1.1.2孤度制

考試標(biāo)準(zhǔn)

學(xué)考高考

課標(biāo)要點(diǎn)

要求要求

孤度制的

aa

概念

孤度與角

bb

度的互化

知識導(dǎo)圖

I角度制h

——|互化依據(jù)：180。=11山J

弧犀制一

_pl弧長公式一

弧旋制的應(yīng)用卜

U扇形面積公式

學(xué)法指導(dǎo)

1.熟練掌握孤度制的定義，可以從六十進(jìn)制與十進(jìn)制區(qū)別角

度制與弧度制.

2.由圓周角找出弧度制與角度制的聯(lián)系，記住常見特殊角

對應(yīng)的弧度教.

1

3.記憶扇形的面積公式時可將扇形看作三角形來記憶,S二］

底,高=錯誤!/R.

,川川川川川川川川川川川川川川川川I川川川川川川川川川川h即團(tuán)國密?|川主|學(xué)|習(xí)|用"川I川川川川川川川川川川川川川川川I川川川川川川川h

lo度量角的兩種制度

角定義用盤作為單枝來度量角的單位制

度

1度的角周角的錯誤!為1度的角，記作1°

制

孤定義以變度為單優(yōu)來度量角的單核制

度1孤度長度等于半徑長的孤所對的圓心角

制的角叫做1弧度的角。1弧度記作1rad

錯誤！正確理解孤度與角度的概念

(U定義不同；

區(qū)

(2J單住不同：孤度制以“孤度”為單住，角度

別

制以“度”為單住

(1)不管以“孤度”還是以“度”為單伍的角的

朕

大小都是一個與圓的半徑大小無關(guān)的值；

系

(2)“孤度”與“角度”之間可以相互轉(zhuǎn)化

2、孤度教的計算

(U正角：正角的弧度教是一個正教.

(2)負(fù)角：負(fù)角的孤度教是一個負(fù)數(shù).

C3J零角：零角的弧度教是。.

(4)如果半徑為r的圓的圓心角a所對孤的長為/,那么，角a

的弧度教的絕對值是Ia|二錯誤!。

3.角度制與弧度制的換算

角度化孤度孤度化角度

360°=2兀rad2兀rad=360。

180°=兀rad兀rad=180。

1°=錯誤！rad^O.01745

1rad=錯誤!°七57.30°

rad

度教X錯誤!=孤度教孤度教X錯誤!。=度教

錯誤！角度制與弧度制換算公式的理解

(1)弧度制、角度制都是角的度量制，它們之間可以進(jìn)行換算.

(2)用角度制和弧度制來度量零角，單核不同，但量度相同

r都是0)；用角度制和弧度制度量任一非零角，單位不同,量度也

不同、

4.扇形的孤長和面積公式

設(shè)扇形的半徑為R,弧長為/,?(0<a〈2兀)為其圓心角，則

(1)孤長公式：I=a-R.

(2)扇形面積公式：S二錯誤!/R二錯誤!。?R2。

［小試身手］

1.判斷下列命題是否正確.r正確的打‘7"，錯誤的打“X”)

CU1弧度的角等于1度的角.()

(2)孤度的計算公式為。二錯誤!.()

(3J直角的孤度教為錯誤!.()

答案：n)x(2JX(3)N

2.下列各種說法中，錯誤的是()

A.“度”與“孤度”是度量角的兩種不同的度量單住

B.1°的角是周角的錯誤!，1rad的角是周角的錯誤！

C根據(jù)孤度的定義，180°的角~定等于兀rad的角

D.利用弧度制度量角時，它與圓的半徑長短有關(guān)

解析：角的大小只與角的始邊和終邊的核置有關(guān)，而與圓的

半徑大小無關(guān)，故選D.

答嗓：D

3,將864。化為孤度為()

A.錯誤！B.錯誤！

Co錯誤！D.錯誤!兀

解析:8640=864x錯誤！=錯誤!，故選Co

答去:C

4.扇形圓心角為216。，孤長為3071,則扇形半徑為,

解析：216°=216x錯誤！=錯誤！,I=a-r=錯誤!/=30兀,

r=25o

答嗓：25

W“川川川川川川川川川川川川川川川川川川川川川川川川川h南白陶南?康I養(yǎng)陽升I川川川川川川川川川川川川川川川川川川川田川川I川川川h

類型一角度與弧度的換算

例1(1)將下列各角進(jìn)行角度與弧度的互化r角度精確到

Oo01J：

?1=-錯誤!兀，。2=錯誤!兀,儀3=9,

?4=-855°.

(2)把下列各角化為2防i+a(O0a〈2兀，左金Z)的形式：錯誤!，-

315°,-錯誤!.

C3J在0。?720。范圍內(nèi)，找出與錯誤!兀終邊相同的角.

11

【解析】(D?i=一亍兀=一錯誤!x180°七一282。86°；&二錯誤！

511

兀二一6義180。=15330。；

。3=9=9x錯誤!°七515。66°；a4=-855°=-855°x錯誤！=一錯誤!兀。

(2J錯誤！=4兀+錯誤??；-315°=-360°+45°=一2兀+錯誤??；-錯誤！

二一2兀十錯誤!.

(3)???錯誤！=錯誤!*180。=72。,???終邊與錯誤!相同的角為6>=72°+

左?360。r左GZ).

當(dāng)上=0時，<9=72°；當(dāng)上二1時，9二432。。故左0。?720。

范囹內(nèi)，與錯誤!終邊相同的角為72。，432°.

(1)1800=nrad是進(jìn)行“弧度”與“角度”換算的關(guān)鍵.

(2)表示成2k7r+afO<a<27r,k￡ZJ的形式，調(diào)整左使角

在［0,2兀)內(nèi).

(3)把弧度換算成角度，寫出終邊相同的角的集合，調(diào)整上

使角在0。?720。內(nèi).

方法歸納

進(jìn)行角度制與弧度制的互化的原則和方法

(1)原貝;1:牢記180°=兀rad,充分利用1°二錯誤!rad和1rad=

錯誤!。進(jìn)行換算.

(2)方法：設(shè)一個角的弧度教為。，角度教為〃，則。rad二

錯誤!°；幾°=兒?錯誤!.

提醒：CU用“弧度”為單住度量角時，“弧度”二字或“rad”可

以堵略不寫.

(2)用“弧度”為單位度量角時，常常杷弧度教寫成多少兀的形

式，如無特別要求，不必把兀寫成小教.

(3)度化弧度時，應(yīng)先將分、秒化成度，再化成孤度.

跟蹤訓(xùn)練1(1)將下列各角用弧度表示，并指出它們是第幾

象F艮角:ai=510。，?2=-750°；

(2)將下列各角用度表示，并左0。?360。范圍內(nèi)找出與它們

終邊相同的角:"二錯誤!兀，仇二一錯誤!兀。

解析：(1)<1°二錯誤！rad,「?。1=510°=510x錯誤！=錯誤叫

17「

處|ai=石-兀=2兀+錯誤!兀；

?2=-750°=一750x錯誤！二一錯誤!兀，處1?2=一錯誤!兀二一3x2兀+

錯誤!兀,???。1是第二象F艮角,?2是第四象F艮角.

(2)/31=錯誤!兀=錯誤!x錯誤！=144°,設(shè)31=k-360°+144°伏￡ZJ.

V00<6>i<360°,A0o<^360o+144°<360°(^ez),.\^=0.

???在0。?360。內(nèi)，與角小終邊相同的角是144°角；

11

02=—8兀=一錯誤!X錯誤！二一330°。

設(shè)仇二目360。-330。(左￡Z).

,00

00<32<360°,..0<^360°-330〈360。/￡Z),：.k=lo

???在0。?360。內(nèi)，與角儀終邊相同的角是30。角.

角度與孤度的換算只要記住一個公式:錯誤!二錯誤!。據(jù)此可推出

n°=n?錯誤!rad,arad=a?錯誤！°.

類型二用弧度制表示角的集合

例2已知角。=2005。。

(1)將a改寫成￡+2防i(左￡Z,0寸＜2兀)的形式，并指出。是第

幾象F艮的角；

(2)在「一5兀，0)內(nèi)找出與。終邊相同的角.

【解析】(1)2005°=2005x錯誤！rad=錯誤！rad=5x2兀+錯誤!

rad,又?！村e誤！〈錯誤!，

???角a與錯誤!終邊相同，是第三象F艮的角.

(2)與。終邊相同的角為2左兀+錯誤!(左￡Z),

由一5兀024兀+錯誤！〈0,左WZ知左二一1,-2,-3o

???在「一5兀，0)內(nèi)與。終邊相同的角是一錯誤!，一錯誤!，一錯誤!。

(1)用孤度教表示與角a終邊相同的角連同角a在內(nèi)的集合為

{P|p=2k〃+%k￡Z}.

(2)用孤度數(shù)表示區(qū)域角時，先把角度換算成孤度，再寫出與

區(qū)域角的終邊相同的角的集合，最后用不等式表示出區(qū)域角的

集合，對于能合并的應(yīng)當(dāng)合并.

方法歸納

用弧度制表示終邊相同的角2kn+a(左6Z)時，其中2kn

是兀的偶教僖，而不是整數(shù)售，還要注意角度制與弧度制不能混

用.

跟蹤訓(xùn)練2用孤度表示終邊落在如圖(1)(2)所示的陰影

部分內(nèi)r不包括邊界)的角的集合.

解析：對于題圖(1),225。角的終邊可以看作是-135。角的終

邊，化為孤度，即一錯誤!，60°角的終邊即錯誤!的終邊,.??所求集合為

錯誤!.

對于題圖(2),同理可得，所求集合為alkn+錯誤!＜?！?防i+錯誤!，

左￡ZUa2防1+兀+錯誤！〈。＜2防1+兀+錯誤！，左￡Z二錯誤！。

本題考查區(qū)域角的表示，關(guān)鍵是要確定好區(qū)域的起止邊界。

類型三與扇形孤長、面積相關(guān)的問題

例3(1)若一圓弧長等于其所在圓的內(nèi)接正三角形的邊長，

則其圓心角a￡(0,兀)的孤度教為()

Ao錯誤！

B.錯誤！

Co@

D.2

(2)一個扇形OAB的面積是1cn?,它的周長是4cm,求圓心

角的孤度教和弦長AB.

【解析】(1)設(shè)圓半徑為廠,則其內(nèi)接正三角形的邊長為錯誤!

r,所以錯誤!r=a?廠，所以。二錯誤！。

(2)設(shè)扇形的半徑為rem,孤長為/cm,則錯誤!解得錯誤！

I

所以圓心、角a=^=2o

如圖，過點(diǎn)。作于點(diǎn)“，則NAOH=lrad。

所以AH=l?sin1=sin1(cm),所以AB=2sinl(cm),

所以圓心角的弧度教為2,弦長AB為2sin1cm.

【答案】(1)C(2)見解析

(1)圓的半徑r與圓的內(nèi)接正三角形的邊長a的關(guān)系是a二g

r,再求a。

(2)設(shè)出扇形的弧長和半徑，列出方程組求解.

方法歸納

扇形的弧長和面積的求解策略

(1J記公式：弧度制下扇形的面積公式4是S二錯誤!/R二錯誤!

凝2(其中I是扇形的孤長，a是扇形圓心角的弧度教，0〈。＜2兀).

(2)找關(guān)鍵:涉及扇形的半徑、周長、孤長、圓心角、面積

等的計算問題，關(guān)鍵是分析題目中已知哪些量、求哪些量，然后

靈活運(yùn)用孤長公式、扇形面積公式直接求解或列方程r組)求

解.

跟蹤訓(xùn)練3(1)已知扇形的圓心角為120。，半徑為小cm,

則此扇形的面積為cm2;

(2)已知扇形的周長為10cm,面積為4cm2,求扇形圓心角

的弧度教.

解析：Q)設(shè)扇形弧長為/,

因?yàn)?20°=120x錯誤!rad=錯誤！(rad),

所以/=。滅二錯誤!x錯誤！=錯誤！(cm).

所以S二錯誤!/R=錯誤!x錯誤!x錯誤！=兀(cm2).

故填兀.

(2)設(shè)扇形圓心角的孤度教為仇0＜?！?兀)，孤長為I,華役為R,

依題意有錯誤！

①代人②得氏2一5氏+4=0,解之得R=l,&=4.

當(dāng)R=1時，I-8(cmJ,此時，9=8rad〉2兀rad舍去.

當(dāng)R=4時,/=2(cm),此時，夕二錯誤！二錯誤！(rad).

綜上可知，扇形圓心角的弧度教為錯誤!rad.

答案：(1)兀(2)見解析

求扇形面積的關(guān)鍵是求出扇形的圓心角、半徑、孤長這三個

量中的任意兩個量.也可由扇形的面積結(jié)合其他條件，求扇形

的圓心角、半徑、孤長.解題時要注意公式的靈活變形及方程

思想的運(yùn)用.

Iolo2

W川川川川川川川川川川川川川川川川川川川川川川川I川川國E1E3E3?厚I業(yè)I達(dá)I標(biāo)I川川川川川川川川川川川I川川川川川川川川川川小川川川h

［基礎(chǔ)鞏固_7<25分鐘，60分）

~、選擇題（每小題5分，共25分）

L1920。的角化為弧度教為（）

A.錯誤！Bo錯誤！

C.錯誤!兀D.錯誤!兀

解析：71°=錯誤!rad,1920°=1920x錯誤!rad=錯誤!兀rad.

答案：D

2、5弧度的角的終邊所在的象F艮為（）

A、第一象F艮B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象F艮

解析：因?yàn)殄e誤！〈5<2兀，所以5孤度的角的終邊在第四象限、

答嗓：D

3,把-錯誤!兀表示成夕+2防i/￡Z）的形式，使|。最小的值是

（）

3

A、—a兀B、—2兀

C.兀D,一兀

11

解析：??一W兀=-2兀+錯誤！=2x（-1）兀+錯誤!。

3=-錯誤!兀。

答嗓：A

4.一個扇形的弧長與面彳只的數(shù)值都是6,則這個扇形的圓心

角是（）

A.1B.2

C.3D.4

解析:設(shè)扇形的圓心角的弧度教為仇半徑為R,由題意，得

錯誤!，解得夕=3,故選C.

答案：C

5.圓弧長度等于其所在園內(nèi)接正三角形的邊長，則該圓孤

所對圓心角的弧度教為()

A兀C2兀

A03Bo3

Co錯誤！D、2

解析：如圖，設(shè)圓的半徑為R,則圓的內(nèi)接正三角形的邊長

為錯誤!凡所以圓孤長度為錯誤!R的圓心角的弧度教a=錯誤！=錯誤!.

答案：C

二、填變題r每小題5分，共15分)

6、下列四個角:1,60°,錯誤！，-錯誤！由大到小的排列為

解折：只需把60°化成弧度教，因?yàn)?0°=60x錯誤！=錯誤!，所

以8個角為1,錯誤！，錯誤！，一錯誤！。所以60°二錯誤!>1>一錯誤!.

答案:60。二錯誤!>1〉一錯誤！

7、若三角形三內(nèi)角之比為3:4：5,則三內(nèi)角的弧度教

分別聶___________、

解析：設(shè)三角形三內(nèi)角弧度教分別為3k,4k,5k,則由3k

+4k+5左=兀，得左二錯誤!，所以3左二錯誤！，4左二錯誤！，5左二錯誤!。

M.兀兀

答案：.錯誤！

8,孤長為3兀，圓心角為135。的扇形的半徑為,面

積為、

解析：135°二錯誤！=錯誤!，所以扇形的半徑為錯誤！=4,

面積為錯誤！*3兀x4=6兀.

答案：46兀

三、解答題(每小題10分，共20分)

9.將下列角度與孤度進(jìn)行互化：

Cl)20°；C2)-15°；(3J錯誤!；(4)一錯誤!。

20

解析：(1)20°二^^兀=錯誤!.

（2）-15°二一錯誤!兀=一錯誤！。

C3J錯誤！=（錯誤!X錯誤!）°二（錯誤!X180）°=105°o

（4）一錯誤！二（一錯誤!x錯誤！）°二（一錯誤!X180）°=-396°.

10.如圖，扇形OAB的面積是4cm2,它的周長是8cm,求

扇形的圓心角及弦AB的長.

解析：設(shè)扇形圓心角的弧度教為仇0＜?！?兀），

孤長為Icm,半徑為Rcm,

依題意有錯誤！

由①②得R=2,Z=4,：.e=i=2,

過O作OCLAB,則OC平分/BOA,

又N50A=2rad,

???ZBOC=1rad,

:?BC=OBsin1=2sinl（cm）,

?.AB-2BC=4sinl（cm）.

故所求扇形的圓心角為2rad,弦AB的長為4sin1cm.

￡能力提升7（20分鐘，40分）

11.集合錯誤!中的角所表示的范囹r如圖中陰影部分所示）是

解析：當(dāng)k=2m,時，2冽兀+錯誤!0。夕2加兀+錯誤!，根WZ；

k=2m+1,zn￡Z時，2帆兀+錯誤!夕。02m兀+錯誤！，m^Z,故選

C.

答案：C

12.如果一扇形的孤長變?yōu)樵瓉淼腻e誤!僖，半徑變?yōu)樵瓉淼?/p>

一半，則該扇形的面積為原扇形面積的.

解析：由于S=錯誤!/R,若/'二錯誤!/,R二錯誤!R,

見1S'=錯誤!I'R'二錯誤!x錯誤!/X錯誤!R=