空間點(diǎn)、直線、平面間的位置關(guān)系[知識(shí)能否憶起]一、平面的基本性質(zhì)名稱圖示文字表示符號(hào)表示公理1如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α公理2過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面公理3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l二、空間直線的位置關(guān)系1．位置關(guān)系的分類eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；,平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；)),異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn).))2．平行公理平行于同一條直線的兩條直線互相平行．3．等角定理空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．4．異面直線所成的角(或夾角)(1)定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間中任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角．(2)范圍：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).三、直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖示符號(hào)表示公共點(diǎn)個(gè)數(shù)直線l在平面α內(nèi)l?α無(wú)數(shù)個(gè)直線l與平面α相交l∩α＝A一個(gè)直線l與平面α平行l(wèi)∥α0個(gè)四、平面與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖示符號(hào)表示公共點(diǎn)個(gè)數(shù)兩個(gè)平面平行α∥β0個(gè)兩個(gè)平面相交α∩β＝l無(wú)數(shù)個(gè)(這些公共點(diǎn)均在交線l上)[小題能否全取]1．(教材習(xí)題改編)已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b()A．異面 B．相交C．不可能平行 D．不可能相交解析：選C由已知直線c與b可能為異面直線也可能為相交直線，但不可能為平行直線，若b∥c，則a∥b.與a，b是異面直線相矛盾．2．(2012·東北三校聯(lián)考)下列命題正確的個(gè)數(shù)為()①經(jīng)過三點(diǎn)確定一個(gè)平面；②梯形可以確定一個(gè)平面；③兩兩相交的三條直線最多可以確定三個(gè)平面；④如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合．A．0 B．1C．2 D．3解析：選C①④錯(cuò)誤，②③正確．3．已知空間中有三條線段AB，BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直線AB與CD的位置關(guān)系是()A．AB∥CDB．AB與CD異面C．AB與CD相交D．AB∥CD或AB與CD異面或AB與CD相交解析：選D若三條線段共面，如果AB，BC，CD構(gòu)成等腰三角形，則直線AB與CD相交，否則直線AB與CD平行；若不共面，則直線AB與CD是異面直線．4．(教材習(xí)題改編)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，則異面直線B1C與EF所成的角的大小為________．解析：連接B1D1，D1C，則B1D1∥EF，故∠D1B1C為所求，又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°.答案：60°5．(教材習(xí)題改編)平行六面體ABCD－A1B1C1D1中既與AB共面又與CC1共面的棱的條數(shù)為________．解析：如圖，與AB和CC1都相交的棱有BC；與AB相交且與CC1平行的棱有AA1，BB1；與AB平行且與CC1相交的棱有CD，C1D1，故符合條件的棱共有5條．答案：51.三個(gè)公理的作用(1)公理1的作用：①檢驗(yàn)平面；②判斷直線在平面內(nèi)；③由直線在平面內(nèi)判斷直線上的點(diǎn)在平面內(nèi)．(2)公理2的作用：確定平面的依據(jù)，它提供了把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的條件．(3)公理3的作用：①判定兩平面相交；②作兩相交平面的交線；③證明多點(diǎn)共線．2．異面直線的有關(guān)問題(1)判定方法：①反證法；②利用結(jié)論即過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不過該點(diǎn)的直線是異面直線，如圖．(2)所成的角的求法：平移法．平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用典題導(dǎo)入[例1](2012·湘潭模擬)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為A1A的中點(diǎn)，求證：CE，D1F，DA三線共點(diǎn)．[自主解答]∵EF綊eq\f(1,2)CD1，∴直線D1F和CE必相交．設(shè)D1F∩CE＝P，∵P∈D1F且D1F?平面AA1D1D，∴P∈平面AA1D1D.又P∈EC且CE?平面ABCD，∴P∈平面ABCD，即P是平面ABCD與平面AA1D1D的公共點(diǎn)．而平面ABCD∩平面AA1D1D＝AD.∴P∈AD.∴CE、D1F、DA三線共點(diǎn)．本例條件不變?cè)囎C明E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面．證明：∵E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點(diǎn)，∴EF綊eq\f(1,2)A1B.又A1D1綊B1C1綊BC.∴四邊形A1D1CB為平行四邊形．∴A1B∥CD1，從而EF∥CD1.∴EF與CD1確定一個(gè)平面．∴E，C1，F(xiàn)，D四點(diǎn)共面．由題悟法1．證明線共點(diǎn)問題常用的方法是：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證交點(diǎn)在第三條直線上．2．證明點(diǎn)或線共面問題一般有以下兩種途徑：①首先由所給條件中的部分線(或點(diǎn))確定一個(gè)平面，然后再證其余線(或點(diǎn))均在這個(gè)平面內(nèi)；②將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證平面重合．以題試法1．(1)(2012·江西模擬)在空間中，下列命題正確的是()A．對(duì)邊相等的四邊形一定是平面圖形B．四邊相等的四邊形一定是平面圖形C．有一組對(duì)邊平行的四邊形一定是平面圖形D．有一組對(duì)角相等的四邊形一定是平面圖形(2)對(duì)于四面體ABCD，下列命題正確的是________(寫出所有正確命題的編號(hào))．①相對(duì)棱AB與CD所在直線異面；②由頂點(diǎn)A作四面體的高，其垂足是△BCD三條高線的交點(diǎn)；③若分別作△ABC和△ABD的邊AB上的高，則這兩條高所在的直線異面；④分別作三組相對(duì)棱中點(diǎn)的連線，所得的三條線段相交于一點(diǎn)．解析：(1)由“兩平行直線確定一個(gè)平面”知C正確．(2)由四面體的概念可知，AB與CD所在的直線為異面直線，故①正確；由頂點(diǎn)A作四面體的高，只有當(dāng)四面體ABCD的對(duì)棱互相垂直時(shí)，其垂足是△BCD的三條高線的交點(diǎn)，故②錯(cuò)誤；當(dāng)DA＝DB，CA＝CB時(shí)，這兩條高線共面，故③錯(cuò)誤；設(shè)AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)依次為E，F(xiàn)，M，N，易證四邊形EFMN為平行四邊形，所以EM與FN相交于一點(diǎn)，易證另一組對(duì)棱中點(diǎn)的連線也過它們的交點(diǎn)，故④正確．答案：(1)C(2)①④異面直線的判定典題導(dǎo)入[例2](2012·金華模擬)在圖中，G，N，M，H分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有________．(填上所有正確答案的序號(hào))[自主解答]圖①中，直線GH∥MN；圖②中，G，H，N三點(diǎn)共面，但M?面GHN，因此直線GH與MN異面；圖③中，連接MG，GM∥HN，因此GH與MN共面；圖④中，G，M，N共面，但H?面GMN，因此GH與MN異面．所以圖②④中GH與MN異面．[答案]②④由題悟法1．異面直線的判定常用的是反證法，先假設(shè)兩條直線不是異面直線，即兩條直線平行或相交，由假設(shè)的條件出發(fā)，經(jīng)過嚴(yán)格的推理，導(dǎo)出矛盾，從而否定假設(shè)肯定兩條直線異面．此法在異面直線的判定中經(jīng)常用到．2．客觀題中，也可用下述結(jié)論：過平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，與平面內(nèi)不過該點(diǎn)的直線是異面直線．以題試法2．已知m，n，l為不同的直線，α，β為不同的平面，有下面四個(gè)命題：①m，n為異面直線，過空間任一點(diǎn)P，一定能作一條直線l與m，n都相交．②m，n為異面直線，過空間任一點(diǎn)P，一定存在一個(gè)與直線m，n都平行的平面．③α⊥β，α∩β＝l，m?α，n?β，m，n與l都斜交，則m與n一定不垂直；④m，n是α內(nèi)兩相交直線，則α與β相交的充要條件是m，n至少有一條與β相交．則四個(gè)結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4解析：選B①錯(cuò)誤，因?yàn)檫^直線m存在一個(gè)與直線n平行的平面，當(dāng)點(diǎn)P在這個(gè)平面內(nèi)且不在直線m上時(shí)，就不滿足結(jié)論；②錯(cuò)誤，因?yàn)檫^直線m存在一個(gè)與直線n平行的平面，當(dāng)點(diǎn)P在這個(gè)平面內(nèi)時(shí)，就不滿足結(jié)論；③正確，否則，若m⊥n，在直線m上取一點(diǎn)作直線a⊥l，由α⊥β，得a⊥n.從而有n⊥α，則n⊥l；④正確．異面直線所成角典題導(dǎo)入[例3](2012·大綱全國(guó)卷)已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為BB1，CC1的中點(diǎn)，那么異面直線AE與D1F所成角的余弦值為________．[自主解答]連接DF，則AE∥DF，∴∠D1FD即為異面直線AE與D1F所成的角．設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a，則D1D＝a，DF＝eq\f(\r(5),2)a，D1F＝eq\f(\r(5),2)a，∴cos∠D1FD＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)a))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)a))2－a2,2·\f(\r(5),2)a·\f(\r(5),2)a)＝eq\f(3,5).[答案]eq\f(3,5)由題悟法求異面直線所成的角一般用平移法，步驟如下：(1)一作：即找或作平行線，作出異面直線所成的角；(2)二證：即證明作出的角是異面直線所成的角；(3)三求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角，如果求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角．以題試法3．(2012·唐山模擬)四棱錐P－ABCD的所有側(cè)棱長(zhǎng)都為eq\r(5)，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，則CD與PA所成角的余弦值為()A.eq\f(2\r(5),5) B.eq\f(\r(5),5)C.eq\f(4,5) D.eq\f(3,5)解析：選B如圖所示，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，故CD∥AB，則CD與PA所成的角即為AB與PA所成的角∠PAB，在△PAB內(nèi)，PB＝PA＝eq\r(5)，AB＝2，利用余弦定理可知：cos∠PAB＝eq\f(PA2＋AB2－PB2,2×PA×AB)＝eq\f(5＋4－5,2×2×\r(5))＝eq\f(\r(5),5).1．(2013·杭州模擬)若a，b，c，d是空間四條直線．如果“a⊥c，b⊥c，a⊥d，b⊥d”，則()A．a(chǎn)∥b且c∥dB．a(chǎn)，b，c，d中任意兩條可能都不平行C．a(chǎn)∥bD．a(chǎn)與b，c與d中至少有一對(duì)直線互相平行解析：選D(1)若a，b，c，d在同一平面內(nèi)，則a∥b，c∥d.(2)若a，b，c，d不在同一平面內(nèi)，①若a，b相交，則a，b確定平面α，此時(shí)c⊥α，d⊥α，故c∥d.②若a，b異面，則可平移a與b相交確定平面β，此時(shí)，c⊥β，d⊥β，c∥d.③若a，b平行，則c，d關(guān)系不定．同理，若c，d相交，異面也可推出a∥b，若c，d平行，則a，b關(guān)系不確定．綜上知，a，b，c，d中至少有一對(duì)直線互相平行．2．l1，l2，l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是()A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共點(diǎn)?l1，l2，l3共面解析：選B①在選項(xiàng)A中：l1⊥l2，l2⊥l3，l1與l3可以平行也可相交或異面，借助正方體的棱很容易理解．②在B中：l1⊥l2，l2∥l3，由異面直線所成角的定義可以推出l1⊥l3.③l1∥l2∥l3，三直線不一定共面，如三棱柱的三條側(cè)棱不共面．④共點(diǎn)的三條直線不一定共面，如三棱錐中共頂點(diǎn)的三條棱不共面．3.設(shè)四棱錐P－ABCD的底面不是平行四邊形，用平面α去截此四棱錐(如圖)，使得截面四邊形是平行四邊形，則這樣的平面α()A．不存在 B．只有1個(gè)C．恰有4個(gè) D．有無(wú)數(shù)多個(gè)解析：選D設(shè)四棱錐的兩組不相鄰的側(cè)面的交線為m，n，直線m，n確定了一個(gè)平面β，作與β平行的平面α，與四棱錐的各個(gè)側(cè)面相截，則截得的四邊形必為平行四邊形，而這樣的平面α有無(wú)數(shù)多個(gè)．4．(2012·廣州模擬)在正四棱錐V－ABCD中，底面正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為2，則異面直線VA與BD所成角的大小為()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3) D.eq\f(π,2)解析：選D如圖所示，設(shè)AC∩BD＝O，連接VO，由于四棱錐V－ABCD是正四棱錐，所以VO⊥平面ABCD，故BD⊥VO.又四邊形ABCD是正方形，所以BD⊥AC，所以BD⊥平面VAC.所以BD⊥VA，即異面直線VA與BD所成角的大小為eq\f(π,2).5.如圖為正方體表面的一種展開圖，則圖中的四條線段AB，CD，EF，GH在原正方體中互為異面的對(duì)數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4解析：選CAB，CD，EF和GH在原正方體中如圖所示，顯然AB與CD，EF與GH，AB與GH都是異面直線，而AB與EF相交，CD與GH相交，CD與EF平行．故互為異面的直線有且只有三對(duì)．6．(2012·重慶高考)設(shè)四面體的六條棱的長(zhǎng)分別為1,1,1,1，eq\r(2)和a，且長(zhǎng)為a的棱與長(zhǎng)為eq\r(2)的棱異面，則a的取值范圍是()A．(0，eq\r(2)) B．(0，eq\r(3))C．(1，eq\r(2)) D．(1，eq\r(3))解析：選A如圖所示的四面體ABCD中，設(shè)AB＝a，則由題意可得CD＝eq\r(2)，其他邊的長(zhǎng)都為1，故三角形ACD及三角形BCD都是以CD為斜邊的等腰直角三角形，顯然a>0.取CD中點(diǎn)E，連接AE，BE，則AE⊥CD，BE⊥CD且AE＝BE＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq\f(\r(2),2)，顯然A，B，E三點(diǎn)能構(gòu)成三角形，應(yīng)滿足任意兩邊之和大于第三邊，可得2×eq\f(\r(2),2)>a，解得0<a<eq\r(2).7．已知E，F(xiàn)，G，H是空間四點(diǎn)，命題甲：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)不共面，命題乙：直線EF和GH不相交，則甲是乙成立的________條件．解析：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)不共面時(shí)，EF，GH一定不相交，否則，由于兩條相交直線共面，則E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面，與已知矛盾，故甲可以推出乙；反之，EF，GH不相交，含有EF，GH平行和異面兩種情況，當(dāng)EF，GH平行時(shí)，E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面，故乙不能推出甲．即甲是乙的充分不必要條件．答案：充分不必要8.如圖是一幾何體的平面展開圖，其中ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為PA，PD的中點(diǎn)．在此幾何體中，給出下面四個(gè)結(jié)論：①直線BE與CF異面；②直線BE與AF異面；③直線EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD.其中正確的有________個(gè)．解析：如圖，易得EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥BC，即B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)共面，則①錯(cuò)誤，②正確，③正確，④不一定正確．答案：29.如圖所示，在三棱錐C－ABD中，E，F(xiàn)分別是AC和BD的中點(diǎn)，若CD＝2AB＝4，EF⊥AB，則EF與CD所成的角是________．解析：取CB的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，∴EG∥AB，F(xiàn)G∥CD.∴EF與CD所成角即為∠EFG.又∵EF⊥AB，∴EF⊥EG，在Rt△EFG中，EG＝eq\f(1,2)AB＝1，F(xiàn)G＝eq\f(1,2)CD＝2，∴sin∠EFG＝eq\f(1,2).∴∠EFG＝eq\f(π,6).∴EF與CD所成的角為eq\f(π,6).答案：eq\f(π,6)10．已知空間四邊形ABCD中，E、H分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是邊BC、CD的中點(diǎn)．(1)求證：BC與AD是異面直線；(2)求證：EG與FH相交．證明：(1)假設(shè)BC與AD共面，不妨設(shè)它們所共平面為α，則B、C、A、D∈α.所以四邊形ABCD為平面圖形，這與四邊形ABCD為空間四邊形相矛盾．所以BC與AD是異面直線．(2)如圖，連接AC，BD，則EF∥AC，HG∥AC，因此EF∥HG；同理EH∥FG，則EFGH為平行四邊形．又EG、FH是?EFGH的對(duì)角線，所以EG與HF相交．11．如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，A1C與截面DBC1交于O點(diǎn)，AC，BD交于M點(diǎn)，求證：C1，O，M三點(diǎn)共線．證明：∵C1∈平面A1ACC1，且C1∈平面DBC1.∴C1是平面A1ACC1與平面DBC1的公共點(diǎn)．又∵M(jìn)∈AC，∴M∈平面A1ACC1.∵M(jìn)∈BD，∴M∈平面DBC1，∴M也是平面A1ACC1與平面DBC1的公共點(diǎn)，∴C1M是平面A1ACC1與平面DBC1的交線．∵O為A1C與截面DBC1的交點(diǎn)，∴O∈平面A1ACC1，O∈平面DBC1，即O也是兩平面的公共點(diǎn)，∴O∈直線C1M，即C1，O，M三點(diǎn)共線．12.(2012·許昌調(diào)研)如圖，平面ABEF⊥平面ABCD，四邊形ABEF與ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊eq\f(1,2)AD，BE綊eq\f(1,2)FA，G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點(diǎn)．(1)求證：四邊形BCHG是平行四邊形；(2)C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)是否共面？為什么？解：(1)證明：由題設(shè)知，F(xiàn)G＝GA，F(xiàn)H＝HD，所以GH綊eq\f(1,2)AD.又BC綊eq\f(1,2)AD，故GH綊BC.所以四邊形BCHG是平行四邊形．(2)C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面．理由如下：由BE綊eq\f(1,2)AF，G是FA的中點(diǎn)知，BE綊GF，所以EF綊BG.由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC，F(xiàn)H共面．又點(diǎn)D在直線FH上，所以C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面．1．將圖1中的等腰直角三角形ABC沿斜邊BC的中線折起得到四面體ABCD(如圖2)，則在四面體ABCD中，AD與BC的位置關(guān)系是()A．相交且垂直B．相交但不垂直C．異面且垂直D．異面但不垂直解析：選C在圖1中的等腰直角三角形ABC中，斜邊上的中線AD就是斜邊上的高，則AD⊥BC，翻折后如圖2，AD與BC變成異面直線，而原線段BC變成兩條線段BD，CD，這兩條線段與AD垂直，即AD⊥BD，AD⊥CD，故AD⊥平面BCD，所以AD⊥BC.2．(2012·哈爾濱模擬)若兩條異面直線所成的角為60°，則稱這對(duì)異面直線為“黃金異面直線對(duì)”，在連接正方體各頂點(diǎn)的所有直線中，“黃金異面直線對(duì)”共有________對(duì)．解析：正方體如圖，若要出現(xiàn)所成角為60°的異面直線，則直線需為面對(duì)角線，以AC為例，與之構(gòu)成黃金異面直線對(duì)的直線有4條，分別是A′B，BC′，A′D，C′D，正方體的面對(duì)角線有12條，所以所求的黃金異面直線對(duì)共有eq\f(12×4,2)＝24對(duì)(每一對(duì)被計(jì)算兩次，所以要除以2)．答案：243．(2012·池州模擬)正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，CD上，且AE＝2EB，CF＝2FD，將直角梯形AEFD沿EF折起到A′EFD′的位置，使點(diǎn)A′在平面ABCD上的射影G恰好落在BC上．(1)判斷直線AA′與DD′的位置關(guān)系，并證明；(2)證明平面A′AE⊥平面A′BC；解：(1)AA′∥DD′.設(shè)直線AD與EF相交于點(diǎn)O，翻折后直線A′D′仍過O點(diǎn)，∴A，A′，D，D′四點(diǎn)共面于平面OAA′.又FD∥AE，F(xiàn)D?平面A′AE，AE?平面A′AE，∴FD∥平面A′AE.同理，F(xiàn)D′∥平面A′AE，而FD∩FD′＝F，∴平面DFD′∥平面A′AE.又平面OAA′∩平面DFD′＝DD′，平面OAA′∩平面A′AE＝AA′，∴AA′∥DD′.(2)∵A′G⊥平面ABCD，∴A′G⊥AB.又AB⊥BC，BC∩A′G＝G，∴AB⊥平面A′BC.又AB?平面A′AE，∴平面A′AE⊥平面A′BC.1．(2012·襄陽(yáng)模擬)關(guān)于直線a，b，l以及平面M，N，下面命題中正確的是()A．若a∥M，b∥M，則a∥bB．若a∥M，b⊥a，則b⊥MC．若a⊥M，a∥N，則