浙江省嘉興市南湖區(qū)第一中學2024屆高三下學期聯(lián)合考試數(shù)學試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．半正多面體(semiregularsolid)亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美．二十四等邊體就是一種半正多面體，是由正方體切截而成的，它由八個正三角形和六個正方形為面的半正多面體.如圖所示，圖中網(wǎng)格是邊長為1的正方形，粗線部分是某二十四等邊體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．2．已知雙曲線的右焦點為為坐標原點，以為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點及點，則雙曲線的方程為（）A． B． C． D．3．在等腰直角三角形中，，為的中點，將它沿翻折，使點與點間的距離為，此時四面體的外接球的表面積為（）.A． B． C． D．4．隨著人民生活水平的提高，對城市空氣質(zhì)量的關注度也逐步增大，下圖是某城市月至月的空氣質(zhì)量檢測情況，圖中一、二、三、四級是空氣質(zhì)量等級，一級空氣質(zhì)量最好，一級和二級都是質(zhì)量合格天氣，下面敘述不正確的是（）A．1月至8月空氣合格天數(shù)超過天的月份有個B．第二季度與第一季度相比，空氣達標天數(shù)的比重下降了C．8月是空氣質(zhì)量最好的一個月D．6月份的空氣質(zhì)量最差.5．若函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù))在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．6．已知直線：與橢圓交于、兩點，與圓：交于、兩點.若存在，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．7．若復數(shù)，則（）A． B． C． D．208．已知函數(shù)，若關于的方程有4個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．9．函數(shù)y=sin2x的圖象可能是A． B．C． D．10．已知函數(shù)（）的部分圖象如圖所示，且，則的最小值為（）A． B．C． D．11．設（是虛數(shù)單位），則（）A． B．1 C．2 D．12．已知函數(shù)若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某商場一年中各月份的收入、支出情況的統(tǒng)計如圖所示，下列說法中正確的是______.①2至3月份的收入的變化率與11至12月份的收入的變化率相同；②支出最高值與支出最低值的比是6:1；③第三季度平均收入為50萬元；④利潤最高的月份是2月份．14．直線xsinα＋y＋2＝0的傾斜角的取值范圍是________________．15．某中學高一年級有學生1200人，高二年級有學生900人，高三年級有學生1500人，現(xiàn)按年級用分層抽樣的方法從這三個年級的學生中抽取一個容量為720的樣本進行某項研究，則應從高三年級學生中抽取_____人．16．設f（x）＝etx（t＞0），過點P（t，0）且平行于y軸的直線與曲線C：y＝f（x）的交點為Q，曲線C過點Q的切線交x軸于點R，若S（1，f（1）），則△PRS的面積的最小值是_____．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).其中是自然對數(shù)的底數(shù).（1）求函數(shù)在點處的切線方程；（2）若不等式對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍.18．（12分）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求B；（2）若的面積為，周長為8，求b.19．（12分）已知.（1）解不等式；（2）若均為正數(shù)，且，求的最小值.20．（12分）某公司欲投資一新型產(chǎn)品的批量生產(chǎn)，預計該產(chǎn)品的每日生產(chǎn)總成本價格)(單位:萬元)是每日產(chǎn)量(單位:噸)的函數(shù):.（1）求當日產(chǎn)量為噸時的邊際成本(即生產(chǎn)過程中一段時間的總成本對該段時間產(chǎn)量的導數(shù))；（2）記每日生產(chǎn)平均成本求證：；（3）若財團每日注入資金可按數(shù)列(單位:億元)遞減，連續(xù)注入天，求證:這天的總投入資金大于億元.21．（12分）在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知.（1）求的值；（2）當，且時，求的面積.22．（10分）在國家“大眾創(chuàng)業(yè)，萬眾創(chuàng)新”戰(zhàn)略下，某企業(yè)決定加大對某種產(chǎn)品的研發(fā)投入.為了對新研發(fā)的產(chǎn)品進行合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格試銷，得到一組檢測數(shù)據(jù)如表所示:試銷價格(元)產(chǎn)品銷量(件)已知變量且有線性負相關關系，現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學通過計算求得回歸直線方程分別為:甲；乙；丙，其中有且僅有一位同學的計算結(jié)果是正確的.（1）試判斷誰的計算結(jié)果正確？（2）若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與檢測數(shù)據(jù)的誤差不超過，則稱該檢測數(shù)據(jù)是“理想數(shù)據(jù)”，現(xiàn)從檢測數(shù)據(jù)中隨機抽取個，求“理想數(shù)據(jù)”的個數(shù)為的概率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

根據(jù)三視圖作出該二十四等邊體如下圖所示，求出該幾何體的棱長，可以將該幾何體看作是相應的正方體沿各棱的中點截去8個三棱錐所得到的，可求出其體積.【詳解】如下圖所示，將該二十四等邊體的直觀圖置于棱長為2的正方體中，由三視圖可知，該幾何體的棱長為，它是由棱長為2的正方體沿各棱中點截去8個三棱錐所得到的，該幾何體的體積為，故選：D.【點睛】本題考查三視圖，幾何體的體積，對于二十四等邊體比較好的處理方式是由正方體各棱的中點得到，屬于中檔題.2、C【解析】

根據(jù)雙曲線方程求出漸近線方程：，再將點代入可得，連接，根據(jù)圓的性質(zhì)可得，從而可求出，再由即可求解.【詳解】由雙曲線，則漸近線方程：，，連接，則，解得，所以，解得.故雙曲線方程為.故選：C【點睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，需掌握雙曲線的漸近線求法，屬于中檔題.3、D【解析】

如圖，將四面體放到直三棱柱中，求四面體的外接球的半徑轉(zhuǎn)化為求三棱柱外接球的半徑，然后確定球心在上下底面外接圓圓心連線中點，這樣根據(jù)幾何關系，求外接球的半徑.【詳解】中，易知，翻折后,，，設外接圓的半徑為，，，如圖：易得平面，將四面體放到直三棱柱中，則球心在上下底面外接圓圓心連線中點，設幾何體外接球的半徑為，，四面體的外接球的表面積為.故選：D【點睛】本題考查幾何體的外接球的表面積，意在考查空間想象能力，和計算能力，屬于中檔題型，求幾何體的外接球的半徑時，一般可以用補形法，因正方體，長方體的外接球半徑容易求，可以將一些特殊的幾何體補形為正方體或長方體，比如三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐，或是構(gòu)造直角三角形法，確定球心的位置，構(gòu)造關于外接球半徑的方程求解.4、D【解析】由圖表可知月空氣質(zhì)量合格天氣只有天，月份的空氣質(zhì)量最差．故本題答案選．5、B【解析】

求得的導函數(shù)，由此構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)題意可知在上有變號零點.由此令，利用分離常數(shù)法結(jié)合換元法，求得的取值范圍.【詳解】，設，要使在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，即在上有變號零點，令，則，令，則問題即在上有零點，由于在上遞增，所以的取值范圍是.故選：B【點睛】本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查方程零點問題的求解策略，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.6、A【解析】

由題意可知直線過定點即為圓心，由此得到坐標的關系，再根據(jù)點差法得到直線的斜率與坐標的關系，由此化簡并求解出離心率的取值范圍.【詳解】設，且線過定點即為的圓心，因為，所以，又因為，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以.故選：A.【點睛】本題考查橢圓與圓的綜合應用，著重考查了橢圓離心率求解以及點差法的運用，難度一般.通過運用點差法達到“設而不求”的目的，大大簡化運算.7、B【解析】

化簡得到，再計算模長得到答案.【詳解】，故.故選：.【點睛】本題考查了復數(shù)的運算，復數(shù)的模，意在考查學生的計算能力.8、C【解析】

求導，先求出在單增，在單減，且知設，則方程有4個不同的實數(shù)根等價于方程在上有兩個不同的實數(shù)根，再利用一元二次方程根的分布條件列不等式組求解可得.【詳解】依題意，，令，解得，，故當時，，當，，且，故方程在上有兩個不同的實數(shù)根，故，解得.故選：C.【點睛】本題考查確定函數(shù)零點或方程根個數(shù).其方法：(1)構(gòu)造法：構(gòu)造函數(shù)(易求，可解)，轉(zhuǎn)化為確定的零點個數(shù)問題求解，利用導數(shù)研究該函數(shù)的單調(diào)性、極值，并確定定義區(qū)間端點值的符號(或變化趨勢)等，畫出的圖象草圖，數(shù)形結(jié)合求解；(2)定理法：先用零點存在性定理判斷函數(shù)在某區(qū)間上有零點，然后利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)及區(qū)間端點值符號，進而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點的個數(shù).9、D【解析】分析:先研究函數(shù)的奇偶性，再研究函數(shù)在上的符號，即可判斷選擇.詳解：令，因為，所以為奇函數(shù)，排除選項A,B;因為時，，所以排除選項C，選D.點睛：有關函數(shù)圖象的識別問題的常見題型及解題思路：（1）由函數(shù)的定義域，判斷圖象的左、右位置，由函數(shù)的值域，判斷圖象的上、下位置；（2）由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；（3）由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；（4）由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復．10、A【解析】

是函數(shù)的零點，根據(jù)五點法求出圖中零點及軸左邊第一個零點可得．【詳解】由題意，，∴函數(shù)在軸右邊的第一個零點為，在軸左邊第一個零點是，∴的最小值是．故選：A.【點睛】本題考查三角函數(shù)的周期性，考查函數(shù)的對稱性．函數(shù)的零點就是其圖象對稱中心的橫坐標．11、A【解析】

先利用復數(shù)代數(shù)形式的四則運算法則求出，即可根據(jù)復數(shù)的模計算公式求出．【詳解】∵，∴．故選：A．【點睛】本題主要考查復數(shù)代數(shù)形式的四則運算法則的應用，以及復數(shù)的模計算公式的應用，屬于容易題．12、D【解析】

由恒成立，等價于的圖像在的圖像的上方，然后作出兩個函數(shù)的圖像，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解答案.【詳解】因為由恒成立，分別作出及的圖象，由圖知，當時，不符合題意，只須考慮的情形，當與圖象相切于時，由導數(shù)幾何意義，此時，故.故選：D【點睛】此題考查的是函數(shù)中恒成立問題，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于難題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①②③【解析】

通過圖片信息直接觀察，計算，找出答案即可．【詳解】對于①，2至月份的收入的變化率為20，11至12月份的變化率為20，故相同，正確．對于②，支出最高值是2月份60萬元，支出最低值是5月份的10萬元，故支出最高值與支出最低值的比是6：1，正確．對于③，第三季度的7，8，9月每個月的收入分別為40萬元，50萬元，60萬元，故第三季度的平均收入為50萬元，正確．對于④，利潤最高的月份是3月份和10月份都是30萬元，高于2月份的利潤是80﹣60＝20萬元，錯誤．故答案為①②③．【點睛】本題考查利用圖象信息，分析歸納得出正確結(jié)論，屬于基礎題目．14、【解析】因為sinα∈[－1，1]，所以－sinα∈[－1，1]，所以已知直線的斜率范圍為[－1，1]，由傾斜角與斜率關系得傾斜角范圍是．答案：15、1．【解析】

先求得高三學生占的比例，再利用分層抽樣的定義和方法，即可求解.【詳解】由題意，高三學生占的比例為，所以應從高三年級學生中抽取的人數(shù)為.【點睛】本題主要考查了分層抽樣的定義和方法，其中解答中熟記分層抽樣的定義和抽取的方法是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題.16、【解析】

計算R（t，0），PR＝t﹣（t），△PRS的面積為S，導數(shù)S′，由S′＝0得t＝1，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到最值.【詳解】∵PQ∥y軸，P（t，0），∴Q（t，f（t））即Q（t，），又f（x）＝etx（t＞0）的導數(shù)f′（x）＝tetx，∴過Q的切線斜率k＝t，設R（r，0），則k，∴r＝t，即R（t，0），PR＝t﹣（t），又S（1，f（1））即S（1，et），∴△PRS的面積為S，導數(shù)S′，由S′＝0得t＝1，當t＞1時，S′＞0，當0＜t＜1時，S′＜0，∴t＝1為極小值點，也為最小值點，∴△PRS的面積的最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查了利用導數(shù)求面積的最值問題，意在考查學生的計算能力和應用能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

(1)利用導數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，再求出切點坐標即可得在點處的切線方程；（2）令，然后利用導數(shù)并根據(jù)a的情況研究函數(shù)的單調(diào)性和最值.【詳解】（1），，∴，又，∴切線方程為，即.（2）令，，①若，則在上單調(diào)遞減，又，∴恒成立，∴在上單調(diào)遞減，又，∴恒成立.②若，令，∴，易知與在上單調(diào)遞減，∴在上單調(diào)遞減，，當即時，在上恒成立，∴在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，又，∴恒成立，∴在上單調(diào)遞減，又，∴恒成立，當即時，使，∴在遞增，此時，∴，∴在遞增，∴，不合題意.綜上，實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題主要考查導數(shù)的幾何意義及構(gòu)造函數(shù)解決含參數(shù)的不等式恒成立時求參數(shù)的取值范圍問題，第二問的難點是構(gòu)造函數(shù)后二次求導問題，對分類討論思想及化歸與等價轉(zhuǎn)化思想要求較高，難度較大，屬拔高題.18、（1）；（2）【解析】

（1）通過正弦定理和內(nèi)角和定理化簡，再通過二倍角公式即可求出；（2）通過三角形面積公式和三角形的周長為8，求出b的表達式后即可求出b的值.【詳解】（1）由三角形內(nèi)角和定理及誘導公式，得，結(jié)合正弦定理，得，由及二倍角公式，得，即，故；（2）由題設，得，從而，由余弦定理，得，即，又，所以，解得.【點睛】本題綜合考查了正余弦定理，倍角公式，三角形面積公式，屬于基礎題.19、（1）；（2）【解析】

（1）利用零點分段討論法可求不等式的解.（2）利用柯西不等式可求的最小值.【詳解】（1），由得或或，解得.（2），所以，由柯西不等式得：所以，即（當且僅當時取“=”）.所以的最小值為.【點睛】本題考查絕對值不等式的解法以及利用柯西不等式求最值.解絕對值不等式的基本方法有零點分段討論法、圖象法、平方法等，利用零點分段討論法時注意分類點的合理選擇，利用平方去掉絕對值符號時注意代數(shù)式的正負，而利用圖象法求解時注意圖象的正確刻畫．利用柯西不等式求最值時注意把原代數(shù)式配成平方和的乘積形式，本題屬于中檔題.20、（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析.【解析】

（1）求得函數(shù)的導函數(shù)，由此求得求當日產(chǎn)量為噸時的邊際成本.（2）將所要證明不等式轉(zhuǎn)化為證明，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)證得，由此證得不等式成立.（3）利用（2）的結(jié)論，判斷出，由此結(jié)合對數(shù)運算，證得.【詳解】（1）因為所以當時，（2）要證，只需證，即證，設則所以在上