湖南省衡陽市遙田中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知命題：，，，則是（

）A．，，B．，，C．，，D．，，參考答案：C試題分析：本題考查全稱命題的否定.已知全稱命題則否定為故選C.考點(diǎn)：全稱命題的否定.2.四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，平面，△是邊長為3的等邊三角形.若，則球的表面積為（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C略3.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩個(gè)解的是（）A．a(chǎn)=5，b=5，A=50° B．a(chǎn)=3，b=4，A=30°C．a(chǎn)=5，b=10，A=30° D．a(chǎn)=12，b=10，A=135°參考答案：B【考點(diǎn)】正弦定理．【分析】由正弦定理可得sinB=，根據(jù)條件求得sinB的值，根據(jù)b與a的大小判斷角B的大小，從而判斷△ABC的解的個(gè)數(shù)．【解答】解：對(duì)于A：a=5，b=5，A=50°，由b=a，故B=A=50°，C=80°，故△ABC有唯一解，對(duì)于B：a=3，b=4，A=30°，有sinB===，又b＞a，故B＞A，故B可以是銳角，也可以是鈍角，故△ABC有兩個(gè)解，對(duì)于C：a=5，b=10，A=30°，有sinB===1，B為直角，故△ABC有唯一解，對(duì)于D：a=12，b=10，A=135°，有sinB===，又b＜a，故B＜A，故B為銳角，故△ABC有唯一解．故選：B．4.已知向量滿足則向量在向量方向上的投影是

A．

B．

C．

D．1參考答案：B5.已知，若，則A．1

B．2

C．3

D．3或-1參考答案：C6.若與－都是非零向量，則“·=·”是“⊥（－）”的（

）

A．充分而不必要條件

B．必要而不充分條件

C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：C7.若△ABC的內(nèi)角A滿足sin2A=，則sinA+cosA=

A． B．一

C． D．－參考答案：A8.設(shè)函數(shù)f(x)定義在實(shí)數(shù)集上，它的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，且當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)＝2x－x，則有()A．f<f<f

B．f<f<fC．f<f<f

D．f<f<f參考答案：B9.已知集合A={x|x+2＞0}，B={x|x2+2x﹣3≤0}，則A∩B=（）A．[﹣3，﹣2） B．[﹣3，﹣1] C．（﹣2，1] D．[﹣2，1]參考答案：C【考點(diǎn)】1E：交集及其運(yùn)算．【分析】化簡集合A、B，根據(jù)交集的定義寫出A∩B．【解答】解：集合A={x|x+2＞0}={x|x＞﹣2}，B={x|x2+2x﹣3≤0}={x|﹣3≤x≤1}，則A∩B={x|﹣2＜x≤1}=（﹣2，1]．故選：C．10.已知數(shù)列為等比數(shù)列，若，則的值為A. B.

C.

D.參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.計(jì)算：=

。

參考答案：12.對(duì)于定義在D上的函數(shù)f（x），若存在距離為d的兩條直線y=kx+m1和y=kx+m2，使得對(duì)任意x∈D都有kx+m1≤f（x）≤kx+m2恒成立，則稱函數(shù)f（x）（x∈D）有一個(gè)寬度為d的通道．給出下列函數(shù)：①f（x）=；②f（x）=sinx；③f（x）=；④f（x）=其中在區(qū)間[1，+∞）上通道寬度可以為1的函數(shù)有（寫出所有正確的序號(hào)）．參考答案：①③④【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題．【分析】對(duì)4個(gè)函數(shù)逐個(gè)分析其值域或者圖象的特征，即可得出結(jié)論．【解答】解：函數(shù)①，在區(qū)間[1，+∞）上的值域?yàn)椋?，1]，滿足0≤f（x）≤1，∴該函數(shù)在區(qū)間[1，+∞）上通道寬度可以為1；函數(shù)②，在區(qū)間[1，+∞）上的值域?yàn)閇﹣1，1]，滿足﹣1≤f（x）≤1，∴該函數(shù)在區(qū)間[1，+∞）上通道寬度可以為2；函數(shù)③，在區(qū)間[1，+∞）上的圖象是雙曲線x2﹣y2=1在第一象限的部分，其漸近線為y=x，滿足x﹣1≤f（x）≤x，∴該函數(shù)在區(qū)間[1，+∞）上通道寬度可以為1；函數(shù)④，在區(qū)間[1，+∞）上的值域?yàn)閇0，]，滿足0≤f（x）≤1，∴該函數(shù)在區(qū)間[1，+∞）上通道寬度可以為1．故滿足題意的有①③④．故答案為①③④．13.設(shè)集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，則實(shí)數(shù)a的值為________．參考答案：114.B.（坐標(biāo)系與參數(shù)方程）已知極點(diǎn)在直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O處，極軸與軸的正半軸重合，曲線C的極坐標(biāo)方程為，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.則曲線C上的點(diǎn)到直線的最短距離為

.參考答案：15.下列命題中所有真命題的序號(hào)是________________.①“”是“”的充分條件；②“”是“”的必要條件；③“”是“”的充要條件.參考答案：②③16.下面有5個(gè)命題：①函數(shù)的最小正周期是．②終邊在軸上的角的集合是．③在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象有3個(gè)公共點(diǎn)．④把函數(shù)的圖象向右平移得到的圖象．⑤函數(shù)在上是減函數(shù)．其中，真命題的編號(hào)是___________（寫出所有真命題的編號(hào)）參考答案：①④①，正確；②錯(cuò)誤；③，和在第一象限無交點(diǎn)，錯(cuò)誤；④正確；⑤錯(cuò)誤．故選．17.已知拋物線的準(zhǔn)線與圓心為C的圓交于A，B兩點(diǎn)，那么_______.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18..定義函數(shù)，為型函數(shù)，共中．（1）若是型函數(shù)，求函數(shù)的值域；（2）若是型函數(shù)，求函極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；（3）若是型函數(shù)，在上有三點(diǎn)A、B、C橫坐標(biāo)分別為、、，其中，試判斷直線AB的斜率與直線BC的斜率的大小并說明理由．參考答案：（1）；（2）1個(gè)；（3）見解析.【分析】（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)求出其單調(diào)性，結(jié)合端點(diǎn)值求出值域；（2）先求導(dǎo)令導(dǎo)數(shù)等于0，求極值點(diǎn)個(gè)數(shù)只需判斷導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，化簡整理后得，將導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題，利用圖像觀察求出交點(diǎn)個(gè)數(shù)；（3）先求導(dǎo)再進(jìn)行二階求導(dǎo)，利用二階導(dǎo)數(shù)研究一階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性與范圍，再得出原函數(shù)的單調(diào)性，因?yàn)槎A導(dǎo)數(shù)小于0，所以函數(shù)是三凸的單調(diào)遞減函數(shù)，結(jié)合函數(shù)圖像很容易得出兩直線斜率的關(guān)系.【詳解】解：（1）因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減又因?yàn)?，，所以函?shù)的值域?yàn)椋?）因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，結(jié)合函數(shù)圖像易知與在上有且只有一個(gè)交點(diǎn)當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減所以函數(shù)只有一個(gè)極大值點(diǎn)，極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè)（3）因?yàn)?，所以所以所以在上單調(diào)遞減，且，所以構(gòu)造函數(shù)則記,則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減又因?yàn)?，所以，所以所以在和上單調(diào)遞減因?yàn)椋迹妓运运灾本€AB的斜率大于直線BC的斜率【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值、極值，遇到一階導(dǎo)數(shù)等于0不好解時(shí)，常繼續(xù)進(jìn)行二階求導(dǎo)，在解題的過程中多結(jié)合函數(shù)簡圖可以更加形象直觀.19.如圖中，是一個(gè)長方體截去一個(gè)角所得多面體的直觀圖．它的正視圖和側(cè)視圖在右面畫出(單位：cm)．(1)在正視圖下面，按照畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖；(2)按照給出的尺寸，求該多面體的體積；(3)在所給直觀圖中連接BC′，證明：BC′∥面EFG.

參考答案：(1)解：俯視圖如圖58.圖58

………4分(2)解：所求多面體體積V＝V長方體－V正三棱錐＝4×4×6－××2＝(cm3)………8分(3)證明：如圖59，在長方體ABCD－A′B′C′D′中，連接AD′，則AD′∥BC′.因?yàn)镋、G分別為AA′、A′D′中點(diǎn)，所以AD′∥EG，

………12分從而EG∥BC′.又BC′?平面EFG，所以BC′∥面EFG.

………14分

20.

設(shè)函數(shù)表示導(dǎo)函數(shù)。

(I)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(Ⅱ)當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，數(shù)列{}滿足．證明：數(shù)列{}中不存在成等差數(shù)列的三項(xiàng)；(Ⅲ)當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明不等式對(duì)一切正整數(shù)均成立，并比較與的大小.參考答案：解：(I)定義域?yàn)?當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，恒成立,2分當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，,又，，由，，4分(Ⅱ)當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，由已知，，，，是以2為公比的等比數(shù)列.,.6分?jǐn)?shù)列{}中假設(shè)存在三項(xiàng)，，成等差數(shù)列，不妨設(shè)，則，又，，，，，等式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，不可能成立，假設(shè)不成立，數(shù)列{}中不存在成等差數(shù)列的三項(xiàng)9分(Ⅲ)當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，要證，即證，兩邊取對(duì)數(shù)，即證10分設(shè)，則，，構(gòu)造函數(shù)，，，，即，，即.12分,

14分

略21.已知函數(shù).（1）若函數(shù)與在處有相同的切線，求m的值；（2）若函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)，求的取值范圍.（3）若，恒有成立，求實(shí)數(shù)m的最大值.參考答案：解：（1）函數(shù)在處的切線方程為，由得，由得；（2），因?yàn)樵诙x域內(nèi)部單調(diào)，所以在內(nèi)有至少一個(gè)實(shí)根且曲線與不相切，因?yàn)?，于是，所以知，所以，?）當(dāng)時(shí)，由得，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，，令，則問題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，恒成立，而，當(dāng)時(shí)，函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，最小值為，為使恒成立，注意到，所以，即，同理，當(dāng)時(shí)，，綜上，當(dāng)，即的最大值為2.

22.在等比數(shù)列{an}中，a1=1，且a2是a1與a3﹣1的等差中項(xiàng)．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列{bn}滿足．求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)和等比數(shù)列的通項(xiàng)公