第1頁/共1頁2022北京平谷中學(xué)初二（下）期中數(shù)學(xué)一、選擇題（共10小題，滿分30分）1.下列是最簡二次根式的為（）A. B.（a＞0） C. D.2.下列運(yùn)算正確是()A. B.C. D.3.已知?ABCD的周長為24，AB＝4，則BC的長為（）A.6 B.8 C.10 D.124.若四邊形兩條對(duì)角線相等，則順次連接其各邊中點(diǎn)得到的四邊形是（）A.菱形 B.矩形 C.梯形 D.正方形5.的化簡結(jié)果為（）A.3 B.﹣3 C.±3 D.96.下列命題中，正確個(gè)數(shù)是（）①若三條線段的比為1：1：，則它們組成一個(gè)等腰三角形；②兩條對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；③對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形；④兩個(gè)鄰角相等的平行四邊形是矩形．A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)7.如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分線與BC的延長線交于點(diǎn)E，與DC交于點(diǎn)F，且點(diǎn)F為邊DC的中點(diǎn)，DG⊥AE，垂足為G，若DG=1，則AE的邊長為（）A. B. C.4 D.88.若菱形的兩條對(duì)角線長分別是6和8，則它的周長為（）A.20 B.24 C.40 D.489.如圖，小聰在作線段AB的垂直平分線時(shí)，他是這樣操作的：分別以A和B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于C、D，則直線CD即為所求．根據(jù)他的作圖方法可知四邊形ADBC一定是（）A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.等腰梯形10.如圖，正方形ABCD中，AB＝12，點(diǎn)E在邊BC上，BE＝EC，將△DCE沿DE對(duì)折至△DFE，延長EF交邊AB于點(diǎn)G，連接DG、BF，給出以下結(jié)論：①△DAG≌△DFG；②BG＝2AG；③S△DGF＝48；④S△BEF＝．其中所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A4 B.3 C.2 D.1二、填空題（每小題3分，總共18分）11.式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是________．12.甲、乙兩個(gè)樣本，甲方差為0.102，乙的方差為0.06，哪個(gè)樣本的數(shù)據(jù)波動(dòng)大？答：________．13.在四邊形ABCD中，AC⊥BD，AB＝AD，要使四邊形ABCD菱形，只需添加一個(gè)條件，這個(gè)條件可以是_____（只要填寫一種情況）．14.計(jì)算：×﹣4×＝_____．15.如圖所示，DE為△ABC的中位線，點(diǎn)F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝10，則EF的長為_____．16.如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上的一點(diǎn)，BE=1，F(xiàn)為AB上的一點(diǎn)，AF=2，P為AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PF＋PE的最小值為______________三、解答題（共72分）17.（1）；（2）．18.已知，，求的值．19.如圖，四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC與BD相交于O，AB=5，AO=4，求BD的長．20.如圖：四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC與BD相交于O，菱形ABCD的周長是20，．（1）求AC的長；（2）求菱形ABCD的高的長．21.把一張長方形紙片按如圖方式折疊，使頂點(diǎn)和點(diǎn)重合，折痕為.若，，（1）求的長；（2）求重疊部分的面積.22.如圖，已知以△ABC的三邊為邊，在BC的同側(cè)分別作等邊三角形ABD、BCE和ACF．（1）求證：四邊形ADEF是平行四邊形；（2）△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADEF是菱形？是矩形？并說明理由；（3）這樣的平行四邊形ADEF是否總是存在？請說明理由．23.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的頂點(diǎn)C、A分別在x軸和y軸的正半軸上，點(diǎn)B(a，b）在第一象限，且a、b滿足a2+2b2-2ab-12b+36=0，AP平分∠CAB交OB于P，（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求∠OPA的度數(shù)及OP的長；（3）點(diǎn)P不動(dòng)，將正方形OABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，∠COP=60°，AP交OB于點(diǎn)F，連接CF，求證：OF+CF=PF

參考答案一、選擇題（共10小題，滿分30分）1.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義可直接進(jìn)行求解．【詳解】解：A.最簡二次根式，故A符合題意；B.，不是最簡二次根式，故B不符合題意；C.，不是最簡二次根式，故C不符合題意；D.，不是最簡二次根式，故D不符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查最簡二次根式，熟練掌握最簡二次根式滿足的條件：一是被開方數(shù)不能含有開得盡方的因數(shù)或因式，二是被開方數(shù)不能含有分母．2.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)合并同類二次根式的法則和二次根式的乘法、除法法則即可的出答案．【詳解】解：A選項(xiàng)中，與不是同類二次根式，不能合并，故A選項(xiàng)不正確，不符合題意；B選項(xiàng)中，，故B選項(xiàng)不正確，不符合題意；C選項(xiàng)中，，故C選項(xiàng)正確，符合題意；D選項(xiàng)中，，故D選項(xiàng)不正確，不符合題意；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查合并同類二次根式、二次根式的乘法、二次根式的除法，熟練掌握相應(yīng)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．3.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得AB=CD，AD=BC，根據(jù)2（AB+BC）=24即可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB=CD，AD=BC∵平行四邊形ABCD的周長是24∴2（AB+BC）=24∴BC=8故正確答案為：B【點(diǎn)睛】此題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，利用平行四邊形的兩組對(duì)邊分別相等是解題的關(guān)鍵．4.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)順次連接四邊形各邊中點(diǎn)，所得的圖形是平行四邊形；順次連接對(duì)角線相等的四邊形的各邊中點(diǎn)，所得的圖形是菱形；順次連接對(duì)角線互相垂直的四邊形的各邊中點(diǎn)，所得的圖形是矩形；順次連接對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形的各邊中點(diǎn)，所得的圖形是正方形；即可選出答案．【詳解】解：如圖，AC＝BD，E、F、G、H分別是線段AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)，則EH、FG分別是△ABD、△BCD的中位線，EF、HG分別是△ACD、△ABC的中位線，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)知，EH＝FG＝BD，EF＝HG＝AC，∵AC＝BD，∴EH＝FG＝FG＝EF，∴四邊形EFGH是菱形．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查中點(diǎn)四邊形、三角形中位線定理、菱形的判定，牢記中點(diǎn)四邊形的結(jié)論，會(huì)應(yīng)用三角形中位線定理對(duì)中點(diǎn)四邊形進(jìn)行推導(dǎo)是解題的關(guān)鍵．5.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)二次根式性質(zhì)直接求解即可．【詳解】解：，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的性質(zhì)化簡，涉及到絕對(duì)值運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及運(yùn)算法則是解決問題的關(guān)鍵．6.【答案】D【解析】【分析】利用等腰三角形的判定及矩形的判定方法分別判斷后即可確定答案．【詳解】解：①根據(jù)三條線段的比為1：1：，則可得到該三角形的兩邊相等，所以它們組成一個(gè)等腰三角形，正確；②兩條對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，正確；③對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形，正確；④兩個(gè)鄰角相等的平行四邊形是矩形，正確，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定及矩形的判定方法，屬于基礎(chǔ)題，比較簡單．7.【答案】B【解析】【分析】由AE為角平分線，得到∠DAE=∠BAE，由ABCD為平行四邊形，得到DC//AB，推出AD=DF，由F為DC中點(diǎn)，AB=CD，求出AD與DF的長，利用勾股定理求出AG的長，進(jìn)而求出AF的長，再由△ADF≌△ECF（AAS），得出AF=EF，即可求出AE的長．【詳解】解：∵AE為∠DAB的平分線，∴∠DAE=∠BAE，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴DC//AB，∴∠BAE=∠DFA，∴∠DAE=∠DFA，∴∠DAE=∠DFA，∴AD=FD，又F為DC的中點(diǎn)，∴DF=CF，∴AD=DF=DC=AB=2，在Rt△ADG中，DG=1，∴AG==，∵DG⊥AE，∴AF=2AG=2，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD//BC，∴∠DAF=∠E，∠ADF=∠ECF，在△ADF和△ECF中，，∴△ADF≌△ECF（AAS），∴AF=EF，則AE=2AF=4．故選：B．8.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直平分的性質(zhì)，利用對(duì)角線的一半，根據(jù)勾股定理求出菱形的邊長，再根據(jù)菱形的四條邊相等求出周長即可．【詳解】解：如圖所示，根據(jù)題意得AO＝×8＝4，BO＝×6＝3，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，∴△AOB是直角三角形，∴AB＝，∴此菱形的周長為：5×4＝20．故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，利用勾股定理求出菱形的邊長是解題的關(guān)鍵，同學(xué)們也要熟練掌握菱形的性質(zhì)：①菱形的四條邊都相等；②菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角．9.【答案】B【解析】【詳解】解：∵分別以A和B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于C、D，∴AC=AD=BD=BC，∴四邊形ADBC一定是菱形，故選：B．10.【答案】B【解析】【分析】①根據(jù)正方形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可得AD＝DF，∠A＝∠GFD＝90°，于是根據(jù)“HL”判定Rt△ADG≌Rt△FDG；②再由GF+GB＝GA+GB＝12，EB＝EF，△BGE為直角三角形，可通過勾股定理列方程求出AG＝4，BG＝8，即可判斷；③根據(jù)①即可求出三角形DGF的面積；④結(jié)合①可得AG＝GF，根據(jù)等高的兩個(gè)三角形的面積的比等于底與底的比即可求出三角形BEF的面積．【詳解】解：①∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠C＝∠A＝90°，由折疊可知，DF＝DC＝DA，∠DFE＝∠C＝90°，∴∠DFG＝180°－∠DFE＝90°，∴∠DFG＝∠A＝90°，在Rt△ADG和Rt△FDG中，，∴Rt△ADG≌Rt△FDG（HL），故①正確；②∵正方形邊長是12，∴BE＝EC＝EF＝6，設(shè)AG＝FG＝x，則EG＝x+6，BG＝12﹣x，由勾股定理得：EG2＝BE2+BG2，即：（x+6）2＝62+（12﹣x）2，解得：x＝4，∴AG＝GF＝4，BG＝8，BG＝2AG，故②正確；③∵Rt△ADG≌Rt△FDG，∴S△DGF＝S△ADG＝×AG?AD＝×4×12＝24，故③錯(cuò)誤；④∵S△GBE＝BE?BG＝×6×8＝24，∵GF＝AG＝4，EF＝BE＝6，∴，∴，故④正確．綜上可知正確的結(jié)論的是3個(gè)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，折疊的性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵．二、填空題（每小題3分，總共18分）11.【答案】x≥﹣3【解析】【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件，根號(hào)內(nèi)的式子必需大于等于0，即可求出答案．【詳解】解：式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則3+x≥0，解得：x≥﹣3．故答案為：x≥﹣3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式有意義，熟練其要求是解決本題的關(guān)鍵．12.【答案】甲的波動(dòng)比乙的波動(dòng)大．【解析】【分析】根據(jù)方差的定義，方差越小數(shù)據(jù)越穩(wěn)定，故可得到正確答案．【詳解】解：根據(jù)方差的意義，甲樣本的方差大于乙樣本的方差，故甲的波動(dòng)比乙的波動(dòng)大．

故答案：甲的波動(dòng)比乙的波動(dòng)大．【點(diǎn)睛】本題考查方差的意義．方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的量，方差越大，表明這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越大，即波動(dòng)越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定；反之，方差越小，表明這組數(shù)據(jù)分布比較集中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小，即波動(dòng)越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定．13.【答案】（本題答案不唯一）【解析】【分析】首先根據(jù)條件可得∠AOD=∠AOB=90°，再證明Rt△ABO≌Rt△ADO，從而得到BO=DO，再證明△ABO≌Rt△CDO，進(jìn)而得到AB=CD，再加上條件AB∥CD可得到四邊形ABCD是平行四邊形，又有AB=AD可證出四邊形ABCD是菱形．【詳解】∵AC⊥BD，∴∠AOD=∠AOB=90°，在Rt△ABO和Rt△ADO中AO=AO，AB=AD，∴Rt△ABO≌Rt△ADO，∴BO=DO，∵AB∥CD，∴∠ABO=∠CDO，在△ABO和Rt△CDO中∠AOB=∠DOC，∠CDO=∠ABO，BO=DO，∴△ABO≌Rt△CDO，∴AB=CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AB=AD，∴四邊形ABCD是菱形．【點(diǎn)睛】此題主要考查了菱形的判定，屬于基礎(chǔ)題型．解決問題的關(guān)鍵是證明AB=CD，從而得到四邊形ABCD是平行四邊形．14.【答案】【解析】【分析】根據(jù)二次根式的乘法法則和減法法則進(jìn)行計(jì)算即可．詳解】解：×﹣4×＝＝＝＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．15.【答案】2【解析】【分析】由三角形中位線定理可得DE的長，再由直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)可得DF的長，則可得EF的長．【詳解】解：∵DE為△ABC的中位線，∴DE＝BC＝5，∵∠AFB＝90°，D是AB中點(diǎn)，∴DF＝AB＝3，∴EF＝DE﹣DF＝2．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線定理與直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，掌握這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)是本題的關(guān)鍵所在．16.【答案】【解析】【分析】作點(diǎn)F關(guān)于AC對(duì)稱點(diǎn)F′根據(jù)正方形ABCD是軸對(duì)稱圖形，AC是一條對(duì)稱軸,可得點(diǎn)F關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)在線段AD上，連結(jié)EF′，P為AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PF=PF′，則PF+PE=PF′+PE≥EF′，PF+PE的最小值為EF′的長即可．【詳解】解：作點(diǎn)F關(guān)于AC對(duì)稱點(diǎn)F′，∵正方形ABCD是軸對(duì)稱圖形，AC是一條對(duì)稱軸，∴點(diǎn)F關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)在線段AD上，連結(jié)EF′，∵P為AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴PF=PF′則PF+PE=PF′+PE≥EF′，PF+PE的最小值為EF′的長，∵AB=4，AF=2，∴AF′=AF=2，∴EF′=．【點(diǎn)睛】本題考查正方形性質(zhì)，軸對(duì)稱性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，掌握正方形性質(zhì)，軸對(duì)稱性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短是解題關(guān)鍵．三、解答題（共72分）17.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先把二次根式化為最簡二次根式，然后合并即可；（2）利用完全平方公式和平方差公式計(jì)算．【詳解】解：（1）＝＝＝（2）＝＝＝【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：先把二次根式化為最簡二次根式，然后合并同類二次根式即可．在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．18.【答案】；【解析】【分析】先將代數(shù)式因式分解，進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算計(jì)算的值，再代入求解即可．【詳解】，原式．【點(diǎn)睛】本題考查了提公因式法因式分解，二次根式的混合運(yùn)算，先用提公因式法因式分解是解題的關(guān)鍵．19.【答案】BD長為6【解析】【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AC⊥BD，DO=BO，然后根據(jù)Rt△AOB的勾股定理求出BO的長度，然后根據(jù)BD=2BO求出答案．【詳解】∵四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC與BD相交于O，∴AC⊥BD，DO=BO，∵AB=5，AO=4，∴BO==3，∴BD=2BO=2×3=6．【點(diǎn)睛】此題考查了菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的性質(zhì)．20.【答案】（1）8；（2）【解析】【分析】（1）先根據(jù)菱形的性質(zhì)求得DC、OD的長，再根據(jù)勾股定理即可求得結(jié)果；（2）根據(jù)菱形的兩種面積公式利用等面積法列式求解即可．【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，BO=OB，AO=OC，∵菱形的周長是20，∴DC=5．∵BD=6，∴OD=3，在Rt△DOC中，，∴AC=2OC=8；（2）∵S△ABD=，，解得【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，以及勾股定理等知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的對(duì)角線互相垂直平分，四條邊相等；同時(shí)熟記菱形的面積有兩種求法：（1）底乘以相應(yīng)底上的高；（2）對(duì)角線乘積的一半．21.【答案】（1）5；（2）10．【解析】【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)知：BF=DF，設(shè)DF=x，用x表示出FC，在Rt△DCF中，利用勾股定理可求得DF的長；

（2）作FH⊥AD于點(diǎn)H，求得FH，由折疊的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證得∠EFD=∠DEF，得出DE=DF，進(jìn)一步利用三角形的面積計(jì)算公式即可求解．【詳解】解：（1）設(shè)DF=x，由折疊可知BF=DF=x，

∴FC=BC-BF=8-x，

∵四邊形ABCD為長方形，

∴DC=AB=4，∠C=90°，

在Rt△DCF中，DF2=DC2+FC2，

∴x2=42+（8-x）2，解得x=5，

∴DF=5；

（2）作FH⊥AD于點(diǎn)H，則FH=AB=4，由折疊可知，∠EFB=∠EFD，

∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB，∴∠EFD=∠DEF，

∴ED=DF=5，∴S△DEF=ED?FH=×5×4=10．【點(diǎn)睛】此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，長方形的性質(zhì)，三角形的面積，掌握折疊的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)的線段和角相等是解決問題的關(guān)鍵．22.【答案】（1）證明見解析；（2）當(dāng)AB＝AC時(shí)，四邊形ADEF是菱形，當(dāng)∠BAC＝150°時(shí)，四邊形ADEF是矩形．理由見解析；（3）不總是存在，理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出AC＝AF，AB＝BD，BC＝BE，∠EBC＝∠ABD＝60°，求出∠DBE＝∠ABC，根據(jù)SAS推出△DBE≌△ABC，根據(jù)全等得出DE＝AC，求出DE＝AF，同理AD＝EF，根據(jù)平行四邊形的判定推出即可；（2）當(dāng)AB＝AC時(shí)，四邊形ADEF是菱形，根據(jù)菱形的判定推出即可；當(dāng)∠BAC＝150°時(shí)，四邊形ADEF是矩形，求出∠DAF＝90°，根據(jù)矩形的判定推出即可；（3）這樣的平行四邊形ADEF不總是存在，當(dāng)∠BAC＝60°時(shí)，此時(shí)四邊形ADEF就不存在．【小問1詳解】證明：∵△ABD、△BCE和△ACF是等邊三角形，∴AC＝AF，AB＝BD，BC＝BE，∠EBC＝∠ABD＝60°，∴∠DBE＝∠ABC＝60°﹣∠EBA，在△DBE和△ABC中，∴△DBE≌△ABC（SAS），∴DE＝AC，∵AC＝AF，∴DE＝AF，同理AD＝EF，∴四邊形ADEF是平行四邊形；【小問2詳解】解：當(dāng)AB＝AC時(shí)，四邊形ADEF是菱形，理由是：∵△ABD和△AFC是等邊三角形，∴AB＝AD，AC＝AF，∵AB＝AC，∴AD＝AF，∵四邊形ADEF是平行四邊形，∴四邊形ADEF是菱形；當(dāng)∠BAC＝150°時(shí)，四邊形ADEF是矩形，理由是：∵△ABD和△ACF是等邊三角形，∴∠DAB＝∠FAC＝60°，∵∠BAC＝150°，∴∠