2025屆重慶市七校數(shù)學(xué)高一下期末考試模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．有一個(gè)內(nèi)角為120°的三角形的三邊長(zhǎng)分別是m，m+1，m+2，則實(shí)數(shù)m的值為（）A．1 B． C．2 D．2．用數(shù)學(xué)歸納法證明這一不等式時(shí)，應(yīng)注意必須為（）A． B．， C．， D．，3．將甲、乙兩個(gè)籃球隊(duì)5場(chǎng)比賽的得分?jǐn)?shù)據(jù)整理成如圖所示的莖葉圖，由圖可知以下結(jié)論正確的是()A．甲隊(duì)平均得分高于乙隊(duì)的平均得分中乙B．甲隊(duì)得分的中位數(shù)大于乙隊(duì)得分的中位數(shù)C．甲隊(duì)得分的方差大于乙隊(duì)得分的方差D．甲乙兩隊(duì)得分的極差相等4．不等式的解集是A． B．C．或 D．5．若，，則的值是（）A． B． C． D．6．已知，則的垂直平分線所在直線方程為（）A． B．C． D．7．在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，公比，若，，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則取最大值時(shí)，的值為（）A． B． C． D．或8．若，，則與的夾角為（）A． B． C． D．9．設(shè)集合，則A． B． C． D．10．一個(gè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)、寬分別為5，4，且該長(zhǎng)方體的外接球的表面積為，則該長(zhǎng)方體的表面積為（）A．47 B．60 C．94 D．198二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，且，則________．12．在等比數(shù)列中，，，則______________.13．齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬，田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊王的下等馬.現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機(jī)選一匹進(jìn)行一場(chǎng)比賽，則田忌的馬獲勝的概率為_(kāi)_________．14．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層燈數(shù)為_(kāi)____________15．在△中，，，，則_________．16．若，則______，______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝120°，四邊形BFED為矩形，平面BFED⊥平面ABCD，BF＝1.(1)求證：AD⊥平面BFED；(2)點(diǎn)P在線段EF上運(yùn)動(dòng)，設(shè)平面PAB與平面ADE所成銳二面角為θ，試求θ的最小值．18．如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，點(diǎn)P，Q在單位圓上，以x軸正半軸為始邊，以射線為終邊的角為，以射線為終邊的角為，滿(mǎn)足.（1）若，求（2）當(dāng)點(diǎn)P在單位圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求函數(shù)的解析式，并求的最大值.19．已知四棱錐的底面為直角梯形，，，底面，且，是的中點(diǎn).（1）求證：直線平面；（2）若，求二面角的正弦值.20．已知數(shù)列滿(mǎn)足關(guān)系式，.（1）用表示，，；（2）根據(jù)上面的結(jié)果猜想用和表示的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證之.21．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知．（Ⅰ）求通項(xiàng)；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

由已知利用余弦定理可得，解方程可得的值.【詳解】在三角形中，由余弦定理得：，化簡(jiǎn)可得：，解得或（舍）.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了方程思想，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

根據(jù)題意驗(yàn)證，，時(shí)，不等式不成立，當(dāng)時(shí)，不等式成立，即可得出答案.【詳解】解：當(dāng)，，時(shí)，顯然不等式不成立，當(dāng)時(shí)，不等式成立，故用數(shù)學(xué)歸納法證明這一不等式時(shí)，應(yīng)注意必須為，故選：.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．3、C【解析】

由莖葉圖分別計(jì)算甲、乙的平均數(shù)，中位數(shù)，方差及極差可得答案．【詳解】29；30，∴∴A錯(cuò)誤；甲的中位數(shù)是29，乙的中位數(shù)是30，29<30,∴B錯(cuò)誤；甲的極差為31﹣26＝5，乙的極差為32﹣28＝4，5∴D錯(cuò)誤；排除可得C選項(xiàng)正確，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了由莖葉圖求數(shù)據(jù)的平均數(shù)，極差，中位數(shù)，運(yùn)用了選擇題的做法即排除法的解題技巧，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】試題分析：∵，∴，即，∴不等式的解集為．考點(diǎn)：分式不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式．5、B【解析】，，，故選B.6、A【解析】

首先根據(jù)題中所給的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，應(yīng)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)斜率坐標(biāo)公式求得，利用兩直線垂直時(shí)斜率的關(guān)系，求得其垂直平分線的斜率，利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線的方程，化簡(jiǎn)求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以其中點(diǎn)坐標(biāo)是，又，所以的垂直平分線所在直線方程為，即，故選A.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)線段的垂直平分線的方程的問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，需要明確線段的垂直平分線的關(guān)鍵點(diǎn)一是垂直，二是平分，利用相關(guān)公式求得結(jié)果.7、D【解析】

利用等比數(shù)列的性質(zhì)求出、的值，可求出和的值，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求出，由此得出，并求出數(shù)列的前項(xiàng)和，然后求出，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出當(dāng)取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的值.【詳解】由題意可知，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，解得，所以，解得，，，則數(shù)列為等差數(shù)列，，，，因此，當(dāng)或時(shí)，取最大值，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，同時(shí)也考查了等差數(shù)列求和以及等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值，在求解時(shí)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值求解，考查方程與函數(shù)思想的應(yīng)用，屬于中等題.8、A【解析】

根據(jù)平面向量夾角公式可求得，結(jié)合的范圍可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)與的夾角為，又故選：【點(diǎn)睛】本題考查平面向量夾角的求解問(wèn)題，關(guān)鍵是熟練掌握兩向量夾角公式，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】,選B.【考點(diǎn)】集合的運(yùn)算【名師點(diǎn)睛】集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算問(wèn)題，應(yīng)先把集合化簡(jiǎn)再計(jì)算，常常借助數(shù)軸或韋恩圖進(jìn)行處理.10、C【解析】

根據(jù)球的表面積公式求得半徑，利用等于體對(duì)角線長(zhǎng)度的一半可構(gòu)造方程求出長(zhǎng)方體的高，進(jìn)而根據(jù)長(zhǎng)方體表面積公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)長(zhǎng)方體高為，外接球半徑為，則，解得：長(zhǎng)方體外接球半徑為其體對(duì)角線長(zhǎng)度的一半解得：長(zhǎng)方體表面積本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查與外接球有關(guān)的長(zhǎng)方體的表面積的求解問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠明確長(zhǎng)方體的外接球半徑為其體對(duì)角線長(zhǎng)度的一半，從而構(gòu)造方程求出所需的棱長(zhǎng).二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】試題分析：由得：解方程組：得：或因?yàn)?，所以所以不合題意，舍去所以，所以，答案應(yīng)填：.考點(diǎn)：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和兩角差的三角函數(shù)公式.12、1【解析】

根據(jù)已知兩項(xiàng)求出數(shù)列的公比，然后根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可．【詳解】∵a1＝1，a5＝4∴公比∴∴該等比數(shù)列的通項(xiàng)公式a3＝11＝1故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，一般利用基本量的思想，屬于基礎(chǔ)題．13、.【解析】分析：由題意結(jié)合古典概型計(jì)算公式即可求得題中的概率值.詳解：由題意可知了，比賽可能的方法有種，其中田忌可獲勝的比賽方法有三種：田忌的中等馬對(duì)齊王的下等馬，田忌的上等馬對(duì)齊王的下等馬，田忌的上等馬對(duì)齊王的中等馬，結(jié)合古典概型公式可得，田忌的馬獲勝的概率為.點(diǎn)睛：有關(guān)古典概型的概率問(wèn)題，關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)．(1)基本事件總數(shù)較少時(shí)，用列舉法把所有基本事件一一列出時(shí)，要做到不重復(fù)、不遺漏，可借助“樹(shù)狀圖”列舉．(2)注意區(qū)分排列與組合，以及計(jì)數(shù)原理的正確使用.14、1【解析】分析：設(shè)塔的頂層共有a1盞燈，則數(shù)列{an}公比為2的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式能求出結(jié)果．詳解:設(shè)塔的頂層共有a1盞燈，則數(shù)列{an}公比為2的等比數(shù)列，∴S7=a1(1-2點(diǎn)睛：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力.15、【解析】

利用余弦定理求得的值，進(jìn)而求得的大小.【詳解】由余弦定理得，由于，故.【點(diǎn)睛】本小題主要考查余弦定理解三角形，考查特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

對(duì)極限表達(dá)式進(jìn)行整理，得到，由此作出判斷，即可得出參數(shù)的值.【詳解】因?yàn)樗裕獾茫?故答案為：；【點(diǎn)睛】本題主要考查由極限值求參數(shù)的問(wèn)題，熟記極限運(yùn)算法則即可，屬于常考題型.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析（2）θ最小值為60°【解析】

（1）在梯形ABCD中，利用勾股定理，得到AD⊥BD，再結(jié)合面面垂直的判定，證得DE⊥平面ABCD，即可證得AD⊥平面BFED；（2）以D為原點(diǎn)，直線DA，DB，DE分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求得平面PAB與平面ADE法向量，利用向量的夾角公式，即可求解。【詳解】（1）證明：在梯形ABCD中，∵AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝120°，∴AB＝2.∴BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos60°＝3.∴AB2＝AD2＋BD2，∴AD⊥BD.∵平面BFED⊥平面ABCD，平面BFED∩平面ABCD＝BD，DE?平面BFED，DE⊥DB，∴DE⊥平面ABCD，∴DE⊥AD，又DE∩BD＝D，∴AD⊥平面BFED.（1）由(1)知，直線AD，BD，ED兩兩垂直，故以D為原點(diǎn)，直線DA，DB，DE分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令EP＝λ(0≤λ≤)，則D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0，，0)，P(0，λ，1)，所以＝(－1，，0)，＝(0，λ－，1)．設(shè)n1＝(x，y，z)為平面PAB的法向量，由得，取y＝1，則n1＝(，1，－λ)．因?yàn)閚2＝(0,1,0)是平面ADE的一個(gè)法向量，所以cosθ＝＝＝.因?yàn)?≤λ≤，所以當(dāng)λ＝時(shí)，cosθ有最大值，所以θ的最小值為60°.【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直關(guān)系的判定與證明，以及空間角的求解問(wèn)題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力，解答中熟記線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，通過(guò)嚴(yán)密推理是線面位置關(guān)系判定的關(guān)鍵，同時(shí)對(duì)于立體幾何中角的計(jì)算問(wèn)題，往往可以利用空間向量法，通過(guò)求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.18、（1）（2），最大值.【解析】

（1）由角的定義求出，再由數(shù)量積定義計(jì)算；（2）由三角函數(shù)定義寫(xiě)出坐標(biāo)，求出的坐標(biāo)，計(jì)算出，利用兩角和的正弦公式可化函數(shù)為一個(gè)三角函數(shù)形式，由正弦函數(shù)性質(zhì)可求得最大值．【詳解】（1）由圖可知，，..（2）由題意可知，.因?yàn)?，，所?所以，.所以.當(dāng)（）時(shí)，取得最大值.【點(diǎn)睛】本題考查任意角的定義，平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查兩角和的正弦公式、誘導(dǎo)公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)．本題解題關(guān)鍵是掌握三角函數(shù)的定義，表示出坐標(biāo)．19、（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【解析】

（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，，推導(dǎo)出，，從而平面平面，由此能證明直線平面；（2）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的余弦值．【詳解】（1）證明：取中點(diǎn)，連結(jié)，，，是的中點(diǎn)，，，，，平面平面，平面，直線平面．（2）解：，，底面，，是的中點(diǎn)，，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，1，，，0，，，2，，，1，，，1，，，1，，，1，，，0，，設(shè)平面的法向量，，，則，取，得.設(shè)平面的法向量，，，則，取，得.設(shè)二面角的平面角為，則．二面角的余弦值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．20、（1），，（2）猜想：，證明見(jiàn)解析【解析】

（1）根據(jù)遞推關(guān)系依次代入求解，（2）根據(jù)規(guī)律猜想，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明【詳解】解：（1），∴，，；（2）猜想：.證明：當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立；假設(shè)時(shí)結(jié)論成立，即，則時(shí)，，即時(shí)結(jié)論成立.綜上，對(duì)時(shí)結(jié)論成立.【點(diǎn)睛】本題考查歸納猜想與數(shù)學(xué)歸納法證明，考查基本分析論證能力，屬基礎(chǔ)題21、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】試題分析：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，根據(jù)，構(gòu)造，利用，兩式相減得到，然后驗(yàn)證，得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）由上一問(wèn)可知.根據(jù)零點(diǎn)分和討論去絕對(duì)值，利用分組轉(zhuǎn)化求數(shù)列的和.試題解析：（Ⅰ）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，兩式相減得：當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?得到，解得，，所以數(shù)列是首