10.3無約束優(yōu)化10.3.1一元函數(shù)無約束優(yōu)化的最優(yōu)解求解

一元函數(shù)優(yōu)化一般要給定自變量的取值范圍，其標準形式為：

在MATLAB中利用fminbnd函數(shù)求解，調(diào)用格式如下：

[x,fval]=fminbnd(fun,x1,x2)返回一個值x，該值是fun中描述的標量值函數(shù)在區(qū)間x1<x<x2中的局部最小值；

[x,fval]=fminbnd(fun,x1,x2,options)使用options中指定的優(yōu)化選項求最小值.

在實際求解過程中如果需要給出求解的初值，要求能夠從問題本身進行初步分析后得到最優(yōu)解的大致位置．例10.5求sin(x)函數(shù)在0<x<2π范圍內(nèi)的最小值的點．解>>fun=@sin;>>x1=0;>>x2=2*pi;>>x=fminbnd(fun,x1,x2)x=4.7124此值與正確值

x=3π/2

相同>>3*pi/2ans=4.7124

例10.6對邊長為5m的正方形鐵板，在4個角處減去相等的正方形，以制成方形無蓋水槽，問如何剪才能使水槽的容積最大？

解假設(shè)剪去正方形的邊長為x，則水槽的容積為

水槽的容積最大的目標函數(shù)是

，將其轉(zhuǎn)化為標準形式為

首先建立函數(shù)文件：

functionv=myfun1(x)

v=-(5-2*x)^2*x;然后在命令行調(diào)用fminbnd函數(shù)，>>[x,v]=fminbnd('myfun1',0,2.5)x=0.8333v=-9.2593可知，當剪去正方形的邊長為0.8333m時，水槽的容積最大為9.2593m3．10.3.2多元函數(shù)無約束優(yōu)化的最優(yōu)解求解

多元函數(shù)無約束優(yōu)化的標準形式：

，其中

是向量

在MATLAB中利用函數(shù)fminunc和fminsearch求解，fminunc調(diào)用格式如下：

[x,fval]=fminunc(fun,x0)在點x0處開始并嘗試求fun中描述的函數(shù)的局部最小值點x和函數(shù)值fval

[x,fval]=fminunc(fun,x0,options)使用options中指定的優(yōu)化選項求最小值

fminsearch調(diào)用格式與fminunc相同，fminunc為無約束優(yōu)化提供了大型優(yōu)化和中型優(yōu)化算法，fminsearch采用簡單搜索法.當函數(shù)的階數(shù)大于2時，使用fminunc比fminsearch更有效，當函數(shù)高度不連續(xù)時，使用fminsearch更有效．

例10.7求

的最小值點.解為了對函數(shù)有一個直觀認識，先繪制出其三維圖形．clear[x,y]=meshgrid(-10:0.01:10);z=100*(y-x.^2).^2+(1-x).^2;mesh(x,y,z)得到圖形如圖10-1所示，可知f(x,y)存在最小值，可取初始值x0=[-5,0]．>>fun=@(x)100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2;>>x0=[-5,0];>>x=fminsearch(fun,x0)x=1.00001.0000可知，當x=1,y=1時，f(x,y)得到最小值．圖10-1函數(shù)f(x,y)的三維圖形例10.8求

的最小值．解>>fun=@(x)3*x(1)^2+2*x(1)*x(2)+x(2)^2-4*x(1)+5*x(2);>>x0=[1,1];>>[x,fval]=fminunc(fun,x0)Localminimumfound.Optimizationcompletedbecausethesizeofthegradientislessthanthevalueoftheoptimalitytolerance.<stoppingcriteriadetails>x=2.2500-4.7500fval=-16.3750可知當x=2.25,y=-4.75時，f(x,y)得到最小值-16.375．例10.9（選址問題）某鎮(zhèn)為推進新農(nóng)村建設(shè)，準備引進兩個環(huán)保項目：

籌建天然氣輸送中心，通過管道由輸送中心直接向各村輸送天然氣；

籌建垃圾處理站，集中處理各村清掃的垃圾；該鎮(zhèn)有8個自然村，各村坐標如下（KM）：（1.2,3）,（2.2,6）,（3.5,4）,（5.3,7）,（6.5,8）,（7.3,9.1），（8.6,1.2），（9.8,5）；各村平均每天產(chǎn)生的垃圾車數(shù)為5，7