老華大聯(lián)盟2024屆高三下學(xué)期3月聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試卷（全國

乙卷）

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.tan240sin660的值為（）

A.gB.—

22

2.己知復(fù)數(shù)2=鼻，貝匹=（）

1+1

A.1-iB.-1+i

3.已知集合4={乂-1<了+1<2},2=]，2+^1—|^=。>,則A|B=（）

A.{x|-l<x<0}B.{.r|-2<x<0}C.{x|O<x<\]D.{x|O<x<2}

4.已知點A,8c。為平面內(nèi)不同的4點，若BO=2ZM-3OC，且AC=（2,-1）,則AB=

（）

A.（4,-2）B.（-4,2）C.（6,-3）D.（-6,3）

5.近幾年隨著AI技術(shù)的發(fā)展，虛擬人的智能化水平得到極大的提升，虛擬主播逐步走

向商用，下圖為2014~2022年中國虛擬主播企業(yè)注冊增加數(shù)（較上一年增加的數(shù)量）條

形圖，根據(jù)該圖，下列說法錯誤的是（）

2014202294

A.2014~2022年中國虛擬主播企業(yè)注冊數(shù)量逐年增加

B.2014-2022年中國虛擬主播企業(yè)注冊年增加數(shù)的中位數(shù)為410

C.2014-2022年中國虛擬主播企業(yè)注冊年增加數(shù)的極差為915

D.從2018~2022年企業(yè)注辦增加數(shù)字中任取2個數(shù)字，這兩個數(shù)字的平均數(shù)不大

于300的概率為1

6.如圖，網(wǎng)格紙中小正方形的邊長為10cm,粗線畫出的是某體育比賽領(lǐng)獎臺三視圖,

則該領(lǐng)獎臺除去下底面的所有面的面積之和為（）

44兀

7.已知函數(shù)y=?的圖象是等軸雙曲線,將y的圖象順時針旋轉(zhuǎn)了可得到曲線

x

22

c：\-1=1（。>0/>0）,則C的焦距為（）

A.20B.4C.472D.8

8.函數(shù)f（x）=sin3x在[0,/）上沒有最小值，則％的取值范圍是（）

A.（0,|oB.（0,j）C.（j,1]D.（1,1）

9.知名數(shù)學(xué)教育家單博曾為中學(xué)生寫了一個小冊子《十個有趣的數(shù)學(xué)問題》，其中提到

了開普勒的將球裝箱的方法：考慮一個棱長為2的正方體，分別以該正方體的8個頂點

及6個面的中心為球心作半徑為變的球，這此球在正方體內(nèi)的體積之和與正方體的體

2

積之比為（）

4A/2口200應(yīng)n3

AA.------71D.------71C?71L）.7T

3336

10.過點夕（。力）可作3條直線與函數(shù)/（x）=-2式的圖象相切，則（）

人a31a31

A.—<——DB.——>——

b2b2

33

C.—<-2D.—>-2

bb

11.已知點。為坐標原點，直線）=辰（左w。）與橢圓C:土+y2=1（?！?）交于點A,點5

a

114

1,則的離心率為（

在C上，43|0A|2|OS|2-3；c)

A./B.工D.受

3333

12.已知a=[,b=lng,c=(log67—l)ln5,

則（）

A.a>b>cB.b>c>a

C.a>c>bD.c>a>b

試卷第2頁，共4頁

二、填空題

'x+y+2<0

13.已知實數(shù)滿足約束條件<x+2y+820,則3尤+y的最小值是.

x-2y-10>0

14.函數(shù)〃x）=（2x+a）2—1。82（23向+2）是偶函數(shù)，則.

15.平面幾何中有一個著名的塞爾瓦定理：三角形任意一個頂點到其垂心（三角形三條

高的交點）的距離等于外心（外接圓圓心）到該頂點對邊距離的2倍.若點A,B,C

都在圓E上,直線BC方程為x+>-2=0,且忸。=2回,4ABC的垂心G（2,2）在"BC

內(nèi)，點E在線段AG上，則圓E的標準方程.

1A

16.四邊形ABCZ）中，BD=2,sinZABD=-ADtan—,CD=2BC,設(shè)AABD馬4BCD

,_42'

的面積分別為豆，邑，則，邑的最大值為.

三、解答題

17.已知等差數(shù)列｛4｝滿足。5+。8=0，?4+°6=?3+1.

⑴求凡;

⑵若么=旦」，數(shù)列也,｝的前"項和為S",求S“最小時對應(yīng)的"的值.

anan+2

18.某高中數(shù)學(xué)興趣小組，在學(xué)習(xí)了統(tǒng)計案例后，準備利用所學(xué)知識研究成年男性的臂

長y（cm）與身高x（cm）之間的關(guān)系，為此他們隨機統(tǒng)計了5名成年男性的身高與臂長，

得到如下數(shù)據(jù)：

X159165170176180

y6771737678

（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，可用線性回歸模型擬合,與x的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；

（2）建立〉關(guān)于x的回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；

參考數(shù)據(jù)：次%y=62194位（y-9y=8.6,7282-16.8

1=1Vi=l

參考公式：相關(guān)系數(shù)廠=I,回歸方程亍=0+晟中斜率和截距的

\區(qū)（司-引方（y-萬

VZ=1Z=1

最小二乘估計公式分別為A=------------,a=y-bx.

支(尤廠元『

i=\

19.如圖，在三棱錐A-BCD中，AB=9,其余各棱的長均為6,點E在棱AC上,

AE=2EC,過點E的平面與直線8垂直，且與3C8分別交于點EG.

⑴確定尸,G的位置，并證明你的結(jié)論；

⑵求點G到平面DEF的距離.

20.已知函數(shù)/(x)=(x-a—l)e"T-x+alnx(a>0).

⑴討論的單調(diào)性；

⑵若〃尤)在。,也)上有極值點%,求證：/(^)<-2.

jr

21.已知傾斜角為。(0<a<-)的直線/與拋物線C：y2=2px(P>0)只有1個

公共點A,C的焦點為F直線AF的傾斜角為夕.

(1)求證：B=2a；

⑵若夕=1,直線/與直線％=-；交于點P,直線A尸與。的另一個交點為5,求證：

PA±PB.

[x=l+t

22.在直角坐標系xOy中，直線/的參數(shù)方程為cc。為參數(shù))，以坐標原點為

[y=2-2t

極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為

/?2=(4cos0+2sin0)-1.

(1)求直線/的極坐標方程；

(2)若直線/與C交于點A3,求。記的周長.

23.已知a,6,ce(0,+oo).

⑴若a2be+ab1c+abc1=1，求(。+匕)(6+。)的最小值;

abbeca

⑵若a+b+c=l,證明:

(c+a)(c+b)(a+b)(a+c)(6+c)(6+a)4.

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.D

【分析】

由誘導(dǎo)公式和特殊角的三角函數(shù)值，化簡求值.

【詳解】tan240sin660=tan(180+60卜in(720-60)=tan60(-sin60')=上義

故選：D.

2.B

【分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)運算和共輾復(fù)數(shù)的概念可得.

【詳解】因為2=32=三2=一1一1,

1+11-1

所以三=_l+i.

故選：B.

3.C

【分析】

先求出集合A8,再由交集的定義求解即可.

【詳解】因為4={川一1＜》+1＜2}={討-2＜無＜1},

2=卜，+置=。[={斕。＜2},

所以Ac8={x[0＜x＜1}.

故選：C.

4.D

【分析】

根據(jù)題意，由平面向量的坐標運算代入計算，即可得到結(jié)果.

【詳解】由8。=2DA一3DC得BD+DA=3DA-3OC，

即BA=3CA，又AC=(—2,1),

所以AB=3AC=(-6,3),

故選：D.

5.B

答案第1頁，共17頁

【分析】

根據(jù)條形統(tǒng)計圖判斷A、B、C,利用古典概型的概率公式判斷D.

【詳解】由每年注冊增加數(shù)均為正數(shù)，可知2014~2022年中國虛擬主播企業(yè)注冊數(shù)量逐年增

加，故A正確；

2014~2022年中國虛擬主播企業(yè)注冊年增加數(shù)從小到大排列為：33,48,76,84,121,

256,410,564,948,

所以2014~2022年中國虛擬主播企業(yè)注冊年增加數(shù)的中位數(shù)為121,故B錯誤；

2014-2022年中國虛擬主播企業(yè)注冊年增加數(shù)的極差為948-33=915,故C正確；

從410,121,256,564,948中任取兩個數(shù)字，結(jié)果有10種，

所取兩個數(shù)字平均數(shù)不大于300的取法有(410,121),(121,256)共2種，

21

所以所求概率尸=6=《，故D正確.

故選：B.

6.B

【分析】

根據(jù)三視圖可得組合體，根據(jù)面積公式可求所有面的面積之和.

【詳解】

解法一：該領(lǐng)獎臺可看作由3個長方體構(gòu)成的組合體，

每個長方體的底面都是邊長為40cm的正方形，冠軍臺高50cm,

亞軍臺高40cm,季軍臺高30cm,

該領(lǐng)獎臺除去下底面的所有面的面積之和為3個長方體的表面積之和減去3個邊長為40cm

答案第2頁，共17頁

的正方形面積，減去2個底邊長為40cm高為40cm的矩形面積，

減去2個底邊長為40cm高為30cm的矩形面積，即

6x402+160x（50+40+30）-3x402-2x40x40-2x40x30=18400（cm2）,

解法二：該領(lǐng)獎臺可看作由3個長方體構(gòu)成的組合體，

每個長方體的底面都是邊長為40cm的正方形，冠軍臺高50cm,

亞軍臺高40cm,季軍臺高30cm,

前后兩個面的面積之和為2x40x（40+50+30）=9600（cm2）,

上面3個面的面積之和為3x40?-4800（cm2）,

余下側(cè)面的面積之和為2x40x50=4000（cm2）,

所以該組合體除去下底面的所有面的面積之和為9600+4800+4000=18400（cm2）,

故選：B.

7.D

【分析】

由函數(shù)y=?4的圖象是等軸雙曲線，求出頂點，順時針旋轉(zhuǎn)7;1可得到等軸雙曲線C,直接求

解即可.

【詳解】函數(shù)y=3的圖象與對稱軸丁=尤的一個交點尸（2,2）就是曲線y=±的頂點，

XX

該點旋轉(zhuǎn)后變?yōu)椤＃?后,0）,曲線C也是等軸雙曲線，

所以a=6=2V2,c=4,C的焦距為8,

故選：D

8.C

【分析】

根據(jù)給定條件，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)列式求解即得.

【詳解】

函數(shù)/'（x）=sin3x中，當尤el；。,％）時，3xe[O,3xo）,

7T7T

由/（x）=sin3x在[0,%）上沒有最小值，得兀＜3尤0V、，解得^〈與4,，

答案第3頁，共17頁

所以％的取值范圍是q,學(xué).

故選：c

9.D

【分析】

首先確定條件中的球落在正方體的部分，再求體積，即可求解.

【詳解】

以8個頂點為球心的球各有!在正方體內(nèi)，以6個面的中心為球心的球各有!在正方體內(nèi)，

所以這些球在正方體的體積之和為4個半徑為正的球的體積之和，

2

3

44.C4/2T\

所以這些球在正方體內(nèi)的體積之和與正方體的體積之比為O.

-------------------------=------71

86

故選：D

10.A

【分析】

設(shè)切點坐標，利用導(dǎo)數(shù)求出切線，由切線過點P("，b),整理得4/_6勿2_6=0有3組解，轉(zhuǎn)

化為三次函數(shù)有三個零點問題，利用導(dǎo)數(shù)解決.

【詳解】

設(shè)過點尸(岫)的直線與函數(shù)〃x)=-2V的圖象切于點°卜,-2打，

/'(x)=-6/，則函數(shù)在點。處的切線斜率％=/'⑺=-6』，

切線方程為y+2t^-6t2(x-t),

由切線過點P(。⑼，所以有6+2戶=-^2(°—),整理得4/一6。產(chǎn)-6=0,

設(shè)g⑺=4--6#可，則問題轉(zhuǎn)化為g⑺有3個零點,

因為g'?)=Vlt1-\2at,由g'⑺=0得f=0或"。，

若a=0,g'⑺20恒成立，g“)在R上單調(diào)遞增，不合題意.

當。>0時，g'⑺>0解得/■<()或，>。，g'(r)<0解得0</<”，

此時g(0在(-雙。)和+s)上單調(diào)遞增，在(0M)上單調(diào)遞減，

答案第4頁，共17頁

g（o）為函數(shù)極大值，g（a）為函數(shù)極小值；

當a<0時，g'⑺>0解得或r>0,g'（r）<0解得4</<0,

此時g⑺在（-°o,a）和（。,+8）上單調(diào)遞增，在（。,0）上單調(diào)遞減,

gS）為函數(shù)極大值，g（。）為函數(shù)極小值；

g⑺有3個零點，則g（O）與g（a）異號,

即S（0）g（a）=-b^-2a3-Z?）<0,所以6（2。3+8）<0,

4曰2/+b2a31八a3I

得------=——+l<0,所以一<——.

bbb2

故選：A

ll.C

【分析】

r2

設(shè)4（石,乂）,3優(yōu)，％），聯(lián)立直線,=履（人工。）與橢圓（二一+：/=l(a>l)的方程求出x；,4,

a

14

由橢圓的弦長公式表示出|。4匕|。2『，代入“心+,_12=V即可得出答案.

|(JD1J

【詳解】設(shè)4（%,弘卜3（々,%）,

y=kx2

由<f2_[得±=2/,

-2+y=lak+1

由。4_LOB,設(shè)OB',y=--xQcw0）,

k

2_〃2_02k2

可得：吃一/~a2+k2,

F+l

a2+a2k2

所以0*2=（1+"：=2,0例2=[+*>；=

噌"22

a+k'

答案第5頁，共17頁

所以1I1

以|0川2|0引2。2H2+1)/，

所以l+Z=g,a=A，所以C的離心率為平=包,

a-3V33

故選：C.

12.A

【分析】構(gòu)造函數(shù)〃尤)=ln(x+l)-x(x＞0),由導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)/(尤)在(0,+力)上單調(diào)遞減,

所以得到無＞ln(x+l),得到：＞ln[l+J=lng,作差比較Iog56-log67的大小，利用基本

不等式比較大小即可.

【詳解】設(shè)/(x)=ln(x+l)-Mx＞。)，則廣(同=9一1=堂＜0"⑺在(O,+e)上單調(diào)遞

減,

所以了(力<〃0)=0,所以x>ln(x+l),|>ln^l+1j=ln|,ln|=(log56-l)ln5,

(炮6)2_尸產(chǎn))

C一

lg6lg7(Ig6)2-lg51g7CM

log6-log7=>0

56lg5lg6Ig51g6lg51g6lg51g6

所以a>b>c,

故選：A.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)/(x)=lna+l)-x(x＞0),由導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)

在(0,+力)上單調(diào)遞減，所以得到x＞ln(x+l),利用基本不等式比較大小即可.

13.--

2

【分析】

畫出約束條件對應(yīng)的平面區(qū)域，結(jié)合圖象找出目標函數(shù)的最優(yōu)解，求出目標函數(shù)的最小值.

【詳解】

由[fxJ+y++28==00解得“fx二=一46,即C/d)、，同理求出4/"),\即(一J9、

如圖所示，不等式組表示的可行域是以4(2,-4),8(1,-野1(4,-6)為頂點的三角形區(qū)域，

設(shè)z=3x+y,則y=-3x+z,作直線y=-3x,

答案第6頁，共17頁

把該直線平移到點B處z取得最小值，z3=3x19=-；3.

【分析】

根據(jù)題意，利用/（x）-/（-x）=O列出方程，結(jié)合對數(shù)的運算，即可求解.

【詳解】

因為=（2x+4-log?（23-1+2）是偶函數(shù)，

23X+1+?3

可得/（x）-/（-%）=Sax-log——二（8〃-3）%=0，所以〃=]?

22+2o

故答案為：稱.

O

15.（x-3）2+（y-3）2=18

【分析】

首先根據(jù)塞爾瓦定理以及圓的幾何性質(zhì)，求解「和|EG|,并求直線EG的方程，求解點E的

坐標，即可求解圓的方程.

【詳解】

由△ABC的垂心G（2,2）到直線BC距離d=啦，設(shè)圓E半徑為r,

由塞爾瓦定理可得r+|EG|=2（|EG|+亞），由圓的幾何性質(zhì)可得（|EG|+后『+（9『=，，

聯(lián)立解得|EG|=VLr=3后，

因為直線BC方程為無+y-2=0,￡6,3。,且3（2,2）,所以直線EG方程為、=工，

設(shè)E（a,〃），則E到直線8C距離d'=-一=2V2,解得Q=—1（舍去）或a=3,

答案第7頁，共17頁

所以圓E的標準方程為(*-3)2+(y-3)2=18.

故答案為：(x-3)2+(y-3)2=18

16.走生6

99

1A

【分析】根據(jù)正弦定理得sin/BAD=7AOtan7,再結(jié)合余弦定理及基本不等式得

42

ABAD<~,^S.=-ABADsinA<^-,設(shè)3C=f,由（^（7二產(chǎn)+⑵）一七二5戶一4,可

3232t-2t4t2

求得S2=L2sinC==士空-9%一型[w3,從而可求解.

24丫919J3

【詳解】

4r）cinA11A

因為&）=2,由正弦定理得sin/BAD=-----------=-ADsinA=-ADtan-,

BD242

.4

1A.AAsin9m二?A八A1A1

所以sinA4=—tan—,即nn2osm—cos—=-----^4-,因為sm—wO,所以cos2—=—,cos—=—,

22222cos422422

~2

,2K

A=7'

所以cosA=-1,sinA=

22

4

由余弦定理得加>2=A52+AE>2+AB.AZ）N3A5.A。，所以432。工§,當Ag=AD時取等

號

所以S[=工AB-ADsinA<—X—x,

122323

設(shè)BC=r,則CD=2r,在.3CD中由余弦定理得

/+（2/）2-225r-4

cosC=

2t-2t

所以S?=[-2/sinC=』4(1一cos2c)=；J音一一,

當/叵時，S,取得最大值《，

33

所以H邑的最大值為速.

9

故答案為：述.

9

答案第8頁，共17頁

【點睛】方法點睛：解三角形中最值或范圍問題，通常涉及與邊長，周長有關(guān)的范圍問題,

與面積有關(guān)的范圍問題，或與角度有關(guān)的范圍問題，

常用處理思路：①余弦定理結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求出答案；

②采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形,

或其他的限制，通常采用這種方法；

③巧妙利用三角換元，實現(xiàn)邊化角，進而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值.

17.(l)a?=2n-13；

(2)4或6.

【分析】

(1)通過基本量計算求解可得；

(2)分〃=5,6,“27討論數(shù)列也｝的符號即可求解.

【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列｛q｝的公差為d,

由〃5+=0，。4+=/+1

J2al+lld=0

12%+8d=〃]+2d+1

解得。1=—11,d=2,

所以4=4=-11+(〃-1*2=2〃-13.

(2)由(1)得為=2〃—13,

b=4+1_2〃-11

aa

"?n+2(2〃-13)(2〃-9)'

當時a<0,

-1I11

又々=〒7=￡>0，%=二^=工<0，所以々+%=0，

-3x13-1x33

因為時2>0,

所以數(shù)列｛〃｝的前4項或前6項之和最小，即S“最小時?的值為4或6.

18.(1)說明見解析

(2)y=-13.81+0.51%

答案第9頁，共17頁

【分析】

（1）根據(jù)題意，由線性相關(guān)系數(shù)的公式代入計算，即可判斷;

（2）根據(jù)題意，由線性回歸方程中的公式代入計算，即可得到結(jié)果.

【詳解】(1)由表中的數(shù)據(jù)和附注中的參考數(shù)據(jù)得

55

E%=850,于=170,￡y=365萬=73,

i=li=l

^(x.-x)2=n2+52+02+62+102=282,

i=l

5555

￡(y,-寸=8.6,X(x,-1)(%-9)=!>)一丁2>，=62194-170x73x5=144

z=lz=li=li=l

5

Z(%-元)(％-9)

144

i=lX0.997

n~~5716.8x8.6

壯(xT)S(y—)-

Vz=li=l

因為y與x的相關(guān)系數(shù)近似為0.997,說明y與x的線性相關(guān)程度相當高，從而可以用線性回

歸模型擬合y與X的關(guān)系.

5

.2(尤,-可(％-力14424

(2)由9=73及(1)得6=-----------------=由=而々。-51，

Yfr-TV28247

i=l

「24

a=y-fe=73--xl70?-13.81,

所以,關(guān)于龍的回歸方程為￡=T3.81+0.51X.

19.(1)尸，G^^BF=2FC,CG=-CD,證明見解析

6

^57309

-----

103

【分析】（1）取8中點。，連接AO,3。，證明平面A03,從而得到平面EFG，平

面A03,然后根據(jù)平行線分線段成比例定理確定，EG的位置并證明.

（2）分別以尸為底，DG為高,以1）EF為底，點G到平面?！陸舻木嚯x為高，利用等

體積法求解.

【詳解】（1）/為線段3c的三等分點且靠近C,G為線段C。的六等分點且靠近C,

證明如下：取8中點。，連接A。/。，

答案第10頁，共17頁

由已知可得AC=AD=3C=3。，

所以AO_LC￡>,80_LCD,

因為AO80=0且都在面AOB內(nèi)，

所以CD，平面AOB,

因為CD_L平面EFG,

所以平面EFG平面A03,

過E作A8的平行線與3c的交點即為F，過E作A0的平行線與8的交點即為G,

因為A￡=2EC,

所以8尸=2/C,CG=LCO=LCD,

36

所以當3尸=2~7,66=」8時，平面跳6與直線8垂直

(2)由題意可得。4=03=36，因為AB=9,

27+27—81]

則cosZAOB=2x3舟3/=-2，結(jié)合三角形內(nèi)角范圍有NA08=120°，

由⑴可得/EGb=NAOB=120,GE=GF=；OA=6

所以△￡＜；尸的面積5=工*6￡1*6尸'5m/￡3尸=工乂6*君、$皿120=—,

224

又點D到平面EGF的距離為DG=yCD=5,

6

所以三棱錐D—EG尸的體積丫=工*。6*5=！乂5義”=述，

3344

在△DCE中，CD=6,CE=2,ZDCE=60,

所以八E=yJCDr+CE2-2CD-CEcosZDCE=,36+4-2、6x2xcos60=2J7，同理

DF=24，

又EF=^AB=3,所以.DEF的面積',石八/叱一［斯］=J_x3x、康百=豆叵,

32丫（2）2V44

答案第11頁，共17頁

設(shè)點G到平面DEF的距離為h,則三棱錐G-DEF的體積vf=-hSr=^^h，

34

由W得叵〃二遇，所以仁巫.

44103

20.(1)答案見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)，分類討論求/(x)的單調(diào)性

(2)由(1)中的結(jié)論，得極值點看的值，代入函數(shù)解析式，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最

大值即可.

【詳解】(1)/(x)=(^-a-l)ex-1-x+alnx,函數(shù)定義域為(0,+力)，

貝U有/'(尤)=(x-a)e"'-l+-=(x-a)(e*T),

設(shè)g(x)=e1-J函數(shù)定義域為(0,+8),

由函數(shù)y=e-和y=-J在(0,+。)上都單調(diào)遞增，則g(x)在(0,+。)上單調(diào)遞增,

A1xl

又g(l)=0,則0<x<l時，e--<0;x>l時，e-->0,

XX

⑴若。xe(a,l)時/〈x)<0,/(x)單調(diào)遞減,xe(0,a)和xe(l,+oo)時((力>0,

/(x)單調(diào)遞增；

(ii)若。=1,r(x)>0,/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

(iii)若a>l,xe(l,a)時/，(x)<0,/(x)單調(diào)遞減,xe(0,1)和xe(a,+e)時/'(X)>。，

/(x)單調(diào)遞增.

綜上可得，

0<a<1時在(a,1)上單調(diào)遞減，在(0,a)和(1,+8)上單調(diào)遞增；

0=1時/(X)在(0,+e)上單調(diào)遞增；

0>1時〃x)在(1,a)上單調(diào)遞減，在(0,1)和+”)上單調(diào)遞增.

(2)由(1)知〃尤)在(1,+<?)上有極值點毛,貝?。輆>l,且%=a,

a-1

所以/(x0)=/(o)=(71nfl-a-e,

答案第12頁，共17頁

設(shè)〃(a)=alna-a-e"T(a>1),貝!]h'(^a^=\na-eal,

設(shè)0(a)="(a),貝!|d(a)=工一尸，

由有,<1,e"T>l,

a

所以“(a)<0,則〃⑷在(1,+。)上單調(diào)遞減,得〃(a)<//(l)=-l<0,

所以/?(。)在(1,+e)上單調(diào)遞減，

有/z(a)</?⑴=一2,BP/(^)<-2.

【點睛】方法點睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單

調(diào)性，常化為不等式恒成立問題.注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、

不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理，利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問

題時，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)

用，不等式問題，構(gòu)造一個適當?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進行解題，是一種常用技巧.

21.(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】

二lana再與拋物線方程聯(lián)立并結(jié)合只

(1)設(shè)出A丁/,得直線/的方程為>—=

有一個切點可得/=一乙，從而可求解.

tana

(2)設(shè)臺]與,為],則直線48的方程設(shè)為x=+

p與拋物線聯(lián)立后，分別求出其兩根

關(guān)系如=T，從而可求解.

【詳解】(1)

")(t2}

設(shè)A7T-/，貝!]/的方程為>T=X~7T~tan6Z，

12P)[2p)

與y-2px聯(lián)乂付yy+t—0,

tanatana

因為直線/與拋物線c只有1個公共點，

答案第13頁，共17頁

所以=整理得,=」匕，

tana(tana)tana

PP]

所以A

2tan2a'tanaJ'

P

又MR。]，所以tan〃=—皿S—=2tan^=tan2a,

V2)pp1-tana

2tan2a2

jrTT

因為0<iv—,0<2cr<—,

42

7T

所以tan分=tan2or>0,0<^<—,

所以#=2c.

(2)

。=1時，C的方程為V=2x,

Altana得/的方程為廣：+；

把P=l,tana=-^Ay-^^

把弋入得尸；4，

所以尸［一達-：＞

g“，設(shè)3

由(1)知，A，為，

7

設(shè)直線AB方程為x犯+5,與V=2x聯(lián)立得-2/wy-l=0,

t,%是該方程的兩個根，所以%”T,所以為=-；

所以左尸屋kpB

所以R4_LPB.

答案第14頁，共17頁

【點睛】

方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：

（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為

（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于X（或y）的一元二次方程，注意A的判斷；

（3）列出韋達定理；

（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為再+%、%%（或%+丫2、%必）的形式；

（5）代入韋達定理求解.

22.⑴2cos。+sin。）=4；

⑵24+當L

【分析】

（1）利用消參法求出直線/的普通方程，再利用直角坐標和極坐標的轉(zhuǎn)化公式，即可求得

答案；

（2）解法一：利用極坐標方程求出閂=2=近，可得|儂,|。耳，再利用點到直線的距離