2022年廣東省深圳市福田區(qū)石廈學校中考數學二模試卷

一.選擇題（共12小題，共30分）

1.如圖是由六個完全相同的正方體堆成的物體，則這一物體的正視圖是)

D.2a—a=2

3.有一組數據：2,-2,2,4,6,7這組數據的中位數為（）

A.2B.3C.4D.6

4.如圖，AB=AD,ZBAC=ZDAC^25°,ZZ)=8O°,則/8CA的度數為()

A.25°B.50°C.65°D.75°

「.34.3a+2b/、

5已知一二一,貝nIj-------=()

aba-b

17

A.-17B.-1C.—D.17

7

6.如圖，在矩形A3CD中，兩條對角線AC與3。相交于點。，AB=6,04=4,則A。的長為

A.4B.8C.3石D.2s

I，BC=12,則AC=(

7.如圖，在AABC中，NC=90。，si〃A=)

A.3B.9C.10D.15

8.某班級開展活動共花費2300元，但有4位同學因時間沖突缺席，若總費用由實際參加的同學平均分

攤，則每人比原來多支付4元，設原來有x人參加活動，由題意可列方程（

23002300.2300，2300

x+4xx+4x

23002300，2300，2300

xx-4xx-4

9.已知二次函數〉=。尤2+公+。（。知）的圖象與x軸交于A（m,0）,B（n,0）兩點，已知〃z+"=4,且-

4<m<-2.圖象與y軸的正半軸交點在（0,3）與（0,4）之間（含端點）.給出以下結論：①￡於8；②

3

對稱軸是直線x=2；③當a=--時，拋物線的開口最大；④二次函數的最大值可取到6.其中正確結論

32

C.3D.4

10.如圖，正方形A3CD中，E、尸分別為邊A。、0c上點，且AE=EC,過P作FHLBE,交

AB于G,過H作于M，若AB=9,AE=3,則下列結論中：

①ZBGF=NCFB；②立DH=EH+FH；③"乙=。，其中結論正確的是（）

AE5

D,F,C

A

A只有①②B.只有①③C.只有②③D.①②③

二.填空題（共5小題，共15分）

11分解因式：4%2-16=

12.若％=1是方程/一2%+。=0的根，則。=

13.人字梯為現代家庭常用的工具.如圖，若A5,AC的長都為2.5m,當。=55。時，人字梯頂端離地

面的高度AD為m.（參考數據：sin55°?0.82,cos55°?0.57,tan55°?1.4）

14.已知實數。、b^^4^2+\b+3\=0,若關于x的一元二次方程式+融+人二。的兩個實數根分別為

西、X2,則石+%-芍々的值為

15.如圖，在RtZXABC中，ZACB=90°,AB=?BC=2,以點A為圓心，AC長為半徑畫弧，交

A3于點。，交AC于點C,以點B為圓心，AC長為半徑畫弧，交A3于點E,交BC于點尸,則圖中

陰影部分的面積為.

三.解答題（共4小題，滿分55分）

|jr

16.先化簡，再求值：(1------)---，其中x=l—應

x+1X-1

17.如圖，有四張背面相同的紙牌A、B、C、D,其正面分別畫有四個不同的幾何圖形，將這四張紙牌背

(1)小紅從中隨機摸出一張，求摸出的牌面圖形是中心對稱圖形的概率；

(2)小明從這四張紙牌中隨機摸出兩張，用樹狀圖或表格法，求摸出的兩張牌面圖形都是中心對稱圖形

的概率.

18.某中學九年級學生開展測量物體高度的實踐活動，他們要測量學校一幢教學樓的高度，如圖，他們先在

點C測得教學樓AB的頂點A的仰角為30°，然后向教學樓前進20米到達點。，又測得點A的仰角為45°,

請根據這些數據，求這幢教學樓的高度.(最后結果精確到1米，參考數據應標1.414,百土L732)

呂

□

口

目

CDB

19.如圖，在矩形ABCD中，E是BC邊上的點，AE=BC,DF±AE,垂足為F,連接DE.

(1)求證：AB=DF；

(2)若AD=10,AB=6,求tan/EDF的值.

AD

BEC

20.某中學為豐富學生的校園生活，準備從友誼體育用品商店一次性購買若干個足球和籃球(每個足球的

價格相同、每個籃球的價格相同)，若購買3個籃球和2個足球共需420元；購買2個籃球和4個足球共

需440元.

(1)購買一個籃球、一個足球各需多少元？

(2)根據該中學的實際情況，需要從該體育用品商店一次性購買足球和籃球共20個.要求購買籃球數不

少于足球數的2倍，總費用不超過1840元，那么這所中學有哪幾種購買方案？哪種方案所需費用最少？

21.如圖1,己知拋物線y=ax2+bx+c(a/))與x軸交于A(-1,0)、B(4,0)兩點，與y軸交于點

C（0.2）,點P是拋物線上的一個動點，過點P作PQLx軸，垂足為Q,交直線BC于點D.

（1）求該拋物線的函數表達式；

（2）若以P、D、0、C為頂點的四邊形是平行四邊形，求點Q的坐標；

（3）如圖2,當點P位于直線BC上方的拋物線上時，過點P作PELBC于點E,設APDE的面積為S,

求當S取得最大值時點P的坐標，并求S的最大值.

22.綜合與實踐，問題情境：數學活動課上，老師出示了一個問題：如圖①，在YA6CD中，

BE±AD，垂足為E，F為CD中點，連接ER,BF，試猜想E尸與正的數量關系，并加以證

明；

獨立思考：（1）請解答老師提出的問題；

實踐探究：（2）希望小組受此問題的啟發(fā)，將YA5CD沿著正（產為CD的中點）所在直線折疊，如

圖②，點。的對應點為C',連接。。并延長交A5于點G,請判斷AG與BG的數量關系，并加以證

明；

問題解決：（3）智慧小組突發(fā)奇想，將YABCD沿過點8的直線折疊，如圖③，點A的對應點為A',使

A'B上CD于點、H,折痕交A。于點M,連接A'M,交CD于點、N.該小組提出一個問題：若此

YABCD的面積為20,邊長A3=5,BC=25求圖中陰影部分（四邊形3HMW）的面積.請你思

考此問題，直接寫出結果.

圖①圖②圖③

2022年廣東省深圳市福田區(qū)石廈學校中考數學二模試卷

一.選擇題（共12小題，共30分）

1.如圖是由六個完全相同的正方體堆成的物體，則這一物體的正視圖是（）

z

TF面

【答案】A

【解析】

【分析】找到從正面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應表現在主視圖中.

【詳解】解：從正面看易得左邊一列有2個正方形，右邊一列有一個正方形.

故選：A.

【點睛】本題考查了三視圖的知識，主視圖是從物體的正面看得到的視圖.

2.下列計算正確的是（）

236

A."LB.（2a）=6aC.D.

2a—a=2

【答案】C

【解析】

【分析】由同底數哥乘法、積乘方、塞的乘方、合并同類項，分別進行判斷，即可得到

答案.

235

【詳解】解：A.a-a=a,故A錯誤；

B.（2a2）3-8a6,故B錯誤；

C.（a?1=/,故c正確；

D.2a—a=a,故D錯誤，

故選：C.

【點睛】本題考查了同底數幕乘法、積的乘方、幕的乘方、合并同類項，解題的關鍵是熟

練掌握運算法則分別進行判斷.

3.有一組數據：2,-2,2,4,6,7這組數據的中位數為（）

A.2B.3C,4D.6

【答案】B

【解析】

【分析】找中位數要把數據按從小到大的順序排列，位于最中間的一個數（或兩個數的平

均數）為中位數；眾數是一組數據中出現次數最多的數據，注意眾數可以不只一個.

【詳解】解：將這組數據排序得：-2,2,2,4,6,7,

處在第3、4位兩個數的平均數為（4+2）+2=3,

故選：B.

【點睛】考查中位數的意義和求法，找一組數據的中位數需要將這組數據從小到大排列

后，處在中間位置的一個數或兩個數的平均數即為中位數.

4.如圖，AB=AD,NBAC=/ZMC=25。，"=80°,則NBCA的度數為（）

A.25°B.50°C.65°D.75°

【答案】D

【解析】

【分析】根據S4S證明△ABC絲△ADC,可得ND=N3=80°,根據三角形內角和定理

即可求得N3C4的度數.

【詳解】解：在ABC與△ADC中，

AB=AD

<ABAC=DAC,

ZAC=AC

AABC咨AADC,

ZD=ZB=80°,

ZBCA=180°-25°—80°=75°.

故選D.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定以及性質，三角形內角和定理，熟練掌握全等三角

形的性質與判定是解題的關鍵.

343a+2b

5.已知一二一,則

a-b

A.-17

【答案】A

【解析】

【分析】根據比例的性質，由3=3,得巴=2,則設@=2=左，得到。=3左,

ab3434

aIoit

b=4k,然后把a=3左，b=4k,代入“，中進行分式的運算即可.

34

【詳解】解：???一=:

a_b

3~4

設巴=）=k,得到。=3左，b=4k,

34

3a+2b3x3左+2x4左

二_______=______________=_17,

a-b3k-4k

故選：A.

【點睛】本題考查了比例的性質：常用的性質有內項之積等于外項之積；合比性質；分比

性質；合分比性質；等比性質.

6.如圖，在矩形A3CD中，兩條對角線AC與5。相交于點。，AB=6,04=4,貝U

AD的長為（）

隊-----------------

c.3#D.277

【答案】D

【解析】

【分析】利用矩形的性質可知對角線互相平分且NA5c=90°,再利用勾股定理求解即

可.

【詳解】解：在矩形A3CD中，

Q4=OC=4

:.AC=8

AB=6,ZABC=90°

BC=VAC2-AB2=幅-6=277

AD=3C=2s

故選D.

【點睛】本題主要考查矩形的性質及勾股定理，熟練掌握矩形的性質及勾股定理求直角邊

是解決本題的關鍵.

,4

7.如圖,在AABC中，ZC=90°,sinA.——,BC=12,則AC=()

5

A.3B.9C.10D.15

【答案】B

【解析】

【詳解】sinA=,

AB

BC12

.'.AB=sinA4=15,

5

在直角△ABC中,AC=7AB2-BC2=V152-122=9-

故選B.

8.某班級開展活動共花費2300元，但有4位同學因時間沖突缺席，若總費用由實際參加

的同學平均分攤，則每人比原來多支付4元，設原來有x人參加活動，由題意可列方程

（）

23002300,2300,2300

A.-------=-------+4B.-------+4=

x+4xx+4-----------x

23002300，2300，2300

C.-------=--------+4D.-------+4=-------

xx-4xx-4

【答案】D

【解析】

【分析】設原來有x人參加聚餐，則實際有（x-4）人參加聚餐，根據“總費用由實際參加

的同學平均分攤，則每人比原來多支付4元”，列出方程即可解答.

【詳解】解：設原來有x人參加聚餐，則實際有（x-4）人參加聚餐，

2300，2300

根據題意得,-------+4=-------

xx-4

故選：D.

【點睛】本題考查由實際問題抽象出分式方程，是重要考點，掌握相關知識是解題關鍵.

9.已知二次函數y=or2+bx+c（。刈）的圖象與x軸交于A（m,0）,B（w,0）兩點，已知

m+n—4,且-4SwW-2.圖象與y軸的正半軸交點在（0,3）與（0,4）之間（含端

3

點）.給出以下結論：①6芻W8；②對稱軸是直線x=2；③當a=--時，拋物線的開口最

32

大；④二次函數的最大值可取到6.其中正確結論的個數為（）個

【答案】C

【解析】

【分析】先根據帆+"=4可得〃=4-加，再根據2即可判斷①；根據二次函

m+n1

數的對稱軸是直線x==—即可判斷②；先求出——的取值范圍，再根據二次函數的圖

2mn

象與y軸的交點位置可得c的取值范圍，從而可得￡的取值范圍，然后根據二次函數與

mn

一元二次方程的聯系、一元二次方程的根與系數的關系可得加〃=￡,從而可得。的取值

a

范圍，最后根據拋物線的開口大小與〃的值的關系即可判斷③；先求出當％=2時，二次函

數取得最大值，最大值為Ta+c,再根據區(qū)。的取值范圍求出=k+c的取值范圍，由此

即可判斷④.

【詳解】解：由根+幾=4得：n=4-m,

-4<m<—2,

2<—m<4,

.\6<4—m<8,

/.6<zi<8,結論①正確；

,二次函數y=法+aiwo）的圖象與九軸交于A（祖,0）,5（〃0）兩點，且

=4,

「?此二次函數的對稱軸是直線x=------=2,結論②正確；

2

2<—m<4,6<n<8,

:A2<—mn<32,

——1<--1----<——1，

32mn12

；二次函數y^ax2+bx+c（a^0）的圖象與丁軸的正半軸交點在（。,3）與（0,4）之間（含

端點），

.-.3<c<4,

32mn3

1c3

<—<—<----,

3mn32

又「二次函數y=a?+"+。0）的圖象與犬軸交于A（m,0）,5（凡0）兩點，

〃是關于龍的一元二次方程a/+6％+c=0（aw0）的兩個實數根，

/.mn=—,

a

a——,

mn

13

——<a<----,

332

由二次函數圖象的開口向下得：a<0,

則。的值越大，拋物線的開口越大，

所以當。=時，拋物線的開口最小；當。=一盤時，拋物線的開口最大，結論③正確;

此二次函數的對稱軸是直線龍=2,

b

二當尤=2時，y=4a+2b+c為最大值，且----=2,

2a

最大值4a+2〃+c=4a-8a+c=Ta+c,

由—」得:12,4

—<-4a<—

332323

又?3<c<4,

3—?—4a+c?5一,

323

則二次函數的最大值-4〃+c不可取到6,結論④錯誤;

綜上，正確結論的個數為3個，

故選：C.

【點睛】本題考查了二次函數的圖象與性質、二次函數與一元二次方程的聯系、一元二次

方程的根與系數的關系等知識點，熟練掌握二次函數的圖象與性質是解題關鍵.

10.如圖，正方形A3CD中，E、尸分別為邊A。、0c上點，且AE=EC,過歹作

FHLBE,交AB于G,過H作A3于若AB=9,AE=3,則下列結論中：

①ZBGF=NCFB；②肥DH=EH+FH；③”4=?,其中結論正確的是()

AE5

A.只有①②B.只有①③C.只有②③D.①②③

【答案】D

【解析】

【分析】①根據NA8E的余角是/8GF和/4防，得至！根據SAS證明

△ABE”xCBF,得至IJ/AE2=NCF2,即可得到②將△。尸H繞點。順時針

旋轉90。，得到ADEN,證明N,E,X三點共線，根據夜次/=HN即可得到答案；③連接

EF,證明EF=42DE=672，BE=BF=3M，根據FH~=EF2-EH2=BF~—BH2求

出BH=亞~，根據sinNA8E=〃0=4￡求出即可得到答案.

5BHBE5

【詳解】①：正方形ABC。中，AB^BC=9,ZA=ZC=90°,且AE=CF=3,

/XABE經△CBF(SAS),

：.NCFB=/AEB,

\'FG±BE,

：.ZBHG=9Q°,

：.ZBGH+ZABE=90°,

ZAEB+ZABE=90°,

：.ZBGH=ZAEB,

:.ZBGF=NCFB,正確；

@"：AD=CD,AE=CF,

：.DE=DF,

將△DFH繞點D順時針旋轉90°,得到△OEM點F的對應點為點E,

則/H￡W=90°,ZDFH=ZDEN,DH=DN,FH=EN,

,：ZEDF+ZEHF=ISQ°,

:./DEH+/DFH==180°,

：./DEH+NDEN=180。,

：.N,E,"三點在同一條直線上，

AZN=ZDHN=^(180°-ZHDN)=45°,

72DH=HN=EH+EN=EH+FH,

:?①DH=EH+FH，正確；

③連接EF,

'：AD=CD=9,AE=CF=3,,

：.DE=DF=6,

:.EF=?DE=6

'?*BF=A/BC2+CF2=A/92+32=3&5，

???BE=3而，

設BH=x,則EH=BE-BH=3回-x，

FH2=EF2-EH2=BF2-BH2，

/.(672)2-(3710-x)2=(3710)2-x2,

.9AB即叫9V10

??x=----，即BH------，

55

VHMXAB,

HMAE

sinZABE=

IBH~BE

HM3

二9函一3M，

5

9

HM=-,

5

9

~AE~1~5

HM3

故=g正確.

~AE

...正確的結論為①②③，

故選D.

【點睛】本題綜合考查了正方形和三角形，解決問題的關鍵是添加輔助線，熟練掌握正方

形的邊角性質，三角形全等的判定定理和性質定理，勾股定理，旋轉的性質，銳角三角函

數定義.

二.填空題（共5小題，共15分）

11.分解因式：4%2-16=.

【答案】4（尤+2）（尤-2）

【解析】

【分析】先提公因式4,然后使用平方差公式因式分解即可.

【詳解】解：原式=4（x2-4）

=4（x+2）（x-2）.

【點睛】本題考查了提公因式法和公式法，熟練掌握平方差公式。2/2=Q+b）（a-b）是解

題的關鍵.

12.若x=l是方程無2—2x+a=0的根，則。=.

【答案】1

【解析】

【分析】本題根據一元二次方程的根的定義，把X=1代入方程得到a的值.

【詳解】把x=l代入方程必—2x+a=0，得l-2+a=O,

解得a-1,

故答案為：1.

【點睛】本題考查的是一元二次方程的根即方程的解的定義，一元二次方程的根就是一元

二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數的值.

13.人字梯為現代家庭常用的工具.如圖，若AB，AC的長都為2.5m,當。=55。時，

人字梯頂端離地面的高度A。為m.(參考數據：sin55°~0.82,

cos55°?0.57,tan55°?1.4)

【答案】2.05

【解析】

【分析】RtZXAOC中，求出A。即可.

【詳解】解：'：AB=AC=2.5m,AD±BC,

：.ZADC=9QQ,

.*.AO=AC.sin55°=2.5X0.82^2.05(m),

故答案為2.05.

【點睛】本題考查解直角三角形的應用，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決

問題.

14.已知實數b滿足>/^1+忸+3|=0,若關于x的一元二次方程為2+公+人=0的兩個

實數根分別為占、X],則%%-石多的值為一

【答案】1

【解析】

【分析】根據非負數的性質得出4=2,6=-3,根據根與系數的關系可得%+%=-2,

西?=-3,整體代入即可求得.

【詳解】解：\Ja-2+|i>+3|=0,

2=0,Z?+3=0,

，a=2,b=—3,

?關于X的一元二次方程％2+女+6=()的兩個實數根分別為玉、%，

\+x2=—a=—2,xl-X2=b=—3,

芯+w-=-2-(—3)=-2+3—1,

故答案為：1.

【點睛】本題考查了非負數的性質以及一元二次方程q2+樂+c=0(aw0)的根與系數

的關系，解決本題的關鍵是熟練掌握一元二次方程根與系數的關系.

15.如圖，在RtZkABC中，ZACB=90°,AB=?BC=2,以點A為圓心，AC長

為半徑畫弧，交A3于點。，交AC于點C,以點B為圓心，AC長為半徑畫弧，交AB

于點E,交于點孔則圖中陰影部分面積為.

【答案】1----##-------H1

44

【解析】

【分析】設N8=廢，則NA=90。—〃。，先利用勾股定理求出AC=1,再求出

=1，最后根據§陰影=S”8c-S扇形A。一S扇形的進行求解即可?

【詳解】解：設N5=〃。，則NA=90。一〃。，

在中，由勾股定理得AC={AB?—5c2=i,

S.ABC=—AC-BC=1,

由題意得，BF=BE=AC=AD=1,

S陰影=SAABC-S扇形AC?―S扇形BEF

_1H7TXl2(9O-H)^X12

—360360

=1--,

4

77

故答案為：1-丁

【點睛】本題主要考查了求不規(guī)則圖形面積，勾股定理，熟知扇形面積公式是解題的關

鍵.

三.解答題(共4小題，滿分55分)

1jr

16.先化簡，再求值：(1-----)+——，其中x=l—J5

x+1x~-\

【答案】X-l,-y/2

【解析】

【分析】將括號里通分，除法化為乘法，因式分解，約分，再代值計算即可.

【詳解】解：原式=--——-A_L

V-X+lx+1Jx

x(x+l)(x—1)

=----?----------

x+1X

=x-l

當％=1—y/2,時,原式=1—y/2—1=—A/2.

【點睛】本題考查了分式化簡求值，解答此題的關鍵是把分式化到最簡，然后代值計算.

17.如圖，有四張背面相同的紙牌AB、C、D,其正面分別畫有四個不同的幾何圖形,

將這四張紙牌背面朝上洗勻后放在桌面上.

正三角形圓H第四正五邊形

(I)小紅從中隨機摸出一張，求摸出的牌面圖形是中心對稱圖形的概率；

(2)小明從這四張紙牌中隨機摸出兩張，用樹狀圖或表格法，求摸出的兩張牌面圖形都是

中心對稱圖形的概率.

【答案】(1)!

⑵-

6

【解析】

【分析】(1)先根據中心對稱圖形的定義判斷四個圖形是否是中心對稱圖形，再根據概率計

算公式求解即可；

(2)先列出表格得到所有等可能性的結果數，再找到符合題意的結果數，最后根據概率計

算公式求解即可.

【小問1詳解】

解：正三角形不是中心對稱圖形；圓是中心對稱圖形；平行四邊形是中心對稱圖形；正五

邊形不是中心對稱圖形；

...四個圖形中有兩個圖形是中心對稱圖形，

21

，小紅從中隨機摸出一張，摸出的牌面圖形是中心對稱圖形的概率為一=—；

42

【小問2詳解】

解：列表如下：

ABCD

A(B,A)(C,A)(D,A)

B(.A,B)(C,B)CD,B)

C(A,C)(B,C)(D,C)

D(A,D)QB,D)(C,D)

由表格可知一共有12種等可能性的結果數，其中摸出的兩張牌面圖形都是中心對稱圖形的

結果數有2種，

.?.摸出的兩張牌面圖形都是中心對稱圖形的概率為工=工.

126

【點睛】本題主要考查了簡單的概率計算，樹狀圖法或列表法求解概率，中心對稱圖形的

識別，靈活運用所學知識是解題的關鍵.

18.某中學九年級學生開展測量物體高度的實踐活動，他們要測量學校一幢教學樓的高度,

如圖，他們先在點C測得教學樓A3的頂點A的仰角為30。，然后向教學樓前進20米到達

點。，又測得點A的仰角為45°,請根據這些數據，求這幢教學樓的高度.（最后結果精確

到1米，參考數據正。1.414,石。1.732）

呂

口

□

□

□

□

CDB

【答案】27米

【解析】

【分析】首先根據題意分析圖形；本題涉及到兩個直角三角形，應利用其公共邊A3及

CD=3C-a>=60構造方程關系式，進而可解，即可求出答案.

【詳解】解：由已知，可得：ZACB=30°,ZADB=45°,

..在中，BD=AB-

又在中,

AB

tan30°=

BC-T

----=——，即BC-y[?>AB-

BC3

BC=CD+BD,

欄AB=CD+AB，

即(6-l)AB=20,

AB=10(豆+1卜27米.

答：教學樓的高度為27米.

【點睛】本題考查了仰角與俯角一解直角三角形的應用，要求學生能借助仰角構造直角三

角形，并結合圖形利用三角函數解直角三角形.

19.如圖，在矩形ABCD中，E是BC邊上的點，AE=BC,DF±AE,垂足為F,連接

DE.

（1）求證：AB=DF：

（2）若AD=10,AB=6,求tan/EDF的值.

AD

ra

BEC

【答案】（1）詳見解析；（2）-

3

【解析】

【分析】（1）由矩形性質得到/B=NDFA,AE=BC,AD=BC,證得△AEB絲ZvDAF；

（2）由（1）可知：DF=AB=6,AE=AD=10.在RSAFD中,求出AF和EF.

【詳解】（1）證明：在矩形ABCD中，AD=BC,AD〃BC,ZB=90°.

?「AD〃BC,

:?ZBEA=ZFAD

VDF±AE,

AZDFA=90°

???NB=NDFA

VAE=BC,AD=BC,

AAE=AD

AAAEB^ADAF

AAB=DF

(2)解：由(1)可知：AB=DF=6,AE=AD=10.

在RtAAFD中，ZDFA=90°，

AF=VAD2-DF2=A/102-62=8

.*.EF=AE-AF=10-8=2

在RtADFE中,ZDFE=90°

EF21

tanZEDF=-----=—=—

DF63

【點睛】矩形性質，求正切.

20.某中學為豐富學生的校園生活，準備從友誼體育用品商店一次性購買若干個足球和籃

球（每個足球的價格相同、每個籃球的價格相同），若購買3個籃球和2個足球共需420

元；購買2個籃球和4個足球共需440元.

（1）購買一個籃球、一個足球各需多少元？

（2）根據該中學的實際情況，需要從該體育用品商店一次性購買足球和籃球共20個.要

求購買籃球數不少于足球數的2倍，總費用不超過1840元，那么這所中學有哪幾種購買方

案？哪種方案所需費用最少？

【答案】（1）：購買一個籃球需要100元，一個足球需要60元；（2）有三種方案，其中購買

籃球14個，足球6個所需費用最少.

【解析】

【分析】（1）設每個籃球x元，每個足球y元，根據購買3個籃球和2個足球共需420

元；購買2個籃球和4個足球共需440元，可得出方程組，解出即可；

（2）設購買籃球y個，則購買足球（20-y）個，由購買籃球數不少于足球數的2倍，總

費用不超過1840元，可得出不等式組，解出即可.

3x+2y=420

【詳解】（1）設每個籃球x元，每個足球y元，由題意，得：｛./，，八，解得：

2x+4y=440

卜=100

[y=60,

答：購買一個籃球需要100元，一個足球需要60元.

（2）設購買籃球y個，則購買足球（20-y）個，由題意,

y>2（20-y）

得.（

100y+60（20-y）<1840

A，40

解得：—

,?》為整數，，有3種方案:

①購買籃球14個，足球6個；

②購買籃球15個，足球5個；

③購買籃球16個，足球4個.

???籃球較貴一些，...方案①所需費用最低.

【點睛】本題主要考查了一元一次不等式組的應用及二元一次方程組的應用知識點.

21.如圖1,已知拋物線y=ax?+bx+c(a^O)與x軸交于A(-1,0)、B(4,0)兩點，與

y軸交于點C(0,2),點P是拋物線上的一個動點，過點P作PQ_Lx軸，垂足為Q,交直

線BC于點D.

(1)求該拋物線的函數表達式;

(2)若以P、D、0、C為頂點的四邊形是平行四邊形，求點Q的坐標；

(3)如圖2,當點P位于直線BC上方的拋物線上時，過點P作PELBC于點E,設APDE

的面積為S,求當S取得最大值時點P的坐標，并求S的最大值.

【答案】(1)y=-1x2+-x+2；(2)Q點坐標為(2,0)或(2+2上，0)或(2-20,0)；

z2

4

(3)當P為(2,3)時，S有最大值，最大值為=1.

【解析】

【分析】(1)把A、B、C三點的坐標代入可求得a、b、c的值，可得出函數表達式;

(2)可先求得BC的解析式，設出Q點坐標，可表示出D點坐標和P點坐標，可表示出

PD的長，由條件可得PD=OC=2,可求得P點坐標，則可得Q點的坐標；

(3)可設出P的坐標，由PQ〃OC可表示出DQ、BD,由APEDS^BQD可表示出PE和

DE,則可表示出S,再結合P在直線BC上方，可求得S的最大值，可求得P點的坐標.

【詳解】(1),??二次函數與x軸交于A(-1,0)、B(4,0)兩點，與y軸交于點

C(0,2),

1

a=——

〃—b+c=02

??3

?代入二次函數解析式可得(16〃+46+。=。，得b7=—

2

c=2

c=2

2

，二次函數表達式為y=-1x+-x+2;

~2

(2)設直線BC解析式為y=kx+b,

VB(4,0),C(0,2),

4k+b=0

代入可得《

b=2

解得,女——5,

b=2

直線BC解析式為y=-1x+2,

設Q坐標為（m,0）,則可知D點坐標為（m,-《m+2）,

又二,P點在拋物線上，

3

；.P點坐標為（m,-^-m2+—m+2）,

22

當P、D、O、C為頂點的四邊形為平行四邊形時，則有PD=OC=2,

3

即|」m2+—m+2-（-m+2）|=2,iP|-7rm2+2m|=2,

2222

當-lm2+2m=2時，解得m=2,則Q坐標為（2,0）,

當-gin2+2m=-2時，解得m=2±2行，則Q坐標為（2+后，0）或（2-72-0）,

綜上可知Q點坐標為（2,0）或（2+2&,0）或（2-20）；

（3）設Q點坐標為（n,0）,由（2）可知D為（n,-；n+2）,P點坐標為（n,-；n2+—

222

n+2）,

PD=-\n2+2n=yn（4-n）,DQ=-；n+2,

又：OB=4,

；.BQ=4-n,

在R3OBC中，OC=2,OB=4,由勾股定理可求得BC=2J?,

VOQ/7OC,

.BDBQBD4-n出(4—n)

即寸==，解得BD=4——

"BC~OB2V542

VPE1BC,PQXQB,

.?.ZPED=ZBQD=90°,且/PDE=/BDQ,

.,.△PEDS/XBQD,

PEDEPD5"（4—〃）

?____________-_n_

"BQ^DQ~BD~&4-n1~小，

2

PEDEn

即4f」〃+2&

2

n（4-n）〃/1八、

解得PE=下,DE=-^（--?+2）,

iin（4-n）n1-、1

z22

.*.S=^PE?DE=^x——點一x-（=（——n+2）=——（-n+4n）,

22非非220

令t=-n2+4n=-（n-2）2+4,

：P在直線BC上方，

.?.0<n<4,

.'.0<t<4,且當n=2時，t有最大值4,

此時P點坐標為（2,3）,

14

當t=4時，Smax=——X42=—，

205

4

綜上可知當P為（2,3）時，S有最大值，最大值為=二.

【點睛】本題主要考查待定系數法求函數解析式及平行四邊形的性質、平行線分線段成比

例和相似三角形的判定和性質.在（1）中注意待定系數法應用的關鍵是點的坐標，在

（2）中用Q的坐標表示出PD的長度，得到關于Q點坐標的方程是解題的關鍵，在（3）

中用Q點的坐標表示出PE、DE的長度是解題的關鍵.本題知識點多，計算量大，難度較

大.

22.綜合與實踐，問題情境：數學活動課上，老師出示了一個問題：如圖①，在YABCD

中，BE±AD，垂足為E,F為CD中點，連接EF,BF，試猜想石尸與正的數

量關系，并加以證明；

獨立思考：（1）請解答老師提出的問題；

實踐探究：（2）希望小組受此問題的啟發(fā)，將YABCD沿著正（尸為CD的中點）所

在直線折疊，如圖②，點。的對應點為C',連接。。并延長交A5于點G,請判斷AG

與8G的數量關系，并加以證明；

問題解決：（3）智慧小組突發(fā)奇想，將YABCD沿過點B的直線折疊，如圖③，點A的對

應點為4,使45LCD于點H,折痕交A。于點連接A'〃，交CD于點N.該

小組提出一個問題：若此YABCD的面積為20,邊長A3=5,BC=2日求圖中陰影

部分（