2023～2024年蘇州西附初三下學期第一次月考數學試卷一、選擇題（本大題共8小題，每題3分，共24分）1．在實數中，最小的數是（）A．—1 B．0 C． D．2．在黨的二十大報告中總結了新時代十年的非凡成就，包括我國建成世界上規(guī)模最大的社會保障體系，基本養(yǎng)老保險覆蓋10.4億人，其中10.4億用科學記數法可表示為（）A． B． C． D．3．下列運算正確的是（）A． B．C． D．4．若點和點是反比例函數圖象上的兩點，則和的大小關系是（）A． B． C． D．無法確定5．如圖是我市某景點6月份內1—10日每天的最高溫度折線統(tǒng)計圖，由圖信息可知該景點這10天中，氣溫出現的頻率是（）A．3 B．0.5 C．0.4 D．0.36．《九章算術》是中國古代的一本重要數學著作，其中有一道方程的應用題：“五只雀、六只燕，共重16兩，雀重燕輕．互換其中一只，恰好一樣重．問每只雀、燕的重量各為多少？”解：設雀每只兩，燕每只兩，則可列出方程組為（）A． B．C． D．7．如圖，已知是小正方形的外接圓，是大正方形的內切圓．現假設可以隨意在圖中取點，則這個點取在陰影部分的概率是（）A． B．C． D．8．如圖，在邊長為2的正方形中，點為的中點，將沿翻折得，點落在四邊形內．點為線段上的動點，過點作交于點，則的最小值為（）A． B． C． D．二、填空題（本大題共8小題，每題3分，共24分）9．若式子在實數范圍內有意義，則的最小值為______．10．已知，則______．11．一組數2、4、5、6、x的平均數是4，則這組數據的方差是______．12．一個長方體包裝盒展開后如圖所示（單位：），則其容積為______．13．如圖，四邊形為的內接四邊形，平分為的直徑，若，則的長為______．14．如圖，正五邊形的邊長為4，以頂點為圓心，長為半徑畫圓，若圖中陰影部分恰是一個圓錐的側面展開圖，則這個圓錐底面圓的半徑是______．15．如圖，在平面直角坐標系中，直線交軸于點、交軸于點點與點關于軸對稱，動點,分別在線段上（點不與點重合），滿足．當為等腰三角形時，點的坐標是______．16．如圖，在平面直角坐標系中，的邊在軸正半軸上，是邊上一點，過作交的延長線于，．若反比例函數的圖象經過點，且的面積為3，則的值是______．三、解答題（本大題共10小題，共82分，解答時應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．計算：．18．解不等式（組）19．先化簡，再求值：，其中．20．如圖，在中，平分，交于點，交的延長線于點．（1）求證：；（2）若，求的長和的面積．21．已知關于的一元二次方程．（1）求證：無論取何值，此方程總有兩個不相等的實數根；（2）若方程有兩個實數根，且，求的值．22．學校成立“橋”見數學”項目小組，項目組想了解八年級學生想研究哪座橋，從全校八年級學生中隨機抽取部分學生進行調查．計劃研究4座橋：寶帶橋；吳門橋；覓渡橋：蘇州倫敦橋，現將調查結果繪制成如圖不完整的統(tǒng)計圖，請根據統(tǒng)計圖中的信息解下列問題：（1）求本次共調查了______名學生，并補全全條形統(tǒng)計圖；（2）若該校八年級學生共有1300名，根據以上抽樣結果，估計八年級想研究吳門橋的學生約有多少名？（3）項目成果匯報時，從第一組甲、乙、丙、丁四位學生中隨機抽取兩位學生來匯報寶帶橋的研究成果請用列表或畫樹狀圖的方法，求抽到甲、乙兩位學生的概率是多少？23．某?！熬C合與實踐”活動小組的同學要測量兩座樓之間的距離，他們借助無人機設計了如下測量方案：無人機在兩樓之間上方的點處，點距地面的高度為，此時觀測到樓底部點處的俯角為，樓上點處的俯角為，沿水平方向由點飛行到達點，測得點處俯角為，其中點，均在同一豎直平面內．請根據以上數據求樓與之間的距離的長．（結果精確到，參考數據：）24．如圖，在等腰中，，以為直徑的與交于點，垂足為的延長線與的延長線交于點．（1）求證：是的切線；（2）若的半徑為，求的長．25．如圖．在中．是上的一點（不與點重合），過點作，交于點．連接，設的面積為的面積為．（1）當是的中點時，直接寫出______．（2）若，求關于的函數關系式以及自變量的取值范圍．26．問題情境：“綜合與實踐”課上，老師提出如下問題：將圖1中的矩形紙片沿對角線剪開，得到兩個全等的三角形紙片，表示為和，其中，將和按圖2所示方式擺放，其中點與點重合（標記為點）．當時，延長交于點，試判斷四邊形的形狀，并說明理由．（1）數學思考：請你解答老師提出的問題；（2）深入探究：老師將圖2中的繞點逆時針方向旋轉，使點落在內部，讓同學們提出新的問題并請你解答此問題；①“善思小組”提出問題：如圖3，當時，過點作交的延長線于點與交于點．證明：．②“智慧小組”提出問題：如圖4，當時，過點作于點，若，求的長．27．我們約定：若關于的二次函數與同時滿足，則稱函數與互為“回旋”函數．根據該約定，解答下列問題：（1）求二次函數的“回旋”函數的解析式；（2）若關于的二次函數的頂點在它的“回旋”函數圖象上，且當時，，求的值；（3）關于的函數的圖象頂點為，與軸的交點為，當它的“回旋”函數的頂點為，與軸的交點為，從左往右依次是，若，是否存在使得為矩形？2023～2024年蘇州西附初三下學期第一次月考數學試卷參考答案與解析一、選擇題（本大題共8小題，每題3分，共24分）1．在實數中，最小的數是（）A．—1 B．0 C． D．【解答】解：由題意知，最小的數為—1，故選：A．2．在黨的二十大報告中總結了新時代十年的非凡成就，包括我國建成世界上規(guī)模最大的社會保障體系，基本養(yǎng)老保險覆蓋10.4億人，其中10.4億用科學記數法可表示為（）A． B． C． D．【解答】解：億，故選：D．3．下列運算正確的是（）A． B．C． D．【解答】解：，故A選項錯誤；，故B選項錯誤；，故Ｃ選項錯誤；故選：Ｄ．4．若點和點是反比例函數圖象上的兩點，則和的大小關系是（）A． B． C． D．無法確定【解答】解：點和點是反比例函數圖象上的兩點又反比例函數在時，隨著的增大而增大，且，，故選：A．5．如圖是我市某景點6月份內110日每天的最高溫度折線統(tǒng)計圖，由圖信息可知該景點這10天中，氣溫出現的頻率是（）A．3 B．0.5 C．0.4 D．0.3【解答】解：由折線統(tǒng)計圖知，氣溫出現的天數為3天，氣溫出現的頻率是，故選：D．6．《九章算術》是中國古代的一本重要數學著作，其中有一道方程的應用題：“五只雀、六只燕，共重１６兩，雀重燕輕．互換其中一只，恰好一樣重．問每只雀、燕的重量各為多少？”解：設雀每只兩，燕每只兩，則可列出方程組為（）A． B．C． D．【解答】解：設雀每只兩，燕每只兩，則可列出方程組為：故選：B．7．如圖，已知是小正方形的外接圓，是大正方形的內切圓．現假設可以隨意在圖中取點，則這個點取在陰影部分的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：作，如圖：設的半徑為，是小正方形的外接圓，是大正方形的內切圓，是等腰直角三角形，，，這個點取在陰影部分的概率是，故選：A．8．如圖，在邊長為2的正方形中，點為的中點，將沿翻折得，點落在四邊形內．點為線段上的動點，過點作交于點，則的最小值為（）A． B． C． D．【解答】解：作點關于的對稱點，由折疊的性質知是的平分線，點在上，過點作于，交于點，，的最小值為的長，連接，由折疊的性質知為線段的垂直平分線，，，，，，，，，為線段的垂直平分線，，，，四邊形為平行四邊形，，四邊形為菱形，，，，即，，，即，，，的最小值為；方法二：同理方法一得出的最小值為的長，，，，即，，的最小值為；故選：C．二、填空題（本大題共8小題，每題3分，共24分）9．若式子在實數范圍內有意義，則的最小值為．【解答】解：由題意可得，解得：，則的最小值為，故答案為：．10．已知，則．【解答】解：，原式．故答案為：—8．11．一組數據的平均數是4，則這組數據的方差是2．【解答】解：數據的平均數是4，則組數據的方差．故答案為：2．12．一個長方體包裝盒展開后如圖所示（單位：），則其容積為．【解答】解：由題意可得，該長方體的高為：，寬為：，長為：，故其容積為：，故答案為：6600．13．如圖，四邊形為的內接四邊形，平分為的直徑，若，則的長為．【解答】解：為的直徑，，平分，，，，是等腰直角三角形，，，，．故答案為：．14．如圖，正五邊形的邊長為4，以頂點為圓心，長為半徑畫圓，若圖中陰影部分恰是一個圓錐的側面展開圖，則這個圓錐底面圓的半徑是．【解答】解：正五邊形的每一個內角的度數為：，即陰影扇形的圓心角為，的長為，設圍成圓錐體的底面半徑為，由題意得，解得，故答案為：．15．如圖，在平面直角坐標系中，直線交軸于點、交軸于點點與點關于軸對稱，動點、分別在線段上（點不與點重合），滿足．當為等腰三角形時，點的坐標是或．【解答】解：，當時，，當時，，即點的坐標是，點的坐標是，點與點關于軸對稱，的坐標是，分為三種情況：①當時，和關于軸對稱，，，，和關于軸對稱，，在和中，，，，，，，點的坐標是；②當時，則，，，而根據三角形的外角性質得：，此種情況不存在；③當時，則，即，設此時的坐標是，在中，由勾股定理得：，，解得：，即此時的坐標是．當為等腰三角形時，點的坐標是或．故答案為：或．16．如圖，在平面直角坐標系中，的邊在軸正半軸上，是邊上一點，過作交的延長線于．若反比例函數的圖象經過點，且的面積為3，則的值是．【解答】解：過點作軸于點，過點作軸于點，，，，，它們的面積比為，的面積為3，的面積為12，反比例函數的圖象經過點，設，則，軸，軸，，，，，，，，，，，，故答案為．三、解答題（本大題共10小題，共82分，解答時應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．計算：【解答】解：原式18．解不等式（組）【解答】解：解不等式，得：，解不等式，得：，則不等式組的解集為．19．先化簡，再求值：，其中．【解答】解：，當時，原式．20．如圖，在中，平分，交于點，交的延長線于點．（1）求證：；（2）若，求的長和的面積．【解答】（1）證明：在中，，，平分，，，，（2）解：，；過作交的延長線于，，，，，，的面積．21．已知關于的一元二次方程．（1）求證：無論取何值，此方程總有兩個不相等的實數根；（2）若方程有兩個實數根，且，求的值．【解答】（1）證明：無論取何值，此方程總有兩個不相等的實數根；（2）解：根據根與系數的關系得，解得，即的值為1．22．學校成立“橋”見數學”項目小組，項目組想了解八年級學生想研究哪座橋，從全校八年級學生中隨機抽取部分學生進行調查．計劃研究4座橋：寶帶橋；吳門橋；覓渡橋：蘇州倫敦橋，現將調查結果繪制成如圖不完整的統(tǒng)計圖，請根據統(tǒng)計圖中的信息解下列問題：（1）求本次共調查了______名學生，并補全條形統(tǒng)計圖；（2）若該校八年級學生共有1300名，根據以上抽樣結果，估計八年級想研究吳門橋的學生約有多少名？（3）項目成果匯報時，從第一組甲、乙、丙、丁四位學生中隨機抽取兩位學生來匯報寶帶橋的研究成果請用列表或畫樹狀圖的方法，求抽到甲、乙兩位學生的概率是多少？【解答】解：（1）本次共調查的學生有：（名），即本次共調查了50名學生，覓渡橋的學生有：（名），故答案為：50，補全條形統(tǒng)計圖如下：（2）八年級想研究吳門橋的學生約有：（名），即估計該校九年級對新冠肺炎防控知識非常了解的約有390名學生，故答案為：390；（3）畫樹狀圖如圖：共有12個等可能的結果，所選甲、乙的結果有2個，所選甲、乙的結果的概率為．23．某?！熬C合與實踐”活動小組的同學要測量兩座樓之間的距離，他們借助無人機設計了如下測量方案：無人機在兩樓之間上方的點處，點距地面的高度為，此時觀測到樓底部點處的俯角為，樓上點處的俯角為，沿水平方向由點飛行到達點，測得點處俯角為，其中點均在同一豎直平面內．請根據以上數據求樓與之間的距離的長．（結果精確到，參考數據：）【解答】解：延長交于點，延長交于點，由題意得：，在中，，，是的一個外角，，，，，在中，，，樓與之間的距離的長約為．24．如圖，在等腰中，，以為直徑的與交于點，垂足為的延長線與的延長線交于點．（1）求證：是的切線；（2）若的半徑為，求的長．【解答】（1）證明：連接，，，，，，，，，即，是的半徑，是的切線；（2）解：連接，是直徑，，，，，．25．如圖．在中．是上的一點（不與點重合），過點作，交于點．連接，設的面積為的面積為．（1）當是的中點時，直接寫出．（2）若，求關于的函數關系式以及自變量的取值范圍．【解答】解：，，是的中點，是的中位線，與等底同高，，設的面積為的面積為，．故答案為：．（2）， ①，與邊同高， ②，①②得，設的面積為的面積為，，，自變量的取值范圍是．26．問題情境：“綜合與實踐”課上，老師提出如下問題：將圖1中的矩形紙片沿對角線剪開，得到兩個全等的三角形紙片，表示為和，其中，將和按圖2所示方式擺放，其中點與點重合（標記為點）．當時，延長交于點，試判斷四邊形的形狀，并說明理由．（1）數學思考：請你解答老師提出的問題；（2）深入探究：老師將圖2中的繞點逆時