第四章定積分§1定積分的概念1.1定積分的背景——面積和路程問題1.2定積分學(xué)習(xí)目標(biāo)重點難點1.了解曲邊梯形的面積的求法．2.理解“分割、近似代替、求和、取極限”的數(shù)學(xué)思想．3.掌握定積分的概念，并會用定義求定積分．4.理解定積分的幾何意義和定積分的基本性質(zhì).1.重點：定積分的概念和性質(zhì)．2.難點：定積分的概念的理解及幾何意義.1．定積分的背景——面積和路程問題面積問題、路程問題以及做功問題是3個實際意義完全不同的問題，但是它們的解決過程是相似的，都是通過分割自變量的區(qū)間得到______________和______________，分割得越細，估計值就越接近__________；當(dāng)分割成的小區(qū)間的長度_______時，_____________和____________都趨于要求的值．過剩估計值不足估計值精確值趨于0過剩估計值不足估計值2．定積分的概念一般地，給定一個在區(qū)間[a，b]上的函數(shù)y＝f(x)，其圖像如下圖所示．將[a，b]區(qū)間分成n份，分點為：a＝x0<x1<x2<…<xn－1<xn＝b.第i個小區(qū)間為[xi－1，xi]，設(shè)其長度為Δxi，在這個小區(qū)間上取一點ξi，使f(ξi)在區(qū)間[xi－1，xi]上的值最大，設(shè)___________________________________________________.S＝f(ξ1)Δx1＋f(ξ2)Δx2＋…＋f(ξi)Δxi＋…＋f(ξn)Δxns＝f(ζ1)Δx1＋f(ζ2)Δx2＋…＋f(ζi)Δxi＋…＋f(ζn)Δxn

S′＝f(δ1)Δx1＋f(δ2)Δx2＋…＋f(δi)Δi＋…＋f(δn)Δxn

定積分

積分號積分的下限y＝f(x)x＝ax＝bxb－a

一輛汽車在直線形公路上變速行駛，汽車在時刻t的速度為v(t)＝－t2＋5(單位：km/h)．試估計這輛汽車在0≤t≤2(單位：h)這段時間內(nèi)行駛的路程(單位：km，區(qū)間10等分)．[思路點撥]

將變速直線運動的路程問題化歸為勻速直線運動的路程問題，通過求矩形面積問題即可解決．過剩估計值和不足估計值的應(yīng)用解：將區(qū)間[0,2]10等分，如圖(1)(2)：圖(1)圖(2)S＝(－02＋5－0.22＋5－…－1.82＋5)×0.2＝7.72，s＝(－0.22＋5－0.42＋5－…－1.82＋5－22＋5)×0.2＝6.92.所以估計該車在這段時間內(nèi)行駛的路程介于6.92km與7.72km之間．【點評】解決這類問題的方法是通過分割自變量的區(qū)間求得過剩估計值和不足估計值，分割得越細，估計值就越接近精確值；當(dāng)分割成的小區(qū)間的長度趨于0時，過剩估計值和不足估計值都趨于要求的值．解：如下圖，將區(qū)間[1,2]5等分，分別以每個小區(qū)間的左、右端點的縱坐標(biāo)為小矩形的高，得此平面圖形面積的不足估計值s和過剩估計值S.

用定積分的幾何意義求下列各式的值．利用定積分的幾何意義求定積分【點評】利用幾何意義求定積分，關(guān)鍵是準(zhǔn)確確定被積函數(shù)的圖像以及積分區(qū)間，正確利用相關(guān)的幾何知識求面積．不規(guī)則的圖形常用分割法求面積，注意準(zhǔn)確確定分割點．利用定積分的性質(zhì)求定積分【點評】利用定積分