為連續(xù)不斷的一條曲線，則下列說法正確的是（）A．若，不存在實數(shù)使得；B．若，存在且只存在一個實數(shù)使得；C．若，有可能存在實數(shù)使得；D．若，有可能不存在實數(shù)使得；[答案]C例8．函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)>0，f(2)<0，則f(x)在(1,2)上零點的個數(shù)為()A．至多有一個 B．有一個或兩個C．有且僅有一個 D．一個也沒有[解析]若a＝0，則b≠0，此時f(x)＝bx＋c為單調(diào)函數(shù)，∵f(1)>0，f(2)<0，∴f(x)在(1,2)上有且僅有一個零點；若a≠0，則f(x)為開口向上或向下的拋物線，若在(1,2)上有兩個零點或無零點，則必有f(1)·f(2)>0，∵f(1)>0，f(2)<0，∴在(1,2)上有且僅有一個零點，故選C.例9．(福師大附中高三模擬)函數(shù)f(x)＝2x－logeq\f(1,2)x的零點所在的區(qū)間為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) D．(1,2)[解析]∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝2eq\f(1,4)－logeq\f(1,2)eq\f(1,4)＝eq\r(4,2)－2<0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\r(2)－1>0，f(x)在x>0時連續(xù)，∴選B.例10．(2010·福建，4)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－3，x≤0，,－2＋lnx，x>0))的零點個數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3[解析]令x2＋2x－3＝0，∴x＝－3或1∵x≤0，∴x＝－3；令－2＋lnx＝0，∴l(xiāng)nx＝2∴x＝e2>0，故函數(shù)f(x)有兩個零點．例11．函數(shù)y＝x3與y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的圖象的交點為(x0，y0)，則x0所在區(qū)間為()A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)[答案]C例12．函數(shù)f(x)＝eq\f((x－1)ln(x－2),x－3)的零點有()A．0個 B．1個C．2個 D．3個[解析]令f(x)＝0得，eq\f((x－1)ln(x－2),x－3)＝0，∴x－1＝0或ln(x－2)＝0，∴x＝1或x＝3，∵x＝1時，ln(x－2)無意義，x＝3時，分母為零，∴1和3都不是f(x)的零點，∴f(x)無零點，故選A.例13．方程ex－x－2＝0在實數(shù)范圍內(nèi)的解有________個．例14．方程2－x＋x2＝3的實數(shù)解的個數(shù)為________．例15．(湖