1機械振動理論基礎類型題總結21、《基本概念》要點：1、各種頻率求解方法及適用范圍；2、物理坐標與主坐標的性質特點3、主振型、模態(tài)振型、模態(tài)矩陣、正則矩陣、變換結果4、系統產生某階主振動的條件5、固有參數、初條件對系統振動的影響6、力學模型簡化多自由度問題：特征值問題、模態(tài)變換、解耦問題、模態(tài)分析32、《基本計算》要點：1、簡諧運動的位移、速度、加速度的數學表達、相互關系參數意義——振幅、相位角、初相角、頻率、圓頻率、周期、曲線繪制、矢量表達。2、系統固有頻率計算——【總系統與子系統的頻率關系】3、系統等效剛度、等效質量計算剛度特性線性化等效粘性阻尼4分析n12例1題如：能量法求固有頻率——5分析n12例2題3、《振動微分方程建立、響應求解》66例2

如圖所示的兩層樓框架，假設梁是剛性的，質量分別為，下層剛度[彈性模量、截面慣性矩]，上層剛度[彈性模量、截面慣性矩]，設地震引起水平振動規(guī)律為:

求建筑物的響應?！墩駝游⒎址匠探?、響應求解》77解：以梁的水平動位移為廣義坐標，設為,

地面在未地震前為坐標原點。由材料力學知：

兩端的支柱相等于兩彈簧并聯:

寫出系統的運動方程：88設穩(wěn)態(tài)特解為：帶入方程，得：

解得振幅：***9***參考：系數矩陣的行列式值伴隨矩陣1010代回式，即得建筑物對地震激勵的響應:設：計算：計算：共振時振幅比——振型1111設：列頻率方程：共振時振幅比：

計算：求固有頻率：###1212例1系統如圖，設：求：系統的固有頻率和主振型。解:用影響系數法寫質量矩陣[M]、剛度矩陣[K]，4、《多自由度：特征值問題》1313作用力方程[自由振動微分方程]為：令：代入(a)式得：特征矩陣： 1414解代數方程(d)得特征值：特征方程為：寫出特征矩陣(c)的伴隨矩陣：1515分別把代入伴隨矩陣(e)式的任意一列（例如第一列)。(如果該列元素全是零，可換一列）并對第一個元素歸一化，得：三個主振型為：即得：1616固有頻率主振型成對地相對應，是系統的固有特性，它們只取決于系統的[M][K]?！B(tài)矩陣[振型矩陣]各主振型所構成的矩陣：作振型圖——……17（1）剛度矩陣（或阻尼矩陣）中的對角元素（或）為連接在質量上的所有彈簧剛度（或阻尼系數）的代數和。（2）剛度矩陣（或阻尼矩陣）中的非對角元素（或）為連接在質量與之間的彈簧剛度（或阻尼系數），且均為負值。如果與之間連接有兩個以上彈簧（或阻尼），則應按并聯或串聯原則折算成等效剛度（或等效阻尼系數）。（3）寫出的剛度矩陣（或阻尼矩陣）是對稱的。

《系數矩陣的確定》1、影響系數基本定義。2、有分支系統的質量-彈簧系統可以用下列規(guī)則直接寫出剛度矩陣和阻尼矩陣——18（1）剛度矩陣（或阻尼矩陣）中的對角元素（或）為連接在質量上的所有彈簧剛度（或阻尼系數）的代數和。（2）剛度矩陣（或阻尼矩陣）中的非對角元素（或）為連接在質量與之間的彈簧剛度（或阻尼系數），且均為負值。如果與之間連接有兩個以上彈簧（或阻尼），則應按并聯或串聯原則折算成等效剛度（或等效阻尼系數）。（3）寫出的剛度矩陣（或阻尼矩陣）是對稱的。

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練習——例：寫出圖5所示的質量-彈簧系統的剛度矩陣與阻尼矩陣。19例：寫出圖5所示的質量-彈簧系統的剛度矩陣與阻尼矩陣。

205、《有阻尼問題》要點：1、各阻尼系數的關系2、響應在過渡過程中存在、是衰減的、趨于零的。212024/5/13東北大學設備診斷工程中心21實際意義——通過實測，測出振動系統的周期及相鄰振幅即可求出衰減系數n。即：實際應用——為得到更高的測試精度，用相距j個周期的兩個振幅比計算對數衰減系數3、阻尼系數的實測與應用持續(xù)時間22

一個10t龍門起重機，要求其水平振動在25s內振幅衰減到最大振幅的5%。起重機可簡化如圖所示，等效質量。實測得對數減系數。問起重機水平方向的剛度至少應達何值？解：衰減次數[ln20=3]故衰減時間2024年5月13日23如：有阻尼單自由度系統受迫振動

本節(jié)只討論簡諧激振的響應如圖2-24所示系統:設質體質量為m；位移為，其方向向下為正；速度為,加速度；在質量m上作用激振力為彈簧恢復力為–kx

；阻尼力為。根據牛頓第二定律建立振動微分方程式：2024年5月13日24令，,代入式（2-70）中，得：

方程式為——二階線性常系數非齊次微分方程。

通解為——

齊次微分方程式的通解

及非齊次微分方程式的特解之和即：2024年5月13日25式中：

代表有阻尼自由振動，

小阻尼時：

為衰減振動，

在振動開始階段有意義，

隨時間的增加將衰減掉。

當研究受迫振動等幅振動時，可以略去。

表示系統的受迫振動，稱為系統的穩(wěn)態(tài)解。

由于微分方程式非齊次項是正弦函數，

可知特解的形式亦為正弦函數，

穩(wěn)態(tài)解的頻率與激振頻率相同。解的形式：2024年5月13日26因此，可以設此特解為：

式中：B——

受迫振動的振幅；

——

位移落后與激振力的相位角。

將及其一階、二階導數代入方程式(2-71)中，

將(a)式右端加以變換：2024年5月13日27方程（c）對于任意時刻均成立，要求：可解出B與：將（b）代入（a），整理后得：2024年5月13日28令：,,（74）（75）式寫成：總結：具有粘性阻尼的系統受到簡諧激振力作用時——

受迫振動也是一個簡諧運動；

其頻率和激振頻率相同；其振幅、相位角與初始條件無關；

系統本身的性質（質量M、彈簧剛度k、粘性阻尼系數r）。取決于激振力的性質（力幅、頻率），體現在公式中的哪些參數？2024年5月13日29例1旋轉機械的偏心質量引起的受迫振動

圖2-27為彈簧（剛度為k）

和阻尼器（阻尼系數為r）

支承的旋轉機械力學模型。

旋轉機械的總質量為M

，

轉子的質量為m,【大小關系？】

偏心距為e,

轉動角速度為。2024年5月13日30例1旋轉機械的偏心質量引起的受迫振動

圖2-27為彈簧（剛度為k）

和阻尼器（阻尼系數為r）

支承的旋轉機械力學模型。

旋轉機械的總質量為M

，

轉子的質量為m,

偏心距為e,

轉動角速度為。M含m2024年5月13日31只考慮機器在垂直方向的振動，

機器位移表示為x,

偏心質量m的位移為