2023-2024學年度九年級數(shù)學中考調(diào)研試題

一、選擇題（本大題共有8小題，每小題3分，共24分）

1.-3的相反數(shù)是（）

A.—B.—C.—3D.3

33

【答案】D

【解析】

【分析】相反數(shù)的定義是：如果兩個數(shù)只有符號不同，我們稱其中一個數(shù)為另一個數(shù)的相反數(shù)，特別地,

0的相反數(shù)還是0.

【詳解】根據(jù)相反數(shù)的定義可得：一3的相反數(shù)是3,

故選D.

【點睛】本題考查相反數(shù)，題目簡單，熟記定義是關鍵.

2.為應對疫情，許多企業(yè)跨界抗疫，生產(chǎn)口罩.截至2月28日，全國口罩日產(chǎn)量達到116000000只.將

116000000用科學記數(shù)法表示應為（）

A.116x10$B.11.6xl07C.1.16xl07D.1.16xl08

【答案】D

【解析】

【分析】此題考查科學記數(shù)法的表示方法.科學記數(shù)法的表示形式為ax10"的形式，其中14時＜10,n

為整數(shù)，表示時關鍵要正確確定a的值以及〃的值.確定〃的值時，要看把原數(shù)變成。時，小數(shù)點移動了

多少位，”的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當原數(shù)絕對值210時，〃是正整數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1

時，〃是負整數(shù).

【詳解】解：116000000=1.16xl08.

故選：D.

3.如圖是由四個相同的小正方體組成的幾何體，該幾何體的左視圖是（）

第1頁/共27頁

A.||B.C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查三視圖，畫出從左面看到的圖形即可.

【詳解】解：該幾何體的左視圖是

故選B.

[2%-5<1

4.不等式組。0的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）

3x+l>12x

【答案】C

【解析】

【分析】先分別求出各不等式的解集，再求其公共解集即可.

【詳解】解不等式2x—5<1得：x<3,

解不等式3x+G2x得：x>—1,

不等式組的解集為：一1方<3,

在數(shù)軸上的表示如選項C所示.

故選：C.

【點睛】本題考查的是在數(shù)軸上表示不等式組解集的方法，熟知實心點與空心圓點的區(qū)別是解答此題的關

鍵.

5.函數(shù)丁=」一中，自變量x的取值范圍是（）

X-1

A.x，0B.x<lC.x>lD.xrl

【答案】D

【解析】

【詳解】【分析】根據(jù)分式有意義的條件：分母不為0,計算即可得出答案.

第2頁/共27頁

【詳解】依題可得：x-l#O,

；.x力1,

故選D.

【點睛】本題考查了函數(shù)自變量的取值范圍，熟知分式有意義的條件是分母不為0是解本題的關

鍵.

6.如圖，AB為。。的直徑，C、。為。。上兩點，若/BCD=38°,則的大小為（）

A.76°B.52°C.50°D.38°

【答案】B

【解析】

【分析】連接A。，先根據(jù)圓周角定理得出NA,再由直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【詳解】解：連接AD,

為。。的直徑，

ZADB=90Q.

?：ZBCD=3S°,

ZA=ZBCD=38°,

AZABD=9Q°-ZA=52°.

故選：B.

A----------------->”

\O\/）

【點睛】本題考查的是圓周角定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出圓周角是解答此題的關鍵.

7.如圖，正方形ABCD中，AB=6,G是BC的中點.將AABG沿AG對折至AAFG,延長GF交DC于

點E,則DE的長是（）

第3頁/共27頁

A.1B.1.5C.2D.2.5

【答案】C

【解析】

【分析】連接AE,根據(jù)翻折變換的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)可證Rt^AFE/RgADE,在直角AECG中，根據(jù)勾

股定理求出DE的長.

連接AE,

??AB=AD=AF,ZD=ZAFE=90°,

由折疊的性質(zhì)得：RtAABG^RtAAFG,

在△AFE和4ADE中，

VAE=AE,AD=AF,ZD=ZAFE,

/.RtAAFERtAADE,

；.EF=DE,

設DE=FE=x,則CG=3,EC=6-x.

在直角4ECG中，根據(jù)勾股定理，得：

(6-x)2+9=(x+3)2,

解得x=2.

則DE=2.

【點睛】熟練掌握翻折變換、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)是本題的解題關鍵.

8.如圖，在RtZXABC中，NC=90°,AC=6cm,5c=2cm,點尸在邊AC上，從點A向點C移

動,點。在邊上，從點C向點8移動，若點P,。均以lcm/s的速度同時出發(fā)，且當一點移動到終點

時，另一點也隨之停止，連接尸Q,則線段PQ的最小值是()

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B

/J

A.20cmB.18cmC.2V5cmD.32cm

【答案】c

【解析】

【分析】本題考查二次函數(shù)的幾何應用、勾股定理，設運動時間為XS,理解題意，列出與時間的二次函

數(shù)關系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：設運動時間為XS,則CQ=AP=xcm,CP=AC-APx)cm,

根據(jù)題意，PQ=+c02

=+彳2

=，2f—12X+36

=J2(x-3『+18，

2>0,0<x<2,

.?.當x=2時，P。有最小值，最小值為質(zhì)=2辰m，

故選：C.

二、填空題(本大題共有10小題，每小題3分，共30分)

9.4的算術平方根是.

【答案】2

【解析】

【分析】本題主要考查的是算術平方根的定義，一般地，如果一個正數(shù)x的平方等于。，即爐=。，那么

這個正數(shù)x叫做。的算術平方根.記為右.依據(jù)算術平方根根的定義求解即可.

【詳解】解：???"=2,

.?.4的算術平方根是2.

故答案為：2.

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10.分式上x+上5的值為0,則X的值為

x-2

【答案】-5

【解析】

【分析】根據(jù)分式的值為?？芍苯舆M行求解.

【詳解】解：?.?分式上上的值為0,

x-2

x+5=0且x—2w0,

??x=-5；

故答案為-5.

【點睛】本題主要考查分式的值為零的條件，熟練掌握分式的值為零的條件是解題的關鍵.

II.已知。=7—36,則代數(shù)式1+6。6+952的值為.

【答案】49

【解析】

【分析】先將條件的式子轉(zhuǎn)換成"3b=7,再平方即可求出代數(shù)式的值.

【詳解】解：：。=7—36,

二。+3。=7,

a1+6ab+9b2=(a+3b^2—72=49,

故答案為：49.

【點睛】本題考查完全平方公式的簡單應用，關鍵在于通過已知條件進行轉(zhuǎn)換.

12.如圖，AB//CD,分別與AB,CD交于點B,F.若NE=30°,Z￡FC=130°,則NA=

【解析】

【分析】直接利用平行線的性質(zhì)得出/42歹=50°,進而利用三角形外角的性質(zhì)得出答案.

【詳解】,JAB//CD,

：.ZABF+ZEFC=180°,

第6頁/共27頁

VZEFC=130°,

：.ZABF^50°,

,?ZA+ZE=ZABF=50°,ZE=30°,

AZA=20°.

故答案為：20°.

【點睛】此題主要考查了平行線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，求出/ABF=50°是解答此題的關鍵.

13.如圖，菱形ABC。中，對角線4C,3。相交于點O,E為的中點.若菱形ABCQ的周長為

32,則OE的長為.

【答案】4

【解析】

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AC,2。，結(jié)合其周長求出AB的長，在MA4OB中，利用斜邊的中線等于

斜邊的一半求出OE的長即可.

【詳解】解：???菱形ABC。的周長為32,

：.AB=BC=CD=AD=8,AC±BD,

在RtAAOB中，

為AB的中點，

OE=-AB=-x8=4.

22

故答案為：4.

【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)、直角三角形斜邊的中線的性質(zhì)，掌握相關知識是解題的關鍵.

14.如圖，點AB,C,。在口。上，ZAOC=130°,則/A6C=°.

【答案】115

【解析】

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【分析】先作出弧AC所對的圓周角ND,如圖，根據(jù)圓周角定理得到ND=L/AOC=65°,然后根據(jù)

2

圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求/A6C的度數(shù).

【詳解】解：???40為弧AC所對的圓周角，

1130°

...4D=—ZAOC=——=65。，

22

???ZD+ZABC=180°,

.\ZABC=180°-65°=115°.

故答案為：115.

【點睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓

心角的一半.也考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).

6k

15.如圖，048。的兩個頂點分別在反比例函數(shù)y=—(%>0)和y=—(九<0)的圖象上，頂點。在

尤軸上.已知A3平行于無軸，且口ABC的面積等于8,則％的值為.

【答案】-10

【解析】

【分析】本題考查反比例函數(shù)比例系數(shù)上的幾何意義，分別過點A3作了軸的垂線，垂足分別為點E、D,

設AB交y軸于點歹,貝US長方形AB0E=16,S長方形AFOE=6,根據(jù)S長方形=S長方形.叫一S長方形從皈=1°

和圖象所在的象限求出發(fā)值即可.

【詳解】解：分別過點作X軸的垂線，垂足分別為點E,D,設A3交y軸于點歹.

SAABC=—AB-BD=8,

,?S長方形ABDE=AB-BD=16.

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:點A在反比例函數(shù)y=9(x〉0)的圖象上，

-S長方形AFOE=6,

…S長方形5尸0。二S長方形A5DE-S長方形AFOE=1°?

k

??,點3在反比例函數(shù)y=—(%<0)的圖象上，

x

二.同=10.

..?反比例函數(shù)y=-(x<0)的圖象經(jīng)過第二象限，

k<0,

k=—10i

故答案為：-10.

16.如圖，在DABC和△AER中，Za4C=N￡AE=90°,A5=AC=7,AE=AR=3,點M,N,尸分

別為ERBCCE的中點，若△AEF繞點A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，則面積S的取值范圍為.

【解析】

【分析】連接CF,BE,根據(jù)三角形中位線定理得到PM〃CE,=,所推出ZBAE=ZCAF，根據(jù)

2

全等三角形的性質(zhì)得到=b,推出口PMN是等腰直角三角形.根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到

PM=PN=-BE,推出PM最大時，口尸阿面積最大，最小時，口「阿面積最小，根據(jù)三角形的

2

面積公式即可得到結(jié)論.

【詳解】解：連接并延長交b于G交4c于O,

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；點P,N是3C,CE的中點，

：.PM//CE,PM=~EF,

;點P,M是CE,ER的中點，

：.PM//CF,PM=-CF,

2

ABAC=ZEAF=90°,

ZBAE=ABAC-ZEAC=ZCAF=ZEAF-NEAC,

即ZBAE=ZCAF,

在口54后與△C4尸中，

AB=AC

<ZBAE=ZCAF,

AE=AF

J^BAE^CAF(SAS),

：.BE=CF,NABE=ZACF,

：.PM=PN,

?：NAOB=ZCOG,

ZCOG+ZACF=NAOB+ZABO=90°,

ZBGC=90°,

PN//BE,

：.ZEPN=ZGEP,

,?PM//CF,

：.ZEPM=NECF,

NGEC+NGCE=ZMPE+ZNPE=90°,

NMPN=90°,

PMVPN,

.?.口PMN是等腰直角三角形.

PM=PN=-BE,

2

PM最大時，DPMN面積最大，PM最小時，DPMN面積最小，

當點E在A4的延長線上時，最大，此時BE=AB+AE=10,PM=5,

當點E在線段AB上時，PM最小，此時BE=A5—AE=4,PM=2,

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1919251917

,S"MN最大=5PM=，x5=彳，S□尸的最小=］尸"=5、2=2，

25

「?面積S的取值范圍為2<S<—,

2

25

故答案為：2<S<—.

2

【點睛】本題主要考查了三角形的中位線定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判斷和性

質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，解題關鍵是判斷出MN的最大值和最小值.

17.如圖，拋物線y=d—2%+左與x軸交于A、3兩點，與y軸交于點C（0,—3）.若拋物線

、=/一2》+左上有點。，使口3。。是以為直角邊的直角三角形，則點。的坐標為.

【答案】（1,—4）或（一2,5）

【解析】

【分析】此題主要考查了拋物線與x軸的交點，也利用了待定系數(shù)法求直線的解析式，解題的關鍵是利用

直線解析式組成方程組求出。的坐標.

由于拋物線丁=必-2x+上與y軸交于點。（0,-3）,代入解析式中即可求出左，而△BCQ是以為直

角邊的直角三角形，所以有兩種情況：①若QCJ_BC與C,設經(jīng)過C點和。點的直線可以表示為

y=mx-3,而直線的解析式利用待定系數(shù)法可以求出，然后利用QC，BC與c可以求出加，聯(lián)立

直線CB、CQ的解析式組成方程組即可求出交點。的坐標；②若點B為直角頂點，那么利用同樣的方法

也可以求出。的坐標.

【詳解】：拋物線y=V—2x+左與x軸交于43兩點，與y軸交于點C（0,—3）.

y=X2-2x-3,

令y=o,則k―2x—3=0，

第11頁/共27頁

解得：%[=-1,x2=3,

又：點2在點A的右側(cè)，

8點坐標為（3,0）,

假設存在一點。，則QC_L5C于C,

￡

設經(jīng)過C點和。點的直線可以表示為：y^mx-3,

設直線BC的解析式為y=kx+b,把（3,0）和（0,-3）代入得:

'3k+b=Q[k=l

],?解得：],，

b=-3[b=-3

直線可以表示為：y=x-3,

又,：OB=OC,

NOBC=ZOCB=45°,

設直線CQ交X軸于點D，

?/QC1BC,

：.NOCD=45°

OD=OC=3,

.?.點D的坐標為（一3,0）,代入y=—3,得：—3根—3=0

/.m=-1,

?,?直線CQ解析式為：y=—%—3,

y=-x-3

聯(lián)立方程組:

y=x2-2x-3,

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解得x=0或者尤=1,

舍去x=0（與點C重合，應舍去）的解,

從而可得點。為（L-4）.

如果點2為直角頂點，設直線3。與y軸交于點E,

NOBC=ZOCB=45°,

ZEBO=45°,

:.0E=0B=3,

設BE的解析式為y=ax+n,

3〃+〃=0a=-l

則一，解得：＜

n=5n=3

y——x+3,

y=T+3

聯(lián)立方程組《

y=x2-2x-3,

x=3x=-2

解得八或＜

[y=oy=5

..?點的坐標為（3,0）（舍去）和（一2,5）.

從而可得：點Q的坐標為：。，-4）或（-2,5）.

故答案為（1,—4）或（-2,5）.

18.在平面直角坐標系中，點A、B、C的坐標分別為（一2,0）、（0,2）、（4,0）,點E是□ABC的外接圓

上一點，BE交線段AC于點D,若NDBC=45°，則點D的坐標為.

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【解析】

【分析】連接CE,過E作EFLAC于R根據(jù)已知條件得到。1=08=2,OC=4,得到△OBA是等腰直角

三角形，得至Ij/3AC=45°，根據(jù)圓周角定理得到/BEC=/B4C=45°,推出△2CE是等腰直角三角形，

求得BC=CE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到E(2,-4),待定系數(shù)法得到直線BE的解析式為y=-3x+2,

于是得到結(jié)論.

【詳解】連接CE,過E作EFLAC于F.

:點A、B、C的坐標分別為(-2,0)、(0,2)、(4,0),：.OA=OB=2,0c=4,△OBA是等腰直角三

角形，：.ZBAC=45°,:./BEC=/BAC=45°.

"：ZDBC=45°,：.ZBCE=90°,；.△BCE是等腰直角三角形，：.BC=CE.

VZCBO+ZBCO=ZBOC+ZECF=90°,：.ZOBC=ZFCE.

ZOBC=ZFCE

在△OBC與AFCE中，'：\ZB0C=ZCFE=90°,△OBC迫AFC￡(AAS),CF=OB=2,

BC=CE

b=2fZ:=-3

EF=OC=4,：.OF=2,：.E(2,-4),設直線BE的解析式為產(chǎn)丘+6,

2k+b=-4''[b=2

22

直線BE的解析式為產(chǎn)-3x+2,當產(chǎn)0時，x=j,：.D(-,0).

故答案為(2，0).

3

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【點睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，正確的作出輔助線

是解題的關鍵.

三、解答題(本大題共有10小題，共86分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步

驟)

19.計算:

(1)(-2021)°+V4-Rj+|-3|

11

⑵Ka

【答案】(I)2(2)-a

【解析】

【分析】本題考查了實數(shù)的混合運算及分式的混合運算；解決本題的關鍵是熟練掌握實數(shù)的混合運算及分

式的混合運算法則.

(I)根據(jù)零指數(shù)幕、負指數(shù)幕、算術平方根及絕對值的性質(zhì)進行化簡，再計算即可；

(2)先將括號內(nèi)進行通分，并將除法轉(zhuǎn)化為乘法，最后約分即可.

【小問I詳解】

原式=1+2-4+3

=2；

【小問2詳解】

1-aa

原式=---------1---------?Q-1)

1—(11—Cl

1

1—tz

=-a

1_3

20.(1)解方程:

x—22,x—3

2x-6>0

(2)解不等式組:

4-x<-1

【答案】(1)x=3；(2)x>5

【解析】

【分析】此題考查了解分式方程及解不等式組，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗.

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(1)分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到無的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解；

(2)分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出兩解集的公共部分即可.

【詳解】解：⑴去分母得：2x—3=3(x—2),

解得：x=3,

經(jīng)檢驗x=3是分式方程的解；

2x-6>0①

(2)<?

由①得：刀〉3,

由②得：x>5,

則不等式組的解集為x>5.

21.現(xiàn)有4張正面分別寫有數(shù)字1、2、3、4的卡片，將4張卡片的背面朝上，洗勻.

(1)若從中任意抽取1張，抽的卡片上的數(shù)字恰好為3的概率是；

(2)若先從中任意抽取1張(不放回)，再從余下的3張中任意抽取1張，求抽得的2張卡片上的數(shù)字之

和為3的倍數(shù)的概率.(請用“畫樹狀圖”或“列表”等方法寫出分析過程)

【答案】(1)-；(2)-

43

【解析】

【分析】(1)根據(jù)概率公式計算即可；

(2)畫樹狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果，可得抽得的2張卡片上的數(shù)字之和為3的倍數(shù)的結(jié)果數(shù)，根

據(jù)概率公式計算即可.

【詳解】解：(1)從中任意抽取1張，抽的卡片上的數(shù)字恰好為3的概率為工；

4

故答案為：一

4

(2)畫樹狀圖為：

開治

木木木木

234134124123

共有12種等可能的結(jié)果，其中抽得的2張卡片上的數(shù)字之和為3的倍數(shù)的結(jié)果為4種，所以抽得的2張卡

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41

片上的數(shù)字之和為3的倍數(shù)的概率=—=-

123

【點睛】本題考查了用列表法與樹狀圖法求概率，解答中注意利用列表法或樹狀圖法展示所有可能的結(jié)果

求出n,再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m,然后根據(jù)概率公式計算事件A或事件B的概率.

22.為了解同學們最喜歡一年四季中的哪個季節(jié)，數(shù)學社在全校隨機抽取部分同學進行問卷調(diào)查，根據(jù)調(diào)查

結(jié)果，得到如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.

同學們最喜歡的季節(jié)條形統(tǒng)計圖同學們最喜歡的季節(jié)扇形統(tǒng)計圖

（1）此次調(diào)查一共隨機抽取了名同學；扇形統(tǒng)計圖中，“春季”所對應的扇形的圓心角的度數(shù)為

（2）若該學校有1500名同學，請估計該校最喜歡冬季的同學的人數(shù).

【答案】（1）120,108°

（2）估計該校最喜歡冬季的同學的人數(shù)為150人

【解析】

【分析】本題考查的是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用.讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信

息是解決問題的關鍵.條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計圖直接反映部分占總體的百

分比大小.從兩個統(tǒng)計圖中獲取數(shù)量和數(shù)量之間的關系是解決問題的關鍵，樣本估計總體是統(tǒng)計中常用的

方法.

（1）由“夏季”的人數(shù)除以占的百分比得出調(diào)查學生的總數(shù)即可；求出“春季”的人數(shù)占的百分比，乘以

360°即可得到結(jié)果；

（2）根據(jù)題意列式計算即可.

【小問1詳解】

此次調(diào)查一共隨機抽取了18+15%=120（名）同學；

扇形統(tǒng)計圖中，“春季”所對應的扇形的圓心角的度數(shù)為360°x曳=108。，

120

故答案為：120,108°；

【小問2詳解】

第17頁/共27頁

1500x——=150（人），

120

答：估計該校最喜歡冬季的同學的人數(shù)為150人.

23.將4張分別寫有數(shù)字1、2、3、4的卡片（卡片的形狀、大小、質(zhì)地都相同）放在盒子中，攪勻后從中

任意取出1張卡片，記錄后放回、攪勻，再從中任意取出1張卡片.求下列事件發(fā)生的概率.（請用“畫樹

狀圖”或“列表”等方法寫出分析過程）

（1）取出的2張卡片數(shù)字相同；

（2）取出的2張卡片中，至少有1張卡片的數(shù)字為“3”.

17

【答案】⑴"⑵而

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意畫出樹狀圖，展示所有等可能的結(jié)果，再根據(jù)概率公式求解，即可;

（2）根據(jù)題意畫出樹狀圖，展示所有等可能的結(jié)果，再根據(jù)概率公式求解，即可.

【詳解】解：（1）畫樹狀圖如下：

開始

xAx

1234123412341234

???一共16種等可能的結(jié)果，取出的2張卡片數(shù)字相同的結(jié)果有4種,

.1

??卜（取出的2米卡片數(shù)字相同）=4+16=—；

4

（2）根據(jù)第（1）題的樹狀圖，可知：一共16種等可能的結(jié)果，至少有1張卡片的數(shù)字為“3”有7種，

.7

??尸（至少有1米卡片的數(shù)字為"3"）=7+16=—.

16

【點睛】本題主要考查等可能事件的概率，畫出樹狀圖，列出所有等可能的結(jié)果，是解題的關鍵.

24.如圖，AB是口。的直徑，。為□。上的一點，AT平分N&LD交口。于點7,過點T作的垂線

交的延長線于點C,求證：CT為口。的切線.

【答案】見解析

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【解析】

【分析】本題考查切線的判定，連接。T,根據(jù)角平分線的定義和等腰三角形的性質(zhì)得到NCAT=N0L4,

根據(jù)平行線的判定定理得到OTUAC,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到OTLTC,根據(jù)切線的判定定理證明即可.

ZACT=90°

AT平分NCAB,

ZCAT=ZOAT,

?：OA=OT,

：.ZOAT=ZATO,

ZCAT=ZATO,

：.ACUOT,

：.NOTC=180°-ZACT=l80°-90°=90°,

；?OTVCT,

又；OT是□。的半徑，

/.CT為□。的切線.

25.如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于□。，AC是□。的直徑，AC與5。交于點E,PB切口。于點B.

(1)求證：ZPBA=ZOBC；

(2)若/PBA=20°,ZACD=40°,求證：NOABSRCDE.

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【答案】（1）見詳解；（2）見詳解

【解析】

【分析】（1）由圓周角定理的推論，可知/ABC=90°,由切線的性質(zhì)可知尸=90°,進而即可得到結(jié)

論；

（2）先推出/OC5=NOBC=20°,從而得/AOB=40°,繼而得/OA2=70°,再推出/C/）E=70°,

進而即可得到結(jié)論.

【詳解】證明：（1）:人。是□。的直徑，

AZABC=90°,

,/尸8切口。于點B,

：.ZOBP=9Q°,

ZPBA+ZABO=NOBC+ZABO=90°,

???NPBA=ZOBC；

（2）VZPBA=20°,ZPBA=ZOBC,

：.ZOBC=20°,

OB=OC,

：.ZOCB=ZOBC=20°,

ZAOB=2QQ+20°=40°,

:OB=OA,

：.ZOAB=ZOBA=（1SO°-40°）4-2=70°,

：.ZADB=^ZAOB=20°,

???AC是□。的直徑，

ZADC=90°,

AZCDE=90°-20°=70°,

：.ZCDE=ZOAB,

ZACD=40°,

ZACD=NAOB=40°,

△OABsNCDE.

【點睛】本題主要考查圓的性質(zhì)以及相似三角形的判定定理，掌握圓周角定理的推論，相似三角形的判定

定理，切線的性質(zhì)定理，是解題的關鍵.

26.如圖，為了測量河對岸兩點A,2之間的距離，在河岸這邊取點C,D.測得CD=80m,

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ZACD=90°,ZBCD=45°,ZADC=19°17,ZBDC=56°19',設A,B,C,D在同一平面內(nèi),

求A,B兩點之間的距離.（參考數(shù)據(jù)：tanl9°17f?0.35,tan56°19f?1.50.）

【答案】52m

【解析】

【分析】作2￡，。于￡,作8尸_1。1交。1延長線于「先證明四邊形CEBF是正方形，設

CE=BE=xm,

根據(jù)三角函數(shù)表示出DE,根據(jù)CD=80m列方程求出CE=3E=48m,進而求出CP=BP=48m,解直角三角

形AC。求出AC,得到AF,根據(jù)勾股定理即可求出AB,問題得解.

【詳解】解：如圖，作于E,作BFLCA交C4延長線于R

"?ZFCD=90°,

四邊形CE8F是矩形，

'：BE±CD,ZBCD=45°,

:.NBCE=NCBE=45°,

：.CE=BE,

矩形CE3尸是正方形.

設CE=BE=xm,

在中,

clBEx2

DE=--------------=--------------=—xm,

tanZBDEtan56019,3

:CD=80m,

/?xH—x=80,

3

解得產(chǎn)48,

CE=BE=48m,

???四邊形CEBP是正方形,

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???CF=BF=4Sm,

??,在放△AC。中，AC=CDQanZADC=80xtan19°17^80x0.35=28m,

AF=CF-AC=20m,

在RSBF中，A3=y/AF2+BF2=A/202+482=52m,

.'.A,8兩點之間的距離是52m.

【點睛】本題考查了解直角三角形應用，理解題意，添加輔助線構(gòu)造正方形和直角三角形是解題關鍵.

27.如圖，平面直角坐標系中，等邊DABC的頂點A在y軸上，邊在x軸上，點C坐標為(2,0),點

(1)當點P在x軸正半軸上，點P'與點尸關于y軸對稱，求P'的坐標；

(2)當點P在第一象限時.點。在x軸上，使得NAPD=30°.沿折疊，點P落在尸'處.

①求證：平分NPD3；

②P的位置是否發(fā)生改變，若不變，請求出P'的坐標；若改變，請說明理由；

(3)點。在線段上時，直接寫出口PAD的面積變化范圍.

【答案】(1)P(—6,0)

(2)①見解析；②不變，P'(—6,0),理由見解析

⑶0<5<8A/3

【解析】

【分析】(1)首先利用勾股定理求出。4的長，再求出OP,從而得出點P的坐標，再根據(jù)對稱的性質(zhì)可

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得答案；

(2)①過點A作AELPD于點E,利用含30。角的直角三角形的性質(zhì)求出AE的長，再利用角平分線的

判定可得答案；

②由①知，點P在x軸上，且=P'D=PD,則。尸'=￡尸，從而得出答案.

(3)當點。和點C重合，且AOLAP時，口PAD的面積最大，然后利用三角形面積公式求解；當當點

D,A,尸三點公式時，圍不成三角形，即此時口PAD的面積為0,即可求出面積的范圍.

【小問1詳解】

解：如圖，點尸在x軸正半軸上，

???等邊三角形ABC的頂點A在V軸上，邊在尤軸上，點。的坐標為(2,0),

OB=OC=2,AB=BC=AC=IOC=4,ZAOC=90°,

在RtDAOC中，根據(jù)勾股定理得：AO=^AC2-OC2=273-

在RtZkAOP中，根據(jù)勾股定理得：OP7Ap2一AO?=6，

P(6,0),

又；點尸'與點P關于，軸對稱，

P(-6,0)；

【小問2詳解】

AE=-AP=-x4s/3=2y/3,

22

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由(1)得：0A=2C，

AO—AE,

：AELPD,ZAOD=9Q°,

..AD平分NP￡>8；

②解：不變，且P(—6,0),理由如下：

???把△ADP沿折疊，點尸落在點尸'處，點。在x軸上,

.:AD平分NPDP,P'D=PD,

由①得：平分NPO3,

P',B,。三點共線，

又???點。與點8都在x軸上，

P在龍軸上，

OD=ED,

又P'D=PD,

P'D—OD=PD—ED