2024屆向明中學高考三模數(shù)學測試試卷

1.已知集合A={1,2,3,4},6={目-則從介6=.

2.現(xiàn)有一組數(shù)1,1,2,2,3,5,6,7,9,9,則該組數(shù)的第25百分位數(shù)為.

3.曲線y=d-4冗在點(-1,3)處的切線傾斜角為.

4.若工],cos(9=-,則COS(8+N]=

I2；3I2)

(1\io

5.x—『的展開式中X的系數(shù)為__________(用數(shù)字表示).

k<X/

6.已知X,y是兩個具有線性相關(guān)的兩個變量，其取值如下表：

X12345

y4a1.9b11

其回歸方程為〉二21+1,則。+6=.

7.已知雙曲線。：二一丁=1的左右焦點分別為過工的直線交雙曲線C于4,B兩點,若的

4

周長為20,則線段48的長為.

8.RtA45c中，A=90°,AB=2,。為上一點，BD=2DC,則.

9.已知關(guān)于1的一元二次方程/+履+k2-2攵=0有兩個虛根石,々，且不；+考=3,則實數(shù)人的值為

10.某次數(shù)學考試中，學生成績X服從正態(tài)分布(105,52).若尸(904X?120)=g,則從參加這次考試的學

生中任意選取3名學生，至少有2名學生的成績高于120的概率是.

11.已知/(x)=x-2,^(x)=2ex+m,若f(a)=g(b),且左一人的最小值為3,則實數(shù)〃z的值為

a

12.已如平面向量a1，a2,%，4，5?4兩兩都不共線?若聞=|《-4+i|=L

4,《+；=*k，4+i|(i€{1,2,3,4,5}),則q.(4+%+包+as+6)的最大值是.

二、單選題

13.設(shè)。＞0且。工1,則“函數(shù)/(%)=〃在R上是減函數(shù)”是“函數(shù)以幻=(2-。)尢3在R上是增函數(shù)”的

1

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充分必要條件D.非充分必要條件

14.直線("+1)%-2做+1=0的傾斜角的取值范圍是()

八九］c「兀兀1-「兀3兀］r「八兀1|「3兀1

A.0,—B.一,—C.一,—D.0,一」—,兀

L4」|_42」|_44」L4jL4)

15.已知數(shù)列｛0｝是以I為首項，2為公差的等差數(shù)列，｛2｝是以I為首項，2為公比的等比數(shù)列，設(shè)3=%，

Tn=c,+c2++c“(〃wN”)，則當7；<2020時，〃的最大值是()

A.8B.9C.10D.11

16.如圖，點尸是棱長為2的正方體4旦GQ表面上的一個動點，直線AP與平面A8C。所成的角

為45。，則點尸的軌跡長度為()

A.4缶B.7C+4&C.2JJD.30+71

三、解答題

17.A/18C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,已知sin(A+C)=8sin2..

2

(1)求cosB：

(2)若a+c=6,AABC面積為2,求民

18如.圖，已知四棱錐P—A8CD中，底面ABCO是邊長為2的菱形，ZABt7=60°,H4_L底面4BCD,

24=2,點E是PC的中點.

BC

(1)求證：DC〃面ABE：

(2)求OC到平面A8石的距離.

19.為研究某校學生數(shù)學成績與語文成績的美系，采取有放回的簡單隨機抽樣,從學校抽取樣本容量為200的

2

樣本，將所得數(shù)學成績與語文成績的樣本觀測數(shù)據(jù)整理如下:

語文成績

合計

優(yōu)秀不優(yōu)秀

優(yōu)秀503080

數(shù)學

成績

不優(yōu)秀4080120

合計90110200

(1)根據(jù)a=0.010的獨立性檢驗，能否認為數(shù)學成績與語文成績有關(guān)聯(lián)？

(2)在人工智能中常用L(8|A)坐”!表示在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的優(yōu)勢，在統(tǒng)計中稱為似

P(B\M

然比.現(xiàn)從該校學生中任選一人，A表示“選到的學生語文成績不優(yōu)秀”，8表示“選到的學生數(shù)學成績不優(yōu)秀”

請利用樣本數(shù)據(jù)，估計L(8|A)的值.

(3)現(xiàn)從數(shù)學成績優(yōu)秀的樣本中，按分層抽樣的方法選出8人組成一個小組，從抽取的8人里再隨機抽取3

人參加數(shù)學競賽，求這3人中，語文成績優(yōu)秀的人數(shù)X的概率分布列及數(shù)學期望.

n(ad-be)

附：r=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.0500.0100.001

%3.8416.63510.828

x2y2

20.已知橢圓C:±+J=l(0<Z?<2),設(shè)過點A(l,0)的直線/交橢圓C于M,N兩點，交直線x=4于點P,

4b-

(2)若14Ml之1,求〃的取值范圍;

3

(3)若b=l,記直線EM,EN,￡尸的斜率分別為占，k2,k、,問是否存在人，k、,心的某種排列心，"

%(其中由國,8={123},使得的，12,能成等差數(shù)列或等比數(shù)列？若存在，寫出結(jié)論，并加以證明;

若不存在，說明理由.

21.設(shè)尸是坐標平面xOy上的一點，曲線「是函數(shù)y=/(x)的圖象.若過點P恰能作曲線「的攵條切線

(keN),則稱尸是函數(shù)y=/(x)的“2度點”.

(1)判斷點。(0,0)與點4(2,0)是否為函數(shù)y=lnx的1度點，不需要說明理由：

(2)已知0<根<兀，8(%)=5足1.證明：點以0,兀)是丁=8(1)(0<]<加)的0度點；

(3)求函數(shù)3二丁一工的全體2度點構(gòu)成的集合.

2024屆向明中學高考三模數(shù)學測試試卷參考答案

1.【答案】{1,2}

【解析】由集合A={1,2,3,4},B={x|-l<x<3},則408={1,2}.

2.【答案】2

【解析】由題設(shè)，數(shù)據(jù)集(從小到大排列)中共有10個數(shù)據(jù)，貝iJ10x25%=25,所以該組數(shù)的第25百分位

數(shù)為第三個數(shù)2.

3

3.【答案】-7t

4

【解析】由題意得/(x)=3f-4,所以廣(一1)=一1,即在點(一1,3)處的切線的斜率為&=-1,所以切線

的傾斜角為空.

4

4」答案一半

【解析】0e0,—,cos^=—,/.sin^=.|l--1,/.cos6一二］=-sin，=-2應.

I2；3丫⑶3I2)3

5.【答案】210

10--r

【解析】的通項為C；O(—1)“MHV—(—I)”2

4

3

^10-1r=l=>r=6,所以展開式中x的系數(shù)為C；O（-1）6=21O.

6.【答案】11

所以，必有"+"24=7,故。+8=11.

5

7.【答案】6或四

41

2

【解析】C:--/=1,a2=4,從=1,02=4+1=5,

易得雙曲線的實軸長2a=4,焦距2c=2君.

若A,8都在右支上，則|4用=卜閭+4,怛制=怛閭+4,

△A"；的周長|AB|+|M|+忸用=AB|+|A閭+|%|+8=2|AB|+8=20,|AB|=6；

否則，不妨設(shè)是如圖的情況：

|做|+忸制+|AB|=|伍卜2+忸閶+2+|伍|一|%|=2|然|=20,

所以|隹|=10,所以1A周=10—4=6,

設(shè)IABM則忸閭=10T,|%|=10T+4=14T,

62+102-(2>/5)262+r2-(14-r)

由余弦定理得cosA二

2x6x102x6xf

4

8.【答案】一

3

【解析】作OE7/4C交AB于E,

如圖，則DEJ_AB,

5

又BD=2DC,則CO=1cB,因此

33

ADAB=\AB\\AD|cosNZMB=|痛AM=』|A8|2二3

9.【答案】3

/Ar\2QOO

【解析】由/+6+公一2Z=0,得X+士=2k--k2,依題意，2k—3k2c即2<0或%>2,解

I2）443

得X[=—專+J；/-2ki,Z=—（■-_2ki.,而x；+工；=3,即

22

--+J-k-2ki]+（二一色2一2/]=^l_2x（-k-2/c]=3,整理得火2+44—3=0,解得

I2V4JV2V4J214）

k=3或k=l（舍），故k=3,所以實數(shù)上的值為3.

10.【答案】—

32

【解析】因?qū)W生成績符合正態(tài)分布N（105,62）,故尸（X>120）」-.（90：X?120）=：,故任意選取3

120的概率為。=4；）?：?（；）=4.

女學生，至少有2名學生的成績高于

11.【答案】-l-ln2

【解析】因為/（a）=gS）,所以。一2=2e〃+m,所以2。一人=2（2+2芭一人,

設(shè)〃S）=4+2/n+4e"-人，所以〃'（b）=4e'-1,令力'（力）=0,則Z?=ln!,

4

所以當b＞ln，時，〃（力＞0時，即6＜小!，〃（加＜0,

44

所以8=ln，時，/?S）取極小值，即由〃S）min="hnL〕=5+ln4+2m=3,

4I4；

解得m=-l-ln2.

6

12.【答案】-

2

【解析】由題意得，固定《=。4,依次類推畫出圖象，如圖所示

4?(出+。3+%+生+。6)的最大值即所有向量在0＜上的投影之和最大時，看圖易得即當C取遠離。時，E

取靠近。時取得最大值,

q?(生+4+%+%+a6)?|+l+0-g3_1

2~2

13.【答案】A

【解析】若函數(shù)/。)=屋在寵上是減函數(shù)，則0＜4＜1,

若函數(shù)ga)=(2-4)V在R上是增函數(shù)，則2-?！?,又?！?且。工1,所以0＜。＜2且。工1,

因為集合(0,1)真包含于集合(0,1)(1,2)

所以“函數(shù)/(尢)=。、在R上是減函數(shù)”是“函數(shù)g(x)=(2-a)d在R上是增函數(shù)”的充分非必要條件.

故選：A

14.【答案】C

【解析】由題意知，若〃=0,則傾斜角為"百

2

什nnd?a2+\a1

右則％=-----=—+—

2a22a

=1時，取“二”),

(當且僅當。=一1時，取“二")，(-00,-1]U[l,+00)?

綜上，0G—-,故選：C.

44

15.【答案】B

7

【解析】???{%}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，.?.(=2〃—1.

???{b,J是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，「也=2"，

=。+c?+…+c*仇+?-?+，%=4+4+4+…+

-,

=(2x1-1)+(2x2-1)+(2x4-1)+---4-(2X2M-1)=2(1+2+4+-.+2M-,)-/1=2xy^--n

=2"j—2.

+,

v7；,<2020,/.2N-H-2<2020,解得9.則當7；<2020時，〃的最大值是9.

故選：B.

16.【答案】B

【解析】若點尸在正方形AQG。內(nèi)，

過點「作PPJ_平面43co于P,連接AP,A}P.

則ZPAP為直線AP與平面ABCD所成的角，則NB4P=45。，

又PP=2,則PA=2&,則產(chǎn)4=2，

則點P的軌跡為以A為圓心半徑為2的圓(落在正方形內(nèi)的部分)，

若點P在正方形A4AB內(nèi)或AAAO內(nèi)，軌跡分別為線段A81，AD.,

因為點P不可能落在其他三個正方形內(nèi)，

所以點P的軌跡長度為2x工+2陵+20=兀+4忘.

2

故選：A

17.

【答案】(1)—;(2)2.

17

【解析】(1)sin(A+C)=8sin2—1/.sinfi=4(l-cos^),sin25+cos2B=1,

2

,’15

16(1-cosBy+cos2B=1,/.(17cosB-15)(cosB-1)=0,cosB=一；

17

8

Q

(2)由(1)可知sinB=—

17

17

???弘k=5。八而3二2，.

T

1715

:.b2=a2+c2-26(ccosB=a2+c2-2x—x—=612+c2-15=(?+c)2-2^c-15=36-17-15=4,

:.b=2.

18.【答案】（1）見解析；（2）

【解析】（1）由底面488是菱形，可得CD//AB,

又ABu面ABE,DCU面ABE,故DC〃面ABE；

（2）由（1）知。C〃面A8E,故OC到平面A%:的距離即點C到平面ABE的距離，設(shè)為d,連接4E,

AC,取AC中點/，連接BF,EF,

易得EF//PA且EF=LPA=1,則即_L底面ABC。，

2

又ZA8c=60。，則4C=2,BD=26

又BF=>BD=BAF=-AC=\,

22

故BE=VBF2+EF2=2,AE=>/AF2+EF2=血,

又cos/的二的+3-6=4+2.也,

2BEAE2x2xV24

55￡=白2><@呼=冬

2向

xEF=-xSgBExd,解得d=

4—7

即DC到平面ABE的距離為土」.

7

9

Q15

19.【答案】（1）認為數(shù)學成績與語文成績芍關(guān)；（2）§；（3）分布列見解析，E[X]=?

38

【解析】（1）零假設(shè)“0：數(shù)學成績與語文成績無關(guān).

據(jù)表中數(shù)據(jù)計算得：/=200x(50-80-30x40)-.[5.498>6.635

90x110x120x80

根據(jù)小概率值。=0.010的/的獨立性檢驗，我們推斷，0不成立，而認為數(shù)學成績與語文成績有關(guān);

P（AB）

V17尸（即4）PI」P（AB）n（AB）303

P（A）

Q

估計L（3|A）的值為1;

（3）按分層抽樣，語文成績優(yōu)秀的5人，語文成績不優(yōu)秀的3人，隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,

3.

P（X=0）=^=—,P（X=1）=罵之巴

C；56C：56

CC3015C[W_5_

P(X=2)=-^====

5628C[-56-28,

,0123、

「.X的概率分布列為:115155

<56562828;

數(shù)學期望E[X]=0x-!-+lx￡+2x"+3x』=^二".

L」56562828568

20.【答案】（1）>/3；（2）[>/2,2）；（3）人,與，網(wǎng)或女2，與，匕成等差數(shù)列.

【解析】（I）由題意知，?2=4,故。=2,

1I------

又離心率6=上r=上，故C=l,于是人="?一。2=6.

a2

22

（2）設(shè)點其中3+今=1,-2?為（2且用工1,

則|AM|二T『+y：=Ja_ip+《]_曰=J。一9百2一2玉+/+1,

由IAAf色1,得(l_g_x；_2玉+從=(%—2)J"—g"20，

io

,2

b22b2

X）<2,0</?<2,-2<0,1-->0,1—^iLXy_￡<3oU,??天rS<

4P24—/'

只需2G衛(wèi)「■,又0＜人＜2,故血Wb＜2,

4-b~

所以b的取值范圍是［夜,2）.

（2）k「八，kz或右,自，占成等差數(shù)列，證明如下:

若8=1,則C:2-+y2=i,設(shè)點E（1"）,，工0.

4.

①若直線/斜率為0,則點P（4,0）,不妨令點M（2,0）,N（—2,0）,

則占=T,&=￡，自=一］，此時占，h,&的任意排列的，Q,心均不成等比數(shù)列，占，女3，&或

&,4,勺成等差數(shù)列.

②直線/斜率不為0,設(shè)直線/:工=沖+1（加工0）,N（w，M），則點P（4,\

x=my+\

由,d2得（62+4）y2+2my—3=0A=16（/n2+3）>0,

彳+y=1

—2m—3

故y+%=%%="T77

w2+4m~+4

2_

加一137而

因為K二?三y2Tk_

為一

1x2—\33tn

所以「右=叢二+上￡=江￡+江￡

%1-1x2-1mylmy2

二必（》7）+乂（%一）=2y%—《y+%）

啊丫2沖跖

-62mt

二加2+彳+加？+4=6-2mt=兼,

一3加3m

,

m~+4A

所以占,k3,&或22，卜3,占成等差數(shù)列，

綜合上述，k］,k3,&或玲，%,匕成等差數(shù)列.

11

21.【答案】(1)。(0,0)是函數(shù)y=lnx的一個1度點；4(2,0)不是函數(shù)y=Inx的1度點

(2)見解析；(3){(。乃)憐=一。或人=。。一W。}

【解析】(1)設(shè)，>0,則曲線y=ln%在點”/nr)處的切線方程為y-lnr='(xT).

z

則該切線過點。當且僅當一hU=-l,即，=e.故原點。是函數(shù)y=lnx的一個1度點，

該切線過點A(2,0),故一lnf=l(2-Q,

t

令w(/)=Hnf—1+2,則M(f)=l+hu—l=hw,令,(1)>0得/>1,令w'(1)v0得0</<1,

故卬(t)=thV—/+2在(l,+oo)上