-2024學(xué)年福州市高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中聯(lián)考試卷【完卷時(shí)間:120分鐘;滿分:150分】一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．（

）A．6 B．12 C．24 D．422．的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是（

）A．81 B．32 C．24 D．83．某人外出出差，委托鄰居給家里盆栽澆一次水，若不澆水，盆栽枯萎的概率為；若澆水，盆栽枯萎的概率為．鄰居澆水的概率為．則該人回來盆栽沒有枯萎的概率為（

）A． B． C． D．4．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，則（）A． B． C．1 D．5．已知隨機(jī)變量的概率分布如下表x124P則（

）A．1 B． C．11 D．156．吸煙有害健康.小明為了幫助爸爸戒煙，在爸爸包里放一個(gè)小盒子，里面擺放三支相同的香煙和五支跟香煙外形完全一樣的“戒煙口香糖”，并且和爸爸約定：每次想吸煙時(shí)，按順序從盒子里取一支，若取到口香糖則吃一支口香糖，不吸煙；若取到香煙，則吸一支煙，不吃口香糖.若小明想要最后一支為口香糖，且任意2支香煙不能相鄰，那么他的這些香煙和口香糖共有（

）種排列方式.A．6 B．8 C．10 D．127．正值春夏交接時(shí)節(jié)，學(xué)生極易發(fā)生感冒.某學(xué)校高一、高二、高三三個(gè)年級(jí)的人數(shù)之比為3:2:1，且這三個(gè)年級(jí)分別有、、的人患有感冒.現(xiàn)在從這三個(gè)年級(jí)中任選一人進(jìn)行調(diào)查，在此人患了感冒的條件下，此人來自高二年級(jí)的概率最大.則下列取值可能的是（

）A．、 B．、C．、 D．、8．若曲線有且僅有一條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則正數(shù)a的值為（）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．下列說法正確的是（

）A．若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布且，則B．若隨機(jī)變量滿足，，則C．若隨機(jī)變量，則D．設(shè)隨機(jī)變量，若恒成立，則的最大值為1210．關(guān)于函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若函數(shù)為奇函數(shù)，則D．若，則11．2024年元宵節(jié)，張同學(xué)與陳同學(xué)計(jì)劃去連江人民廣場參加猜燈謎活動(dòng).張同學(xué)家在如圖所示的E處，陳同學(xué)家在如圖所示的F處，人民廣場在如圖所示的G處.下列說法正確的是（

）A．張同學(xué)到陳同學(xué)家的最短路徑條數(shù)為6條B．在張同學(xué)去人民廣場選擇的最短路徑中，到F處和陳同學(xué)匯合并一同前往的概率為C．張同學(xué)在去人民廣場途中想先經(jīng)過花海欣賞燈光秀（花海四周道路均可欣賞），可選的最短路徑有22條D．張同學(xué)和陳同學(xué)在選擇去人民廣場的最短路徑中，兩人相約到人民廣場匯合，事件A：張同學(xué)經(jīng)過陳同學(xué)家；事件B：從F到人民廣場兩人的路徑?jīng)]有重疊部分（路口除外），則.三、填空題：本題共3小題，每題5分，共15分.12．雅禮中學(xué)將5名學(xué)生志愿者分配到街舞社?戲劇社?魔術(shù)社及動(dòng)漫社4個(gè)社團(tuán)參加志愿活動(dòng)，每名志愿者只分配到1個(gè)社團(tuán)?每個(gè)社團(tuán)至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有種13．有一批產(chǎn)品，其中有6件正品和4件次品，從中任取3件，其中次品的件數(shù)記為X，則次品件數(shù)X的期望為．14．若函數(shù)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明或演算步驟.15．在6名內(nèi)科醫(yī)生和4名外科醫(yī)生中，內(nèi)科主任和外科主任各1名，現(xiàn)要從這10人中挑選5人組成醫(yī)療小組送醫(yī)下鄉(xiāng)，依下列條件各有多少種選派方法?（用數(shù)字作答）.(1)既有內(nèi)科醫(yī)生，又有外科醫(yī)生；(2)至少有1名主任參加；(3)既有主任，又有外科醫(yī)生.16．在的展開式中，(1)求展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和；(2)求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；(3)系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第幾項(xiàng)?17．某植物園種植一種觀賞花卉，這種觀賞花卉的高度(單位：cm)介于之間，現(xiàn)對(duì)植物園部分該種觀賞花卉的高度進(jìn)行測量，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下圖所示.(1)求的值;(2)以頻率估計(jì)概率，完成下列問題.(i)若從所有花卉中隨機(jī)抽株，記高度在內(nèi)的株數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；(ii)若在所有花卉中隨機(jī)抽取3株，求至少有2株高度在的條件下，至多1株高度低于的概率.18．某商場將在“周年慶”期間舉行“購物刮刮樂，龍騰旺旺來”活動(dòng)，活動(dòng)規(guī)則：顧客投擲3枚質(zhì)地均勻的股子．若3枚骰子的點(diǎn)數(shù)都是奇數(shù)，則中“龍騰獎(jiǎng)”，獲得兩張“刮刮樂”；若3枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為6的倍數(shù)，則中“旺旺獎(jiǎng)”，獲得一張“刮刮樂”；其他情況不獲得“刮刮樂”．(1)據(jù)往年統(tǒng)計(jì)，顧客消費(fèi)額（單位：元）服從正態(tài)分布．若某天該商場有20000位顧客，請(qǐng)估計(jì)該天消費(fèi)額在內(nèi)的人數(shù)；附：若，則．(2)已知每張“刮刮樂”刮出甲獎(jiǎng)品的概率為，刮出乙獎(jiǎng)品的概率為．①求顧客獲得乙獎(jiǎng)品的概率；②若顧客已獲得乙獎(jiǎng)品，求其是中“龍騰獎(jiǎng)”而獲得的概率．19．已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若不等式對(duì)任意恒成立，求的取值范圍.1．D【分析】利用排列數(shù)，組合數(shù)的計(jì)算公式計(jì)算.【詳解】.故選：D.2．C【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式計(jì)算即可求解..【詳解】展開式的通項(xiàng)公式為，令，解得，則，即展開式的常數(shù)項(xiàng)為24.故選：C3．B【分析】記為事件“盆栽沒有枯萎”，為事件“鄰居給盆栽澆水”，利用全概率公式可求得的值，再利用對(duì)立事件的概率公式可求得的值.【詳解】記為事件“盆栽沒有枯萎”，為事件“鄰居給盆栽澆水”，由題意可得，，，，由全概率公式可得,由對(duì)立事件的概率公式可得，故選：B.4．B【分析】根據(jù)求導(dǎo)公式和運(yùn)算計(jì)算法則求出a，進(jìn)而直接得出結(jié)果.【詳解】由，得，所以，解得，所以，所以.故選：B5．D【分析】由概率和為可得，再結(jié)合期望的計(jì)算公式與期望的性質(zhì)計(jì)算即可得解.【詳解】由，故，則.故選：D.6．C【分析】把5支口香糖排成一列，在前4支口香糖形成的5個(gè)空隙中，任取3個(gè)空隙放入3支香煙，列式計(jì)算即得.【詳解】把5支口香糖排成一列，在前4支口香糖形成的5個(gè)空隙中，任取3個(gè)空隙放入3支香煙，有種方法，所以香煙和口香糖的不同排列方式有（種）.故選：C7．D【分析】設(shè)事件分別表示“此人高一，高二，高三的學(xué)生”，事件D表示“此人感冒”，利用條件概率公式求出，根據(jù)題中條件可得出關(guān)于的不等式，解出之間的大小關(guān)系，分別對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行比較即可.【詳解】設(shè)事件分別表示此人高一，高二，高三的學(xué)生，事件D表示此人感冒，則,，則，因?yàn)閬碜愿叨昙?jí)概率最大，所以,即,即，即，即，故選：D.8．A【分析】設(shè)切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，將原點(diǎn)坐標(biāo)代入，整理得，結(jié)合計(jì)算即可求解.【詳解】設(shè)，則，設(shè)切點(diǎn)為，則，所以切線方程為，又該切線過原點(diǎn)，所以，整理得①，因?yàn)榍€只有一條過原點(diǎn)的切線，所以方程①只有一個(gè)解，故，解得.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切點(diǎn)未知，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，確定方程的解與根的判別式之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.9．BD【分析】根據(jù)兩點(diǎn)分布、正態(tài)分布、二項(xiàng)分布的性質(zhì)、期望與方差公式，逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)殡S機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布且，所以，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)殡S機(jī)變量滿足，，所以，所以，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)殡S機(jī)變量，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)殡S機(jī)變量，恒成立，所以恒成立，所以，所以，故D正確.故選：BD.10．ACD【分析】根據(jù)求導(dǎo)公式和求導(dǎo)的運(yùn)算法則計(jì)算，即可判斷ABC；構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明為增函數(shù)，即可判斷D.【詳解】A：由，得，所以，故A正確；B：由，得，所以，則，故B錯(cuò)誤；C：由為奇函數(shù)，得，等式兩邊同時(shí)取導(dǎo)數(shù)，得，即，故C正確；D：由，且定義域?yàn)椋蓸?gòu)造函數(shù)，則，所以為R上的增函數(shù)，則，則，故D正確.故選：ACD11．AB【分析】對(duì)于A：4格中2格向上，2格向右的問題；對(duì)于B：先求出張同學(xué)去人民廣場選擇的最短路徑中總的基本事件，再求出和陳同學(xué)回合后的基本事件數(shù)，利用古典概型解答；對(duì)于C：間接法，先求出不欣賞燈光秀的情況數(shù)，再用總數(shù)一減即可；對(duì)于D：求出和，再利用條件概率公式求解.【詳解】對(duì)于A：最短路徑為共走4格，其中向上走2格，向右走2格，條數(shù)為，A正確；對(duì)于B：在張同學(xué)去人民廣場選擇的最短路徑中，總的基本事件：共走7格，其中向上走3格，向右走4格，即有種走法，到F處和陳同學(xué)匯合并一同前往，首先到處，有種走法，再到人民廣場，共走3格，其中向上走1格，向右走2格，即有種走法，則到F處和陳同學(xué)匯合并一同前往的基本事件有種，則概率為，B正確；對(duì)于C：在張同學(xué)去人民廣場選擇的最短路徑共種走法，若途中不經(jīng)過花海欣賞燈光秀，①先從走到有種走法，再從走到有2種走法，則途中不經(jīng)過花海欣賞燈光秀有種走法，②先從走到有種走法，再從走到有種走法，則途中不經(jīng)過花海欣賞燈光秀有種走法，③先從走到，再走到有種走法，綜合得途中不經(jīng)過花海欣賞燈光秀總共有種走法，則欣賞燈光秀有種走法，C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，D錯(cuò)誤.故選：AB.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：網(wǎng)格中的最短路徑問題，可以轉(zhuǎn)化為格中，有格向上，向右的問題來解答.12．240【分析】根據(jù)題意，先將5名學(xué)生志愿者分為4組，再將分好的4組安排參加4個(gè)社團(tuán)參加志愿活動(dòng)，結(jié)合分步計(jì)數(shù)原理，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①將5名學(xué)生志愿者分為4組，有種分組方法，②將分好的4組安排參加4個(gè)社團(tuán)參加志愿活動(dòng)，有種情況，則有種分配方案.故答案為：.13．1.2【分析】確定隨機(jī)變量X服從超幾何分布，確定相關(guān)參數(shù)，根據(jù)超幾何分布的期望公式，即得答案.【詳解】由題意知隨機(jī)變量X服從超幾何分布，其中，，，于是次品件數(shù)X的期望，故答案為：1.214．【分析】利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最大值，依題意只需，即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，又，所以?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又時(shí)，時(shí)，又函數(shù)有零點(diǎn)，所以，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：15．(1)(2)(3)191【分析】（1）分內(nèi)科醫(yī)生去人四種情況計(jì)算；（2）至少有1名主任即為只有1名或2名，分別計(jì)算求解；（3）分兩類：一種若選外科主任，則其余可任意選，另一種若不選外科主任，則必選內(nèi)科主任，分別求解即可；【詳解】（1）既有內(nèi)科醫(yī)生，又有外科醫(yī)生包括四種情況：內(nèi)科醫(yī)生去人，得選派方法為：；（2）分兩類：一是選1名主任有種方法；二是選2名主任有種方法；故至少有1名主任參加的選派方法共種；（3）若選外科主任，則其余可任意選，共有種選法；

若不選外科主任，則必選內(nèi)科主任，且剩余四人不能全選內(nèi)科醫(yī)生，有種選法；

.（也可以直接法：+=65）故既有主任，又有外科醫(yī)生的選派種數(shù)為.16．(1)1(2)(3)第6項(xiàng)和第7項(xiàng)【分析】（1）借助賦值法令即可得；（2）結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)與二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式計(jì)算即可得；（3）解不等式組即可得.【詳解】（1）令，可得展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為；（2）二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間項(xiàng)，即第5項(xiàng)，的展開式的通項(xiàng)為：，故；（3）由的展開式的通項(xiàng)為：，設(shè)第項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值最大，顯然，則，整理得，即，解得，而，則或，所以系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第6項(xiàng)和第7項(xiàng).17．(1)(2)(i)分布列見解析，；(ii)【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中所有小矩形的面積之和為得到方程，解得即可；（2）(i)依題意可得，根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式求出分布列與數(shù)學(xué)期望；(ii)利用條件概率的概率公式計(jì)算可得.【詳解】（1）依題意可得，解得；（2）(i)由（1）可得高度在的頻率為，所以，所以，，，，，所以的分布列為：所以；(ii)在歐陽花卉中隨機(jī)抽取株，記至少有株高度在為事件，至多株高度低于為事件，則，，所以.18．(1)16372(2)①；②【分析】（1）由題意，由此結(jié)合題中數(shù)據(jù)以及對(duì)稱性即可求解相應(yīng)的概率，進(jìn)一步即可求解；（2）由題意有，進(jìn)一步分3大種情況求得，對(duì)于①，由全概率公式即可求解；對(duì)于②，由條件概率公式即可求解.【詳解】（1）由題意，若某天該商場有20000位顧客，估計(jì)該天消費(fèi)額在內(nèi)的人數(shù)為；（2）設(shè)事件“顧客中龍騰獎(jiǎng)”，事件“顧客中旺旺獎(jiǎng)”，事件“顧客獲得乙獎(jiǎng)品”，由題意知，事件包括的事件是：“3枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為6”，“3枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為12”，“3枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為18”，則（i）若“3枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為6”，則有“1點(diǎn)，1點(diǎn)，4點(diǎn)”，“1點(diǎn)，2點(diǎn)，3點(diǎn)”，“2點(diǎn)，2點(diǎn)，2點(diǎn)”，三類情況，共有種；（ii）若“3枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為12”，則有“1點(diǎn)，5點(diǎn)，6點(diǎn)”，“2點(diǎn)，5點(diǎn)，5點(diǎn)”，“2點(diǎn)，4點(diǎn)，6點(diǎn)”，“3點(diǎn)，4點(diǎn)，5點(diǎn)”，“3點(diǎn)，3點(diǎn)，6點(diǎn)”，“4點(diǎn)，4點(diǎn)，4點(diǎn)”，六類情況，共有種；（iii）若“3枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為18”，則有“6點(diǎn)，6點(diǎn)，6點(diǎn)”，一類情況，共有1種；所有，①由全概率公式可得，即顧客獲得乙獎(jiǎng)品的概率為；②若顧客已獲得乙獎(jiǎng)品，求其是中“龍騰獎(jiǎng)”而獲得的概率是，所以顧客已獲得乙獎(jiǎng)品，求其是中“龍騰獎(jiǎng)”而獲得的概率是.19．(1)答案見解析(2)【分析】（1）求導(dǎo)得，分是否大于0進(jìn)行討論即可得解；（2）原問題等價(jià)于