5.3.2函數(shù)的極值與最值(第一課時(shí))1．了解函數(shù)極值的概念，會(huì)從幾何的角度直觀理解函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，并會(huì)靈活應(yīng)用．2．結(jié)合函數(shù)的圖象，了解函數(shù)在某點(diǎn)處取得極值的必要條件和充分條件．(重點(diǎn))3．會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值．(難點(diǎn))

在用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可以判斷函數(shù)的增減.如果函數(shù)在某些點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0，那么函數(shù)在這些點(diǎn)處有什么性質(zhì)呢？

跳水運(yùn)動(dòng)中，運(yùn)動(dòng)員的重心相對(duì)于水面的高度h(單位：米)與起跳后的時(shí)間t(單位：秒)存在函數(shù)關(guān)系觀察圖象，我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)

時(shí)，運(yùn)動(dòng)員距離水面的高度最大.那么，函數(shù)在此點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是多少呢？此點(diǎn)附近的圖象有什么特點(diǎn)？相應(yīng)地，導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有什么變化規(guī)律？放大

附近的函數(shù)圖象，可以看出：當(dāng)

時(shí)，當(dāng)

時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)

時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，這就是說，在

附近，函數(shù)先增后減，

先正后負(fù)，且.對(duì)于一般的函數(shù)

，是否也有相同的性質(zhì)呢？

如圖，函數(shù)

在

x=a，b，c，d，e這些點(diǎn)與這些點(diǎn)附近的函數(shù)值有什么關(guān)系？在這些點(diǎn)及這些點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)正負(fù)性有什么規(guī)律？xyabcde函數(shù)的極值

先以

為例，如圖，可以發(fā)現(xiàn)，函數(shù)

在點(diǎn)

處的函數(shù)值比它在點(diǎn)

附近其他點(diǎn)處的函數(shù)值都小，

，而且在點(diǎn)

附近的左側(cè)

，右側(cè)

.我們把點(diǎn)

a叫做函數(shù)的極小值點(diǎn)，

叫做函數(shù)的極小值.

類似地，函數(shù)

在點(diǎn)

處的函數(shù)值比它在點(diǎn)

附近其他點(diǎn)處的函數(shù)值都大，

，而且在點(diǎn)

附近的左側(cè)

，右側(cè)，我們把點(diǎn)

b叫做函數(shù)的極大值點(diǎn)，

叫做函數(shù)的極大值.極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，極小值和極大值統(tǒng)稱為極值.1.對(duì)函數(shù)的極值的理解(1)極值是一個(gè)局部概念：由定義可知，極值只是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與它附近點(diǎn)的函數(shù)值比較最大或最小，并不意味著它在函數(shù)的整個(gè)的定義域內(nèi)最大或最?。?2)函數(shù)的極值不是唯一的，即一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個(gè)．(3)極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系.(4)函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn)．2.極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)等于0的關(guān)系函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于0，但導(dǎo)數(shù)等于0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).例如，對(duì)于函數(shù)

，我們有.雖然

，但由于無論

，還是

，恒有.即函數(shù)

是增函數(shù)，所以0不是函數(shù)

的極值點(diǎn).一般地，函數(shù)

在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0是函數(shù)在這點(diǎn)取極值的必要條件，而非充分條件.例1.求函數(shù)

的極值.解：因?yàn)榱睿?/p>

或當(dāng)

x變化時(shí)，

，

的變化情況如下表x

(-∞，-2)-2

(-2，2)2

(2，+∞)+0

-0+f(x)單調(diào)遞增↗單調(diào)遞減↘單調(diào)遞增↗因此，當(dāng)

時(shí)，

有極大值，并且極大值為

；

當(dāng)

時(shí)，

有極小值，并且極小值為.

函數(shù)

的圖象如圖所示：求函數(shù)極值的方法：(1)求導(dǎo)數(shù)

；(2)求方程

的全部實(shí)根；(3)列表，檢查

在方程

的根左、右的函數(shù)值的符號(hào)；(4)判斷單調(diào)性，確定極值．注：最好列表判斷，避免出錯(cuò)．例2.求下列函數(shù)的極值(1)(2)解：(1)函數(shù)

的定義域?yàn)?/p>

R，且令，得

或當(dāng)

x變化時(shí)，

，

的變化情況如下表x

(-∞，-1)-1

(-1，3)3

(3，+∞)+0

-0+f(x)單調(diào)遞增↗10單調(diào)遞減↘-22單調(diào)遞增↗因此，

是函數(shù)的極大值點(diǎn)，極大值為

；

是函數(shù)的極小值點(diǎn)，極小值為.

(2)函數(shù)

的定義域?yàn)?/p>

(0，+∞)，且令，得.當(dāng)

x變化時(shí)，

，

的變化情況如下表x

(0，e)e

(e，+∞)+0

-f(x)單調(diào)遞增↗

單調(diào)遞減↘因此，

是函數(shù)的極大值點(diǎn)，極大值為

；

沒有極小值.

1.已知在與時(shí)都取得極值．(1)求a，b的值；(2)若，求的單調(diào)區(qū)間和極值．解：(1)因?yàn)橛深}可知

與

是

的解，所以

，解得

，.(2)由(1)知因?yàn)?/p>

，得.所以

，則當(dāng)

x變化時(shí)，

，

的變化情況如下表x

1

(1，+∞)+0

-0+f(x