第二節(jié)線性方程組解的判別1本節(jié)主要學習目標：[知識目標]熟練掌握線性方程組的解的判別定理。[能力目標]能利用解的判別定理確定線性方程組解的情況及求出方程組的一般解。例12

解：

第1行的-2倍加到第3行上去

例13第2行的-2倍加到第3行上去

例14又未知量的個數(shù)n也為3,有秩

對于全體未知量x1,x2,x3,其系數(shù)行列式

根據(jù)§1.4克萊姆法則,此線性方程組有唯一解.例15對所得階梯形矩陣繼續(xù)作初等行變換,化為簡化階梯形矩陣,有

第3行乘以-1

第3行的-1倍加到第1行上去第3行的-3倍加到第2行上去

例16第2行加到第1行上去

所以此線性方程組的唯一解為

例27解線性方程組

例28

對于未知量x1,x2,其系數(shù)行列式

但未知量的個數(shù)n為3,有秩

例29任給未知量x3的一個值,根據(jù)§1.4克萊姆法則,得到未知量x1,x2的唯一解,它們構成此線性方程組的一組解這說明此線性方程組有無窮多解,且有3-2=1個自由未知量對所得階梯形矩陣繼續(xù)作初等行變換,化為簡化階梯形矩陣,有

例210第2行的2倍加到第1行上去

第2行乘以-1

例211所得簡化階梯形矩陣代表線性方程組

選擇未知量x3為自由未知量,未知量x1,x2為非自由未知量,非自由未知量x1,x2用自由未知量x3表示,其表達式為

例212

自由未知量x3取任意常數(shù)c,所以此線性方程組無窮多解的一般表達式為例313

解：

第1行的-3倍加到第2行上去第1行的-2倍加到第3行上去

例314第2行的-1倍加到第3行上去

例315所得階梯形矩陣第3行代表第3個線性方程式0=-2得到矛盾的結果,這是線性方程組中一些線性方程式相互矛盾的反映,說明未知量的任何一組取值都不能同時滿足所有線性方程式,所以此線性方程組無解.線性方程組的判別理論16定理3.1

例417

(2)判別線性方程組解的情況,若有解,則求解例418

第1行的-1倍分別加到第2行與第3行上去

例419第2行的-2倍加到第3行上去

例420

對所得階梯形矩陣繼續(xù)作初等行變換,化為簡化階梯形矩陣,有

例421第2行加到第1行上去

得到線性方程組

例422選擇未知量x3,x4為自由未知量,未知量x1,x2為非自由未知量,非自由未知量x1,x2用自由未知量x3,x4表示,其表達式為

自由未知量x3取任意常數(shù)c1,自由未知量x4取任意常數(shù)c2,所以此線性方程組無窮多解的一般表達式為

例423在例4中,也可以選擇未知量x1,x4為自由未知量,相應的無窮多解的一般表達式為

注意:對于線性方程組有無窮多解的情況,由于自由未知量的選擇不是唯一的,因而無窮多解的一般表達式也不是唯一的例524

討論當常數(shù)λ為何值時,它有唯一解、有無窮多解或無解.解:

例525

當常數(shù)λ≠0且常數(shù)λ≠1時,有秩

所以此線性方程組有唯一解例526當常數(shù)λ=0時,有秩

所以此線性方程組有無窮多解例527當常數(shù)λ=1時,有秩

所以此線性方程組無解.例628

解:

例629第1行的-1倍加到第3行上去

第2行的-1倍加到第3行上去

容易看出,系數(shù)矩陣A的秩r(A)=2例630

得到關系式λ-4=0,所以常數(shù)λ=431考慮由n個線性方程式構成的n元線性方程組AX=B,其中系數(shù)矩陣A顯然是n階方陣注意到方陣經初等行變換后,其行列式是否等于零是不會改變的如果