利用基本不等式求最值題型一：利用均值不等式直接求最值1.積定和最小，和定積最大（1）設(shè)x，y為正實(shí)數(shù)，若x＋y＝s(和s為定值)，則當(dāng)x=y時(shí)，積xy有最大值，且這個(gè)值為eq\f(s2,4).（2）設(shè)x，y為正實(shí)數(shù)，若xy＝p(積p為定值),則當(dāng)x=y時(shí)，和x＋y有最小值,且這個(gè)值為2eq\r(p).例1.（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知m，n∈R，m2+n2=100，則mn的最大值是（

）A．25 B．50 C．20 D．答案：B解析：由m2+n2≥2mn，得mn≤=50，當(dāng)且僅當(dāng)m=n=±時(shí)等號(hào)成立.所以mn的最大值是.故選：B變形1：已知正數(shù)滿足，則的最大值（）A．B．C．D．答案：B解析：因?yàn)檎龜?shù)滿足，所以有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故選：B變形2:（2022·北京八中高二階段練習(xí)）若，都為正實(shí)數(shù)，，則的最大值是（

）A． B． C． D．答案：B解析：因?yàn)?，都為正?shí)數(shù)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取最大值.故選：D變形3：（2020·廣東·深圳市南山外國(guó)語(yǔ)學(xué)校（集團(tuán)）高一期中）已知正數(shù)，滿足，則的最小值是（

）A．10 B．20 C．15 D．25答案：B解析：因?yàn)檎龜?shù)，滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故選：B.變形4：（2021·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知x>0，y>0，且xy=10，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．6答案：C解析：因?yàn)閤>0，y>0，且xy=10，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為4，故選：C變形5：（多選）若，恒成立，則的取值可以是（）A．B．C．D．答案：BCD解析：由，可知，，則，，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以，因?yàn)椋瑒t.故選：BCD.例2.(1)已知，，若，則的最大值為（）．A．B．C．D．1答案：A解析：，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立．故選：A．(2)已知，則的最小值是（）A．1B．4C．7D．答案：C解析：∵，∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故選：C例3.若a+b≠0，則a2+b2+答案：2解答：根據(jù)題意，若a+b≠0，即a≠﹣b，則有a2+b2＞(a+b則a2+b即a2+b故答案為：2例4.已知正實(shí)數(shù)，，滿足，則的最小值為______.答案：解析：因?yàn)?，即，所以，上述兩個(gè)不等式均是當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故答案為：．例5.已知，，則的最小值為___________.答案：2解析：因?yàn)?，，所以，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以最小值為2.故答案為：2.小結(jié)：在用基本不等式求函數(shù)的最值時(shí)，要滿足三個(gè)條件：一正二定三相等.①一正：各項(xiàng)均為正數(shù)；②二定：含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必須有一個(gè)為定值；③三相等：驗(yàn)證等號(hào)是否成立，若等號(hào)不成立則這個(gè)定值就不是所求的最值。題型二配湊法求最值例1.已知實(shí)數(shù)，則的最小值是（）A．B．C．D．答案：A解析：因?yàn)椋瑒t，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值是.故選：A.例2.設(shè)，求函數(shù)的最大值。答案：解析：∵∴∴當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立練一練.已知求的最大值．答案：解析：例4.已知，則的最小值是（）A．14B．C．8D．答案：A解析：因?yàn)?，則，于是得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以當(dāng)時(shí)，取最小值14.故選：A例5.若，則的最小值為___________.答案：解析：因?yàn)?，則，，

當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為.故答案為：.題型三消元法求最值例1.已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為______.答案：解析：依題意正實(shí)數(shù)，滿足，，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立.例2.若實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為．答案：解析：因，所以，所以，因此當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)例3.若正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為___________.答案：解析：由且知：，∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)等號(hào)成立.故答案為：利用基本不等式求最值的方法例4.（2022·浙江浙江·高一期中）已知正數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4答案：B解析：根據(jù)題意可得，由，所以，由，可得，即，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故選：B.例5.（2021·廣東·華南師大附中高一期中）已知a＞0，且a2－b＋4＝0，則（

）A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值答案：D解析：因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴有最小值故選：D.例6.（2021·浙江省杭州第二中學(xué)高一期中）已知正數(shù)a和b滿足ab+a+2b=7，則的最小值為（

）A． B． C． D．答案：A解析：因?yàn)閍b+a+2b=7，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故選：A例7．（2014?浙江）已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足a+b+c＝0，a2+b2+c2＝1，則a的最大值是．答案：6解析：∵a+b+c＝0，a2+b2+c2＝1，∴b+c＝﹣a，b2+c2＝1﹣a2，∴bc=12?（2bc）=12[（b+c）2﹣（b2+c2∴b、c是方程：x2+ax+a2?1∴△≥0∴a2﹣4（a2?12）≥0，即a∴?63≤a≤6故答案為：63例8.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)正實(shí)數(shù)，，滿足，則當(dāng)取得最大值時(shí)，的最大值為（

）A． B． C． D．答案：D解析：由正實(shí)數(shù)，，滿足，．，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)．，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即的最大值是1．故選：D例9．設(shè)，則的最小值等于（）A．2B．4C．D．答案：B解析：因?yàn)椋傻们?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：B.題型4：見(jiàn)面開根號(hào)（1）形如：，，求的最小值.方法：（2）形如：，，求的最小值.方法：例1.(1)已知，，且，則最小值為。答案：B解析：由題知，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，(2)已知，，，求的最小值.答案：2解析：，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立當(dāng)時(shí)，的最小值為2.變形1.(1)已知，，，求的最小值.答案：2解析：，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立當(dāng)時(shí)，的最小值為2.(2)已知，，且，則最小值為（）A．B．C．D．答案：B解析：由題知，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，故選：B變形2.已知，且，則的最大值為（）A．B．C．D．答案：D解析：由，可得，又由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，即的最大值為.故選：D.變形3.（2021·浙江高一期末），，且，不等式恒成立，則的范圍為_______.答案：解析：因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，因?yàn)椴坏仁胶愠闪?，所以小于等于最小值，所以變?.(2022安徽合肥六中段考)當(dāng)0<x<1時(shí),的最小值為()答案.B解析：因?yàn)?<x<1,所以0<1x<1,所以y=1x+41?x=1x+41?x當(dāng)且僅當(dāng)1?xx=4x所以y=1x+4變形5.（2021·浙江）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．答案：C解析：不等式恒成立化為恒成立，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.所以，所以的最大值為.故選：C變形6.若是正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為．答案：解析：因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，等號(hào)成立.變形7.（2022·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為（

）A．2 B．4 C．8 D．12答案：C解析：由，且，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)．故選：C變形8.（2022·安徽·南陵中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））若實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．答案：A解析：因?yàn)?，，所以，又所以?dāng)且僅當(dāng)即，時(shí)，取等號(hào)所以故選：A變形9.若不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．答案：A解析：由不等式對(duì)任意恒成立轉(zhuǎn)化為，其中,即可.，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.變形10.若正數(shù)，滿足，則的最小值為A．B．C．5D．6答案：解析：由得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．故的最小值是變形11.(1)已知非負(fù)數(shù)滿足，則的最小值是（）A．3 B．4 C．10 D．16答案:B解析：由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，故選：B(2)設(shè)均為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（）A．8B．16C．9D．6答案：A解析：因?yàn)榫鶠檎龑?shí)數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).因此的最小值為.故選：A.變形12.設(shè)為正數(shù)，且，則的最小值為（）A．B．C．D．答案：A解析：由可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，故選：A變形13.已知，，且，則的最小值為（）A．9B．10C．11D．答案：A解析：，，又，且，，當(dāng)且僅當(dāng)，解得，時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為9，故選：A．變形14.已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是（）A．B．C．D．答案：A解析：，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，因此，因?yàn)槭钦龑?shí)數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即時(shí)取等號(hào)，即時(shí)取等號(hào)，故選：A變形15．（2022·湖北·恩施市第一中學(xué)高一階段練習(xí)）已知，且，，則的最小值為___________.答案：解析：因?yàn)?，所以又因?yàn)?，所以，即，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，故答案為：變形16.已知，，且，則的最小值為（）A．B．C．D．答案：A解析：因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，所以，得，所以，記，所以，所以，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)即等號(hào)成立，此時(shí)，.故選：A.變形17.（2022·重慶·三模）已知，，且，則的最小值為___________.答案：4解析：由題得，所以.(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等)因?yàn)椋缘淖钚≈禐?.故答案為：4例2.(1)若，且，則的最小值為．答案：解析：設(shè)，則，所以，因此因所以小結(jié)：若題目中含是求兩個(gè)分式的最值問(wèn)題，對(duì)于這類問(wèn)題最常用的方法就是雙換元，分布運(yùn)用兩個(gè)分式的分母為兩個(gè)參數(shù)，轉(zhuǎn)化為這兩個(gè)參數(shù)的不等關(guān)系．練一練：（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知正數(shù)x，y滿足，則的最小值（

）A． B． C． D．答案：A解析：令，，則，即，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，故選：A.(2)（2022·江西·臨川一中高三階段練習(xí)（文））已知，，，則的最小值為___________.答案：解析：因?yàn)椋?，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以的最小值為.故答案為：.練一練：（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，，則取到最小值為________．答案：．解析：令，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即的最小值是．變形1.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，且，則的最小值為_________答案：分析：令，可得，化簡(jiǎn)可得，再結(jié)合基本不等式可求解.解析：令，則，則，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為.故答案為：.變形2．（2022·河北·青龍滿族自治縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三開學(xué)考試）已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為__________．答案：解析：設(shè)，，，可得，則.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：.題型5：利用已知等式構(gòu)造未知式的不等式若出現(xiàn)，其中、、、、因?yàn)?，可以轉(zhuǎn)化為或，從而求出及的取值范圍．若出現(xiàn)求取值范圍，先將式子因式分解成為形式，再用基本不等式求出最值．例1.（2022重慶月考）設(shè)，，，則A．有最大值8 B．有最小值8 C．有最大值8 D．有最小值8答案：B解析：設(shè)，則，所以，因，所以，即，所以，解得，所以設(shè)，則，所以，，所以因，所以，即，所以，解得，所以變形1.若，，且，則的最小值為（）A．9B．16C．49D．81答案：D解析：由題意得，得，解得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．故選：D變形2.若實(shí)數(shù)，滿足，則的取值范圍為______;的取值范圍為______．答案：解析：由于，(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))，∴，又，所以，故，即的取值范圍為.變形3.若實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是（）A．B．C．D．答案：A解析：，又，，令，則，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，的取值范圍是，．故選：A．變形4.已知，且，則的最小值為（）A．4B．6C．9D．12答案：B解析：由，得，又因?yàn)?，所以，即，解得或，又，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．故選：B．變形5.（2022·黑龍江·綏芬河市高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）若實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．4答案：C解析：因?yàn)椋?，，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，前一不等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，兩個(gè)等號(hào)能同時(shí)取得，綜上，時(shí)，取得最小值．故選：C．變形6．（2022·浙江·慈溪中學(xué)高三開學(xué)考試）已知正實(shí)數(shù)、滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．答案：C分析：在等式的兩邊同乘以，結(jié)合基本不等式可得出關(guān)于的二次不等式，即可解得的最小值.解析：因?yàn)檎龑?shí)數(shù)、滿足，等式兩邊同乘以可得，所以，，因?yàn)?，解得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.因此，的最小值為.故選：C.練一練．（2022·湖北·高三開學(xué)考試）已知正數(shù)滿足，則的最大值是___________.答案：分析：設(shè)，表達(dá)出，結(jié)合基本不等式求解最值，再根據(jù)二次不等式求解即可.解析：設(shè)，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以，解得，即的最大值，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào).故答案為：例2.非負(fù)實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為___________.答案：解析：由題意，非負(fù)實(shí)數(shù)滿足，可得,又由，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，即，所以或，所以，即時(shí)，的最小值為.故答案為：.變形1.設(shè)求最小值．答案：解析：因，所以，即，所以，即，所以變形2.（2022·河北保定·二模）已知a，，且，則的最大值為（

）A．2 B．3 C． D．答案：C解析：，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，“=”成立，又a，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，“=”成立，所以的最大值為.故選：C變形3.（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足：，則的最小值為_________．答案：分析：根據(jù)，可得，再令，再利用基本不等式即可得出答案.解析：因?yàn)?，所以，所以，所以，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故答案為：.題型6：湊齊次所求式子含有多元，但不是齊次式，通過(guò)分子或分母的某個(gè)常數(shù)換為已知式子，達(dá)到分子分母是齊次式的目的，然后轉(zhuǎn)化為運(yùn)用基本不等式進(jìn)行求解．例1．（2022·山東日照·高三開學(xué)考試）設(shè)正實(shí)數(shù)m，n滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．答案：C解析：因?yàn)檎龑?shí)數(shù)m，n，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)且，即，時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取得最小值，故選：C例2.（2022·天津南開·一模）若，，，，則的最小值為______．答案：分析：令，則，由此可將變形為，結(jié)合基本不等式，即可求得答案。解析：由題意，，，，得：，設(shè)，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，故的最小值為，故答案為：例3.已知，，，則的最小值為．答案：解析：，因?yàn)?，所以?.（2022·天津·高三專題練習(xí)）已知，，且，則的最小值為____________.答案：分析：先變形：，再根據(jù)基本不等式求最值.解析：當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)即的最小值為.故答案為：.例5．已知，，，則的最小值為（）A． B． C． D．答案：B解析：已知，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)，且，等號(hào)成立，故的最小值為，例6．（2022·黑龍江·鶴崗一中高三階段練習(xí)）已知，，，則的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．10答案：B解析：因?yàn)?，，，所以，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，即的最小值為6，故選：B.題型7：多變量，但沒(méi)有制約關(guān)系先按其中一字母為變量，其他字母為常數(shù)，求出最值，再按第二字母為常數(shù)，求出最值，以此類推。例1．（2021?天津）已知a＞0，b＞0，則1a+ab2+答案為：22．解析：法一：∵a＞0，b＞0，∴1a+ab2+b≥2當(dāng)且僅當(dāng)1a=ab2且b=2∴1a+ab法二：∵a＞0，b＞0，∴1a+ab2+b當(dāng)且僅當(dāng)1a=ab2=∴1a+ab故答案為：22．例2.已知a>b>0,則a2+16b2答案.C解析：∵b(ab)≤b+a-b22=a24,∴a2+16b(a-b)≥a例3.設(shè)，則的最小值為（）A． B． C．4 D．答案：A解析：，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)故選：A例4．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，，，，則的最小值為（

）A． B．2 C．6 D．答案：D解析：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，（應(yīng)用基本不等式時(shí)注意等號(hào)成立的條件）所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即且時(shí)，等號(hào)成立，故最小值為，故選：D例5.設(shè)，則的最小值是（）A．1B．2C．3D．4答案：D解析：,當(dāng)且僅當(dāng)和，即時(shí)取等號(hào)，故選：D.例6.若a，b，c均為正實(shí)數(shù)，則的最大值為（）A．B．C．D．答案：A解析：因?yàn)閍，b均為正實(shí)數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時(shí)取等號(hào)，則的最大值為．故選：A．例7.（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）已知，，，則

的最小值為（

）A．B．C． D．答案：D解析：因?yàn)?，，，且，則，由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得等號(hào)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得等號(hào)，則所求的最小值為．故選：D例8.設(shè)，則的最小值是A．2B．4C．D．5答案：解析：原式例9.（2021·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，則的最小值是（

）A．6 B． C． D．答案：D解析：因?yàn)椋O(shè)，則，．當(dāng)且僅當(dāng)且即，，時(shí)等號(hào)成立，故選：D．能力拓展題型1.多變量的對(duì)稱式的最值問(wèn)題針對(duì)兩字母問(wèn)題，一個(gè)代數(shù)式兩字母互換代數(shù)式不變，那么該代數(shù)式稱為對(duì)稱式，若已知條件和所求式子中，兩字母互換該題不變，則所求式子一般在兩字母相等時(shí)取得一個(gè)最值，兩字母之差最大時(shí)取得另一個(gè)最值（把對(duì)稱式作為變量的除外。如例1）例1．（2020?天津）已知a＞0，b＞0，且ab＝1，則12a+1答案：4解析：a＞0，b＞0，且ab＝1，則12a+1當(dāng)且僅當(dāng)a+b2=8a+b，即a＝2+3，b＝2?3或a＝2故答案為：4注意：該題在a=b時(shí)不取最小值，因?yàn)樵擃}本質(zhì)上把a(bǔ)+b作為了變量。例2.(多選)(2021遼寧葫蘆島質(zhì)量檢測(cè))已知兩個(gè)不等正數(shù)a,b滿足a+b=1,則下列說(shuō)法正確的是()A.ab<14B.1a+1b<4C.a+b<2D.a2+b答案：.ACD解析：A.因?yàn)閍,b為兩個(gè)不等正數(shù),所以ab<a+b2=11a+1b=a+bab(a+b)2=a+b+2ab=