高中物理模型盤點（一）斜面模型

物理模型盤點——斜面模型

［模型概述］

斜面模型是中學物理中最常見的模型之一，各級各類考題都會出現，設計的內容有力學、電學等。相關方

法有整體與隔離法、極值法、極限法等，是屬于考查學生分析、推理能力的模型之一。

［模型要點］

斜面固定時，對斜面上的物體受力分析，建立坐標系進行正交分解，選擇利用三大定律列方程求解；對斜

面不固定時，我們將斜面與斜面上的物體看成系統(tǒng)，仔細觀察題中條件，采用整體法或動量定理甚至動量

守恒定律處理。

［模型講解］

一.利用正交分解法處理斜面上的平衡問題

典例《相距為20cm的平行金屬導軌傾斜放置（見圖），導軌所在平面與水平面的夾角為6=37°,現在導

軌上放一質量為330g的金屬棒ab,它與導軌間動摩擦系數為〃=0.50,整個裝置處于磁感應強度B=2T的

豎直向上的勻強磁場中，導軌所接電源電動勢為15V,內阻不計，滑動變阻器的阻值可按要求進行調節(jié)，

其他部分電阻不計，取g=10/n/s2,為保持金屬棒ab處于靜止狀態(tài)，為,

求：（1）ab中通入的最大電流強度為多少？

（2）ab中通入的最小電流強度為多少？…一

R

評點：此例題考查的知識點有：（1）受力分析一平衡條件的確定；（2）臨界條件分析的能力；（3）直流

電路知識的應用；（4）正交分解法。

說明：正交分解法是在平行四邊形定則的基礎上發(fā)展起來的，其目的是用代數運算來解決矢量運算。正交

分解法在求解不在一條直線上的多個力的合力時顯示出了較大的優(yōu)越性。建立坐標系時，一般選共點力作

用線的交點為坐標軸的原點，并盡可能使較多的力落在坐標軸上，這樣可以減少需要分解的數目，簡化運

算過程。

典例《如圖，在水平桌面上放置一斜面體P,兩長方體物塊。和b疊放在尸的斜面上，整個系統(tǒng)處于靜止

狀態(tài)。若將。和6、b與P、尸與桌面之間摩擦力的大小分別用力、力和力表示。則

八AN

A.fi=0,于#0▼斤

B.力切，力=0,力=01

C.力加，于#金，力二°rV-

D.力力0,于#0,于#0

【答案】C

【解析】整體受力如圖所示，由平衡條件可知，力=0,ab為整體受力如圖，ab有整體下滑趨勢，則力看0,

同理ab之間也有摩擦力工/0,故選C

二.物體在斜面上自由運動的性質

1.斜面模型是高中物理中最常見的模型之一，斜面問題千變萬化，斜面既可能光滑，也可能粗糙；既可能固

定，也可能運動，運動又分勻速和變速；斜面上的物體既可以左右相連，也可以上下疊加。物體之間可以

細繩相連，也可以彈簧相連。求解斜面問題，能否做好斜面上物體的受力分析，尤其是斜面對物體的作用

力(彈力和摩擦力)是解決問題的關鍵。

對沿粗糙斜面自由下滑的物體做受力分析，物體受重力mg,支持力FN、動摩擦力/,由于支持力

FN=mgcos0,則動摩擦力/=〃％,="zgcosd,而重力平行斜面向下的分力為mgsin。，所以當

nigsin。=時，物體沿斜面勻速下滑，由此得sin。=〃cos。，亦即〃=tan。。

所以物體在斜面上自由運動的性質只取決于摩擦系數和斜面傾角的關系。

當〃<tan。時，物體沿斜面加速速下滑，加速度。=g(sin。一〃cos。)；

當〃=tan。時，物體沿斜面勻速下滑，或恰好靜止;

當〃〉tan。時，物體若無初速度將靜止于斜面上;

三.“光滑斜面”模型常用結論

如圖所示，質量為優(yōu)的物體從傾角為0、高度為〃的光滑斜面頂端由靜止下滑，則有如下規(guī)律：

(1)物體從斜面頂端滑到底端所用的時間3由斜面的傾角。與斜面的高度〃共同決定，與物體的質量無關。

關系式為t=焉楞。

(2)物體滑到斜面底端時的速度大小只由斜面的高度h決定,與斜面的傾角。、斜面的長度、物體的質量無關。

關系式為v=y）2gh。

（3）摩擦力做功：斜面上摩擦力做的功可以等效成在水平面上投影位移成水平方向摩擦力。

典例*如圖所示，一小物塊在粗糙程度相同的兩個固定斜面上從A經8滑動到C,若不考慮物塊在經過8

點時機械能的損失，則下列說法中正確的是（）

A.從A到8和從2到C,減少的機械能相等B.從A到8和從8到C,減點

少的重力勢能相等C.從A到2和從B到C,因摩擦而產生的熱量相等D.小

物塊在C點的動能一定最大

【答案】8【解析】解：/、設任一斜面與水平面的夾角為8,則斜面的長度：S=S，物塊受到的摩擦力

sin0

大小：f=nmgcosd,物塊下滑的過程中克服摩擦力做的功：Wf=f-S=^mgcosd-=^mg-可

知，物塊下滑的過程中，克服摩擦力做功與水平位移的大小成正比，物塊從4到8的水平位移小于從8到C

的水平位移，所以物塊在段克服摩擦力做功小于在8c段克服摩擦力做功，而物塊減少的機械能等于克

服摩擦力做的功，所以，物塊從4到8減少的機械能比從8到C的少，故/錯誤；B、物體從4到6和從8

到C,段的高度與8c段的高度相等，重力對物體做的功相等，則減少的重力勢能相等，故8正確；C、

因摩擦而產生的熱量等于減少的機械能，所以，從4到8和從8到C,因摩擦而產生的熱量不等，故C錯誤；

久物體從8到C的過程中，重力對物體做正功，摩擦力對物體做負功，由于不知道二者的大小關系，所以

C點的動能不一定大于物體在8點的動能，物塊在。點的動能不一定最大，故。錯誤。故選：員物塊減少

的機械能等于克服摩擦力做的功，對物體受力分析，根據功的計算公式分析摩擦力做功情況，從而分析出

減少的機械能關系；根據下降的高度分析減少的重力勢能關系；因摩擦而產生的熱量等于減少的機械能，

再由動能定理分析在。點的動能。解決本題的關鍵要推導出克服摩擦力做功的表達式，要知道物塊克服摩

擦力做功與水平位移成正比，要能根據功能關系分析除重力以外其他力做功與機械能變化的關系。

典例*如下圖所示，兩個完全相同的物體分別自斜面AC和頂端由靜止開始下滑，物體與兩斜面的動摩

擦因數相同，物體滑至斜面底部C點時的動能分別為&和埒，下滑過程中產生的熱量分別為冉和QB，則0

A.E>EQ=QB.E=EBQA>QBC.E>

ABABAA*A

EQA>QBD.E<EQ>Q

BABAB/Jfi

【答案】/【解析】先根據摩擦力做功的公式比較在兩個斜面

上物體克服摩擦力所做的功，再通過動能定理比較到達底部

的動能。解決本題的關鍵要掌握功的公式W=Fscos8,以及靈活運用動能定理.對于滑動摩擦力做功，根

據W="nigscosO知道scos。是水平位移的大小。

四、“等時圓”模型及其等時性的證明

1.三種模型（如圖）

2.等時性的證明

設某一條光滑弦與水平方向的夾角為a,圓的直徑為或如圖）。根據物體沿光滑弦做初速度為零的勻加速直

線運動，加速度為。=85皿0（,位移為x=dsina,所以運動時間為方=、宮=、/^^=、俘。

aYgbiiiaYg

即沿同一起點（圓的最高點）或終點（圓的最低點）的各條光滑弦運動具有等時性，運動時間與弦的傾角、長短

無關。

典例《如圖所示，豎直圓環(huán)中有多條起始于A點的光滑軌道，其中AB通過環(huán)心O并保持豎直，一質點分

別自A點沿各條軌道下滑，初速度均為零，那么，質點沿各軌道下滑的時間相比較（）

A.質點沿著與AB夾角越大的軌道下滑，時間越短一^K\

B.質點沿著軌道AB下滑，時間最短//\XX

軌道與AB夾角越?。ˋB除外），質點沿其下滑的時間越短

無論沿圖中哪條軌道下滑，所用的時間均相等

【解析】設半徑為R,斜面與豎直方向夾角為0,則物體運動的位移為x=2Rcos。，物體運動的加速度a

根據位移時間關系可得：x=

2

解得：t='豆，與e角無關，即與弦長無關，無論沿圖中哪條軌道下滑，所用的時間均相同。

五.利用矢量三角形法處理斜面系統(tǒng)的變速運動

典例*物體置于光滑的斜面上，當斜面固定時，物體沿斜面下滑的加速度為%,斜面對物體的彈力為耳V]o

斜面不固定，且地面也光滑時，物體下滑的加速度為4,斜面對物體的彈力為耳V2,則下列關系正確的是:

A.%>/，FNI>FNIB.%<出，FNI>FNZ

C.a1<a],FNI<耳V2D.%>a?,瑪vi（用V2

評點：在運動學中巧取參考系；在動力學中運用整體法與隔離法；在研究重力勢能時選取參考平面;

在電學中善用等勢面等往往能起到柳暗花明的效果。

一小物塊沿斜面向上滑動，然后滑回到原處.物塊初動能為Eko,與斜面間的動摩擦因數不變，則該過程中,

物塊的動能后女與位移的關系圖線是

【答案】C

【解析】向上滑動的過程中，根據動能定理：0-線。=-（/+%》,同理，下滑過程中，由動能定理

可得：Ek°-O=(Ff-mg)x,故C正確；ABD錯誤.

【考點定位】動能定理

【名師點睛】本題考查動能定理及學生的識圖能力，根據動能定理寫出EkT圖象的函數關系，從而得

出圖象斜率描述的物理意義.

六.斜面上的綜合問題

典例展如圖所示，足夠長的粗糙斜面固定于豎直向下的勻強電場E中，兩個帶等量正電荷的物體A和B（不

計A、B間的靜電力作用）用質量不計的輕彈簧直接相連，八的質量是B的質量的2倍，在恒力F作用下沿

斜面向上以2m/s的速度做勻速直線運動，A、B與斜面間的動摩擦因數分別為〃人少且以>〃2,物體所受最

大靜摩擦力等于滑動摩擦力。某時刻輕彈簧突然斷開，B在恒力F的作用下繼續(xù)前進,A最后靜止在斜面上,

則（）

A靜止時，B的速度的大小為6m/s

B.若考慮A、B間靜電力作用，則彈簧斷開后到A靜止前，4和B組成系統(tǒng)動量不守恒

C.輕彈簧斷開瞬間，A物體加速度為零

D.若輕彈簧斷開后，再撤去恒力F,最終B有可能會靜止在斜面上

【答案】AD

【詳解】AB.若不考慮48間靜電力作用，則彈簧斷開后到《靜止前，系統(tǒng)所受的外力（重力、摩擦力、

電場力、拉力）均沒有改變，則45組成的系統(tǒng)所受合外力為零，系統(tǒng)動量守恒，則。%+7%）%

解得益=6m/s

選項A正確，B錯誤;

C.輕彈簧斷開瞬時，4物體受重力、斜面支持力和摩擦力作用，合力不為零，加速度不為零，故C錯誤;

D.若輕彈簧斷開后，再撤去恒力尸，則物塊8受向下的重力和電場力以及沿斜面向下的摩擦力作用而做減

速運動，當速度減為零后，若滿足（qE+〃?g）sin6<〃2（qE+"zg）cos6

即>tan0

則8會靜止在斜面上。選項D正確。

故選ADo

典例*如圖，一輕彈簧原長為2R,其一端固定在傾角為37°的固定直軌道AC的底端A處，另一端位

于直軌道上B處，彈簧處于自然狀態(tài)。直軌道與一半徑為6的光滑圓弧軌道相切于C點，

AC=7R'A、B、C、。均在同一豎直平面內。質量為機的小物塊P自C點由靜止開始下滑，最低到達E點

1

〃=—

(未畫出)隨后尸沿軌道被彈回，最高到達/點，AF=4RO已知P與直軌道間的動摩擦因數4,重

34

sin37°=二cos37°=-

力加速度大小為g。(取5,5)

(1)求P第一次運動到3點時速度的大小。

(2)求P運動到E點時彈簧的彈性勢能。

(3)改變物塊P的質量，將尸推至E點，從靜止開始釋放。已知P自圓弧軌道的最高點。處水平飛出后，

恰好通過G點。G點在C點的左下方，與C點水平相距1"、豎直相距R,求產運動到。點時速度的大小

和改變后P的質量。

【解析】(1)選尸為研究對象，受力分析如圖：

設P加速度為。，其垂直于斜面方向受力平衡：GCOS0=N

沿斜面方向，由牛頓第二定律得：=

旦y=〃叫可得："=gsin,一"gc°s'=|g

N

對CB段過程，由匕2-%2=2役

代入數據得3點速度：%=2曬

(2)P從0點出發(fā)，最終靜止在尸，分析整段過程；

由C到尸，重力勢能變化量：^EP=-mg-3Rsin0@

減少的重力勢能全部轉化為內能。

設E點離3點的距離為能，從。到尸，產熱：Q=Mgcos(K7R+2xR)②

由|Q|=|AEp|,聯立①、②解得：x=l.

研究尸從C點運動到E點過程

重力做功：WG=mSsin9(5R+xR)

摩擦力做功：叫”叫儂。(5尺+闔

動能變化量：A4=°J

由動能定理：憶叫+%=3

wnmgR

代入得：5

12mgR

由AE彈=-%,到E點時彈性勢能石彈為5。

(3)其幾何關系如下圖

21

可知：\OQ\=-R,|ce|=-/?

由幾何關系可得，G點在。左下方，豎直高度差為水平距離為3R。

2

設尸從。點拋出時速度為%,到G點時間為f

其水平位移：3R=vJ

豎直位移：=

解得：=乳邈

°5

研究P從E點到。點過程，設P此時質量為〃，'，此過程中：

351

重力做功：%'=-6ggH+GRsin。)=-正6gR①

摩擦力做功：Wf'=-^m'g-6Rcos0=-^m'gR?

12

彈力做功：嗎單'=—反場=不沖尺③

19

2

動能變化量：AE/=-m'vo-OJ=—m'gR?

由動能定理：⑤

將①②③④代入⑤，可得：mf=1m

七.斜面的變換模型

典例*如圖所示，在水平地面上有一輛運動的平板小車，車上固定一個盛水的杯子，杯子的直徑為R。

當小車作勻加速運動時，水面呈如圖所示狀態(tài)，左右液面的高度差為h,則小車的加速度方向指向如何？加

速度的大小為多少？

點評：在本題中可以突出物體的受力特征，建立等效模型，用簡捷的等效物理

模型代替那些真實的、復雜的物理情景，從而使復雜問題的求解過程得到直觀、優(yōu)

化，諸如此類的還有等時圓等等。

［誤區(qū)點撥］

（1）要注意斜面上物體受到摩擦力的種類、方向判斷，比較等；（2）在采用整體法處理斜面體與它上面的

物體時要區(qū)分變速運動部分（合外力）與整體的質量；（3）在計算正壓力時遺漏除重力以外的其他力產生的

作用而導致摩擦力大小計算錯誤；（4）在分析電磁力時電荷或導體棒的極值問題而引起的彈力或摩擦力的變

化；

典例展如圖所示為一傳送帶裝置模型，斜面的傾角為氏379,底端經一長度可忽略的光滑圓弧與足夠長的

水平傳送帶相連接，質量m=2kg的物體從高h=30cm的斜面上由靜止開始下滑，它與斜面間的動摩擦因

數“1=0.25,與水平傳送帶間的動摩擦因數〃2=0.5,物體在傳送帶上運動一段時間以后，又回到了斜面上，

如此反復多次后最終停在斜面底端.已知傳送帶的速度恒為〃=2.5m/s,g取10m/s2.求：

（1）從物體開始下滑到第一次回到斜面的過程中，物體與傳送帶間因摩擦產生的熱量；

（2）從物體開始下滑到最終停在斜面底端，物體在斜面上通過的總路程。

【答案】（1）20J；（2）1.5m

【詳解】（］）對物體從靜止開始第一次到達底端的過程，由動能定理得：

代入數據解得：物體第一次滑到底端的速度v0=2m/s

物體滑上傳送帶后向右做勻減速運動，所受的滑動摩擦力大小為2mg

加速度大小為a=〃2g=5m/s2

到最右端的時間h=—=0.4s

a

物體返回到傳送帶左端時的時間也為tl,因為第一次物