浙江中考復(fù)習(xí)專(zhuān)題一一二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納

二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)：

1.二次函數(shù)的概念：一般地，形如y=ax2+bx+cQa,b,c是常數(shù)，。片0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。

這里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類(lèi)似，二次項(xiàng)系數(shù)。W0,而出c可以為零.二次函數(shù)的定義域是全體

實(shí)數(shù).

2.二次函數(shù)丫="2+/+°的結(jié)構(gòu)特征：

⑴等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x的二次式，x的最高次數(shù)是2.

⑵a,b,c是常數(shù)，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng).

二次函數(shù)的基本形式

1.二次函數(shù)基本形式：y=ak的性質(zhì)：

結(jié)論：a的絕對(duì)值越大，拋物線(xiàn)的開(kāi)口越小。

總結(jié)：

。的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸性質(zhì)

x〉0時(shí)，）隨工的增大而增大；x<0時(shí)，）隨

?！?向上（0.0）y軸

工的增大而減小：x=0時(shí)，y有最小值0.

%>0時(shí)，>隨x的增大而減?。挥?lt;0時(shí)，）隨

a<0向下（0,0）y軸

x的增大而增大；x=0時(shí)，y有最大值0?

2.y=〃x2+c的性質(zhì):

結(jié)論：上加下減。

總結(jié)：

。的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸性質(zhì)

x〉0時(shí)，y隨x的增大而增大；x<0時(shí)，）隨

a>0向上（0.C）y軸

x的增大而減?。粁=0時(shí)，y有最小值c.

x>0時(shí)，>隨工的增大而減?。粺o(wú)<0時(shí)，）隨

a<0向下(0.c)y軸

x的增大而增大；x=0時(shí)，y有最大值c.

3.y=aG-/z)2的性質(zhì):

結(jié)論：左加右減。

總結(jié)：

”的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸性質(zhì)

(/),0)x>/z時(shí)，y隨x的增大而增大；x</z時(shí)，）隨

a>0向上X=h

x的增大而減??；％時(shí)，y有最小值0.

(7),0)x>/z時(shí)，）隨工的增大而減小；X</l時(shí)，）隨

a<0向下X=h

x的增大而增大；％=〃時(shí)，y有最大值0.

4.y=a{x-〃)2+k的性質(zhì)：

AAA

IiIi,1IIIII1I，4IIIiIIII▲IIIh

總結(jié):

”的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸性質(zhì)

x>/i時(shí)，y隨云的增大而增大；x<〃時(shí)，y隨

a>0向上（人，k）X=h

x的增大而減小；尤=〃時(shí)，y有最小值

%>力時(shí)，>隨X的增大而減?。粁</z時(shí)，）隨

a<0向下(h,k)X=h

X的增大而增大；x=/z時(shí)，y有最大值上.

二次函數(shù)圖象的平移

1.平移步驟：

（1）將拋物線(xiàn)解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式丫=。6-/7》+Z，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)（〃，k）；

⑵保持拋物線(xiàn)y="2的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到（〃，左）處，具體平移方法如下:

y=〃％2+左

向右色>0）［或左/vO）】

平移陽(yáng)個(gè)單位

-------------------------------------------->

向上（女>0）【或下（女<0）】平移圍個(gè)單位

2.平移規(guī)律

在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“人值正右移，負(fù)左移；左值正上移，負(fù)下移”.

概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減”.

二、一次函數(shù)y=Q（X-/z）2+左與y=ax2+b尤+c的比較

請(qǐng)將y=2x2+4x+5利用配方的形式配成頂點(diǎn)式。請(qǐng)將y=ax2+bx+c配成y=a（.x-hy+k<>

總結(jié):

從解析式上看，>=。6-萬(wàn)）2+左與丫="2+法+0是兩種不同的表達(dá)形式，后者通過(guò)配方可以得到前

bI24ac-b2廿占，b4ac-b2

者，即y=〃XH-----+--------,其中力=——，kT=-----------

2a4。2a4a

四、二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的畫(huà)法

五點(diǎn)繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)y=4X2+笈+?；癁轫旤c(diǎn)式y(tǒng)=Q（X—/Z）2+左,確定其開(kāi)口方向、

對(duì)稱(chēng)軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對(duì)稱(chēng)軸兩側(cè)，左右對(duì)稱(chēng)地描點(diǎn)畫(huà)圖.一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與y軸

的交點(diǎn)（0,C）、以及（0,c）關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)（2/7,c）＞與X軸的交點(diǎn)（x，0）,G,0）（若與X軸

12

沒(méi)有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)）.

畫(huà)草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開(kāi)口方向，對(duì)稱(chēng)軸，頂點(diǎn)，與X軸的交點(diǎn)，與y軸的交點(diǎn).

A

五、二次函數(shù)y=ax2+bx+c的性質(zhì)

1.當(dāng)a＞。時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為』%頂點(diǎn)坐標(biāo)為鳥(niǎo)，"

當(dāng)時(shí)，y隨X的增大而減??；當(dāng)彳＞一2時(shí)，y隨X的增大而增大；當(dāng)x=-2時(shí)，y有最小

2a2a2a

2-當(dāng)時(shí)'拋物線(xiàn)開(kāi)口向下'對(duì)稱(chēng)軸為一/頂點(diǎn)坐標(biāo)為陛，號(hào).當(dāng)T時(shí),y隨

X的增大而增大；當(dāng)x＞-2時(shí)，y隨X的增大而減??；當(dāng)x=-2時(shí)，y有最大值警衛(wèi)?

2a2a4〃

六、二次函數(shù)解析式的表示方法

1.一般式：y=ax2+bx+c（a,b,c為常數(shù)，"0）;

2.頂點(diǎn)式：y=a（x-h）2+k（a,h,k為常數(shù)，awO）：

3.兩根式：y=a（x-x）｛x-x）（aW0,x,x是拋物線(xiàn)與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）.

'I2I2

注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫(xiě)成交點(diǎn)式，只

有拋物線(xiàn)與x軸有交點(diǎn)，即b2-4acN0時(shí)，拋物線(xiàn)的解析式才可以用交點(diǎn)式表示.二次函數(shù)解析式

的這三種形式可以互化.

七、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系

1.二次項(xiàng)系數(shù)。

二次函數(shù)），=以2+以+。中，。作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然awO.

⑴當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，。的值越大，開(kāi)口越小，反之"的值越小，開(kāi)口越大；

（2）當(dāng)。＜0時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，。的值越小，開(kāi)口越小，反之。的值越大，開(kāi)口越大.

總結(jié)起來(lái)，。決定了拋物線(xiàn)開(kāi)口的大小和方向，。的正負(fù)決定開(kāi)口方向，LI的大小決定開(kāi)口的大小.

2.一次項(xiàng)系數(shù)。

在二次項(xiàng)系數(shù)”確定的前提下，6決定了拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸.

（1）在a>0的前提下，

當(dāng)6>0時(shí)，--<0,即拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸在v軸左側(cè)；

2a'

當(dāng)。=0時(shí)，-2=0,即拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸就是y軸；

2a

當(dāng)時(shí)，-2>o,即拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸在v軸的右側(cè).

2a

⑵在a<0的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即

當(dāng)6>0時(shí)，上>0,即拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè)；

2a

當(dāng)b=0時(shí)，一_L=0,即拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸就是y軸；

2a

當(dāng)b<0時(shí)，--<0,即拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸在y軸的左側(cè).

2a

總結(jié)起來(lái)，在。確定的前提下，。決定了拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的位置.

總結(jié)：

3.常數(shù)項(xiàng)c

⑴當(dāng)c>0時(shí)，拋物線(xiàn)與），軸的交點(diǎn)在x軸上方，即拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正；

⑵當(dāng)c=0時(shí)，拋物線(xiàn)與），軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0；

（3）當(dāng)c<0時(shí)，拋物線(xiàn)與），軸的交點(diǎn)在軸下方，即拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù).

總結(jié)起來(lái)，c決定了拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)的位置.

總之，只要a,6,c都確定，那么這條拋物線(xiàn)就是唯一確定的.

二次函數(shù)解析式的確定：

根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根

據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)男问?，才能使解題簡(jiǎn)便.一般來(lái)說(shuō)，有如下幾種情況：

1.已知拋物線(xiàn)上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選用一般式；

2.已知拋物線(xiàn)頂點(diǎn)或?qū)ΨQ(chēng)軸或最大（?。┲担话氵x用頂點(diǎn)式；

3.已知拋物線(xiàn)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式；

4.已知拋物線(xiàn)上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)，常選用頂點(diǎn)式.

二、二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)

二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)一般有五種情況，可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá)

1.關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)

y=ax2+bx+c關(guān)于無(wú)軸對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是>=-"2—云―小

y=a（x-h）2+k關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是y=-〃（%-仆-女;

2.關(guān)于〉軸對(duì)稱(chēng)

y=ax^+bx+c關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是y=ax2-bx+ci

y二式工-力）2+左關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是yUQQ+ZIA+L;

3.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

y=ax2+bx+c關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后，得至!）的解析式是y=-ax^+bx-c；

yUQG-ZZ）2+上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是〉=-QG+/Z>-左;

4.關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

y=ax2+bx+c關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是y=-am—云十°一更；

2a

y=4（冗-/2>+左關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是y二-乂工-辦+左.

5.關(guān)于點(diǎn)（加，川）對(duì)稱(chēng)

y=—應(yīng)2+上關(guān)于點(diǎn)（相，〃）對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是y=-a（x+h—2m）2+2n—k

根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，顯然無(wú)論作何種對(duì)稱(chēng)變換，拋物線(xiàn)的形狀一定不會(huì)發(fā)生變化，因此LI永遠(yuǎn)不變.求

拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)拋物線(xiàn)的表達(dá)式時(shí)，可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原

拋物線(xiàn)（或表達(dá)式已知的拋物線(xiàn)）的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開(kāi)口方向，再確定其對(duì)稱(chēng)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開(kāi)口方向，

然后再寫(xiě)出其對(duì)稱(chēng)拋物線(xiàn)的表達(dá)式.

二次函數(shù)與一元二次方程：

1.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)情況）：

一元二次方程以2+6x+c=0是二次函數(shù)y=ax2+bx+c當(dāng)函數(shù)值y=0時(shí)的特殊情況.

圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：

①當(dāng)A=b2-4ac>0時(shí)，圖象與x軸交于兩點(diǎn)4（x,0）,,0）（xwx）,其中的尤，x是一元二次

121212

方程"2+辰+。=0（°片0）的兩根.這兩點(diǎn)間的距離A2=k.

②當(dāng)A=0時(shí)，圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；

③當(dāng)A<0時(shí)，圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn).

r當(dāng)。>0時(shí)，圖象落在.1軸的上方，無(wú)論X為任何實(shí)數(shù)，都有y>0;

21當(dāng)。<0時(shí)，圖象落在x軸的下方，無(wú)論尤為任何實(shí)數(shù)，都有y<0.

2.拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c的圖象與y軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為（0,c）；

3.二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)：

（1）求二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程；

⑵求二次函數(shù)的最大（?。┲敌枰门浞椒▽⒍魏瘮?shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式；

⑶根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)y="2+bx+c中a,b,c的符號(hào)，或由二次函數(shù)中a,b,c的符

號(hào)判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合；

（4）二次函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)坐標(biāo)，或已知與x軸的

一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可由對(duì)稱(chēng)性求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo).

A>0拋物線(xiàn)與X軸有二次三項(xiàng)式的值可正、一元二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)根

⑸兩個(gè)交點(diǎn)可零、可負(fù)