第一章：函數(shù)與極限

一、教學(xué)內(nèi)容及學(xué)時分配

1.函數(shù)5學(xué)時

2.數(shù)列的極限1.5學(xué)時

3.函數(shù)的極限3.5學(xué)時

4.無窮大與無窮小2.5學(xué)時

5.極限運算法則2學(xué)時

6.極限存在準(zhǔn)則?兩個重要極限2.5學(xué)時

7.無窮小的比較2學(xué)時

8.函數(shù)的連續(xù)性4.5學(xué)時

9.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)1.5學(xué)時

二、教學(xué)目的與要求

1.理解函數(shù)、函數(shù)的圖象、函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性和有界性等概念及性質(zhì)。

2.理解復(fù)合函數(shù)的概念，會求分段函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，掌握反函數(shù)的概念及其本質(zhì)。

3.掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖象，熟悉初等函數(shù)的概念。

4.理解數(shù)列極限的概念。

5.掌握數(shù)列極限的性質(zhì)及四則運算法則。

6.熟悉單調(diào)有界數(shù)列必有極限的準(zhǔn)則，掌握數(shù)列極限的夾逼準(zhǔn)則。

7.理解函數(shù)極限的概念（含自變量趨于有限值和無窮大時的極限及單側(cè)極限）。

8.掌握函數(shù)極限的性質(zhì)及四則運算法則，能利用兩個重要極限求有關(guān)極限，熟悉第二重要極限的推

廣結(jié)果。

9.掌握有理函數(shù)的極限運算規(guī)律及推廣結(jié)果。

10.理解無窮小和無窮大的概念，掌握無窮小的比較法，會用等價無窮小求極限。

11.能用極限知識處理一些實際問題。

12.理解函數(shù)連續(xù)性的概念，會判斷函數(shù)的連續(xù)性，能區(qū)分間斷點的類別。

13.掌握初等函數(shù)的連續(xù)性，熟悉閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，掌握這些性質(zhì)的簡單應(yīng)用。（卜四）

熟悉曲線的漸近線的定義，能求一些簡單曲線的漸近線。

三、教學(xué)重點與難點

1.函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性和有界性

2.初等函數(shù)的定義以及基本初等函數(shù)的性質(zhì)、圖形

3.極限的概念及性質(zhì)

4.兩個重要極限以及等價無窮小在極限運算中的應(yīng)用

5.連續(xù)的概念

6.零點定理及其應(yīng)用

四、教學(xué)方法和教具：講授；多媒體課件

第一節(jié)：函數(shù)

一、集合與區(qū)間

］、集合

、具魯某種特定性質(zhì)的事物的總體叫做集合。組成這個集合的事物稱為該集合的元素

表示方法：用A,B,C,D表示集合；用a,b,c,d表示集合中的元素

1）A={4，。2，〃3,..}2）4={x|x的性質(zhì)尸}元素與集合的關(guān)系：aAaeA

一個集合，若它只含有有限個元素，則稱為有限集；不是有限集的集合稱為無限集。

常見的數(shù)集：N,Z,Q,R,N+

集合與集合的關(guān)系：A、B是兩個集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，則稱A是B的子集，

記作AuB。

如果集合A與集合B互為子集，則稱A與B相等，記作A=B

若作AuB且AwB則稱A是B的真子集。空集0uA

2、區(qū)間

開區(qū)間（。力）閉區(qū)間卜力］半開半閉區(qū)間（a,4\a,b）有限、無限區(qū)間

鄰域U（a,S）=（a-瓦a+5）a鄰域的中心b鄰域的半徑

去心鄰域6（。,b）左、右鄰域

二、函數(shù)概念

定義（見教材）記為y=f（x）,xeD自變量、因變量、定義域、值域、函數(shù)值用/、g、

（P

函數(shù)相等：定義域、對應(yīng)法則相等自然定義函數(shù)；單值函數(shù)；多值函數(shù)、單值分

枝.

例：1）y=22）y=

1x>0

3）符號函數(shù)y=<Qx=04）取整函數(shù)y=［x］（階梯曲線）

-1x<0

5）分段函數(shù)y=<0<x<l

1+Xx>1

三、函數(shù)的幾種特性

1、函數(shù)的有界性（上界、下界；有界、；界）有界的充要條件：既有上界又有下界。

注：不同函數(shù)、不同定義域，有界性變化。

2、函數(shù)的單調(diào)性（單增、單減）在XI、X2點比較函數(shù)值/（項）與/（》2）的大?。ㄗⅲ号c區(qū)間有關(guān)）

3、函數(shù)的奇偶性（定義域?qū)ΨQ、/（x）與/（-X）關(guān)系決定）圖形特點（關(guān)于原點、Y軸對稱）

4、函數(shù)的周期性（定義域中成立：/（x+/）=/（x））

四、反函數(shù)

函數(shù)與反函數(shù)的圖像關(guān)y=x于對稱，兒個反三角函數(shù)

五、復(fù)合函數(shù)?初等函數(shù)

1、復(fù)合函數(shù)：函數(shù)〃=g（y）定義域為5,函數(shù)y=/（x）在D上有定義、且/（O）uZ）|。則”=g（/（x））

為復(fù)合函數(shù)。（注意：構(gòu)成條件）

2、初等函數(shù)：（定義見教材）

1）基函數(shù)：y=xa2）指數(shù)函數(shù)：y=ax3）對數(shù)函數(shù)y=log,,（x）

4）三角函數(shù)y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx,y-secx,y-escx

5）反三角函數(shù)y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx,y=arccotx

以上五種函數(shù)為基本初等函數(shù)。初等函數(shù)的定義見教材

作業(yè)：67T93，4,6,13,16,17

第二節(jié)：數(shù)列的極限

一、數(shù)列

1、數(shù)列的定義

數(shù)列就是由數(shù)組成的序列。一般寫成：%a2%?4..........縮寫為｛〃“｝

例1數(shù)列口］是這樣一個數(shù)列卜“｝,其中x?=-,〃=1,2,3,4,5.....

n

—.1111

也可與為：1，一，一..........

2345

可發(fā)現(xiàn)：這個數(shù)列有個趨勢，數(shù)值越來越小，無限接近0,記為lim’=0

〃TCO〃

2、數(shù)列的極限、收斂、發(fā)散的定義

極限是數(shù)列中數(shù)的變化總趨勢，因此與數(shù)列中某個、前幾個的值沒有關(guān)系。

二、收斂數(shù)列的性質(zhì)

定理1如果數(shù)列卜“｝收斂，那么它的極限是唯?的

定理2如果數(shù)列｛x,J收斂，那么數(shù)列卜“｝一定有界

定理3如果數(shù)列““｝收斂于a,那么它的任一子數(shù)列也收斂，且收斂于a

作業(yè)P2&(教師提示，學(xué)生不做在作業(yè)本上)

第三節(jié)：函數(shù)的極限

一、自變量趨向有限值時函數(shù)的極限

如果自變量x趨于X。時.，相應(yīng)的函數(shù)值/(x)趨于某實數(shù)A,則稱A為x趨于X。時/(x)的極限，

記為：lim/(X)=Ao

例(見教材)左、右極限。單側(cè)極限、極限的關(guān)系例(見教材)

二、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限

如果當(dāng)W無限增大時，相應(yīng)的函數(shù)值/(x)趨于某實數(shù)A,則稱A為x趨于8時/(x)的極限記為：

lim/(x)=A例(見教材)

在無窮遠(yuǎn)點8的左右極限：/(+8)=lim/(x)/(—8)=lim/(x)

*->+00XT-00

關(guān)系為：lim/(x)=A<=>limf(x)=A=lim/(x)例(見教材)

XTcoX->+OOXf-8

三、函數(shù)極限的性質(zhì)

1、極限的唯一性2、函數(shù)極限的局部有界性

3、函數(shù)極限的周部保號性4、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系

作業(yè)鳥6.37(教師提示，學(xué)生不做在作業(yè)本上)

第四節(jié)：無窮小與無窮大

一、無窮小1、定義2、性質(zhì)例(見教材)

二、無窮大1、定義2、性質(zhì)例(見教材)

注：無法區(qū)分正負(fù)無窮大時就籠統(tǒng)地稱之為無窮大量。

三、無窮小和無窮大的關(guān)系

在自變量的同一變化過程中，如果/*)為無窮大，則」一為無窮?。环粗?，如果/(x)為無窮小，且

/(x)

/(X)豐0則一1—為無窮大即：非零的無窮小量與無窮大量是倒數(shù)關(guān)系(注意是在自變量的同一個變化

/(x)

過程中)

作業(yè)與31，2,4

第五節(jié)：極限運算法則

1、若函數(shù)/和g在點/有極限,則lim(/(x)+g(x))=lim/(x)+limg(x)

x->xox->xoXT與

2、若函數(shù)/和g在點x0有極限,則lim(/(%)?g(x))=lim/(%)-limg(x)

.r—>.t0x—>.r0x—>x0

特殊:lim(a?/(x))=a-limf(x)

X—x—>x0

3、若函數(shù)/和g在點與有極限，并且limg(x)=￡wO,則lim32=二——=上

Eo(g(x)Jlimg(x)0

4、設(shè)函數(shù)y=f[g(x)｝是由函數(shù)丁=f(〃)與〃=g(x)復(fù)合而成,Hg。)]在點,的某去心鄰域內(nèi)有定

0

義，若limg(i)=〃o，lim/(w)=A,且存在，〉O,當(dāng)xe[/(々pg))時，有則

XfXoU->UQ

lim/[g(x)]=lim/(〃)=A

例：求下述極限

..x-3..2x-33丁+4/+2

1101^5-------hm^----------lim——------------

7/一9I1x-5x+4A-?CO7r+5/-3

3X2-2X-1[.2/—x2+5

lim——；---；---hm―；-------sinx

is2x3-x2+5—83x2-2x-ilim-----

xfoox

作業(yè)P50_5l1,2,3

第六節(jié)：極限存在準(zhǔn)則?兩個重要極限

定理1夾逼定理:三數(shù)列心“｝、｛)，“｝和也,｝,

如果從某個號碼起成立：1)xn<yn<zni并且已知｛x“｝和｛z“｝收斂，2)limx“=a=limz”,

X—>00X—

則有結(jié)論：limy”=a例(見教材)

X->00

定理2單調(diào)有界數(shù)列一定收斂。

單調(diào)增加有上界的數(shù)列一定收斂；單調(diào)減少有下界的數(shù)列一定收斂。

八「sinx1

兩個重要極限：①lim----=I②lim(lH—)A=e

Xf°X?98x

例：求下列極限

I

「tanx一l-cosxaresinx「I、*

lim----lim----——lim-------lim(l——)lim(cosx)」

XTXT。XXf8XXT

OX10XO

作業(yè)兒1,2,3

第七節(jié)：無窮小的比較

定義：設(shè)a及/?都是在同一個自變量的變化過程中的無窮小.

如果lim2=0,就說?是比a高階的無窮小，記為住o(a).

a

如果lim2=8,就說夕是比a低階的無窮小.

如果lim2=cwO,就說〃與a是同階無窮小.

a

如果Hm"4~=cwO,k>0,就說/?是關(guān)于。的k階無窮小.

ak

如果lim2=l,就說夕與a是等價無窮小，記為a?夕.

a

例1.3X2=O(X)(X->0).例2.當(dāng)時，■!■是比-V低階的無窮小.

nn

例3.當(dāng)R-3時，X2-9與x-3是同階無窮小.例4,當(dāng)X-0時，l-cosx是關(guān)于x的二階無窮小.

例5.當(dāng)工―>0時,sin犬與x是等價無窮小，即sinx?x(/—>0).

定理1￡與。是等價無窮小的充分必要條件為分a+o(a).

例6.因為當(dāng)工.0時sinx~x,tanx?x,1-cosx?,所以當(dāng)工一。時，有

sini(x),tan—(x),~-=#+。(V),

定理2，設(shè)a?a;陽爐,且lim?*存在，則lim2=lim&.

aaa

定理2表明，求兩個無窮小之比的極限時;分子及分母都可用等價無窮小來代替.因此，如果用來代替

的無窮小選取得適當(dāng)，則可使計算簡化.

例7.求1加注.例8.求lim等).例9.lim-'二

x->0Sin5xA-->0X3+3；V.r->0COSX—l

作業(yè)Pa1,2,4

第八節(jié)：函數(shù)的連續(xù)性

一、函數(shù)連續(xù)性的概念

函數(shù)/在點與連續(xù)，當(dāng)且僅當(dāng)該點的函數(shù)值/(x0)、左極限/(%-0)與右極限f(x0+0)三者相等：

f(xo-O)=/(x0)=/(x0+0)

或者：當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)/在點x0有極限且此極限等于該點的函數(shù)值。lim/(x)=f(x0)

函數(shù)在區(qū)間(a,b)連續(xù)指：區(qū)間中每一點都連續(xù)。

函數(shù)在區(qū)間［a,b］連續(xù)指：區(qū)間(a,b)中每一點都連續(xù)，端點處單側(cè)連續(xù)。

連續(xù)函數(shù)的圖像通常是條連續(xù)且不間斷的曲線

二、函數(shù)的間斷點

若:/(x0-0)=/(/)=/(%+0)中有某一個等式不成立，就間斷，分為：

1、第一類間斷點：f(xo+0)Hf(Xo-O)

即函數(shù)在點的左右極限皆存在但不相等，曲線段上一出現(xiàn)一個跳躍。

2、第二類間斷點與：左極限/(%-0)與右極限/(%+0)兩者之中至少有一個不存在

例：見教材

三、初等函數(shù)的連續(xù)性

一、連續(xù)函數(shù)的四則運算

1.lim/(X)=f(x0)且limg(x)=g(x0)=>lim{a-f(x)+)3-g(x)}=a-f(x0)+J3-g(x0)

XTXQXTX。

2lim/(x)=/(/)且limg(x)=g(x°)=>lim{/(x)*g(x)}=f(xQ)*g(x0)

Xf0XTXoXTX0

f(X)f(x)

3.1加/(》)=/(4)且limg(x)=gOo)HO=>lim=n

A—>x0g(x)g(Xo)

反函數(shù)連續(xù)定理：如果函數(shù)/：?=/。),％6。/是嚴(yán)格單調(diào)增加(減少)并且連續(xù)的，則存在它的反函

數(shù)/t：x=/T（y）,ye叫，并且//也是嚴(yán)格單調(diào)增加（減少）并且連續(xù)的。

注：通常慣用x表示自變量，y表示因變量。反函數(shù)也可表成y=/T（x）xGDr>

復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理：

設(shè)函數(shù)/和g滿足復(fù)合條件乜U。/,若函數(shù)g在點X。連續(xù)；g（Xo）=M0,又若/函數(shù)在點“0連

續(xù)，則復(fù)合函數(shù)/og在點/處連續(xù)。

注：復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性可以保證極限號與函數(shù)符號的交換位置：lim/（g（x））=/（limg（x））

Xf%XTXo

初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)。

作業(yè)P"1,3,5,6

第九節(jié)：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

一、最大值與最小值

最大值與最小值：對于在區(qū)間/上有定義的函數(shù)/x）,如果有xoel,使得對于任一xel都有段）7沏）

如）加ro））則稱/（xo）是函數(shù)Ax）在區(qū)間/上的最大值（最小值）.

例如，函藪/（x）=l+sinx在區(qū)間［0,2用上有最大值2和最小值0.又如，函數(shù)火x）=sgnx在區(qū)間（-8,+oo）內(nèi)有

最大值I和最小值-1.在開區(qū)間（0,+oo）內(nèi)，sgnx的最大值和最小值都是1.但函數(shù)凡r）=x在開區(qū)間僅，匕）內(nèi)既

無最大值又無最小值.

定理1（最大值和最小值定理）在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定能取得它的最大值和最小值.

定理1說明，如果函數(shù)/W在閉區(qū)間口,0上連續(xù)，那么至少有一點看e［a,處使大輸是犬x）在［〃，切上的

最大值，又至少有一點會可出b］,使式務(wù)）是段）在句上的最小值.

注意：如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)，或函數(shù)在閉區(qū)間上有間斷點，那么函數(shù)在該區(qū)間上就不一定有最大值或

最小值.

例：在開區(qū)間37）考察函數(shù)尸x.

-x+10<%<1

又如,y=/（x）=1x=\在閉區(qū)間［0,2］上無最大值和最小值.

-x+3l<x<2

定理2（有界性定理）在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界.

二、介值定理

零點：如果X。使犬刖）=0,則須稱為函數(shù)式行的零點.

定理3（零點定理）設(shè)大x）在閉區(qū)間值們上連續(xù)，且/（a）與犬8）異號，那么在開區(qū)間僅，b）內(nèi)至少有一點&使

定理4（介值定理）設(shè)函數(shù)段）在閉區(qū)間叵目上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點取不同的函數(shù)值/）=A及加）=8,

那么，對于A與8之間的任意一個數(shù)C,在開區(qū)間（。,份內(nèi)至少有一點彳，使得/（9=C.

定理4,（介值定理）設(shè)函數(shù)兀目在閉區(qū)間［a,々上連續(xù)，且共。）可㈤，那么，對于人〃）與Ab）之間的任意一個數(shù)

C,在開區(qū)間（a,b）內(nèi)至少有一點使得AJ=C.

定理4的幾何意義：連續(xù)曲線?。?尤）與水平直線產(chǎn)C至少交于一點.

推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值.

例證明方程/_4x2+1=0在區(qū)間（0,1）內(nèi)至少有一個根.

作業(yè)：呂51>2

第二章導(dǎo)數(shù)與微分

一、教學(xué)內(nèi)容及學(xué)時分配

1.導(dǎo)數(shù)概念5學(xué)時

2.函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則2學(xué)時

3.反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則3學(xué)時

4.高階導(dǎo)數(shù)1學(xué)時

5.隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)3學(xué)時

6.變化率問題舉例及相關(guān)變化率2學(xué)時

7.函數(shù)的微分2學(xué)時

8.微分的應(yīng)用1學(xué)時

二、教學(xué)目的與要求

1.理解導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義，會求曲線的切線方程和法線方程，會用導(dǎo)數(shù)描述一些物理量，知

道函數(shù)的可微性和連續(xù)性的關(guān)系。

2.熟練掌握導(dǎo)數(shù)的四則運算法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t，熟練掌握基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，

掌握反函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)方法和參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)法，掌握對數(shù)求導(dǎo)法。

3.能求分段函數(shù)在分段點處的導(dǎo)數(shù)，并能利用此知識確定分段函數(shù)中的待定常數(shù)。

4.理解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。

5.知道可微與可導(dǎo)的關(guān)系，熟悉微分的四則運算法則和一階微分的形式不變性，會求函數(shù)的微分，

熟練掌握微分公式及法則的逆向使用。

6.掌握微分在近似計算和誤差估計中的應(yīng)用。

三、教學(xué)重點與難點

1.導(dǎo)數(shù)的概念以及導(dǎo)數(shù)在幾何、物理中的應(yīng)用

2.常用求導(dǎo)公式

3.復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則

四、教學(xué)方法和教具：講授；多媒體課件

第一節(jié)：導(dǎo)數(shù)概念

1、定義―—包=lim〃/+&）7（x。）=5/⑴一/。。）

-TOAXXTXQX-XQ

/(,r+Ax)-/(x)

r'(x)=lim

Ax

左導(dǎo)數(shù)f\x0）=lim"/=lim"劃一"%）

Arf（TArXT與-X-XQ

右導(dǎo)數(shù)/+（Xo）=lim/（/+-）-/（/）=limfM-fW

AxI江X-XQ

所以r（X。）=Aoz（x0）=/,（x0）=A

可以證明：可導(dǎo)=＞連續(xù)。即可導(dǎo)是連續(xù)的充分條件，連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件。

2、導(dǎo)數(shù)的幾何意義

曲線〉=/（》）在點（%，%）處切線：y-%=r（xo）（x-x。）法線：'（xf）

J（工0）

在k0處可導(dǎo)性

0x=0

例2已知人%)存在，則lim/U+2/?)-/(x0)=2/'(%)

*-oh--------

lim/(%二5""4%)=-5/(%)

h—>0h----------

hmf(x0+3h)-f(x0-h)=["(Xi)-"%).—?)-/(%)

/i—>0h/?->ohh

=4/(x。)

例3設(shè)函數(shù)/(x)可導(dǎo)，則lim/2(》+-)-<(*)=2/(x)r(x)

AxTOA%-------------

*2

例4設(shè)/*)=廠X-%0為使/(x)在x=x°處可導(dǎo)，應(yīng)如何選取常數(shù)a、b

ax+bx>xQ

例5f(x)=x(x-l)(x-2)?,…Q-9),則r(0)=

例6設(shè)/(x)在尤=0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，iim、Z里—=2，則/'(0)=______

V1+X-I

例7設(shè)函數(shù)/(l+x)=a〃x),且f!(O)=b(4,6￥0),問廣’⑴存在否？(答：/()=?)

作業(yè)/_90L(2)、(4),4,6.(4)、(7),7,9,10,12,13,16

第二節(jié)：函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則

一、函數(shù)和的求導(dǎo)法則（Pw_92）

33

例1.y=2x-5X2+3X-7,求y'例2./(x)=x+4cosx-sin-y,求/'(x)及/”(三).

二、函數(shù)積的求導(dǎo)法則（鳥3-94）例3.y=e1(sinx+cosx),求y'.

三、函數(shù)商的求導(dǎo)法則（44）例4.y=tanx,求y'.例5.y=secx,求y'.

作業(yè)&_991.（1）＞（3）,2,4,5,7.奇數(shù)題，8.奇數(shù)題，9.偶數(shù)題

第三節(jié)：反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

一、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

如果函數(shù)00，）在某區(qū)間內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且/'（y"0,那么它的反函數(shù)月'TQ）在對應(yīng)區(qū)間心｛*式丫）,

厘｝內(nèi)也可導(dǎo)，并且［二（研=肅.或案=今

~dy

例1.證明：在(-1,1)內(nèi)有(arcsinx)'=J,(arccosx)"=一一----

Vl-x2/

例2.證明：在(-co,+8)內(nèi)有(arctanx)'=―二(arccotx)'=一-].

1+x1+x2

例3證明：在(0,+8)內(nèi)有(log?x)'=―--.

xlna

幾個常用求導(dǎo)公式

(1)(0=o,,⑵(小〃—，(3)(sinxy=cosx,(4)(cosx)'=-sinx,

(5)(tanx)r=sec2x,(6)(cotx)'=-cscx,(7)(secx)z=secxtanx(8)(escx/=-cscxcotx,

(12)(lnx),=l,

⑼(axy=axIna,(10)(/)'=",(11)(log,,xy=-y—,

xlnaX

(13)(arcsinx)z=

r-J—=(14)(arccosx)r=一一.(15)(arctanxY=-(16)

vl-x2y/l-x2l+x2

(arccotxY=—■——-

1+x2

二、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

dudy_

定理：w=c(x)在點x處有導(dǎo)數(shù)區(qū)，y=/(M)在對應(yīng)點u處有導(dǎo)數(shù)而，則復(fù)合函數(shù)y=/［夕(切

在點x處也有導(dǎo)數(shù)，且包=包.四=r(“).，(x)

dxdudx

例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

arctg-1

1.y=xsin(2x2+1)2.mJl+v?3.y=arctgyfx4A.y—ax

8.y=ah+xa，+bx

例2設(shè)產(chǎn)八小),求管

22

一優(yōu)+1--,x<0

例3設(shè)〃制=°(a>0,aHl),求「⑴

sinx八

---,x>0

.x

作業(yè)/8T1O1.偶數(shù)題，2.偶數(shù)題，3.偶數(shù)題，4,5,9

第四節(jié)：高階導(dǎo)數(shù)

g1=1"'伉+詞-仆)=1"'(止/(%),產(chǎn))(x)="g)(x)T

2

dxx=x0…Axfx-xQ

例1設(shè)y=x(2x-l)2(x+3)3貝ijy(6)=

f(x)Xw0

X

例2設(shè)/(x)在(-00,+00)上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且/(0)=0,對函數(shù)g(x)h

ax=o

(1)確定a的值，使g(x)在(-co,+oo)內(nèi)連續(xù)

(2)對(1)中確定的“，證明g(x)在(-8,+oo)內(nèi)的一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)

作業(yè)片42，3.(1),4,7.(1)、(2)

第五節(jié)：隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

若方程F(x,y尸0確定了產(chǎn)y(x),只需方程兩邊對x求導(dǎo)就可以計算出包，(注意尸y(x))

dx

例1設(shè)ysinx-cos(x-y)=0求y

例2設(shè)y=y(x)是由方程*+ln上=0所確定的隱函數(shù)，求y'(0)

x+1

例3y=y(x)是由方程+孫=6所確定的隱函數(shù)，求(o),y"(o)?

例4設(shè)丁=但三應(yīng)三五求y

■\(x-3)(x-4)

二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

公式,:若“《x="(p(t)，則在一定條件(見教材)下有蟲=空2

dx(p(t)

例］設(shè)卜=e"T求會

y=r+1dx,dx2

例2設(shè)y=y(x)是由方程組(x"-2T所確定的函數(shù)，求9

[y-evsin/-1=0

作業(yè)425T26L⑴、(3),2,3.(2),4.(3)、(4),5.(2),7.(1),8.(2)

第六節(jié)：變化率問題舉例及相關(guān)變化率

例一氣球從離開觀察員50Q/處離地面鉛直上升，其速度為140m/min(分).當(dāng)氣球高度為500m時，觀察員

視線的仰角增加率是多少？(答：華=雜=0.14(弧度/秒).即觀察員視線的仰角增加率是每秒0.14弧

at500

度)

第七節(jié)：函數(shù)的微分

一、微分的定義

設(shè)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有定義,即及xo+Ax在這區(qū)間內(nèi)，如果函數(shù)的增量△)，/xo+Ar)/xo)可表示為

^y=AAx+o(^x),其中A是不依賴于以的常數(shù)，那么稱函數(shù))H>)在點須是可微的，而W叫做函數(shù)

在點均相應(yīng)于自變量增量〃的微分，記作dy,即dy=AAx

函數(shù)可微的條件：函數(shù)式x)在點的可微的充分必要條件是函數(shù)外)在點X?？蓪?dǎo)，且當(dāng)函數(shù)人x)在點X?？晌r,

其微分一定是d)ms)Ax.

例1求函藪尸？在41和x=3處的微分.例2.求函數(shù)當(dāng)x=2,Ar=0.02時的微分.

自變量的微分：通常把自變量x的增量Ax稱為自變量的微分，記作心，即于是函數(shù)月(x)的微分

又可記作dy=f'(x)dx.從而有學(xué)=f'(x).

二、基本初等函數(shù)的微分公式與微分運算法則

1.基本初等函數(shù)的微分公式(見教材)

2.函數(shù)和、差、積、商的微分法則(見教材)

3.復(fù)合函數(shù)的微分法則

無論"是自變量還是另一個變量的可微函數(shù)，微分形式保持不變.這一性質(zhì)稱為微分形式不

變性.

例3.y=sin(2x+l),求dy.例4.y=ln(l+eF),求力.例5.y=el-3'cosx,求dy.

例6.在括號中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，使等式成立.

(1)J()=Mx;

(2)d()=cosa>tdt.

作業(yè)片44T453.偶數(shù)題，4

第八節(jié):微分的應(yīng)用(學(xué)生自學(xué)，教師答疑)

如果函數(shù)月㈤在點X0處的導(dǎo)數(shù)尸(30,且M很小時，我們有

^yady=f'(xo)/^x,

△月(%0+?)也0)3)守，(劭加，

/Uo+Ar)M>o)4/'(Xo心.

若令x=x()+Ax,即Ar=x-xo,那么又有

o)+f'(Xo)(X-Xo).

特別當(dāng)xo=O吐有

—旭時'(0比

例1.有一批半徑為1cm的球，為了提高球面的光潔度，要鍍上一層銅，厚度定為0.01cm.估計一了每

只球需用銅多少g(銅的密度是8.9g/cn?)?.

例2.利用微分計算sin30O3()，的近似值.

作業(yè)不布置作業(yè)

第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

一、教學(xué)內(nèi)容及學(xué)時分配

1.中值定理4學(xué)時

2.洛必達法則4學(xué)時

3.泰勒中值定理1學(xué)時

4.函數(shù)的單調(diào)性和曲線的凹凸性4學(xué)時

5.函數(shù)的極值和最大值、最小值3學(xué)時

6.函數(shù)圖形的描繪2學(xué)時

二、教學(xué)目的與要求

1.理解并能應(yīng)用費馬定理、羅爾定理、拉格朗日中值定理處理一些簡單問題；熟悉柯西中值定理的內(nèi)容,

了解柯西中值定理的一些簡單應(yīng)用。

2.了解泰勒中值定理的內(nèi)容及簡單應(yīng)用。

3.掌握用洛必達法則求各類未定式極限的方法。

4.理解函數(shù)極值的概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，能利用函數(shù)的單調(diào)性

證明簡單的不等式，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其應(yīng)用(如：不等式的證明，實際問題的處理)。

5.掌握用導(dǎo)數(shù)判斷曲線的凹凸性和求拐點的方法。

6.會求曲線的各類漸近線；能描繪函數(shù)圖象。

三、教學(xué)重點與難點

1.羅爾定理、拉格朗日中值定理的應(yīng)用

2.判定曲線的單調(diào)性和凹凸性以及利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式

3.利用洛必達法則求未定式極限

4.求函數(shù)的最大值和最小值

四、教學(xué)方法和教具：講授；多媒體課件

第一節(jié)：中值定理

一、羅爾定理

若/(x)滿足：⑴在［a,可上連續(xù).(2)在(。⑼內(nèi)可導(dǎo).⑶/(a)=/(fe)

則至少存在一點(a/),使r《)=0

例1設(shè)g(x)=x(x+l)(2x+l)(3x-l),

則在區(qū)間(-1,0)內(nèi)，方程g("=0至少有2個實根；在(-1,1)內(nèi)g"(x)=0至少有2個根

例2設(shè)“X)在［0,1］可導(dǎo)，且〃0)=〃1)=0,證明存在〃€(0,1),使得/(7)+〃/(〃)=0

例3設(shè)“X)在［0,1］可導(dǎo)，且〃0)=〃1)=0,證明存在〃，使得生(〃)+戶(〃)=0

二、拉格朗日中值定理

若/(x)滿足：①在［。,可上連續(xù)；②在(。力)內(nèi)可導(dǎo)，

則存在百e使得=

推論：⑴如果在區(qū)間I上尸(x)=0,則在I上〃x)=c

(2)如果在區(qū)間I上/(x)〉0(<0),則/(x)在I上單增(減)

例4證明：當(dāng)兇<1時,有arctan；arcsinx=~~

例5證明：當(dāng)x>0時，有上<in(l+x)<x

作業(yè)片624,5,6,7

第二節(jié)：洛必達法則

一、7類未定式：1、9型2、方型3、0*8型4、8-8型5、0°型6、8°型7、1°°型

000

9型和藝型未定式的處理方法--洛必達法則(見教材)

二、

000

1.sinax「x-sinx1—3x+2

例1lim--------例2hm-----------例3lim-----------------

x-。sinbxx-OX'ix-x-x+\

f-arctanx..Inx

例4lim--------例---5----hm-----例6lim卞(2>o)

Xf+ooXXf+OOJQn

三、其它類型未定式的處理方法

limx"

例7+例8lim(secx-tanx)

x->0XT-兀

作業(yè)加1-2

第三節(jié)：泰勒中值定理

泰勒中值定理如果函數(shù)?r)在含有沏的某個開區(qū)間(a,b)內(nèi)具有直到5+1)的階導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)x在(“，3內(nèi)

時可以表示為(X-X0)的一個n次多項式與一個余項R“(x)之和：

/(x)=/(Xo)+/'(Xo)(x-Xo)+]/"(Xo)(x-Xo)2+???+；/叫Xo)(x-Xo)"+M(x)

2!〃！

其中&。)=與"等。一%)"+14介于為與X之間).

如果對于每個固定的〃，當(dāng)X在區(qū)間(凡與內(nèi)變動時，-向)(x)1總不超過一個常數(shù)M則有估計式:

悌網(wǎng)啟然(“一劭平焉/T。叫

在不需要余項的精確表達式時,n階泰勒公式也可寫成

2(n)

f(x)=f(x0)+f\x0)(x-x0)+^-f"(x0')(x-x0)+--?+^/(x0)(x-x0)?+o[(je-x())?].

Z!Hl

當(dāng)xo=O時的泰勒公式稱為麥克勞林公式，就是

f(x)=/(0)+/'(0)x+*x2+...+Z^2)x,,+&(x),

2!nl

或/(x)=/(O)+/'(O)x+空N+…空x"+心),

其中&(幻=竺g“+i

(n+1)!

由此得近似公式：

/(x)?/(0)+f'(0)x+^^-x2+…+尸：(叭”.

2!rv.

第四節(jié)：函數(shù)的單調(diào)性和曲線的凹凸性

一、函數(shù)單調(diào)性的判定法(見教材)

例1設(shè)x〉0,證明ln(l+%)<x例2設(shè)x>0，證明V+iAinx

例3設(shè)a〉p>e,證明p01>ap

例4設(shè)〃x)在[0,c]上可導(dǎo)，且/'(X)單調(diào)減少，/(0)=0

證明：++,0<a<b<a+b<co

二、曲線的凹凸性與拐點

在區(qū)間I上，若廣(x)〉0(<0),則曲線y=/(x)在區(qū)間I上是凹(凸)的,

在連續(xù)曲線上凹凸部分的分界點稱為曲線的拐點。

可能的拐點，(x)=0和/"(X)不存在的點

(%-以

例5求曲線y=-~—的凹凸區(qū)間和拐點

X

作業(yè)441，2，4,5,6,7.(1)

第五節(jié)：函數(shù)的極值和最大、最小值

一、函數(shù)的極值

1)定義：如在與的某鄰域內(nèi)，恒有/(x)與6)，(/(*2/(毛))，則稱/(%)為函數(shù)〃x)的一個極大(小)

值。

可能極值點：/(燈不存在的點與/'(6=0的點(駐點)

2)判別方法(見教材)

例1設(shè)函數(shù)/(x)在x=0的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)，r(0)=0,如今［=一;，則"0)是"X)的極_i_值。

例2設(shè)y=/(X)滿足關(guān)系式y(tǒng)-2y'+4y=0,且/(%)=o，則/(x)在/點處_A_

A、取得極大值B、取得最小值C、在小某鄰域內(nèi)單增D、在毛某鄰域內(nèi)單減

例3已知函數(shù)“X)對切x滿足4?”(x)+3x［/。)了=1一"，如［優(yōu))=0，(/*0)，則_A_

A、是的極小值B、/(%)是“X)的極大值C、(/、/(%))是曲線的拐點

D、/(X。)不是〃x)的極值，(.%J(x。))也不是曲線y=〃x)的拐點。

二、函數(shù)的最大、最小值

(1)求出連續(xù)函數(shù)/(x)在3力)內(nèi)可能的極值點，不需判別是極大還是極小值，求出它們的函數(shù)值，再

與端點的函數(shù)值進行比較，其中最大的(小)為/(x)在句上的最大(小)值。

(2)連續(xù)函數(shù)/(x)在(a,b)內(nèi)可能極值點唯一，如可能極值點是極小值點則它為/(x)在(a,b)內(nèi)的

最小值點；如是極大值點則為最大值點。

(3)實際問題據(jù)題意可不判別。

例4設(shè)04x41,p>\證明2'-p<xp+(l-x)p<l

提示求/(x)=/+(l—x)”在［0,1］上的最大、最小值

例5在拋物線y=4-xz上的第一象限部分求一點P,過P點作切線，使該切線與坐標(biāo)軸所圍的三角形面

積最小。

作業(yè)A95T97L⑴、⑶、(5),2,3,4.(1),5,6,7,8

第六節(jié)：函數(shù)圖形的描繪

一、曲線的漸近線

1.鉛直漸近線2.水平漸近線3,斜漸近線

2x-l