總習(xí)題一

1.在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中選擇一個(gè)正確的填入下列空格內(nèi)：

(1)數(shù)列｛.%｝有界是數(shù)列｛4｝收斂的條件.數(shù)列｛4｝收斂是數(shù)列｛4｝有界的的條件.

(2次的在x0的某一去心鄰域內(nèi)有界是lim/(x)存在的條件.lim/(x)存在是段)在%0

X—>XoX—>x0

的某一去心鄰域內(nèi)有界的條件.

(3)/)在曲的某一去心鄰域內(nèi)無界是lim于(x)=8的條件.lim/(幻=8是段)在沏

的某一去心鄰域內(nèi)無界的條件.

(4求x)當(dāng)xfx。時(shí)的右極限犬司+)及左極限兀6)都存在且相等是lim/(x)存在的條件.

解(1)必要，充分.

(2)必要，充分.

(3)必要，充分.

(4)充分必要.

2.選擇以下題中給出的四個(gè)結(jié)論中一個(gè)正確的結(jié)論：

設(shè)危)=2,+3*-2,則當(dāng)x.0吐有().

(4)/0)與x是等價(jià)無窮小；與x同階但非等價(jià)無窮??；

(QAx)是比x高階的無窮??；(0/(x)是比x低階的無窮小.

解因?yàn)閘im1^=HmqW=lim止Ulim匕

10XXfoXx->0XA—>0X

=In21im—7~~~+ln3lim—--=In2+In3(令2'-1=八3-1=?).

rf01n(l+?！╢01n(l+〃)

所以Ax)與x同階但非等價(jià)無窮小，故應(yīng)選B.

3.設(shè)7U)的定義域是[0,1],求下列函數(shù)的定義域：

⑴川)；

(2)/(Inx);

(3)/(arctanx);

(4)/(cosx).

解(1)由OMeWl得三0,即函數(shù)人d)的定義域?yàn)?-co,0].

(2)由(ElnKl得14力,即函數(shù)Jinx)的定義域?yàn)椤阿?

(3)由0VarctanxK1得0<.r<tan1,即函數(shù)/(arctanx)的定義域?yàn)閇0,tan1].

⑷由0<cosx<l得2n7C—]<X<2〃"(72=0,±1,±2,?,,),

即函數(shù)Acos%)的定義域?yàn)閇2〃乃一會(huì)，十5],(〃=0,±1,±2,-?).

4.設(shè)

0x<0.0x<0

/(x)=x>(rg⑴=

X-x2x>0

求加>)],g[g(x)],Hg(x)],g[f(x)].

0x<0

解因?yàn)閥u)x),所以小u)ww=；

Xx>0

因?yàn)間(x)VO,所以g[g(x)]=O;

因?yàn)間(x)VO,所以.兒?(x)]=0；

0x<0

因?yàn)榉瞨)20,所以g[fl,x)]=-f\x)=

-x2x>0'

5.利用產(chǎn)sinx的圖形作出下列函數(shù)的圖形:

(l)y=lsinxl;

(2),y=sinkl;

(3)y=2si吟.

6.把半徑為R的一圓形鐵片，自中心處剪去中心角為a的一扇形后圍成一無底圓錐.試將這圓錐的

體積表為a的函數(shù).

解設(shè)圍成的圓錐的底半徑為廣，高為h,依題意有

RQ九一a)

R(2TZ^O)=2Ter,r=----------,

2兀

R2(2萬一a)2_￡4兀a—a1

h=d睦―72=

R2—-------o----=尺----Z-------.

47r2--------2%2萬

圓錐的體積為

34兀2~2萬

—R5(2乃一Q)2?J4萬?！?、(0<a<27t).

24;產(chǎn)

7.根據(jù)函數(shù)極限的定義證明limx2-x~6=5.

13X—3

證明對(duì)于任意給定的￡>0,要使I立?！?51<￡,只需k-3kM取8=￡,當(dāng)0<k-3k<5時(shí)，就有

x-3

1X-3K.,即|上孝一5k￡,所以lim立￥=5.

X—3x—3x—3

8.求下列極限：

2

⑴limx-x+l

x->ld)2

(2)limx(vx2+l-x)；

Xf+oc

⑶lim(善!產(chǎn)；

Xf82x+l

tanxsinr

(4)lim；

x->0%3

.Z7.VIkAIX1

(5)lin^(-----------C--)x(?>o,z?>o,c>o)；

(6)lim(sinx)tanA.

解(1)因?yàn)閘im0=0,所以lim：~~：：1=QO.

22

X->1x-x+l11(x-l)

X(VX24-1-X)(A/X24-1+X)

(2)limx(Vx2+l-x)=lim

X-?+COX->4-00(JT+I+X)

=lim/x—=lim?.

一位J/+i+xi用J+W+i2

(3)lim(竺玲川二］im(l+——產(chǎn)=1而(1+晨一)理馬

XT82x4-1XT82x+lXT82x+l

72和191

=lim(l+-^-)2(l+-^-)2

Xf82x+l2x+l

72K+171

=lim(l+-^-)2.1加(1+$)2=e.

x-?82x+lx->002x4-1

⑷lim里叱茶叱=所sn*(畸I。=皿si2邛二竺也

x->0x510XTx->0x5COSX

22

sinx-2sin^2x-(^-)1

=lim-----z-------=lim-----—=—

X—OX^COSX10爐2

(提示：用等價(jià)無窮小換).

X,lXiX1xxx3

n1ra+b+c-3^ax+bx+cx-33x，因?yàn)?/p>

叫郵吧。+3

3

談+萬+優(yōu)―3xxx

^a+b+c-3=e

㈣(1+3

。'+擾+。'-3

lim

Xf03x

■^■[Intzlim—--4-ln/?lim-—--+lnclim—~~-]

3/->oln(l+r)?->oln(l+w)v->oln(l+v)

=g(lna+lnO+lnc)=ln血力c,

所以1嗎(“+；+。戶=*%而=y/ahc.

提示：求極限過程中作了變換"-1乜"-1R.

...------(sinx-l)tanx

(6)hm(smx產(chǎn)”=hm[1+(sinx-1)]sinx-i,因?yàn)?/p>

22

lim[l+(sinx-l)]sin.i=e,

[./.八,「sinx(sinx-l)

lim(sinx-l)tanx=lim------------

X”XT工COSX

2

=limsinx(sinx-l)^_—sinxcosx=。,

XT匹cosx(sinx+l)江sinx+1

22

所以lim(sinx)tanv=e°=l.

X*

xsinlx>0

9.設(shè)/(])={'X，要使/U)在(T?,y)內(nèi)連續(xù)，應(yīng)怎樣選擇數(shù)a?

a+x2x<0

解要使函數(shù)連續(xù)，必須使函數(shù)在x=0處連續(xù).

因?yàn)?/p>

人0)/lim/(x)=lim(a+x2)=a,lim/(x)=limxsin-=0,

10-10-.10+.30+x

所以當(dāng)a=0時(shí),/)在x=0處連續(xù).因此選取a=0時(shí),/)在(-8,+8)內(nèi)連續(xù).

"J_

10.設(shè)/。)=在1x>°,求五X)的間斷點(diǎn)，并說明間斷點(diǎn)所屬類形.

ln(l+x)-l<x<0

解因?yàn)楹瘮?shù)?r)在x=l處無定義，所以是函數(shù)的一個(gè)間斷點(diǎn).

-----I

因?yàn)閘im/(x)=lime-=0(提示lim——-=-oo),

x-x—x->1X—1

--1

limf(x)=limex~l=8(提示lim——-=+oo),

x-*l+x->l+x—>1+X—1

所以X=1是函數(shù)的第二類間斷點(diǎn).

------1

又因?yàn)閘im/(x)=limln(x+l)=0,limf(x)=limex~l=—,

x->0-x—CTxf0+JC->0+e

所以x=0也是函數(shù)的間斷點(diǎn)，且為第一類間斷點(diǎn).

11.證明lim(」~/1+…+/1)=1.

〃T8J〃2+]J〃2+2y/n2+n

證明因?yàn)椤?/1+/1+…+/1)<,/},且

yjn2+n>/川+1J-2+2VH2+H

所以limf-/1T—］1+,,?4—/1）—1.

J〃2+］J〃2+2

12.證明方程sinx+x+l=0在開區(qū)間（W）內(nèi)至少有一個(gè)根.

證明設(shè)兀v）=sinx+x+l,則函數(shù)Ax）在［一段,5］上連續(xù).

因?yàn)?（—多=一1—尹1=后，/（春）=1+A1=2+泉/（—春）./（3<0,

乙乙乙乙乙乙乙乙

所以由零點(diǎn)定理，在區(qū)間（一停,5）內(nèi)至少存在一點(diǎn)［使A@=o.

這說明方程sinx+x+l=0在開區(qū)間（一長(zhǎng),會(huì)）內(nèi)至少有一個(gè)根.

13.如果存在直線L:y=kx+b,使得當(dāng)X-KO（或xf+=o,x->-8）時(shí)，曲線產(chǎn)於）上的動(dòng)點(diǎn)M（x,y）到直線L

的距離或MDf0,則稱L為曲線）Mx）的漸近線.當(dāng)直線L的斜率后0時(shí)，稱L為斜漸近線.

（I）證明：直線L-.y=kx+b為曲線,Mx）的漸近線的充分必要條件是

k=螞咤，b=lim[f^-kx].

(xfgXfF)(X-?+00,Xf-<X>)

1

（2）求曲線y=（2x-l）e、的斜漸近線.

證明（I）僅就Xf8的情況進(jìn)行證明.

按漸近線的定義,y=kx+b是曲線），J（x）的漸近線的充要條件是

lim[/(x)-(fcx+^)]=O.

Xf8

必要性：設(shè)廣履+b是曲線閆U)的漸近線，則lim"(x)-(履+。)]=0,

于是有l(wèi)imx[-^—k—2]=0=lim^--k=0=k=lim,

xf8XXX->CCXXf8X

同時(shí)有hm[f\x)-kx-b]=O^b=\im[f(<x)-kx].

X->OCX->8

充分性：如果k=lim以2，Z?=lim"(x)-kx],則

x-8Xx—>OC

hm[f(x)-(kx+b)]=\im[f(x)-kx-b]=hm[f(x')-kx]-b=b-b=Q,

Xfoox—>00x-?co

因此是曲線yMx)的漸近線.

(2)因?yàn)閗=lim—=lim空』=2,

x->ooxx->oox

b=hm[y-2x]=lim[(2x-l)^-2x]=21imx(^-l)-l=21im—J~~-1=1,

A->COA->00Xfoof->0ln(l+z)

1

所以曲線y=(2x—l)ex的斜漸近線為產(chǎn)2%+i.

總習(xí)題二

1.在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中選擇一個(gè)正確的填入下列空格內(nèi)：

（I求x）在點(diǎn)Xo可導(dǎo)是4r）在點(diǎn)Xo連續(xù)的條件.凡丫）在點(diǎn)Xo連續(xù)是Ax）在點(diǎn)Xo可導(dǎo)的

____________條件.

（2）_/（x）在點(diǎn)xo的左導(dǎo)數(shù)戶，（X。）及右導(dǎo)數(shù)介〈X。）都存在且相等是J（x）在點(diǎn)與可導(dǎo)的條件.

（3）式x）在點(diǎn)xo可導(dǎo)是/（x）在點(diǎn)的可微的條件.

解（1）充分，必要.

（2）充分必要.

（3）充分必要.

2.選擇下述題中給出的四個(gè)結(jié)論中一個(gè)正確的結(jié)論：

設(shè)犬x）在x=a的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，則兀0在x=a處可導(dǎo)的一個(gè)充分條件是（）.

..1X》..f（a+2h）-f（a+h'）

⑷hm/?"（〃+?。┮?（。）］存在；（8）hm〃----鋁］——存在；

/?—+<?n/?->oh

（Olim^---匕八-----存在；（。）hm7v,------存在.

『02/?/?->oh

解正確結(jié)論是D.

提示：Hm一9+一寸⑷(f

2。hhfO-hAtfOAx

3.設(shè)有?根細(xì)棒，取棒的，端作為原點(diǎn)，棒上任?點(diǎn)的做標(biāo)工為，于是分布在區(qū)間［O,x］上細(xì)棒的質(zhì)量

，〃是x的函數(shù)〃z=〃?(x),應(yīng)怎樣確定細(xì)棒在點(diǎn)沏處的線密度(對(duì)于均勻細(xì)棒來說，單位長(zhǎng)度細(xì)棒的質(zhì)量叫做這

細(xì)棒的線密度)？

解△/77=W?(X()+Ax)-〃2。0).

在區(qū)間［沏,沏+以］上的平均線密度為

-Amm(xQ+\x)-m{xQ)

°F一Ar

于是，在點(diǎn)與處的線密度為

m(x()+Ar)-m(x)

p-lim紜1=lim()=m<Xo).

-AxAA—>oAx

4.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，求/(x)=上的導(dǎo)數(shù).

X

1___1

解y，=lim上應(yīng)」二lim—上—=lim_=1_=」

AxfOAxADAX(X+AA?口Aso(x+Ax)xXz

5.求下列函數(shù)?v)的<(0)及//(O),又/(0)是否存在？

sinxx<Q

“)/(%)=

ln(l+x)x>0;

⑵/(X)=l+e；

0x=0

解⑴因?yàn)镋(0)=lim"x)_*=lim?二。=],

XT。-X—0XT。-X

X

力(0)=lim)(x)-'=iiln(l+x)-0

mlimln(l+x)A=lne=l,

+10+x-0x->0+X10+

而且￡(0)=&(0),所以尸(0)存在，且((0)=1.

-^-0

⑵因?yàn)椤?())=%皆泮1+打

=lim八lim-----r=l，

x-?0-x-0XTO-1

l+ex

-^y-0

力(0)=lim"')—，(■=lim任姓一=lim」T=0,

XT0+X-0XTO+X-010+1

l+0i

而￡(0)工片(0),所以廣(0)不存在.

6.討論函數(shù)

f.1n

rz、xsin—xw()

0x=0

在40處的連續(xù)性與可導(dǎo)性.

解因?yàn)椋?)=0,lim/(x)=limxsin-=O=f(0),所以")在x=o處連續(xù);

x->0x-0X

xsi?n——10n

因?yàn)闃O限lim/x=limsinL不存在，所以凡r)在x=o處不可導(dǎo).

A->0xx-0Xxfox

7.求卜.列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(1))=arcsin(sinx);

1-4-r

(2)y=arctan-----；

1-x

(3)y=lntan-^--cosx4ntanx；

(4)y=ln(e，+Jl+，x)；

(5)y=y[x(x>0).

解⑴y'=/1?(sinx)'=r1?cosx=|COSx

Vl-sin2xvl-sin2xIcosxl

⑵v，=!____(1±A)，=!_____(l-x)+(l+x)=1

1+(1+3)2i~X]?(1+與2(1-尤)2l+X?

1~X\—x

11

(3)yf=-------(tanx—)r+sin"ntanx-cosx--------(tanx)’

'tan3213nx

2

--——sec?三2+sinx?lntanx-cosx?―--sec2x=sinxlntanx.

t嗚22-x

⑷y'=71玄?e+k)'=^卡五塞/=言.

(5)Iny=—Inx,——^-lnx+—,yf=yfx{—Irlnxd■-Inx).

xyxzxxxlxLxL

8.求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù):

(l)y=cos2jInx;

⑵尸立

解2

(1)y'=-2cosxsinx?lnx+cos2x.-l=_sjn2x-lnx+cosx~,

xx

y=-2cos2x-lnx-sin2x--2cosxsinx--cos2

x“xxz

2

=-2cos2x*lnx-2sin2xcosx

xX2

y/l-x2-X?--X—

Z_3

⑵六一=(1-X2)~2

l-xz

23X

/=-^(1-X)~2.(-2X)=.

9.求下列函數(shù)的〃階導(dǎo)數(shù):

⑴尸蚯77;

⑵尸缶

___j_

解(l)y=Wl+x=(l+x)m,

1J--111-1--2'w=—(--1)(—-2)(l+x)^-3

y=-L(i+x)〃？，y〃=J_(_L_D(i+xy〃，

mmmymmm

1111J__n

y(,,)=—(—-1)(--2)---(--n+l)(l+x)">

tnmmm

(”卅1+3,

y=2(-l)(I+x『,)，"=2(-1)(-2)(I+x)-3,y?=2(-D(-2)(-3)(l+工―,…,

嚴(yán))=2(—1)(—2)(-3)…)(1+x)-("i)=；二皆

10.設(shè)函數(shù)y=y(x)|137TSey+xy=e所確定，求)"(0).

解方程兩邊求導(dǎo)得

/'y'+)，+盯'=0,----(1)

于是

―_X+/'

)?，=y'(x+e')-y(l+e'￥)

.—(2)

x+ey~(x+e)')2

當(dāng)x=0時(shí)，由原方程得)，(0)=1,由⑴式得y'(0)=-L由⑵式得y"(0)=4.

eeL

11.求下列由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)半及二階導(dǎo)數(shù)嗅：

axdxL

x=aco^0

(DI

y=asin30'

x=lnJ1+產(chǎn)

y=arctanr

解⑴半=如噌」型變改_=—tan。

dx3cos3。)3acos2^(-sin

續(xù)=上坦紇=re*jsec，夕esc，

dx2(acos3^)-3acos?Osin。3a

1

dy_(arctan/)，_]+,_]

1+t2

Uy1

兩=掌￥=1+1

dx1[lnjl+產(chǎn)了.J_/

1+r2

y—?0t

12.求曲線,,在Z=o相的點(diǎn)處的切線方程及法線方程.

y=e~>

“峰—d:y——-(-<--?----'-)-'------e-----'-——-----1---

dx(2er)'2e'2e^

當(dāng)f=0時(shí)，半=-《，x=2,y=l.

dx2

所求切線的方程為>一1=一"(％—2),即x+2y-4=0;

所求法線的方程為y-l=2(x-2).

13.甲船以6km/h的速率向東行駛，乙船以8km/h的速率向南行駛，在中午十二點(diǎn)正，乙船位于甲船

之北16km處.問下午一點(diǎn)正兩船相離的速率為多少？

解設(shè)從中午十二點(diǎn)開始，經(jīng)過，小時(shí)，兩船之間的距離為S,則有

§2=(16-8產(chǎn)+(6產(chǎn),

2s華=-16(16-8/)+7%,

at

dS=—16(16—8/)+72/

~dt~2S,

當(dāng)日時(shí),s=io,

^1=^28￡72=_2.

cltl/=i20

即下午一點(diǎn)正兩船相離的速度為-2.8km/h.

14.利用函數(shù)的微分代替函數(shù)的增量求VT瓦'的近似值.

解設(shè)f(x)=y[x,則有/(1+Ar)-/(1)?/,(1)AX=1AX,或于是

VT02=Vl+0.02=l+|-0.02=1.007.

15.已知單擺的振動(dòng)周期T=2肛P-,其中g(shù)=980cm/s2,/為擺長(zhǎng)(單位為cm).設(shè)原擺長(zhǎng)為20cm,為

使周期T增大0.05s,擺長(zhǎng)約需加長(zhǎng)多少？

解因?yàn)锳T~dT——?AZ/,

而

所以△八嗎巫k20=2.23(cm),

即擺長(zhǎng)約需加長(zhǎng)2.23cm.

總習(xí)題三

I.填空：

Y

設(shè)常數(shù)心>0,函數(shù)/(x)=lnx——+左在(0,+oo)內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.

e

解應(yīng)填寫2.

提示：f"(x)=--^.

Xe丁

在(o,+8)內(nèi)，令/a)=o,得唯一駐點(diǎn)大日.

x

因?yàn)?〃a)<0,所以曲線/(x)=lnx--+女在(0,+8)內(nèi)是凸的，且駐點(diǎn)一定是最大值點(diǎn)，最大值

e

為人e)M〉0.

又因?yàn)閘im/(x)=-oo,lim/(x)=-oo,所以曲線經(jīng)過x軸兩次，即零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2.

XT40Xf+OO

2.選擇以下題中給出的四個(gè)結(jié)論中一?個(gè)正確的結(jié)論：

設(shè)在［0,1］上廣。)>0,則廣(0),廣⑴,4190)或式OHU)幾個(gè)數(shù)的大小順序?yàn)?).

(A)廣⑴T'(0)/1)/0)；(By，⑴/1)/0)曠(0);

-i)-o)k'⑴k'(o);⑴次o)d1)k'(o)?

解選擇5.

提示：因?yàn)?”(x)>0,所以;(x)在［0,1］上單調(diào)增加,從而廣⑴寸⑴歹⑼.

又由拉格朗日中值定理，有式DdOHrdge。1］,所以

-DTW(O).

3.列舉一個(gè)函數(shù)應(yīng)()滿足:￡v)在［a,b］L連續(xù),在(a,6)內(nèi)除某一點(diǎn)外處處可導(dǎo),但在(“,與內(nèi)不存在點(diǎn)以

使加)T(a)y'?S-a).

解取K0=Ld,xe［-l,1］.

易知人x)在［-1,I］上連續(xù)，且當(dāng)x>0時(shí);(x)=l;當(dāng)x>0時(shí)/(x)=-l;r(0)不存在，即危)在［-1,1］上除%=0

外處處可導(dǎo).

注意川)/-1)=0,所以要使川)成立，即廣(臾0,是不可能的.

因此在(-1,1)內(nèi)不存在點(diǎn)使用)比-1)m

4.設(shè)lim/'(x)=k,求lim［/(x+a)-/(x)］.

x—>8X—>8

解根據(jù)拉格朗日中值公式,介于x+a與X之間.

當(dāng)XfCO時(shí)，彳―8,于是

lim［/(x+a)-/(x)］=lim-a=alimf'(^)=ak.

XTOOXTOO歲TOO

5.證明多項(xiàng)式/(x)=/-3x+a在［0,1］上不可能有兩個(gè)零點(diǎn).

證明/(x)=3『-3=3(/-l),因?yàn)楫?dāng)xe(0,1)時(shí),/(x)<0,所以/(x)在［0.1］上單調(diào)減少.因此，犬x)在［0,

1］上至多有一-個(gè)零點(diǎn).

6.?6Z+—+?-?+—=0,證明多項(xiàng)式式x)=ao+a|X+-一+aX在(0,1)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).

02〃+1

證明設(shè)廠+…+&_爐+1,則尸(X)在［0,1］上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且

2n+\

￡(0)=F(l)=0.由羅爾定理，在(0,1)內(nèi)至少有一個(gè)點(diǎn)久使F?)=0?而尸所以?v)在(0,1)內(nèi)至少有

一個(gè)零點(diǎn).

7.設(shè)貝x)在［0,0上連續(xù)，在(0,a)內(nèi)可導(dǎo)，且｛a)=0,證明存在一點(diǎn)矣(0,a),使

一鄉(xiāng)+―=0.

證明設(shè)尸(x)=MU),則F(x)在［0,a］上連續(xù),在(0,a)內(nèi)可導(dǎo),且F(O)=F(a)=O.由羅爾定理，在(0,a)內(nèi)

至少有一個(gè)點(diǎn)4,使廣代)=0.而尸(xh/(x)+x/(x),所以五。+歹，?=0.

8.設(shè)0<“4函數(shù)Ax)在［a,句上連續(xù)，在(a,6)內(nèi)可導(dǎo)，試?yán)每挛髦兄刀ɡ?證明存在一點(diǎn)生(a,b)使

a

證明對(duì)于_/U)和1nx在［a,上用柯西中值定理，有

\nb-lna

即“a)-f(b)=/4)ln2,矢伍㈤.

a

9.設(shè)yw、g(x)都是可導(dǎo)函數(shù)，且『'a)ivg'a),證明：當(dāng)心*〃時(shí),!/a)M〃)ivg(x)-g(a).

證明由條件jT(x)kg'(x)得知，且有g(shù)'(x)>O,g(x)是單調(diào)增加的，當(dāng)x>a時(shí),

/(打

g(x)>g(a).

因?yàn)?a)、ga)都是可導(dǎo)函數(shù)，所以/a)、ga)在立燈上連續(xù)，在(。,月內(nèi)可導(dǎo)，根據(jù)柯西中值定理，至

/(口)-/(〃)_/@

少存在一點(diǎn)表(a,x),使

g(x)-g(a)g'(。)

因此與⑷.

g(x)-g(a)|g6)|

10.求下列極限:

(l)lim”―一

n1-x+lnx

(2)lim[———--];

XTOln(l+x)x

2

(3)lim(—arctanxr).

Xf+OCJi

111

(4)lim[(aJ+…+若)/〃產(chǎn)(其中…，%>O),

A->00

xv

解(1)(x7=(e(jnx+1)=x(Inx+1).

..x-xx..(x-xxy..l-x'(lnx4-l)「1(lnx+1)

lim-------------=hm-----------------=lim-------------------=lim----------------------

nl-x+lnxxf?(l-x+lnx)'xfi11xf1-x

-n—

x

l-xx+'(lnx+l+-)(lnx+l)-xv

=lim-------------------------------------------=2.

Xfi-1

1--—

13=limgnQ+x)1l+x

(2)lim[=lim

z

ioln(l+x)xXTOxln(l+x)io[xln(14-x)].v->0ln(l+x)+-X

1+x

=lim-----------------------=lim-------------------=—

xfO(l+x)ln(l+/)+xx-^oln(l+x)+14-l2

2^(Inarctanx+ln—)

(3)lim(—arctanx)A=lime”

XT+8JIXT+8

因?yàn)?/p>

2,11

r(lnarctanx+ln—)------------------+

limx(lnarctanx+In—)=lim----------------------=lima】ctanx|+”

XT+OOJIXf+<?(1)，XT+001

XX2

所以

2

2x(lnarctanx+ln—)

lim(—arctanx)A=lime，=e

X->+8JIX-

?L_11111

(4)令y=[3J+???+〃；)/〃]"".則Iny=〃R[ln(〃J+〃$+???+〃；)一ln〃],因?yàn)?/p>

JL11

叩n(〃『+以+???+〃,：)…〃]

limlny=lim-----------------------------------------

XT8A-40OI

X

n?—j---j---------In%+4”na2+3+ajlna“>(一)'

=hm——!---=--------------------------------------------------

i(-)-

X

=lnQ］+Ina2+'?+ln%=ln(a「a2?一%).

111

x

即limInyTnQg…斯)，從而lim［(a1+〃￡+…+〃,：)/川〃'=limy=a}-a1'-an.

.r—>oo*—>oo.v—>oo

11.證明下列不等式：

(1)當(dāng)0<再工時(shí)，tanX->—;

2tanx1%1

(2)：當(dāng)x>0時(shí)，ln(l+x)>-------.

1+x

證明(l)^/(x)=—,X€(0,-).

x2

2

E“…、xsecx-tanxx-tanx八

因?yàn)閒(x)=-------2------>———>0,

XX

TTTT

所以在(0,5)內(nèi)外)為單調(diào)增加的.因此當(dāng)0</<12<］時(shí)有］

tanXj<tan%2即tanx2〉工2

%)x2tanxjXj

(2)要證(1+x)ln(1+x)>arctanx,即證(1+x)ln(1+x)-arctanx>0.

設(shè)/U)=(l+x)ln(l+x)-arctanx,則/(x)在［0,+8)上連續(xù)，/'(x)=ln(l+x)---二.

1+廠

因?yàn)楫?dāng)心>0時(shí),ln(l+x)>0,1——二>。，所以在［0,+8)上單調(diào)增加.

l+x2

因此，當(dāng)心>0時(shí),40?(0),而次0)=0,從而小AO,HP(1+.x)ln(1+x)-arctanx>0.

r2xY>0

12.設(shè)/口)=《'，求/)的極值.

x+2x<0

解40是函數(shù)的間斷點(diǎn).

當(dāng)x<0時(shí)，/(x)=l;當(dāng)x>0時(shí)/a)=2x2'(lnx+1).

令尸(x)=0,得函數(shù)的駐點(diǎn)工=」.

e

列表：

￡A

Xy,o)0(0.-)(一,+00)

eee

f'(x)+不存在-0+

2

/2極大值/

ee極小值

函數(shù)的極大值為"0)=2,極小值為f(-)=e~.

e

13.求橢圓+)，=3上縱坐標(biāo)最大和最小的點(diǎn).

解2x-y-xy'+2yy'=O,y'=^—^-.當(dāng)時(shí),y=0.

x-2y2-

將X=gy代入橢圓方程，得;y2-gy2+y2=3,y=±2.

于是得駐點(diǎn)4-1,x=l.因?yàn)闄E圓上縱坐標(biāo)最大和最小的點(diǎn)一定存在，且在駐點(diǎn)處取得，又當(dāng)x=-i時(shí)，y

=-2,當(dāng)x=l時(shí),y=2,所以縱坐標(biāo)最大和最小的點(diǎn)分別為(1,2)和(-1,-2).

14.求數(shù)列｛折;｝的最大項(xiàng).

解4,f{x]-y[x=Xx(X>0),則

Inf(x)=—\nx,

x

.八―T(l』x)

fM

f'(x)=xx(1-lnx).

令/(1)=0,得唯一駐點(diǎn)x=e.

因?yàn)楫?dāng)0<x<e吐尸(x)>0;當(dāng)x>e時(shí),尸。)<0,所以唯?駐點(diǎn)『為最大值點(diǎn).

因此所求最大項(xiàng)為max(V2,V3｝=V3.

15.曲線弧尸inx(0o<4)上哪一點(diǎn)處的曲率半徑最??？求出該點(diǎn)處的曲率半徑.

解yr=cosx,>,,z=-sinx,

(l+y'2嚴(yán)(l+cos2x)3/2

p=---:------(0<%〈初

y\yn\sinx

(l+cos2x)2(-2cosxsinx)sinx-(l+cos2x)2cosx

,=2_________________________________

sin2x

-(l+cos2x)2cosx(3sin2x+cos2x+l)

sin2x

在(0,乃)內(nèi)，令4=0、得駐點(diǎn)X=”

2

TTTTTT

因?yàn)楫?dāng)0cxe—時(shí)，“<0;當(dāng)一<x<乃時(shí)，”>0,所以x=—是P的極小值點(diǎn)，同時(shí)也是/?的最小值點(diǎn),

222

(1+cos2-)3/2

最小值為p-------------=1.

.71

sin—

2

16.證明方程/_5尸2=0只有一個(gè)正根.并求此正根的近似值，使精確到本世紀(jì)末103

解設(shè)/(X)=X3_5X-2,則

f3=3/-5J〃a)=6x.

當(dāng)x>0時(shí)，/〃@>0,所以在(0,+8)內(nèi)曲線是凹的，又式0)=-2,lim(x3-x-2)=+oo,所以在(0,+oo)

內(nèi)方程?-5x-2=0只能有一個(gè)根.

(求根的近似值略)

17.設(shè)/”(即)存在，證明limJ史/7)+」(xy/二2/(勺)=1,()

6—0h2

證明]im/(/+")+。(/j)-2/(x。)1(與+仆尸(/i)

力一>002a-。2h

lfXx+h)-f\x-h)

=-lrim-----Q-----------0----

2萬foh

1[fXxo+h)-f'(Xo)]+[f(Xo)-f\xo-h)]

2oh

+叢中^得八丈。)+小。)]=1°).

2ohh2

18.設(shè)產(chǎn)也)存在,且〃即用'(沏)=…歹叱嶗=0,證明/)R[(xf/]afo).

證明因?yàn)?/p>

八X)?

34(工一工0)〃Xfo"0—冗0)〃?

=lim-----------———=???=lim------

M2

f°n(n-l)(x-x0)~f。H!(X-X0)

_1lim/""⑴-尸？％)-1心()-0

一一；urn--------------------