目錄

第三十九講定積分與微積分基本定理.....................................................................2

第四十講空間向量及其運(yùn)算和空間位置關(guān)系...............................................................8

第四十一講利用空間向量求空間角.......................................................................18

第四十二講排列組合..................................................................................32

第四十三講二項式定理................................................................................47

第四十四講離散型隨機(jī)變量及其分布的均值與方差........................................................47

第四十五講二項分布與正態(tài)分布........................................................................48

第三十九講定積分與微積分基本定理

I基本知識］

1.定積分的定義

一般地，如果函數(shù)人X)在區(qū)間。匚。，婦上連續(xù)，用分點(diǎn)〃=聞<為<=將區(qū)間卜，切等分成〃

nnh——n

個小區(qū)間，在每個小區(qū)間0-1，為上任取一點(diǎn)臺(i=1,2,…，”)，作和式￡/(&)Ax=￡七~7(篇)，當(dāng)〃f8時，上述

<=1>=1n

和式無限接近某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù)/U)在區(qū)間1小句上的定積分，記作儼曲.

2.定積分的相關(guān)概念

在1/U)dx中,〃與匕分別叫做積分下限與積分上限,區(qū)間［〃，切叫做積分區(qū)間，函數(shù)/U)叫做被積函數(shù),x叫

做積分變量，心)心叫做被積式.

3.定積分的性質(zhì)

(1)￡k/Tx)d-k￡")dr(k為常數(shù))：

(2)/「〃x)土俶x)1dx=/%Q)dA士/組(x)dx；

(3)￡/U)dx=￡/U)dr+工心)心(其中a<c<b).

4.微積分基本定理

如果負(fù)x)是區(qū)間匚“，切上的連續(xù)函數(shù)，并且F'(x)=/(x),那么/7U)dx=F(份-FS).其中F(x)叫做:x)的一個

原函數(shù).為了方便，我們常常把F(b)—F(a)記為F(x)l?,即/7U)dx=F(x)l?=F(6)—F(“).

I基本知識1

1.定積分與曲邊梯形面積的關(guān)系

圖形陰影部分面積

T|y=fM

S=/2)ck

O\ab2

S=一/")dx

|r/G)

S=/"龍欣—//Lr)dx

Oiarxac

J色)

s=/Ax)dx-/，g(x)dx=/＞的)-g(x)]dx

尸gG)

°\°6，

c—專題

［全析考法］

利用微積分基本定理求定積分

1例a(1)(2018-)

D.9

(2)(2018,河南新鄉(xiāng)一中月考)/1卜譏％—8§可心=()

A.2+2吸B.2~yf2

C.2D.272

[解札

⑴L(1+十)d.r=(~p+in.c)|；=^-e2

+Ine—Xl2—In1=，)].故選B.

乙乙

1

(2)IsinJ-cosx|d.r=(cosa一sin.r)d.r-|-(sinx

JoJoJ-4

一cos.r)d上=(sin.r+cosx)|：+(-cosxsin上)|；=2歷故

4

選D.

[答案口(1)B(2)D

［方法技巧口

利用微積分基本定理求定積分的步驟

(1)把被積函數(shù)變形為寡函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與常數(shù)的積的和或差.

(2)把定積分用定積分性質(zhì)變形為求被積函數(shù)為上述函數(shù)的定積分.

(3)分別用求導(dǎo)公式找到一個相應(yīng)的原函數(shù).

(4)利用微積分基本定理求出各個定積分的值.

(5)計算原始定積分的值.

“二利用定積分的幾何意義求定積分

1例為利用定積分的幾何意義計算下列定積分：

(1匕；

(2)f5(3X3+4SZH^)dr.

J-5

［解］⑴根據(jù)定積分的幾何意義，可知「\/1一椎一1)2分表示的是圓。-1)2+丁=1

積的;(如圖所示的陰影部分).故［-(x—］尸匕=,

(3X3+4SZ7?x)dx表示直線x=—5,x=5,y=0和曲線y=3x3+4sinx所圍成的曲邊梯形面積的代數(shù)和,

且在無軸上方的面積取正號，在x軸下方的面積取負(fù)號.

設(shè)y=Ax)=3x3+4sx,

則,/(—x)=3(—x)3+4si〃(—x)=—(3x3+4s譏x)=~J(x),又/(O)=0,

所以人￥)=3元3+4$加不在［—5,5］上是奇函數(shù)，

所以J°(3f+4s譏x)dx=—/(3丁+45加外心，

所以「酸+4.山加=/（3d+4s加9+J>3+4SS）U。.

［方法技巧：］

1.利用定積分幾何意義求定積分的策略

當(dāng)被積函數(shù)的原函數(shù)不易求，而被積函數(shù)的圖象與直線x=a,x=b,y=0所圍成的曲邊梯形形狀規(guī)則，面積易

求時，利用定積分的幾何意義求定積分.

2.兩個常用結(jié)論

設(shè)函數(shù)./U)在閉區(qū)間［一處幻上連續(xù)，則由定積分的幾何意義和奇、偶函數(shù)圖象的對稱性可得兩個結(jié)論：

(1)若犬x)是偶函數(shù)，則/"yu)&v=2//a)dx；

(2)若危)是奇函數(shù)，則［危)匕=0.

［全析考法I

3點(diǎn)-利用定積分求平面圖形的面積

定積分的概念是由曲邊梯形面積引入的，但是定積分并不一定就是曲邊梯形的面積，要看曲邊梯形在龍軸的上

方還是下方.在x軸的上方時，有S=/7U)dx：在x軸的下方時，有S=—0/(x)dx

aa

［例1］(2018?河北唐山質(zhì)檢)已知曲線y=2-x,y=一上所圍成圖形的面積為S,貝US=

［解析…｛；］￡；

得交點(diǎn)A(l,l);

1

小?資

由j3

J=2-x,

,1,413

+6+3=T

13

[答案Ut

匚方法技巧］

利用定積分求平面圖形面積的步驟

(1)根據(jù)題意畫出圖形；

(2)借助圖形確定出被積函數(shù)，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，確定積分的上、下限；

(3)把曲邊梯形的面積表示成若干個定積分的和；

(4)計算定積分，寫出答案.

T一能力提升

［全練題點(diǎn)I

l.［考點(diǎn)一］(2018?西藏拉薩中學(xué)月考淀積分/(2*+6〉＜1￥的值為()

A.e+2B.e+1

C.eD.e-1

解析：選C原式=(x2+e*)|A=(l+e)—l=e.

,x￡[-1,1)，

21考點(diǎn)一、二］(2018?山西康杰中學(xué)月考)設(shè)/(x)=則「一VWdx的值為()

xS[l,2],

_7T.

B.5+3

—兀?4

C-4+3D.f+3

4

-匹-

解析：選A2+"3

解析：根據(jù)定積分的幾何意義，可知x?+4x—3cLv表示直線%=1,x=2及y=0截圓(大一2y+丫2=］所得

圖形的面積，其大小為圓面積的0即rJ—x?+4x—3卜=今

答案:I

I全練題點(diǎn)I

1.［考點(diǎn)一］（2018?河北石家莊二中等校聯(lián)考）如圖，陰影部分的面積是（）

A.2小B.5s

C孚D字

解析：選Cr一3（3—x2—2x）dx=（一■—犬2+3/）|’3=苧

2.［考點(diǎn)一］（2018?湖南衡陽八中月考似曲線y=cos2x為曲邊的曲邊形（如圖陰影部分）的面積為

答案:I

課后加強(qiáng)鞏固

［小題對點(diǎn)練——點(diǎn)點(diǎn)落實］

對點(diǎn)練（一）求定積分

1.（2018?四川雙流中學(xué)必得分訓(xùn)練）定積分/dx（2—x）dr的值為（）

A兀c兀

A-4B，2

C.TtD.27r

解析：選A廣出（2-工）＜1￥=/弋1一（戈一口&.令丁一］=7,則由定積分幾何意義得

JoJ0

=f,故選A.

2.（2018?福建連城二中期中）若a=xdx,則a,b,c

A.a<c<b

C.c<h<a

解

析

選D

8

2e[―i,i],1—cos2e[o,2],I—cos2<g<4,故.古攵選D.

3.（2018?山東陵縣一中月考）定積分—gdx的值為.

解析：/■一；dx=|x||（）=|—0=|.

0

3

答案-

2

對點(diǎn)練（二）定積分的應(yīng)用

1.（2018?廣東七校聯(lián)考）由曲線外，=1,直線y=x,y=3所圍成的平面圖形的面積為（）

5

A寺B.2—In3Hxy=\r=x

_JUo_c/_y=3

C.4+1〃3D.4—In3；用/

解析：選DS=/g3—；卜+；義2乂2=（3%一山工）|《+2=4—山3,故選D.

2.（2018?河南安陽調(diào)研）由曲線y=2dL直線y=xT及x軸所圍成的圖形的面積為（）

A.12B.24

C.16D.18

解析：選D曲線y=2亞，直線y=x—3的交點(diǎn)為（9,6）,由定積分的幾何意義可知，曲線），=25與直線y=x

9

、翡—￥+3x)|9-

—3及x軸圍成的面積為3X3=02

3.（2018?遼寧沈陽階段性考試）曲線y=r和曲線）2=x圍成的圖形面積是（）

A-3B.3

D.1

C.1

x=0,x=\,

解析：選A由解得或所以所求面積為.故選A.

y=x,尸0,

第四十講空間向量及其運(yùn)算和空間位置關(guān)系

突破點(diǎn)（一）空間向量及其運(yùn)算

抓牢雙基?自學(xué)區(qū)

［基本知識］

1.空間向量及其有關(guān)概念

⑴空間向量的有關(guān)概念

空間向量在空間中，具有大小和方向的量叫做空間向量

相等向量方向相同且模相等的向量

共線向量表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量

共面向量平行于同一個平面的向量

（2）空間向量中的有關(guān)定理

共線向量

對空間任意兩個向量a,b(b#0),a〃bo存在唯一一個aCR,使a=2b

定理

共面向量若兩個向量a、b不共線，則向量p與向量a,b共面臺存在唯一的有序?qū)崝?shù)

定理對(x,y),使-=-+油

空間向量如果三個向量a、b、c不共面，那么對空間任一向量p,存在有序?qū)崝?shù)組｛x,

基本定理y,z｝使得〃=xa+yb+zc

2.兩個向量的數(shù)量積

(1)非零向量a,b的數(shù)量積a-b=|a||b|cos(a,b).

(2)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律

①結(jié)合律：qa>b=2(a-b)；

②交換律：a-b=b-a；

③分配律：a-(b+c)=a-b+a-c.

3.空間向量的運(yùn)算及其坐標(biāo)表示

設(shè)a=(a],3.2>aj),b=(b],b?,bj).

向量表示坐標(biāo)表示

數(shù)量積a,ba也L+a2bz+a3b3

共線a=2b(bW0)31=2b|,22=/2,3.3=Ab3

垂直a?b=0(aW0,bNO)a_j_bi+a2bz+a3b30

模|a|ylal+al+al

夾角(a,b)(aWO,bWO)COS(a,b)/2_1_

q+否?y歷+歷+%

[基本能力]

1.判斷題

(1)若4,B,C,。是空間任意四點(diǎn)，則有方1+旅+布+市=0.()

(2)|a|—|b|=|a+b|是a,b共線的充要條件.()

(3)空間中任意兩非零向量a,b共面.()

(4)在向量的數(shù)量積運(yùn)算中@1))七=2.(|3.0).()

(5)對于非零向量b,由a.b=b.c,則a=c.()

(6)兩向量夾角的范圍與兩異面直線所成角的范圍相同.()

答案：⑴J(2)X(3)V(4)X(5)X(6)X

2.填空題

(1)已知a=(2,3,l),b—(―4,2,x),且aj_b,則x=.

答案：2

(2)已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),若c=3a+2b,則c=.

答案：(4,5,5)

(3)已知a=(l,2,-2),b=(0,2,4).則a,b夾角的余弦值為.

一2小竺立2^5

解析：cos<a,b〉1亦步廠—15木：一15

研透高考?講練區(qū)

［全析考法］

-點(diǎn)一空間向量的線性運(yùn)算

［例門在三棱錐。-A8C中，M,N分別是OA,8c的中點(diǎn)，G是aABC的重心，用基向量前，OB,~OC

表示。G,MG.

—?—>—>—>2—>—>2—?—>

［解10G=0A+AG=0A+gAN=0A+］(ON—OA)

=04+|［|(OB+OC)-04蘇+；友，MG=OG-OM=OG-|OA

二(市+|0B+^0C~^0A=-^OA+^OB+^OC.

［方法技巧］

用已知向量表示某一向量的三個關(guān)鍵點(diǎn)

(1)用已知向量來表示某一向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵.

(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點(diǎn)指

向末尾向量的終點(diǎn)的向量.

(3)在立體幾何中三角形法則、平行四邊形法則仍然成立.

空間向量數(shù)量積的應(yīng)用

［例2］如圖所示，四棱柱ABC。X向CS中，底面為平行四邊形，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都為I,且兩

兩夾角為60°.

⑴求AG的長；

(2)求證：ACiLBD.

［解］(1)記A3=a,AD=b,AAI=c,

則|a|=|b|=|c|=1,<a,b〉=<b,c)=<c,a>=60°,.*.a-b=b-c=c-a=1.

|AG|2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a-b+b-c+c-a)=l+l+l+2X^+1+1j=6,

；.|AG|=#,即AG的長為證.

(2)證明：：AG=a+b+c,BD=b—a,'.ACi-BD=(a+b+c)-(b—a)=a-b+|b|2+b-c—|a|2—a-b—a-c

=b-c—a-c=|b||c|cos60°—|a||c|cos60°=0..'.ACiiBD,.'.AC\1.BD.

［方法技巧口空間向量數(shù)量積的三個應(yīng)用

設(shè)向量a,b所成的角為仇則cose—1：K，進(jìn)而可求兩異面直線所成的角

求夾角

求長度

運(yùn)用公式|a『=a.a,可使線段長度的計算問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計算問題

(距離)

解決垂

利用aJ_bOa.b=0(aH0,bWO),可將垂直問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計算問題

直問題

［全練題點(diǎn)I

1.［考點(diǎn)一］己知空間四邊形04BC中，~OA=a,OB=b,員=,，點(diǎn)M在。A上，且OM=2M4,N為BC中

點(diǎn)，則加=()

B.—1a+^b+^c

1,11D.1a+|b-

C.1a+]b一呼

解析：選B如圖所示,

--A--A--A--A1--A--A--A1--4--A2--?1--A--A

MN=MA+AB+BN=gOA+(OB-OA)+5BC=OB一；OA+1(0C-OB)

2—>1——>1——>211

一?OA+2OB+]0C=-1@+的+產(chǎn)

2.［考點(diǎn)二］已知a=Q+1,0,2),b=(6,2Zz-l,22),若2〃卜則2與〃的值可以是()

A.2,5B.|

C.-3,2D.2,2

‘6=碌+1),2=2,

解析：選A'：a//b,：.b=ka,即(6,2〃一1,22)=@+1,0,2),2〃-1=0,解得＜1或＜1

kz=2

、22=2攵，

31考點(diǎn)三］在長方體ABC。-AiBCQi中，AB=2,44］=小，AD=2巾,P為GA的中點(diǎn)，M為8c的中點(diǎn),

則AM與PM的位置關(guān)系為()

A.平行B.異面

C.垂直D.以上都不對

解析：選C建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系可得3(0,0,0),P(0,l,小)，C(0,2,0),A(26，0,0),

M(小,2,0).

.?.麗=(短1,一小)，AM=(~y/2,2,0).：.~PM-AM=(yf2,1,一正).(一隹2,0)=0.

:.~PM±7M,即

突破點(diǎn)(二)利用空間向量證明平行與垂直問題

抓牢雙基?自學(xué)區(qū)

I基本知識I

1.兩個重要向量

直線的直線的方向向量是指和這條直線平行(或重合)的非零向量，一條直線

方向向量的方向向量有無數(shù)個

平面的直線/，平面a,取直線/的方向向量，則這個向量叫做平面a的法向

法向量量.顯然一個平面的法向量有無數(shù)個,它們是共線向量

2.空間位置關(guān)系的向量表示

位置關(guān)系向量表示

ri]//n2^n\=Xn2

直線/”“的方向向量分別為川，及

1山2n1±n2<=>nrn2=0

l//an±m(xù)<=>m-n=0

直線/的方向向量為n,平面a的法向量為m

/J_an〃mOn=2m

a//pn〃mOn=4ni

平面a,4的法向量分別為n,m

a邛n_LmOn?m=0

I基本能力I

1.判斷題

(1)直線的方向向量是唯一確定的.()

(2)已知蓊'=(2,2,1),7c=(4,5,3),則平面ABC的單位法向量是n()=±g,一|,|).()

⑶兩條不重合的直線/|和/2的方向向量分別為V1=(1,0,-1),V2=(-2,0,2),則/I與/2的位置關(guān)系是平行.(

(4)若由，r>2分別是平面a,夕的法向量，則ni〃n20a〃夕.()

答案：⑴X(2)7(3)V(4)X

2.填空題

⑴若直線/i，，2的方向向量分別為a=(2,4,-4),b=(-6,9,6),則e1與e2的位置關(guān)系為.

解析：由a-b=2X(—6)+4X9+(-4)X6=0知aJLb,/.e!±e2.

答案：ej_Le2

(2)設(shè)u=(-2,2,1),v=(6,-4,4)分別是平面a,4的法向量.若a邛,則/=.

解析：?:a工°,則u?v=-2X6+2X(-4)+4r=0,

t=5.

答案：5

(3)已知直線/的方向向量為v=(l,2,3),平面a的法向量為u=(5,2,—3),則/與a的位置關(guān)系是

解析：由題知v-u=lX5+2X2+3X(—3)=0,：.v±u,二直線/〃a或/Ua.

答案：/〃a或/Ua

(4)若平面a的一個法向量為5=(—3,y,2),平面0的一個法向量為3=(6,-2,z),且a//p,則y+z=

—3v2

解析：因為?！ㄈ怂評〃U2,所以丁=0=:，所以y=l,z=—4,所以y+z=—3.

答案：一3

研透高考?講練區(qū)

I全析考法I

向量法證明平行與垂直關(guān)系

［例q如圖，在直三棱柱ABC-48C中，AC=3,8c=4,AB=5,A4|=4,點(diǎn)。是AB的中點(diǎn).

(1)證明4(7_18?；

⑵證明AG〃平面CDBi.

［證明D因為直三棱柱ABC-A181cl的底面邊長分別為AC=3,8c=4,A8=5,所以△ABC為

直角三角形，AC1.BC.

所以AC,BC,GC兩兩垂直.

如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線C4,CB,CG分別為x軸，》軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則C(0,0,0),4(3,0,0),

S(0,4,0),G(0,0,4),A|(3,0,4),(0,4,4),D(J,2,0).

(1)因為就=(-3,0,0),茲|=(0,-4,4),

所以就?碧=0,所以4c

⑵設(shè)CB|與Ci8的交點(diǎn)為E,連接。E,則E(0,2,2),無=(一|,0,2),滔=(-3,0,4),

所以萬行=(箱，Z)￡〃AG.因為QEU平面COB”ACg平面CDB”所以AC1〃平面CQB1.

［方法技巧」

1.利用空間向量證明平行的方法

線線平行證明兩直線的方向向量共線

①證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直；

線面平行

②證明直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行

①證明兩平面的法向量為共線向量；

面面平行

②轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問題

2.利用空間向量證明垂直的方法

線線垂直證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零

證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或?qū)⒕€面垂直的判定定理用向量表

線面垂直

示

面面垂直證明兩個平面的法向量垂直，或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛孟蛄勘硎?/p>

［提醒］運(yùn)用向量知識判定空間位置關(guān)系時，仍然離不開幾何定理.如用直線的方向向量與平面的法向量垂直

來證明線面平行時，仍需強(qiáng)調(diào)直線在平面外.

看點(diǎn)二向量法解決垂直、平行關(guān)系中的探索性問題

［例刃在四棱錐P-ABC。中，底面ABCZ),底面ABCO為正方形，PD=DC,E,尸分別是AB,PB的

中點(diǎn).

⑴求證：EEL8；

(2)在平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)G,使GFL平面尸C8?若存在，求出點(diǎn)G坐標(biāo)：若不存在，試說明理由.

［解；］(1)證明：由題意知，DA,DC,0P兩兩垂直.如圖，以DA,DC,0P所在直線分別為x軸，y軸，z

軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AO=a,

則￡>(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),^a,/0),尸(0,0,a),造,會多).后=(一/0,~DC=

(0,a,0).

'：~EF~DC=Q,：.~EFl.'DC,從而得EFJLCD

(2)假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)G,設(shè)G(x,0,z),則君=［:一冬一條z-§,

若使GF_L平面尸CB,則由君?,=(%-冬—看z-3(a,0,0)=a(x-?)=0,得x=*

由Fd.C7=(》一4—2>2—。(0,—a,a)=^+aG-f)=?,得z=0.

；.G點(diǎn)坐標(biāo)為g,0,()),故存在滿足條件的點(diǎn)G,且點(diǎn)G為AO的中點(diǎn).

［方法技巧］

一而矗熹前嗚尾道「樂行看美南蒜桂彘蔻函一

(1)根據(jù)題設(shè)條件中的垂直關(guān)系，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，將相關(guān)點(diǎn)、相關(guān)向量用坐標(biāo)表示.

(2)假設(shè)所求的點(diǎn)或參數(shù)存在，并用相關(guān)參數(shù)表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)線、面滿足的垂直、平行關(guān)系，構(gòu)建方程

(組)求解，若能求出參數(shù)的值且符合該限定的范圍，則存在，否則不存在.

［全練題點(diǎn)］

II考點(diǎn)一］如圖，在三棱錐尸-ABC中，AB=AC,。為BC的中點(diǎn)，POJ_平面ABC,垂足。落在線段AO上.已

知BC=8,PO=4,40=3,0D=2.

(1)證明：APLBC-,

(2)若點(diǎn)M是線段AP上一點(diǎn)，且AM=3.試證明平面4MC_L平面BMC.

證明：如圖所示，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以射線。尸為z軸的正半軸建立空間直角坐

-xyz.

則。(0,0,0),A(0,—3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4).

⑴???AP=(0,3,4),8c=(—8,0,0),

...標(biāo)?就=(0,3,4)?(—8,0,0)=0,所以版_L左，即AP_L8C.

(x

B

(2)由(1)知|AP|=5,

—>3—>(

又|AM|=3,且點(diǎn)M在線段AP上，J=(0,

又AC=(-4,5,0),BA=(-4,-5,0),

+~AM=(^—4,一號,

----->----->tio-->-->

則AP-BM=(0,3,4)1-4,一亍，句=0,AP±BM,AP±BM,

又根據(jù)(1)的結(jié)論知4P-LBC,BMCBC=B,

；.AP_L平面BMC,于是AMJ■平面BMC.

又AMU平面AMC,故平面AMCJ■平面BCM.

2.［考點(diǎn)二］如圖，在長方體ABCD-ABiGG中，AA|=A￡>=1,E為C￡>的中點(diǎn).

(1)求證：B}E±ADi；

⑵在棱AA|上是否存在一點(diǎn)尸，使得。尸〃平面&AE?若存在，求4P的長：若不存在,

說明理由.

解：以4為原點(diǎn)，溫,AD,~AA\的方向分別為x軸，)，軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)

AB=d..

(1)證明：4(0,0,0),。(0,1,0),2(0,1』)，E?,1,0),S(a,0,1),故福=(0,1,1),

因為瓦點(diǎn)詞=-M><0+lXl+(—l)Xl=0,所以8iE_LAQ.

(2)假設(shè)在棱A4|上存在一點(diǎn)P(0,0,zo),使得。尸〃平面此時加=(0,—1,z0),

再設(shè)平面&AE的一個法向量為n=(x,y,z),

病=(a,0』)，"AE=^,1,0).

〃x+z=0,

因為nl■平面SAE,所以nJLQ?,n±AE,得心

5+)，=0，

取x=l,得)，=—5,z=—a,得平面B|AE的一個法向量n=(l,一多，一,.

要使QP〃平面BiAE,只要nLzJ戶，有〉azo=0,解得z0弓

又。因平面BiAE,所以存在點(diǎn)尸，滿足。P〃平面SAE,此時AP=/

「課時達(dá)標(biāo)檢測］

［小題?？碱}點(diǎn)——準(zhǔn)解快解口

I.若直線/的方向向量為a=(l,0,2),平面a的法向量為n=(-2,0,-4),貝比)

A.I//aB./±a

C.lUaD./與a斜交

解析：選BVa=(1,0,2),n=(-2,0,-4),Z.n=-2a,即a〃n,：.l±a.

2.如圖所示，在平行六面體48co-ABC。］中，M為4G與Bi。1的交點(diǎn).若溫'=a,AD=b,高=前

則下列向量中與血相等的向量是()

A.—ga+；b+cB.^a+^b+c

11,,11,,AB

C.—]a-+cD.^a—]b+c

—>—>—>1—>—>111

解析：選ABM=BB\—^+B]M=AA]+1(A。-AB)=c+](b—a)=-1a+]b+c.

3.(2018?云南模擬)已知a=(—325),b=(l,x,-1),且a-b=2,則x的值為()

A.3B.4

C.5D.6

解析：選CVa=(-3,2,5),b=(l,x,-1),Aa-b=-3+2x-5=2,解得無=5,故選C.

[大題?？碱}點(diǎn)——穩(wěn)解全解」

1.已知a=(l,-3,2),b=(-2,l,l),4(一3,一1,4),5(-2,-2,2).

(1)求|2a+b|；

(2)在直線AB上，是否存在一點(diǎn)E,使得無，b?(。為原點(diǎn))

解：(l)2a+b=(2,—6,4)+(—2,1,1)=(0,-5,5),

故|2a+b|=A/02+(-5)2+52=5V2.

(2)令(fGR),所以7法=豕+左

=~OA+rAB=(~3,-l,4)+z(l,-1,-2)=(-3+z,-1-/.4-20,

—>—>9

若OE_Lb,則OE-b=0,所以一2(—3+0+(—1-。+(4—2。=0,解得^=亍

—?(6142、

因此存在點(diǎn)E,使得OE_Lb,此時E點(diǎn)的坐標(biāo)為(一予-y,引

2.已知直三棱柱ABC-AiBiG中，△ABC為等腰直角三角形，NB4C=90°,且D,E,尸分別為B/,

GC,BC的中點(diǎn).求證：

⑴。E〃平面ABC；

(2)BiF_L平面4EF.

證明：以A為原點(diǎn)，AB,AC,44i所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空

角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z,令坐8=A4|=4,則A(0,0,0),￡(0,4,2),尸(2,2,0),B1(4,0,4),0(2,0,2),4(0,0,4).

(1)D￡=(-2,4,0),平面ABC的法向量為H=(0,0,4),

VDEA4?=0,平面ABC,二。E〃平面ABC.

(2)不=(-2,2,-4),EF=(2,-2,-2),#=(2,2,0),

E?=(-2)X2+2X(-2)+(-4)X(-2)=0,

---->---->

：.BiF±EF,：.BiFLEF,

赤?林=(-2)X2+2X2+(-4)X0=0,

：.B^F1.AF,：.BlF±AF.

\'AFnEF=F,...B/J■平面AEF.

3.如圖，四棱錐P-ABC。的底面為正方形，側(cè)棱鞏，底面ABC。，且fi4=AO=2,E,F,”分別是線段用,

PD,A8的中點(diǎn).求證：

⑴PB〃平面EFH；

(2)PO_L平面AHF.

證明：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.

.,.A(0,0,0),8(2,0,0),C(2,2,0),0(0,2,0),P(0,0,2),￡(0,0,1),尸(0,1,1),W(1,0,0).

(1)VE,”分別是線段AP,AB的中點(diǎn)，：.PB//EH.

,：PBC平面EFH,且EHU平面EFH,：.PB〃平面EFH.

(2)PD=(0,2,-2),AW=(1,0,0).AF=(0,l,l),

---->---->

PD-AF=0X0+2Xl+(-2)Xl=0,

PZ)-AW=0Xl+2X0+(-2)X0=0.

：.PD±AF,2。_14，.又：4/。4//=4,，尸。，平面AH尸.

4.如圖所示，四棱錐S-ABC。的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的小倍，點(diǎn)P為側(cè)棱S。上的點(diǎn).

⑴求證：ACA.SD；

(2)若SO,平面PAC,則側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E,使得BE〃平面B4C若存在，求SE：EC的值；若不存在,

試說明理由.水

解：⑴證明：連接B。，設(shè)AC交8。于點(diǎn)。，則AC_LBD連接S。，由題意知SOJL平面/；\\p

ABCD.二二

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，蘇，OC,而所在直線分別為x軸，y軸，Z軸，建立空間直角坐BC

標(biāo)系，如圖.

底面邊長為a,則高SO=坐a,

于是《0,0,乎。)，/[—坐4，0,0),B(孚a,0,0),C^O,孚a,0),OC=(0,容a,0),

SD=(一等a,0,一坐"),