南充市高2023屆高考適應性考試（三診）

理科數(shù)學

第I卷（選擇題）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項

符合題目要求.

1.在復平面內(nèi)，若復數(shù)z對應的點為（2廣1）,則Z,（2+1）=（）

A.-5B.4iC.-4iD.5

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)復數(shù)的幾何意義和復數(shù)的乘法運算即可求解.

【詳解】因為復數(shù)z對應的點為（2,-1）,則z=2—i，

所以z-（2+i）=（2—i>（2+i）=4+l=5,

故選：D.

2.已知集合U==Jx+2）,A=<x2*>g>,則^A=（）

A.（^）0,—1]B.[—2,—1）C.[-2,-1]D.[—2,+co）

【答案】C

【解析】

【分析】因為集合U,A的代表元素都是X,所以分別解關(guān)于X的不等式可得集合U,A,進而求出

【詳解】由x+220得2,由得2*>2-1，即x>—1，

所以。=>-2},A=>-1},

所以令4=[—2,—1].

故選：C.

/7—2

3.“a<2”是“---<0”的（）條件

（7—1

A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要

【答案】B

【解析】

/7—2

【分析】解出——<0的取值范圍即可得出結(jié)論.

(7-1

【詳解】由題意，

/7—2

在-----<0中，解得：1<av2,

a—1

a—2

<2”是“——<0”的必要不充分條件，

<7—1

故選：B.

4.已知傾斜角為a的直線/與直線x+2y—2=0垂直，則tan(-兀+。)=()

11

A.-B.2C.——D.-2

22

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)直線/的斜率為左一直線x+2y—2=0的斜率為心，由條件得出左？左2-1，求出tana的

值，再根據(jù)誘導公式即可得出答案.

【詳解】設(shè)直線/的斜率為勺，直線x+2y-4=0的斜率為42，

由直線x+2y—2=0得出斜率&=—g，

因為直線/與直線x+2y—2=。垂直，

所以左1?左2-1,即一g?左］=—1,解得左=2,gptana=2,

所以tan(-71+(z)=tana=2,

故選：B.

5.在中，角A,3,C的對邊分別是a,"c,若廿=。2+C2—則3=()

兀兀2兀5兀

A.-B.—C.—D.——

3636

【答案】A

【解析】

【分析】由余弦定理即可求解.

m?a2+c2-b1_a。_1

【詳解】由〃=儲+得—/，所以cosB=----------------

laclac2

JT

由于Be（0,71）,.

故選：A

6.若數(shù)列｛%｝對任意的〃eN*均有4+2+??>2。升1恒成立，則稱數(shù)列｛??｝為“W數(shù)列”，下列數(shù)列是

“W數(shù)列”的是（）

A.。“="+1B.an=-2"

n2

C.an=nx3D.an=nx

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)各選項的通項公式，直接驗證4+2+%>2。用是否恒成立即得.

【詳解】若4=〃+1,

則4+2+%—2?！?1—n+3+n+l—2(〃+2)=0,

即4+2+%=2%,不滿足條件，不是“W數(shù)列”;

若an=-2"，

n+2+1

則an+2+an-2an+l=-(2+2"-2x2")=-2"<0,

即4+2+4<2%+I，不滿足條件，不是“W數(shù)列”；

W+1

若。〃=〃x3",則an+2+%—2Q〃+I=(〃+2)x3"2+〃x3"—2(〃+1)x3=4(〃+3)x3">0,

即4+2+%>2%+1，滿足條件，是“W數(shù)列”;

n+l

則"0+2+4-2%=(〃+2)2義1)+n2x|—2(〃+l)L

7(1Y4M2-8M-2

十幾2——(n+l)2

當〃=1,2時,an+2+an<2an+i,不滿足條件，不是“W數(shù)列”.

故選：C.

7.已知點（°,0）是函數(shù)〃x）=2sin（3x+o）0<夕<］的一個對稱中心，則為了得到函數(shù)

y=2sin3x+l的圖像，可以將圖像()

IT

A.向右平移一個單位，再向上移動1個單位

12

7T

B.向左平移了個單位，再向上移動1個單位

4

7T

C.向右平移一個單位，再向下移動1個單位

12

D.向右平移上TT個單位，再向下移動1個單位

4

【答案】A

【解析】

【分析】利用點(。,0)是函數(shù)/(%)的一個對稱中心，求出9,在分析圖像平移即可.

【詳解】因為點(°,0)是函數(shù)/(x)=2sin(3x+<。<鼻的一個對稱中心，

所以/(。)=2sin(30+。)=0,

所以4。=E,左￡Z,

又。所以夕=:,

所以/(x)=2sin〔3x+：1=2sin3^x+^|-^

所以要得到函數(shù)y=2sin3x+1的圖像則只需將f(x)圖像：

TT

向右平移一個單位，再向上移動1個單位，

12

故選：A.

(1、

8.已知奇函數(shù)/(X)是(fo,+8)上的增函數(shù)，g(x)=jf(x),若a=g,b=ge2

k)

(2\

C=g-33,則。，瓦C的大小關(guān)系為()

\)

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性求出函數(shù)g(X)的單調(diào)性和奇偶性，進而判斷即可求解.

【詳解】因為奇函數(shù)了（X）是（Y,y）上的增函數(shù),

所以y（x）=o,且/'（x）20.

又因為g（x）=?（x）,所以當尤=0時，g（0）=0,

當xwo時，y（x）=§3,因為/（—為=固5=-/。）=—;也,

X-xX

所以g（元）是（一》,+℃）上偶函數(shù)，

當x>0時，因為g'（x）=/（%）+獷'（％）>0,所以函數(shù)g（尤）在（0,+。）上單調(diào)遞增,

根據(jù)函數(shù)的奇偶性可知,函數(shù)g（x）在（-8,0）上單調(diào)遞減，在（0,+。）上單調(diào)遞增，

2J_

J——

又因為卜3|>-3§>e532

,所以log3—>-3>e

I——

32

則g(log3一)>g(-3)>g(e)，所以a>c>b,

故選：D.

9.血藥濃度是指藥物吸收后在血漿內(nèi)的總濃度，當血藥濃度介于最低有效濃度和最低中毒濃度之間時藥物

發(fā)揮作用.某種藥物服用1單位后，體內(nèi)血藥濃度變化情況如圖所示（服用藥物時間對應/時），則下列說

法中不正確的是（）

nti藥除度如g加八

--------------最低中毒濃度（MTC）

2agt———T—最低布1效濃吱（MEC）

0|234s6789101112

服用藥物后的時間陷

A.首次服藥1單位后30分鐘時，藥物已經(jīng)在發(fā)揮療效

B.若每次服藥1單位，首次服藥1小時藥物濃度達到峰值

C.若首次服藥1單位，3小時后再次服藥1單位，一定不會發(fā)生藥物中毒

D,每間隔5.5小時服用該藥物1單位，可使藥物持續(xù)發(fā)揮治療作用

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)所給圖象及最低有效濃度、最低中毒濃度，逐項判斷即可得解.

【詳解】由圖象知，當服藥半小時后，血藥濃度大于最低有效濃度，故藥物已發(fā)揮療效，故A正確；

由圖象可知，首次服藥1小時藥物濃度達到峰值，故B正確；

首次服藥1單位，3小時后再次服藥1單位，經(jīng)過1小時后，血藥濃度超過3。+6。=9。，會發(fā)生藥物中

毒，故C錯誤；

服用該藥物5.5小時后血藥濃度達到最低有效濃度，再次服藥可使血藥濃度超過最低有效濃度且不超過最

低中毒濃度，藥物持續(xù)發(fā)揮治療作用，故D正確.

故選：C

10.我們知道:反比例函數(shù)y=t（k手0）的圖象是雙曲線，它關(guān)于直線y=±*對稱，以x軸，y軸為漸近線.實

X

際上，將y=?（左/0）的圖象繞原點。順時針或逆時針旋轉(zhuǎn)一個適當?shù)慕?,就可以得到雙曲線

x

X12V2￡4

二_與v=1或4—1=1.則關(guān)于曲線y=—,下列說法正確的是（）

tz2b2a2b2x

A.曲線上的任意點P到兩點（-2后,-20）,（20,20）的距離之差為4J5

TT

B.該曲線可由fg繞原點。順時針旋轉(zhuǎn)—后得到

-4

c.在曲線上任意一點p處的切線與x軸，y軸圍成的三角形的面積為8

D.該曲線的實軸長和虛軸長均為4

【答案】C

【解析】

4

【分析】聯(lián)立直線丁=%與函數(shù)y=—求得交點坐標，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，可判定A、D錯誤；根據(jù)題

x

設(shè)定義，結(jié)合旋轉(zhuǎn)方向，得到得到反比例函數(shù)y=T,可判定B錯誤，利用導數(shù)的幾何意義求得切線方程，

X

得出三角形的面積，可判定C正確.

422

【詳解】對于A中，如圖所示，不妨設(shè)曲線y=—按順時針旋轉(zhuǎn)，可得三—4=1,

%ab

此時雙曲線為等軸雙曲線，即a=

y=x

聯(lián)立方程組｛_4.解得4（2,2）,4（-2,-2）,可得131=10^=20,

即a=b=2后，可得°=，片+。2=小耳（—2夜,—2夜），心（2夜,2夜），

所以雙曲線的實軸長為2a=4夜，虛軸長為2b=4拒，

根據(jù)雙曲線的定義得到歸片|一歸司=2a=40,所以A、D都不正確；

TT—4

對于B中，由雙曲線V—y2=8繞原點。順時針旋轉(zhuǎn)—后得到反比例函數(shù)y=一,所以B不正確;

4x

4

對于C中，設(shè)曲線y=—上的任意一點p(為,%),

龍

4,,4,4

由y=--7，可得>二與=一一->即切線的斜率為k=一一了，

■T匯/

所以切線方程為y—=--^-(x-x0),

/蒼

8

令x=0,可得了=一，令y=。，可得％=2%,

[8

所以切線與坐標軸圍成的三角形的面積為S=5x|2xo|x-=8,所以C正確.

故選：C.

11.已知cABC中，NACB=90。，AC=3BC,P為斜邊AB上一動點，沿CP將三角形AC尸折起形成直

二面角A—CP—5,記NACP=e,當A3最短時，sin6=()

A.立B.—C.1D.-

2223

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)面面垂直得線面垂直，進而得線線垂直，由銳角三角函數(shù)以及余弦定理分別表示A碗的

長度，進而由勾股定理，結(jié)合三角函數(shù)的形狀即可求解最值.

【詳解】如圖2,過點8作3A/LCP于點連接A砌,45,

由于平面4。，平面3cP,且兩平面交線為平面3cP,

所以瀏平面ACP,4"匚平面4尸。，故A'MLMB,

2

所以An2=AM+BM~，

由于在直角三角形6cM中，?BCP90-0.

所以BM-=(BCsinZBCP)=BC2cos26>,CM2=(BCcosZBCP)=BC2-sin26>

在△A'C做中，由余弦定理得

AM2=AC2+CM2-2AC-CMcos3=(3BC)2+(BCsin^)2-2(3BC)(BCsin0)cos0,

所以A勢2=A+BM2=(3BC)2+(BCsinO)2-2(33C)(BCsinO)cosO+BC2?cos20

^lOBC2-3BC2sin20，

故當sin26=l時，A'B?最小，此時，=色(由于故sin6=Y2.

4I2)2

故選：B

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查了空間中垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化：面面垂直-線面垂直-線線垂直.靈活利用垂直關(guān)系

得新的垂直關(guān)系是解題的關(guān)鍵.在平面圖形翻折形成立體幾何體的過程中，要明確改變的量和不發(fā)生變化的

量，注意把平面圖形與立體圖形結(jié)合起來找到解題的突破口.線段的長度的求解，多需要借助于直角三角形

的勾股定理，必要時也可利用向量的模長求解.

12.己知函數(shù)/⑴個3g(x)=e“—gf—x,即，/€口,2]使|g(石)——/(%2)|

(左為常數(shù))成立，則常數(shù)上的取值范圍為()

(2-3-1(e2-3^

A.(-oo,e-2]B.(-oo,e-2)C.-oo,-e-------D,-oo,--------

'f4\4J

【答案】D

【解析】

x-r-1ex-X-］

【分析】存在性問題轉(zhuǎn)化為是<e:在［1,2］上能成立,利用導數(shù)求e:的最大值即可得解.

XX

12

【詳解】=在［1,2］上為增函數(shù)，

由g(x)=ex~~^2一%知，g'(x)=e'一%一1,

令丸(%)=e'一九一1,貝ij/z(%)=e*—1,

當尤>0時，h'(x)=e'-1>0,

即丸。)=e*-x-1在(0,+s)上單調(diào)遞增，

所以h(x)>丸(0)=0,即g'(x)>0,

所以g(元)在(0,+oo)上單調(diào)遞增，即g(x)在［1,2］上單調(diào)遞增，

不妨設(shè)1<馬<%V2,則g(xj〉g(x2),f(^)>f(x2),

-8(尤2)|>左|/(七)一/(尤2)|可化為8(%)—8(無2)>4(%)—4(%2),

即g&)—上(%)>g(&)—上(%)-

令P(x)=g(^x)-kf=er-x-^kx3,

則尸(為=1_*_］_履2,

SXpXje［l,2］,使|g(xj—g(X2)|>H/(%J—/(%)能成立，

??.廣(%)>0在［1,2］上能成立，

x

即人<-e--1r-1在［1,2］上能成立，

%

/r1、

e—x—I

:.k<----2——，xc［l,2］,

卜，/max

x

令G(x)=^e~-r>-1，xe［l,2］,

x

貝I］G'(x)=O--2)e：+x+2,令〃乂乃=(x—2)er+x+2,

則mr(x)=(x-l)ex+1,當］￡［1,2］時，m(x)>0,

故見尤)在［1,2］上單調(diào)遞增,所以m(x)>m(l)=3-e>0,

故G'(x)〉O,G(x)在［1,2］上單調(diào)遞增,

2

e-3

G(x)max=G(2)=---

.,.左<匕三

4

故選：D

【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為存在三七，々€［1,2］使8(王)—4(菁)>8(/)—4(9)能成立是

111_丫_］

其一，其二需要構(gòu)造函數(shù)F(x)=g(x)-kf(x)=ex-x2-x—kx3后分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為k<-一二i在

23%2

x_X-1

［1,2］上能成立，再次構(gòu)造函數(shù)G(x)=^eF，多次利用導數(shù)求其最大值.

X

二.填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡上.

13.16-2］展開式中的常數(shù)項為(用數(shù)字作答).

【答案】60

【解析】

【分析】根據(jù)二項式展開式的通項公式可求得結(jié)果.

6一，Q\0一"

【詳解】加］=圖6)［-j=(-2)'C"三，

6—3yo

令一h=0,得r=2,故展開式中的常數(shù)項為n=(—2)晨=60.

故答案為：60.

14.一個高中研究性學習小組對本地區(qū)2020年至2022年菜鳥驛站發(fā)展情況進行了調(diào)查，制成了該地區(qū)菜

鳥驛站站點個數(shù)情況的條形圖和菜鳥驛站各站點年快遞收發(fā)數(shù)量的平均數(shù)情況條形圖(如圖)，根據(jù)圖中

提供的信息可以得出這三年中該地區(qū)菜鳥驛站每年平均收發(fā)快遞萬件.

【答案】1400

【解析】

【分析】由兩個條形圖計算三年收發(fā)快遞的總數(shù)，再計算平均數(shù).

【詳解】由圖可知，三年共收發(fā)快遞20x30+30x45+25x90=4200萬件，

4200

所以這三年中該地區(qū)菜鳥驛站每年平均收發(fā)快遞二？=1400萬件.

3

故答案為：1400.

15.設(shè)拋物線＞2=2x的焦點為尸，若圓3）2+/=8與拋物線有4個不同的交點，記x軸上方的

兩個交點為A,反則|E41.|q|的值是.

13

【答案】—

4

【解析】

【分析】聯(lián)立圓的方程和拋物線方程，得A（2-6,%）,3（2+6,%），進而根據(jù)向量的模長公式即可代

入求解.

【詳解】由題意可知/（［，。］,聯(lián)立口=2：,=f—4x+l=0=x=2+G或工=2—百，

【2）［（X-3）2+/=8

不妨A（2-"%）,以2+后%），出=［|-后%）用］|+6,力］

所以

4

有以下說法:

①/(x)的值域為[-1,1];

②〃尤)是周期函數(shù)；

-22"I「21

③了⑺在—上單調(diào)遞增，在一,+8單調(diào)遞減;

7兀5兀71)

④對任意的"ze[-1,1],方程了(尤)=加在區(qū)間(0,1)上有無窮多個解.

其中所有正確的序號為.

【答案】①③④

【解析】

【分析】設(shè)“=」(〃H0),則/■(x)=sin』=sinu(uh0),于是問題轉(zhuǎn)化成y=sinu(u豐0)的函數(shù)的性質(zhì)

X

的研究問題，①③④可以借助正弦函數(shù)的性質(zhì)說明，②可以通過反證法說明其錯誤.

【詳解】對于①，設(shè)"=L(〃HO),由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，y=sina(〃/0)的值域為[―1,1],故①正

X

確；

對于②，假設(shè)的周期為T(Tw。)，于是/(X+T)=/(%),顯然毛=-7處有定義，故

/(-r)=/(o),但/⑺在尤=o處無定義，于是了⑴沒有周期，故②錯誤；

12215717兀

對于③，設(shè)〃=一(沈。0),由于—,故"=—e$-,飛-,單調(diào)遞減，y=sinu,y關(guān)于〃

X7兀5兀x

57222

在HEJ,J上遞減，由復合函數(shù)的單調(diào)性知y關(guān)于犬在—上遞增，同理,X€—,+00故

227兀5兀71

1f71(71

U=-E\0,—,單調(diào)遞減，y=sinu,y關(guān)于〃在0,大上遞增，由復合函數(shù)的單調(diào)性知，》關(guān)于

x\2\2

2}

%在—,+8上遞減，故③正確;

兀J

對于④，設(shè)M=L,由xe(o,l)得〃e(l,+oo),則，=5山〃3>1),由①，y=sin”e[—1,1],根據(jù)正弦

x

函數(shù)的性質(zhì)，Vme[-l,l],5垣&=根在〃?(1,+8)有無數(shù)多個解，也就是無數(shù)多個比滿足該方程，即有

無數(shù)多個x可以使得/(%)=加成立，故④正確.

故答案為：①③④

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21題必考題，每

個試題考生必須作答.第22、23題為選考題，考試根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.已知數(shù)列｛叫的前幾項和為S”,%=3,250=34-3.

(1)求｛4｝的通項公式；

⑵設(shè)數(shù)列也｝滿足：bn=an+log3an,記出｝的前幾項和為7“，求卻

【答案】⑴??=3,!(neN*)

T3"+1+n2+n-3

(2)1---------------

〃2

【解析】

【分析】(1)利用數(shù)列前九項和5,與通項。“的關(guān)系及等比數(shù)列通項公式求解；

(2)求出數(shù)列｛〃｝的通項公式，并結(jié)合其通項的結(jié)構(gòu)特征，采用分組求和法求解.

【小問1詳解】

2S—①

??.當122時,2sl=3a“_i-3②

①一②得：2an=3a“—3a“_i即an=3an_r(n>2)

-q=3,.?.數(shù)列｛a“｝是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列.

=3n(neN*)

【小問2詳解】

b,!

?=a?+log3tz?=3+n.

12

:.Tn=bx+bz++^!_1+^=(3+l)+(3+2)++(3"T+”1)+(3〃+〃)

=（3'+32++3.T+3"）+（1+2++77-1+71）

_3（1-3"），+〃）〃_3向+〃2+〃一3

―1-3+-2—-2

所以｛2｝的前〃項和7；=3向+"；+"-3.

18.近年來，國際環(huán)境和局勢日趨嚴峻，高精尖科技圍堵和競爭更加激烈，國家號召各類高科技企業(yè)匯聚科

研力量，加強科技創(chuàng)新，大力增加研發(fā)資金，以突破我國在各個領(lǐng)域的“卡脖子”關(guān)鍵技術(shù)，某市為了解本市

高科技企業(yè)的科研投入和產(chǎn)出方面的情況，抽查了本市8家半導體企業(yè)2018年至2022年的研發(fā)投資額x

（單位：百億元）和因此投入而產(chǎn)生的收入附加額了（單位：百億元），對研發(fā)投資額者和收入附加額為進

行整理，得到相關(guān)數(shù)據(jù)，并發(fā)現(xiàn)投資額x和收入附加額y成線性相關(guān).

投資額七（百億元）234568911

收入附加額為（百億元）3.64.14.85.46.27.57.99.1

（1）求收入的附加額y與研發(fā)投資額x的線性回歸方程（保留三位小數(shù)）；

（2）現(xiàn)從這8家企業(yè)中，任意抽取3家企業(yè)，用X表示這3家企業(yè)中收入附加額大于投資額的企業(yè)個

數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望.

888

參考數(shù)據(jù)：2%%=334.1,X%=48.6,￡X；=356.

z=lz=li=l

_n_n

,Z（x,一元）（乂-歹）Z七%一標,?

附：在線性回歸方程夕=晟+6中，另=4^-------;-=—n一2--------，a^y-bx.

-可2—麻2

1=1,=1

【答案】（1）9=0.625%+2.325

（2）分布列見解析，岸

8

【解析】

【分析】（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，利用參考公式計算方即可得出線性回歸方程；

（2）根據(jù)超幾何分布計算對應隨機變量的概率，列出分布列、計算期望即可.

【小問1詳解】

2+3+4+5+6+8+9+11「1848.6

由元=---------------------二，=6.075,

86~8~

〃__

^x^-nxy

334.1-8x6x6.075

得：b=^----------=0.625,

gx；-rix'356-8x36

I=I

由2=y-bx^a=6.075-0.625x6=2.325，

所以年收入的附加額V與投資額x的線性回歸方程為9=0.625x+2.325.

小問2詳解】

8個投資額中，收入附加額大于投資額的企業(yè)個數(shù)為5,

故X的所有可能取值為0，1,2,3,

3223

尸（X=°）=?C1P（X=1）=簧cC1*15，°（X=2）=省c'C=￡15,P（X=3）=|cH*5

則X的分布列為:

X0123

115155

P

56562828

故E（X）=Ix導+2吟+3X段吟.

19.如圖所示，已知AC,5D是圓錐SO底面的兩條直徑，/為劣弧的中點，AO=SO=6,

（1）證明：SM±AD；

（2）若E為線段上的一點，且BE//平面以。，求AE與平面皿）所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

【解析】

【分析】(1)連接并延長交A。于N,由線面垂直的判定定理可證平面SMO,再由線面垂直

的性質(zhì)即可得證.

(2)如圖建立空間直角坐標系，利用向量法求線面角的正弦值即可.

【小問1詳解】

連接并延長交A。于N,如圖，

A/為劣弧BC的中點.

MO是NBOC的角平分線，

MN平分ZAOD,

OA=OD,

:.MO±AD,

又「在圓錐SO中，SO,平面A3CD,ADu平面A3CD,

:.SO±AD,

MO、SOu平面SMN,且MOSO=O,

.,.45_1_平面57欣。，

又。SMu平面SMO,

故ADLSM.

【小問2詳解】

以。為坐標原點，OA,OS所在的直線分別為x軸，z軸，以過。點且垂直Q4的直線為〉軸，建立如圖

所示空間直角坐標系O-孫z.

ZA

故A(6,0,0),B(3,373,0),M(—3,3g,0),。(—3,—36,0),5(0,0,6),

DA=(9,3^,0),SA=(6,0,—6),MS=(3,—3逝,6),3M=(—6,0,0),

設(shè)ME=AMS,故ME=(32,-3A/32,62),

BE=BM+ME=(-6+3%,—3屈,62),

設(shè)平面&W法向量為"=(x,y,z),

DAn=Q7?+3底=0

由｛.得，

SA-n=Q6x-6z=0

令z=l得x=Ly=-6，所以A=(1,-1),

QBE1〃平面&4。，

BE-H=0>即-6+3X+9X+6X=0，解得

:.ME=Q,-區(qū)2),

又?AM=(-9,3A/3,0),

AE=AM+ME=(-8,273,2),

設(shè)AE與平面SAD所成角為9,

.ZJI/AT?-wI—8—6+213

/.sin0=|cos(AE?n)|=廠/.

A/5A/64+12+45

3

即A石與平面SW所成角的正弦值為g.

20.在平面直角坐標系必丁中，動點尸到“卜6,0),"(6,0)的距離之和為4.

(1)求動點尸的軌跡C的方程；

(2)已知點A(—2,0),3(0,—1),若點。(%,%),￡(%,%)是曲線C上異于頂點兩個不同的點，且

ADUBE,記。OE的面積為S,問S是否定值，若是，求出該定值；若不是，說明理由.

2

【答案】(1)—+/=1

4-

(2)是定值，定值為1

【解析】

【分析】(1)根據(jù)橢圓的定義即可求解,

(2)聯(lián)立直線與橢圓的方程，求解D,E的坐標，進而由弦長公式或者利用向量夾角求解面積，代入化簡即

可.

【小問1詳解】

由題意易知，動點P的軌跡是以(右,0)為焦點的橢圓，且2a=4

,動點P的軌跡。的方程為：—+y2=l.

4

【小問2詳解】

顯然直線AD的斜率存在，設(shè)AD的方程為：丁=左(％+2)

X22?

—+y=1

聯(lián)立《4-

y=攵（％+2）

設(shè)。(下*)，則-2%=華」得一=4*二/=3+2)=/

’2（1-4左2）4k、

:.D

必2+1’4產(chǎn)+1，

\7

由AD//BE可設(shè)BE的方程為y=依T,E(9，%)，

J2=1

聯(lián)立《4+-V—1得：（4〃+1）彳2_8辰=0,

y=kx-1

8k,8左，4k~-1

X?—必—K,---------1—

-4/+1%442+14r+1

（8k4左2。

:.E

442+1'4左2+U'

法1:

/、2

「ODOE

=^\OD\-\OE\-sin/DOE=^\OD\-\OE\-.『『

uDOE口HR,JODFE-(0D0E)2

1河+對(

后+式)一(xiZ+H%)2==；&y；+x；y^-2xlx2yly2-％%

2

2(4左2—1)2+32左2(4左2—1)2+16左2

120-4左2)4F-18k4k_1

22(左2

24k+14k+14P+14P+12(4左2+1、?4+1J

=1,故為定值1,

v—v

法2：的方程為：y~y\=~-(%—%!),即(%一%)%一(芯一%2)y+%%一%2乂=°，

X]-%2

二|七%—九2Ml|玉%一%2%|

??.0到小的距離為一幾

S=；一小|￡>同=：|石為_/%|，后同解法1.

【點睛】思路點睛：圓錐曲線中的范圍或最值或者定值問題，可根據(jù)題意構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的目標函數(shù)，然后根

據(jù)題目中給出的范圍或由韋達定理得到的等量化簡求解，解題中注意弦長公式以及點到線的距離，點到點

的距離公式求解.

]X

21.已知函數(shù)/(x)=xsinx+cosx+—ax2,g(x)=xln二.

271

(1)當a=0時，求函數(shù)/(無)在[—兀旭上的極值；

(2)用max{〃z,“}表示加，九中最大值，記函數(shù)/?(x)=max{/(x),g(x)}(%>0),討論函數(shù)/z(x)在

(0,+8)上的零點個數(shù).

TT

【答案】(1)極大值：一，極小值：1

2

(2)答案見解析

【解析】

【分析】(1)求出導函數(shù)零點，列表即可得出極值;

(2)由〃(x)=max{/(x),g(x)}知，/i(x)>g(x),分無口兀,+<?),彳=兀，尤€(0,兀)討論零點，研究

g(x)20時的零點，g(x)<0時轉(zhuǎn)化為研究/(無)零點即可.

【小問1詳解】

當。=0時，/(%)=xsin%+cosx,，'(x)=xcosx,

由/'(x)=0,得x=—］或則〃尤)和/'(x)隨x的變化如下表所示:

7171

0

~242加

f(X)+0—0+0—

fM極大、極小極大、

在［一兀,兀］上有2個極大值：==

/(x)在［一兀兀］上有1個極小值：/(0)=1.

【小問2詳解】

由h(x)=max{/(x),g(x)},知丸(x)>g(x).

(i)當xe(7r,+<?)時，g(x)>0,

h(x)>0,故/z(x)在(兀,+8)上無零點.

兀2

(ii)當％=兀時，g(7t)=0,f(7t)--1+—<7.

2

故當了(兀)40時，即。<一■時，h(n)=0,%=兀是/z(x)的零點；

71

2

當/(兀)>0時，即a〉一5"時，Zz(7t)=/(7l)>0,X=7T不是/z(x)的零點.

兀

(iii)當X￡(0,兀)時，g(X)〈0.

故h(x)在(0,7i)的零點就是7M在(0,K)的零點,

f\x)=x(a+cosx),/(0)=1.

①當aW—l時，a+cosx<0,故xe(0,2時，/(x)<0,/⑴在(0,兀)是減函數(shù)，

結(jié)合/(0)=1，/(兀)=—1+］。<0可知，/W(0,兀)有一個零點，

故/z(x)在(0,兀)上有1個零點.

②當aNl時，a+cosx>0,故xe(0,兀)時，f'(x)>0,/⑺在(0,兀)是增函數(shù)，

結(jié)合/(0)=1可知，/(*)在(0,兀)無零點，

故/z(x)在(0,兀)上無零點.

③當aw(T,l)時，現(xiàn)e(0,兀)，使得xe(0,%)時，f'(x)>0,/⑺在(0,%)是增函數(shù)；

兀)時，f\x)<0,A?在(工,兀)是減函數(shù)；

由/(0)=1知，/(x0)>0.

7r22

當/(7c)=—1+一。20,即一時，/⑺在(0,兀)上無零點，

2兀

故久幻在(0,兀)上無零點.

7T22

當/(兀)=—1+一〃<0,即—時，/⑺在(0,兀)上有1個零點，

271

故/z(x)在(0,兀)上有1個零點.

2

綜上所述，，〈一時，加工)有2個零點；