山東省濟南市2023年各地區(qū)中考數(shù)學模擬（二模）試題按題型難易度分層分類匯編（13套）-03解答題（較難題）①一．一元一次不等式的應(yīng)用（共1小題）1．（2023?商河縣二模）為提高市民的環(huán)保意識，倡導“節(jié)能減排，綠色出行”，某市計劃在城區(qū)投放一批“共享單車”．這批單車分為A，B兩種不同款型，其中A型車單價400元，B型車單價320元．（1）今年年初，“共享單車”試點投放在某市中心域區(qū)正式啟動．投放A，B兩種款型的單車共100輛，總價值36800元．試問本次試點投放的A型車與B型車各多少輛？（2）試點投放活動得到了廣大市民的認可，該市決定將此項公益活動在整個城區(qū)全面射開．投放A，B兩車型的數(shù)量比為3：2，且投資總價值不低于184萬元．請問城區(qū)10萬人口平均每100人至少享有A型車與B型車各多少輛？二．反比例函數(shù)綜合題（共4小題）2．（2023?濟陽區(qū)二模）如圖，一次函數(shù)y＝x+a的圖象與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點A（4，3），與y軸交于點B．（1）求a，k的值；（2）點C在反比例函數(shù)圖象上，直線CA與x軸交于點D，AC＝AD，連接CB，求△ABC的面積；（3）點E在x軸上，點F是坐標系內(nèi)一點，當四邊形AEBF為矩形時，求點E的坐標．3．（2023?歷城區(qū)二模）如圖1，在平面直角坐標系中，點A（﹣2，0），點B（0，2），直線AB與反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象在第一象限相交于點C（a，4），（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）如圖2，點E（4，m）是反比例函數(shù)y＝（k≠0）圖象上一點，連接CE，AE，試問在x軸上是否存在一點D，使△ACD的面積與△ACE的面積相等，若存在，請求點D的坐標；若不存在，請說明理由；（3）在（2）的條件下，坐標原點O關(guān)于點D的對稱點為G，且點G在x軸的正半軸上，若點M是反比例函數(shù)的第一象限圖象上一個動點，連接MG，以MG為邊做正方形MGNF，當頂點F恰好落在直線AB上時，求點M的坐標．4．（2023?天橋區(qū)二模）如圖，在直角坐標系中，直線與反比例函數(shù)的圖象交于A（m，3）、B兩點．（1）求反比例函數(shù)的表達式；（2）將直線向上平移后與y軸交于點C，與雙曲線在第二象限內(nèi)的部分交于點D，如果△ABD的面積為16，求直線向上平移的距離；（3）E是y軸正半軸上的一點，F(xiàn)是平面內(nèi)任意一點，使以點A，B，E，F(xiàn)為頂點的四邊形是矩形，請求出所有符合條件的點E的坐標．5．（2023?歷下區(qū)模擬）如圖1，一次函數(shù)y＝kx﹣3（k≠0）的圖象與y軸交于點B，與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點A（8，1）．（1）k＝；m＝；（2）點C是線段AB上一點（不與A，B重合），過點C作y軸的平行線與該反比例函數(shù)的圖象交于點D，連接OC，OD，AD，當四邊形OCAD的面積等于24時，求點C的坐標；（3）在（2）的前提下，將△OCD沿射線BA方向平移一定的距離后，得到△O′C′D′，若點O的對應(yīng)點O′恰好落在該反比例函數(shù)圖象上（如圖2），請直接寫出此時點D的對應(yīng)點D′的坐標．三．二次函數(shù)綜合題（共2小題）6．（2023?萊蕪區(qū)二模）拋物線的頂點坐標為D（1，4），與x軸交于A（﹣1，0），B兩點，與y軸交于點C．（1）求這條拋物線的函數(shù)表達式；（2）如圖1，點M是直線BC上的一個動點，連接AM，OM，求AM+OM的最小值，并求出此時M點的坐標；（3）如圖2，點P在第四象限的拋物線上，連接CD，PD與BC相交于點Q，與x軸交于點G，是否存在點P，使∠PQC＝∠ACD．若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．7．（2023?天橋區(qū)二模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+6（a≠0）與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）若在線段BC上存在一點M，使得∠BMO＝45°，過點O作OH⊥OM交CB的延長線于點H，求點H的坐標；（3）在（2）的條件下，點P是y軸正半軸上的一個動點，連接PM，過M做MQ⊥PM交x軸與Q，N是PQ的中點，求BN的最小值．?四．三角形綜合題（共1小題）8．（2023?濟陽區(qū)二模）有公共頂點C的兩個等腰直角三角形按如圖1所示放置，點E在AB邊上．（1）連接BD，請直接寫出值為；（2）如圖2，F(xiàn)，G分別為AB，ED的中點，連接FG，求值；（3）如圖3，N為BE的中點，連接CN，AD，求值．五．四邊形綜合題（共1小題）9．（2023?槐蔭區(qū)二模）已知，四邊形ABCD是正方形，△DEF繞點D旋轉(zhuǎn)（DE＜AB），∠EDF＝90°，DE＝DF，連接AE，CF．（1）如圖1，求證：△ADE≌△CDF；（2）直線AE與CF相交于點G．①如圖2，BM⊥AG于點M，BN⊥CF于點N，求證：四邊形BMGN是正方形；②如圖3，連接BG，若AB＝5，DE＝3，直接寫出在△DEF旋轉(zhuǎn)的過程中，線段BG長度的最小值．?六．幾何變換綜合題（共3小題）10．（2023?萊蕪區(qū)二模）如圖，在同一平面內(nèi)的△ABC和△ADE，連接CE、BD，點P、Q分別是線段CE、BD的中點，△ADE繞點A自由旋轉(zhuǎn)時，B、P、D三點會在同一條直線上．（1）如圖1，當△ABC和△ADE都是等邊三角形時，判斷線段PA、PB、PC的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；（2）如圖2，當△ABC和△ADE都是等腰直角三角形時，請直接寫出線段PA、PB、PC的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3，當∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ACB＝∠AED＝30°，時，求點A到直線PB的距離．11．（2023?歷城區(qū)二模）如圖，△AOB和△COD均為等腰直角三角形，點O為直角頂點，連接AD，BC，E是線段BC的中點，連接OE．【問題解決】（1）如圖①，當C，D兩點分別在邊OA，OB上時，線段EO與線段AD之間的數(shù)量關(guān)系為；【類比探究】（2）將△COD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)到如圖②所示位置，請?zhí)骄浚?）中的數(shù)量關(guān)系是否成立，并說明理由．【拓展延伸】（3）在△COD的旋轉(zhuǎn)過程中，當∠AOC＝150°時，若OA＝6，OC＝2，請直接寫出OE的長．?12．（2023?天橋區(qū)二模）如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，，點D為平面內(nèi)任意一點，將線段CD繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE，連接AE．（1）若點D為△ABC內(nèi)部任意一點時．①如圖1，判斷線段AE與BD的數(shù)量關(guān)系并給出證明；②如圖2，連接DE，當點E，D，B在同一直線上且BD＝2時，求線段CD的長；（2）如圖3，直線AE與直線BD相交于點P，當AD＝AC時，延長AC到點F，使得CF＝AC，連接PF，請直接寫出PF的取值范圍．七．解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題（共2小題）13．（2023?鋼城區(qū)二模）脫貧攻堅工作讓老百姓過上了幸福的生活．如圖①是政府給貧困戶新建的房屋，如圖②是房屋的側(cè)面示意圖，它是一個軸對稱圖形，對稱軸是房屋的高AB所在的直線．為了測量房屋的高度，在地面上C點測得屋項A的仰角為35°，此時地面上C點、屋檐上E點、屋頂上A點三點恰好共線，繼續(xù)向房屋方向走8m到達點D時，又測得屋檐E點的仰角為55°，房屋的頂層橫梁EF＝12m，ET∥CB，AB交EF于點G（點C，D，B在同一水平線上）．（參考數(shù)據(jù)：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4）（1）求屋項到橫梁的距離AG；（2）求房屋的高AB．14．（2023?商河縣二模）某市為實現(xiàn)5G網(wǎng)絡(luò)全覆蓋，2023——2025年擬建設(shè)5G基站七千個．如圖，在坡度為l＝1：2.4的斜坡CB上有一建成的基站塔AB，基站塔與水平地面垂直，小明在坡腳C測得塔頂A的仰角為45°，然后她沿坡面CB行走13米到達D處，在D處測得塔頂A的仰角為53°．（點A、B、C、D均在同一平面內(nèi)）（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）（1）求D處的豎直高度；（2）求基站塔AB的高．

山東省濟南市2023年各地區(qū)中考數(shù)學模擬（二模）試題按題型難易度分層分類匯編（13套）-03解答題（較難題）①參考答案與試題解析一．一元一次不等式的應(yīng)用（共1小題）1．（2023?商河縣二模）為提高市民的環(huán)保意識，倡導“節(jié)能減排，綠色出行”，某市計劃在城區(qū)投放一批“共享單車”．這批單車分為A，B兩種不同款型，其中A型車單價400元，B型車單價320元．（1）今年年初，“共享單車”試點投放在某市中心域區(qū)正式啟動．投放A，B兩種款型的單車共100輛，總價值36800元．試問本次試點投放的A型車與B型車各多少輛？（2）試點投放活動得到了廣大市民的認可，該市決定將此項公益活動在整個城區(qū)全面射開．投放A，B兩車型的數(shù)量比為3：2，且投資總價值不低于184萬元．請問城區(qū)10萬人口平均每100人至少享有A型車與B型車各多少輛？【答案】（1）本次試點投放的A型車60輛、B型車40輛；（2）則城區(qū)10萬人口平均每100人至少享有A型車3000×＝3輛、至少享有B型車2000×＝2輛．【解答】解：（1）設(shè)本次試點投放的A型車x輛、B型車y輛，根據(jù)題意，得：，解得：，答：本次試點投放的A型車60輛、B型車40輛；（2）由（1）知A、B型車輛的數(shù)量比為3：2，設(shè)整個城區(qū)全面鋪開時投放的A型車3a輛、B型車2a輛，根據(jù)題意，得：3a×400+2a×320≥1840000，解得：a≥1000，即整個城區(qū)全面鋪開時投放的A型車至少3000輛、B型車至少2000輛，則城區(qū)10萬人口平均每100人至少享有A型車3000×＝3輛、至少享有B型車2000×＝2輛．二．反比例函數(shù)綜合題（共4小題）2．（2023?濟陽區(qū)二模）如圖，一次函數(shù)y＝x+a的圖象與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點A（4，3），與y軸交于點B．（1）求a，k的值；（2）點C在反比例函數(shù)圖象上，直線CA與x軸交于點D，AC＝AD，連接CB，求△ABC的面積；（3）點E在x軸上，點F是坐標系內(nèi)一點，當四邊形AEBF為矩形時，求點E的坐標．【答案】（1）a＝4，k＝12；（2）8；（3）E（1，0）或（3，0）．【解答】解：（1）將點A的坐標（4，3）代入一次函數(shù)表達式得：3＝×4+a，解得：a＝1，將點A的坐標A（4，3）代入反比例函數(shù)表達式得：3＝，解得：k＝12；（2）∵點A（4，3），D點的縱坐標是0，AD＝AC，∴點C的縱坐標是3×2﹣0＝6，把y＝6代入y＝得x＝2，∴C（2，6），如圖，作CH⊥x軸于H，交AB于E，當x＝2時，y＝＝2，∴E（2，2），∵C（2，6），∴CE＝6﹣2＝4，∴S△ABC＝＝＝8；（3）如圖，∵a＝1，∴一次函數(shù)的解析式為y＝x+1，當x＝0時，y＝1，∴OB＝1，∵四邊形AEBF為矩形，∴∠BEA＝90°，過A作AH⊥x軸于H，∴∠AHE＝∠AEB＝90°，∴∠HAE+∠AEH＝∠AEH+∠BEO＝90°，∴∠BEO＝∠HAE，∴△AHE∽△EOB，∴，∵A（4，3），∴OH＝4，AH＝3，∴，解得OE＝1或3，∴E（1，0）或（3，0）．3．（2023?歷城區(qū)二模）如圖1，在平面直角坐標系中，點A（﹣2，0），點B（0，2），直線AB與反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象在第一象限相交于點C（a，4），（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）如圖2，點E（4，m）是反比例函數(shù)y＝（k≠0）圖象上一點，連接CE，AE，試問在x軸上是否存在一點D，使△ACD的面積與△ACE的面積相等，若存在，請求點D的坐標；若不存在，請說明理由；（3）在（2）的條件下，坐標原點O關(guān)于點D的對稱點為G，且點G在x軸的正半軸上，若點M是反比例函數(shù)的第一象限圖象上一個動點，連接MG，以MG為邊做正方形MGNF，當頂點F恰好落在直線AB上時，求點M的坐標．【答案】（1）y＝；（2）（2，0）或（﹣6，0）；（3）M坐標為：或（1，8）．【解答】解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y＝mx+n，把點A（﹣2，0），點B（0，2）分別代入上式可得：∴，解得：，∴y＝x+2，把C（a，4）代入y＝x+2中，∴a+2＝4，解得：a＝2，∴C（2，4），把C（2，4）代入y＝可得：，解得：k＝8，∴反比例函數(shù)解析式為y＝；（2）∵E（4，m）在反比例函數(shù)y＝圖象上，∴m＝2，∴E（4，2），∵△ACE的面積與且△ACD的面積相等，當D點在x軸的正半軸上時，設(shè)過D點與直線AB平行的直線解析式為y＝x+b，∴4+b＝2，解得b＝﹣2，∴y＝x﹣2，∴D（2，0）；當D點在x軸的負半軸上時，點D關(guān)于點（﹣2，0）的對稱點為（﹣6，0），此時△ACE的面積與且△ACD的面積相等，∴D（﹣6，0）；綜上所述：D點坐標為（2，0）或（﹣6，0）；（3）由題意得：G（4，0），設(shè)M（t，）（t＞0），①當F點M左側(cè)時，過點M作QH∥x軸，過點F作FQ⊥QH交于Q點，過點G作GH⊥QH交于點H，則∠MQF＝∠MHG＝90，，∵四邊形FNGM為正方形，∴∠FMG＝90°，F(xiàn)M＝MG，∵∠FMG＝90°，∴∠QMF+∠HMG＝90°，∵∠HMG+∠MGH＝90°，∴∠QMF＝∠MGH，∵FM＝MG，∴△MFQ≌△GMH（AAS），∴MH＝QF，GH＝QM，∴F（t﹣，﹣4+t），∴﹣4+t＝t﹣+2，解得t＝，∴M（，3）；②點F在M右側(cè)時，過點M作QH∥y軸，交x軸于點Q，過點F作FH⊥QH交于點H，，同理可得：△MFH≌△GMQ（AAS），∴GQ＝HM，MQ＝FH，∴QG＝MH＝4﹣t，MQ＝FH＝，∴F（t+，），代入y＝x+2可得：，解得：t＝1，∴M（1，8），綜上所述：M點坐標為：（）或（1，8）．4．（2023?天橋區(qū)二模）如圖，在直角坐標系中，直線與反比例函數(shù)的圖象交于A（m，3）、B兩點．（1）求反比例函數(shù)的表達式；（2）將直線向上平移后與y軸交于點C，與雙曲線在第二象限內(nèi)的部分交于點D，如果△ABD的面積為16，求直線向上平移的距離；（3）E是y軸正半軸上的一點，F(xiàn)是平面內(nèi)任意一點，使以點A，B，E，F(xiàn)為頂點的四邊形是矩形，請求出所有符合條件的點E的坐標．【答案】（1）y＝﹣；（2）直線向上平移的距離為4個單位長度；（3）點E的坐標為（0，）或（0，5）．【解答】解：（1）令一次函數(shù)中y＝3，則3＝﹣x，解得：x＝﹣4，即點A的坐標為（﹣4，3），∵點A（﹣4，3）在反比例函數(shù)的圖象上，∴k＝﹣4×3＝﹣12，∴反比例函數(shù)的表達式為y＝﹣；（2）連接AC、BC如圖所示．設(shè)平移后的解析式為y＝﹣x+b，∵該直線平行直線AB，∴S△ABD＝S△ABC，∵△ABD的面積為16，∴S△ABC＝OC?（xB﹣xA）＝16，∴b×8＝16，∴b＝4，∴直線向上平移的距離為4個單位長度；（3）如圖，∵E是y軸正半軸上的一點，F(xiàn)是平面內(nèi)任意一點，以點A，B，E，F(xiàn)為頂點的四邊形是矩形，②A為直角頂點，∴∠BAE＝90°，過A作AH⊥y軸于H，∴∠OAE＝∠AHO＝∠AHE＝90°，∴∠OAH+∠EAH＝∠OAH+∠AOH＝90°，∴∠EAH＝∠AOH，∴△AOH∽△EOA，∴，∵A（﹣4，3），∴AH＝4，OH＝3．∴，∴EH＝，∴OE＝3+＝，∴點E的坐標為（0，），②E為直角頂點，∴AE⊥BE，∴AB＝10，∴OA＝5，∴△AEB為直角三角形，∴OE為中線，∴EO＝AO＝5，∴E（0，5），綜上所述，點E的坐標為（0，）或（0，5）．5．（2023?歷下區(qū)模擬）如圖1，一次函數(shù)y＝kx﹣3（k≠0）的圖象與y軸交于點B，與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點A（8，1）．（1）k＝；m＝8；（2）點C是線段AB上一點（不與A，B重合），過點C作y軸的平行線與該反比例函數(shù)的圖象交于點D，連接OC，OD，AD，當四邊形OCAD的面積等于24時，求點C的坐標；（3）在（2）的前提下，將△OCD沿射線BA方向平移一定的距離后，得到△O′C′D′，若點O的對應(yīng)點O′恰好落在該反比例函數(shù)圖象上（如圖2），請直接寫出此時點D的對應(yīng)點D′的坐標．【答案】（1），8；（2）C（2，﹣2）；（3）D′（6，6）．【解答】解：（1）把點A（8，1）分別代入y＝kx﹣3和y＝中，得，1＝8k﹣3，1＝，解得：k＝，m＝8，故答案為，8；（2）C（a，a﹣3）（0＜a＜8），則D（a，），∴CD＝﹣a+3，∵S四邊形OCAD＝24，∴?CD?xA＝24，即（﹣a+3）×8＝24，∴a2+6a﹣16＝0，∴a1＝﹣8，a2＝2，經(jīng)檢驗：a1＝﹣8，a2＝2是原方程的解，∵0＜a＜8，∴a＝2，∴C（2，﹣2）；（3）由平移可知：OO′∥AB，∴直線OO′的解析式為y＝x，由，解得或（舍棄），∴O′（4，2），∵把點O向右平移4個單位，向上平移2個單位得到O′，∵D（2，4），∴D′（6，6）．三．二次函數(shù)綜合題（共2小題）6．（2023?萊蕪區(qū)二模）拋物線的頂點坐標為D（1，4），與x軸交于A（﹣1，0），B兩點，與y軸交于點C．（1）求這條拋物線的函數(shù)表達式；（2）如圖1，點M是直線BC上的一個動點，連接AM，OM，求AM+OM的最小值，并求出此時M點的坐標；（3）如圖2，點P在第四象限的拋物線上，連接CD，PD與BC相交于點Q，與x軸交于點G，是否存在點P，使∠PQC＝∠ACD．若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）M（，）；（3）存在點P，使∠PQC＝∠ACD，P（4，﹣5）．【解答】解：（1）∵拋物線的頂點坐標為D（1，4），∴設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2+4，將點A（﹣1，0）代入，得：4a+4＝0，解得：a＝﹣1，∴y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3，故該拋物線的函數(shù)表達式為y＝﹣x2+2x+3；（2）如圖，作點O關(guān)于直線BC的對稱點K，連接AK交BC于點M，連接BK，由對稱性可知，OM＝KM，∴AM+OM＝AM+KM≥AK，當O、M、K三點共線時，AM+OM有最小值，∵B（3，0），C（0，3），∴OB＝OC，∴∠CBO＝45°，由對稱性可知∠KBM＝45°，∴BK⊥BO，∴K（3，3），設(shè)直線AK的解析式為y＝kx+b，∴，解得：，∴直線AK的解析式為y＝x+，設(shè)直線BC的解析式為y＝mx+3，∴3m+3＝0，∴m＝﹣1，∴直線BC的解析式為y＝﹣x+3，聯(lián)立方程組，解得：，∴M（，）；（3）存在點P，使∠PQC＝∠ACD．理由如下：如圖2，過點D作y軸的平行線交過點C與x軸的平行線于點E，則DE＝CE＝1，即∠DCE＝45°，則∠OCD＝90°+45°＝135°，則∠ACD＝135°+∠ACO；過點Q作QT⊥x軸于點T，則∠CQT＝135°，則∠PQC＝∠CQT+∠TQP＝135°+∠TQP＝∠ACD＝135°+∠ACO，∴∠TQP＝∠ACO，過點P作PN∥y軸交過點D與x軸的平行線于點N，∵PN⊥x軸，QT⊥x軸，∴PN∥QT，∴∠NPD＝∠TQP＝∠ACO，在Rt△AOC中，tan∠ACO＝＝＝tan∠NPD，設(shè)點P（t，﹣t2+2t+3），則tan∠NPD＝＝＝，解得：t＝1（舍去）或t＝4，經(jīng)檢驗，t＝4是方程的根，∴P（4，﹣5）．7．（2023?天橋區(qū)二模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+6（a≠0）與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）若在線段BC上存在一點M，使得∠BMO＝45°，過點O作OH⊥OM交CB的延長線于點H，求點H的坐標；（3）在（2）的條件下，點P是y軸正半軸上的一個動點，連接PM，過M做MQ⊥PM交x軸與Q，N是PQ的中點，求BN的最小值．?【答案】（1）y＝﹣2x2+4x+6；（2）（，﹣）；（3）．【解答】解：（1）將點A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+6，得，解得，∴拋物線的解析式為y＝﹣2x2+4x+6；（2）過點M作MG⊥y軸于點G，過點H作HT⊥y軸于點T，則∠QGO＝90°，∠HTO＝90°，∴∠GMO+∠MOG＝90°，∵OH⊥OM，∠BMO＝45°，∴∠MOH＝90°，∠OHM＝45°，∴∠MOG+∠TOH＝90°，OM＝OH，∴∠GMO＝∠TOH，在△MGO和△OTH中，，∴△MGO≌△OTH（AAS），∴MG＝OT，GO＝TH，∵點C坐標為（0，6），設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+n（k≠0，k，n為常數(shù)），代入點B（3，0），點C（0，6），得，解得，∴直線BC解析式為y＝﹣2x+6，設(shè)點H坐標為（m，﹣2m+6），則TH＝m，OT＝2m﹣6，∴點M坐標為（2m﹣6，m），∵點M在線段BC上，∴﹣2（2m﹣6）+6＝m，解得m＝，∴﹣2×+6＝﹣，∴點H坐標為（，﹣）；（3）由（2）可知，點M坐標為（，），∵PM⊥MQ，∴△PMQ是直角三角形，∵N是PQ的中點，∴MN＝PQ，∵∠POQ＝90°，∴ON＝PQ，∴MN＝ON，∴點N在線段MO的垂直平分線上，作線段MO的垂直平分線l，直線l與直線MO交于點R，直線l與x軸交于點K，則R坐標為（），當BN⊥l時，BN取得最小值，如圖所示：設(shè)直線MO的解析式為y＝ex（e≠0），代入點M（，），得e＝，解得e＝3，∴直線MO的解析式為y＝3x，設(shè)直線l的解析式為y＝，代入點R（），得，解得f＝2，∴直線l的解析式為y＝，當y＝＝0時，x＝6，∴點K坐標為（6，0），∴KB＝6﹣3＝3，∴KB：KO＝1：2，∵∠BKN＝∠BKN，∠BNK＝∠BRK＝90°，∴△BNK∽△ORK，∴BN：OR＝KB：KO＝1：2，∵OR＝＝，∴BN＝OR＝，∴BN的最小值為．四．三角形綜合題（共1小題）8．（2023?濟陽區(qū)二模）有公共頂點C的兩個等腰直角三角形按如圖1所示放置，點E在AB邊上．（1）連接BD，請直接寫出值為1；（2）如圖2，F(xiàn)，G分別為AB，ED的中點，連接FG，求值；（3）如圖3，N為BE的中點，連接CN，AD，求值．【答案】（1）1；（2）；（3）2．【解答】解：（1）∵∠ACB＝∠ECD＝90°，∴∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴BD＝AE，∴，故答案為：1；（2）如圖2，連接CF，CG，∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，F(xiàn)，G分別為AB，ED的中點，∴AC＝CF，∠A＝∠ACF＝45°＝∠CEG＝∠ECG，∴∠ACE＝∠FCG，∴△ACE∽△FCG，∴＝＝；（3）如圖3，取BC的中點M，連接NM，∵N為BE的中點，點M是BC的中點，∴EC＝2MN，MN∥EC，BC＝2CM，∴∠NMC+∠ECB＝180°，CD＝2MN，AC＝2CM，∵∠ACB＝∠ECD＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝180°，∴∠CMN＝∠ACD，，∴△ACD∽△CMN，∴＝．五．四邊形綜合題（共1小題）9．（2023?槐蔭區(qū)二模）已知，四邊形ABCD是正方形，△DEF繞點D旋轉(zhuǎn)（DE＜AB），∠EDF＝90°，DE＝DF，連接AE，CF．（1）如圖1，求證：△ADE≌△CDF；（2）直線AE與CF相交于點G．①如圖2，BM⊥AG于點M，BN⊥CF于點N，求證：四邊形BMGN是正方形；②如圖3，連接BG，若AB＝5，DE＝3，直接寫出在△DEF旋轉(zhuǎn)的過程中，線段BG長度的最小值．?【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②4．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADC＝90°，∵DE＝DF，∠EDF＝90°，∴∠ADC＝∠EDF，∴∠ADE＝∠CDF，∴△ADE≌△CDF（SAS）；（2）①證明：如圖，設(shè)AG與CD相交于點P．∠ADP＝90°，∠DAP+∠DPA＝90°，∵△ADE≌△CDF，∴∠DAE＝∠DCF．∵∠DPA＝∠GPC，∴∠DAE+∠DPA＝∠GPC+∠GCP＝90°．∠PGN＝90°，∵BM⊥AG，BN⊥GN，∴四邊形BMGN是矩形，∴∠MBN＝90°∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠MBN＝90°．∴∠ABM＝∠CBN．又∵∠AMB＝∠BNC＝90°∴△AMB≌△CNB（ASA）．∴MB＝NB．∴矩形BMGN是正方形；②解：作DH⊥AG交AG于點H，作BM⊥AG于點M，此時△AMB≌△AHD．∴BM＝AH，AH2＝AD2﹣DH2，AD＝5，∴DH最大時，AH最小，DH＝DE＝2，∴BM＝AH＝4，由（2）①可知，△BGM是等腰直角三角形，∴BG最?。紹M＝4．六．幾何變換綜合題（共3小題）10．（2023?萊蕪區(qū)二模）如圖，在同一平面內(nèi)的△ABC和△ADE，連接CE、BD，點P、Q分別是線段CE、BD的中點，△ADE繞點A自由旋轉(zhuǎn)時，B、P、D三點會在同一條直線上．（1）如圖1，當△ABC和△ADE都是等邊三角形時，判斷線段PA、PB、PC的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；（2）如圖2，當△ABC和△ADE都是等腰直角三角形時，請直接寫出線段PA、PB、PC的數(shù)量關(guān)系PB＝CP+AP；（3）如圖3，當∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ACB＝∠AED＝30°，時，求點A到直線PB的距離．【答案】（1）PA+PC＝PB，理由見解析過程；（2）PB＝CP+AP，理由見解析過程；（3）點A到直線PB的距離2．【解答】解：（1）PA+PC＝PB，理由如下：如圖1，連接AQ，∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵點P、Q分別是線段CE、BD的中點，∴BQ＝DQ，CP＝PE，∴BQ＝CP，∴△ACP≌△ABQ（SAS），∴AQ＝AP，∠BAQ＝∠CAP，∴∠BAC＝∠PAQ＝60°，∴△PAQ是等邊三角形，∴PQ＝AP，∴PB＝BQ+PQ＝AP+CP；（2）PB＝CP+AP，理由如下：如圖2，連接AQ，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，∠BAD＝∠ACE，∵點P、Q分別是線段CE、BD的中點，∴BQ＝DQ，CP＝PE，∴BQ＝CP，∴△ACP≌△ABQ（SAS），∴AQ＝AP，∠BAQ＝∠CAP，∴∠BAC＝∠PAQ＝90°，∴△PAQ都是等腰直角三角形，∴PQ＝AP，∴PB＝CP+AP，故答案為：PB＝CP+AP；（3）如圖3，過點A作AH⊥BP于H，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ACB＝∠AED＝30°，∴點A，點B，點E三點共線，EA＝AD，AC＝AB，∴＝，∴△ABD∽△ACE，∴∠ABD＝∠ACE，又∵∠BDA＝∠CDP，∴∠BAC＝∠BPC＝90°，又∵CP＝PE，∴BC＝BE，CD＝DE，∵∠DCP＝∠DEP，∵∠ADE＝90°﹣∠AED＝60°，∴∠DCP＝∠DEP＝30°，∴∠BCE＝∠BEC＝60°，∴△BCE是等邊三角形，∴BE＝CE，∵CP＝PE，∠CAE＝90°，∴AP＝CP＝PE＝4，∵∠BCA＝∠ECA＝30°，∴AB＝AE＝4，∠PBE＝∠ACE＝30°，∴AH＝AH＝2，∴點A到直線PB的距離2．11．（2023?歷城區(qū)二模）如圖，△AOB和△COD均為等腰直角三角形，點O為直角頂點，連接AD，BC，E是線段BC的中點，連接OE．【問題解決】（1）如圖①，當C，D兩點分別在邊OA，OB上時，線段EO與線段AD之間的數(shù)量關(guān)系為AD＝2EO；【類比探究】（2）將△COD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)到如圖②所示位置，請?zhí)骄浚?）中的數(shù)量關(guān)系是否成立，并說明理由．【拓展延伸】（3）在△COD的旋轉(zhuǎn)過程中，當∠AOC＝150°時，若OA＝6，OC＝2，請直接寫出OE的長．?【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵△AOB和△COD是等腰直角三角形，∴AO＝BO，CO＝DO，∠AOB＝90°，∴△AOD≌△BOC（SAS），∴AD＝BC，在Rt△BOC中，E是BC的中點，∴BC＝2EO，∴AD＝2EO，故答案為：AD＝2EO；（2）（1）中結(jié)論仍成立，理由如下：延長OE至F使EO＝EF，連接BF，連接FC并延長交AO于G，∵E是BC的中點，∴四邊形BOCF是平行四邊形，∴CF＝BO，∵AO＝BO，∴CF＝AO，∵∠COD＝∠AOB＝90°，∴∠FCO＝90°+∠COG，∠AOD＝90°+∠AOC，∴∠FCO＝∠AOD，∵CO＝DO，∴△AOD≌△FCO（SAS），∴AD＝OF，∵點E是?BOCF的對角線的交點，∴EO＝EF，∴OF＝2EO，∴AD＝2EO；（3）如圖3，當△COD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)150°時，∠AOC＝150°，∴∠BOC＝360°﹣150°﹣90°＝120°，過點C作FC⊥BO交延長線于F，過點E作EG⊥BO交于G，∴∠OCF＝30°，∵OC＝2，∴OF＝1，CF＝，∵E是BC的中點，∴EG＝CF＝，GB＝GF，∴OA＝OB＝4，∴BF＝5，∴BG＝FG＝2.5，∴OG＝1.5，∴OE＝；如圖4，當△COD繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)150°時，∠AOC＝150°，∴∠BOC＝60°，過點C作CF⊥BO交于F，過點E作EG⊥BO交于G，∴∠OCF＝30°，∵OC＝2，∴FO＝1，CF＝，∵E是BC的中點，∴GE＝CF＝，BG＝GF，∵OB＝AO＝4，∴BF＝3，∴BG＝FG＝，∴OG＝，∴OE＝；綜上所述：OE的長為或．12．（2023?天橋區(qū)二模）如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，，點D為平面內(nèi)任意一點，將線段CD繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE，連接AE．（1）若點D為△ABC內(nèi)部任意一點時．①如圖1，判斷線段AE與BD的數(shù)量關(guān)系并給出證明；②如圖2，連接DE，當點E，D，B在同一直線上且BD＝2時，求線段CD的長；（2）如圖3，直線AE與直線BD相交于點P，當AD＝AC時，延長AC到點F，使得CF＝AC，連接PF，請直接寫出PF的取值范圍．【答案】（1）①AE＝BD，理由見解析過程；②CD＝2；（2）2≤PF≤5+．【解答】解：（1）①AE＝BD，理由如下：∵將線段CD繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE，∴CD＝CE，∠DCE＝90°＝∠ACB，∴∠ACE＝∠BCD，又∵AC＝BC，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD；②∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，，∴AB＝BC＝2，∵△ACE≌△BCD，∴∠CAE＝∠CBD，AE＝BD＝2，∴∠CAE+∠BAC+∠ABE＝∠CAB+∠ABE+∠CBD＝90°，∴∠AEB＝90°，∴BE＝＝＝6，∴DE＝6﹣2＝4，∵CD＝CE，∠DCE＝90°，∴CD＝2；（2）∵△ACE≌△BCD，∴∠E＝∠CDB，∠ACE＝∠DCB，∵∠BCD+∠CDB+∠CBD＝90°，∴∠CBD+∠E+∠BCD＝180°，∵∠E+∠EPB+∠PBC+∠BCD+∠ECD＝360°，∴∠EPB＝90°，∴點P在以AB為直徑的圓上運動，∵AD＝AC，∴點P不能在劣弧BC上，如圖3，取AB的中點O，過點O作OH⊥AF于H，當點O在線段PF上時，PF有最大值，點P在點C時，PF有最小值，∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝