高斯定理

高斯定理真空中的高斯定理：

在真空中靜電場(chǎng)內(nèi)，通過(guò)任一閉合曲面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量等于該曲面所包圍的所有電荷的代數(shù)和的1/

o倍。表示高斯面內(nèi)電荷的代數(shù)和。（不連續(xù)）（連續(xù)）+1、點(diǎn)電荷在球形高斯面的圓心處dSE驗(yàn)證高斯定理：點(diǎn)電荷在任意形狀的高斯面內(nèi)

通過(guò)球面S的電場(chǎng)線也必通過(guò)任意曲面S‘

，即它們的電通量相等，為q/

o+電荷q在閉合曲面以外

穿進(jìn)曲面的電場(chǎng)線條數(shù)等于穿出曲面的電場(chǎng)線條數(shù)。+若空間電荷連續(xù)分布，則積分值為：對(duì)于點(diǎn)電荷系，有：關(guān)于高斯定理的說(shuō)明：高斯定理是反映靜電場(chǎng)性質(zhì)（有源性）的一條基本定理；高斯定理是在庫(kù)侖定律的基礎(chǔ)上得出的，但它的應(yīng)用范圍比庫(kù)侖定律更為廣泛；高斯定理反映閉合曲面內(nèi)電荷代數(shù)和與電通量關(guān)系，不是與電場(chǎng)強(qiáng)度關(guān)系若高斯面內(nèi)的電荷的電量為零，則通過(guò)高斯面的電通量為零，但高斯面上各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度并不一定為零；通過(guò)任意閉合曲面的電通量只決定于它所包圍的電荷的代數(shù)和，閉合曲面外的電荷對(duì)電通量無(wú)貢獻(xiàn)。但電荷的空間分布會(huì)影響閉合面上各點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)大小和方向；高斯定理中所說(shuō)的閉合曲面，通常稱為高斯面。高斯定理的一個(gè)重要應(yīng)用就是計(jì)算電場(chǎng)強(qiáng)度。高斯定理計(jì)算場(chǎng)強(qiáng)的條件：帶電體的電場(chǎng)強(qiáng)度分布要具有高度的對(duì)稱性。⑴高斯面上的電場(chǎng)強(qiáng)度大小處處相等；⑵面積元dS的法線方向與該處的電場(chǎng)強(qiáng)度的方向一致。高斯面上電場(chǎng)強(qiáng)度處處相等dS法線方向與電場(chǎng)強(qiáng)度相同求解的關(guān)鍵是選取適當(dāng)?shù)母咚姑?。常?jiàn)的具有對(duì)稱性分布的源電荷有：球?qū)ΨQ分布：球面球體多層同心球殼點(diǎn)電荷等面對(duì)稱分布：（無(wú)限大）帶電平面平板等。軸對(duì)稱分布：（無(wú)限長(zhǎng)）帶電的直線圓柱面圓柱體等均勻帶電步驟：1.進(jìn)行對(duì)稱性分析，即由電荷分布的對(duì)稱性，分析場(chǎng)強(qiáng)分布的對(duì)稱性，判斷能否用高斯定理來(lái)求電場(chǎng)強(qiáng)度的分布（常見(jiàn)的對(duì)稱性有球?qū)ΨQ性、軸對(duì)稱性、面對(duì)稱性等）；2.根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)分布的特點(diǎn)，作適當(dāng)?shù)母咚姑?，要求：①待求?chǎng)強(qiáng)的場(chǎng)點(diǎn)應(yīng)在此高斯面上，②穿過(guò)該高斯面的電通量容易計(jì)算。一般地，高斯面各面元的法線矢量n與E平行或垂直，n與E平行時(shí)，E的大小要求處處相等，使得E能提到積分號(hào)外面；3.計(jì)算電通量和高斯面內(nèi)所包圍的電荷的代數(shù)和，最后由高斯定理求出場(chǎng)強(qiáng)。

例.

求均勻帶電球體的場(chǎng)強(qiáng)分布。（已知球體半徑為R，帶電量為q，電荷密度為

）解：（1）球外某點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)

R