專(zhuān)題02勾股定理全章復(fù)習(xí)攻略（2個(gè)概念2個(gè)定理3種方法2個(gè)應(yīng)用2種思想專(zhuān)練）2個(gè)概念【考查題型一】互逆命題在兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題.如果把其中一個(gè)命題叫做原命題，那么另一個(gè)命題就叫做它的逆命題.【例1】（2023秋?淮陽(yáng)區(qū)期末）判斷下列命題：①等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形；②若且，則；③全等三角形對(duì)應(yīng)角相等；④直角三角形的兩銳角互余．其中逆命題正確的有A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．0個(gè)【分析】本題首先根據(jù)什么是逆命題對(duì)每個(gè)題進(jìn)行說(shuō)明，再判斷出正確與錯(cuò)誤，即可求出答案．【解答】解：①：等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形；它的逆命題是軸對(duì)稱(chēng)圖形是等腰三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，②若且，則；它的逆命題是若，且；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，③全等三角形對(duì)應(yīng)角相等；它的逆命題是對(duì)應(yīng)角相等的三角形是全等三角形．故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，④直角三角形的兩銳角互余．它的逆命題是兩銳角互余的三角形是直角三角形．故本選項(xiàng)正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了命題與定理，解題的關(guān)鍵是要知道什么是逆命題，要與什么是假命題區(qū)分開(kāi)，這是一道好題．【變式1-1】（2023秋?太康縣期末）下列命題的逆命題是假命題的是A．直角三角形的兩銳角互余 B．全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等 C．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 D．等腰三角形的底角相等【分析】由全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，即可判斷．【解答】解：、、中命題的逆命題是真命題，故、、不符合題意；、對(duì)應(yīng)角相等的三角形不一定全等，故符合題意．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題與定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】．（2023秋?松江區(qū)期末）“直角三角形的兩個(gè)銳角互余”的逆命題是．【分析】根據(jù)互逆命題的概念解答即可．【解答】解：直角三角形的兩個(gè)銳角互余的逆命題是有兩個(gè)內(nèi)角互余的三角形是直角三角形，故答案為：有兩個(gè)內(nèi)角互余的三角形是直角三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是命題與定理，兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論又是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題．其中一個(gè)命題稱(chēng)為另一個(gè)命題的逆命題．【變式1-3】.在中，，平分，．（1）求證：；（請(qǐng)用一對(duì)互逆命題進(jìn)行證明）（2）寫(xiě)出你所用到的這對(duì)互逆命題．【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）互逆命題：直角三角形的兩銳角互余有兩個(gè)銳角互余的三角形是直角三角形．【分析】（1）根據(jù)直角三角形的兩銳角互余和角平分線的定義解答即可；（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)寫(xiě)出互逆命題即可．【詳解】（1）在中，∵，∴．∵平分，∴，∵，又，∴，∴，∴，∴．（2）互逆命題：直角三角形的兩銳角互余；有兩個(gè)銳角互余的三角形是直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)和判定以及命題與定理，掌握角平分線的定義和三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵，注意互逆命題題設(shè)和結(jié)論的關(guān)系．【考查題型二】互逆定理如果一個(gè)定理的逆命題也是定理，那么這兩個(gè)定理叫做互逆定理，其中的一個(gè)定理叫做另一個(gè)定理的逆定理.【例2】．（2023秋?嘉定區(qū)期末）定理“全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等”（填“有”或“沒(méi)有”逆定理．【分析】寫(xiě)出原命題的逆命題，根據(jù)三角形全等的判定定理判斷即可．【解答】解：全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等的逆命題是對(duì)應(yīng)角相等的三角形全等，是假命題，定理“全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等”沒(méi)有逆定理．故答案為：沒(méi)有．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是命題的真假判斷、全等三角形的性質(zhì)，熟記三角形全等的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】．（2023春?三明期末）下列定理有逆定理的是A．對(duì)頂角相等 B．兩直線平行，同位角相等 C．全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等 D．直角都相等【分析】分別寫(xiě)出下列定理的逆命題即可．【解答】解：、對(duì)頂角相等的逆命題是相等的角是對(duì)頂角，是假命題，故選項(xiàng)不符合題意；、兩直線平行，同位角相等的逆命題是同位角相等，兩直線平行；故選項(xiàng)符合題意；、全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等的逆命題是對(duì)應(yīng)角相等的三角形全等，故選項(xiàng)不符合題意；、直角都相等的逆命題是相等的角都是直角，故選項(xiàng)不符合題意．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確的寫(xiě)出一個(gè)命題的逆命題．【變式2-2】．（2023秋?澧縣期末）寫(xiě)出定理“兩直線平行，同位角相等”的逆定理是．【分析】根據(jù)把一個(gè)命題的條件和結(jié)論互換就得到它的逆命題，即可得出答案．【解答】解：“兩直線平行，同位角相等”的逆定理是；“同位角相等，兩直線平行”；故答案為：“同位角相等，兩直線平行”．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了命題與定理，兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論又是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題，其中一個(gè)命題稱(chēng)為另一個(gè)命題的逆命題．【變式2-3】．找出下列定理有哪些存在逆定理，把它填在橫線上．①矩形是平行四邊形．②內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．③如果，那么．④全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等．【分析】先寫(xiě)出逆命題，然后判斷真假即可．【解答】解：①逆命題為：平行四邊形是矩形，為假命題；②逆命題為：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，為真命題；③逆命題為：如果，則，為假命題．④逆命題為：對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形是全等三角形，為假命題．則存在逆定理的有：②．故答案為：②．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題與定理的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是寫(xiě)出原命題的逆命題．2個(gè)定理【考查題型三】勾股定理1．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a＝，b＝及c＝．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．2．勾股定理的證明（1）勾股定理的證明方法有很多種，教材是采用了拼圖的方法證明的．先利用拼圖的方法，然后再利用面積相等證明勾股定理．（2）證明勾股定理時(shí)，用幾個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)規(guī)則的圖形，然后利用大圖形的面積等于幾個(gè)小圖形的面積和化簡(jiǎn)整理得到勾股定理．【例3】．（2023春?乾安縣期末）如圖，在中，，分別以各邊為直徑作半圓，圖中陰影部分在數(shù)學(xué)史上稱(chēng)為“希波克拉底月牙”，當(dāng)，時(shí)，則陰影部分的面積為A．4 B． C． D．8【分析】根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)扇形面積公式計(jì)算即可．【解答】解：由勾股定理得，，則陰影部分的面積，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理、扇形面積計(jì)算，掌握勾股定理和扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】．（2023春?樂(lè)陵市期末）閱讀下列一段文字，回答問(wèn)題．【材料閱讀】平面內(nèi)兩點(diǎn)，，，，則由勾股定理可得，這兩點(diǎn)間的距離．例如，如圖1，，，則．【直接應(yīng)用】（1）已知，，求、兩點(diǎn)間的距離；（2）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，，，與軸正半軸的夾角是．①求點(diǎn)的坐標(biāo)；②試判斷的形狀．【分析】（1）由兩點(diǎn)間的距離公式可求出答案；（2）①過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，求出，則可求出答案；②求出和的長(zhǎng)，由勾股定理的逆定理可得出結(jié)論．【解答】解：（1），，；（2）①過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，與軸正半軸的夾角是，，，，；②，，，，，，，是直角三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離公式，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】．（2023春?陳倉(cāng)區(qū)期末）如圖，在中，，，，動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)沿射線以的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．（1）求邊的長(zhǎng)．（2）當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求的值．【分析】利用勾股定理求解的長(zhǎng)，再分3中情況討論：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別計(jì)算可求解．【解答】解：在中，，，，，當(dāng)時(shí)，如圖1，則，，在中，，，解得；當(dāng)時(shí)，如圖2，則；當(dāng)時(shí)，如圖3，則；，綜上，的值為或10或16．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】．（2023春?汝南縣期末）勾股定理是人類(lèi)最偉大的科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國(guó)家稱(chēng)之為畢達(dá)哥拉斯定理．在我國(guó)古書(shū)《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖，后人稱(chēng)之為“趙爽弦圖”，流傳至今．（1）①請(qǐng)敘述勾股定理；②勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請(qǐng)從下列幾種常見(jiàn)的證明方法中任選一種來(lái)證明該定理；（如圖中圖形均滿(mǎn)足證明勾股定理所需的條件）（2）①如圖4、5、6，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿(mǎn)足的有個(gè)；②如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個(gè)月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為，直角三角形面積為，請(qǐng)判斷，，的關(guān)系并證明．【分析】（1）①勾股定理內(nèi)容為：如果直角三角形的兩條直角邊分別為，，斜邊為，那么．②在圖1中，根據(jù)大正方形的面積等于四個(gè)全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和，即可得：．在圖2中，根據(jù)大正方形的面積等于四個(gè)全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和．即可得：．在圖3中，梯形的面積等于三個(gè)直角三角形的面積的和．即可得：．（2）①根據(jù)勾股定理可得三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿(mǎn)足的有3個(gè)；②根據(jù)半圓面積和勾股定理即可得結(jié)論：．【解答】解：（1）①如果直角三角形的兩條直角邊分別為，，斜邊為，那么．（或者：在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．②證明：在圖1中，大正方形的面積等于四個(gè)全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和．即，化簡(jiǎn)得：．在圖2中，大正方形的面積等于四個(gè)全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和．即，化簡(jiǎn)得：．在圖3中，梯形的面積等于三個(gè)直角三角形的面積的和．即，化簡(jiǎn)得：．（2）①三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿(mǎn)足的有3個(gè)；故答案為：3；②結(jié)論：．，，．．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的證明，解決本題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用面積法證明勾股定理．【考查題型四】勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿(mǎn)足a2+b2＝c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．說(shuō)明：①勾股定理的逆定理驗(yàn)證利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，作用是判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形．必須滿(mǎn)足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷．（2）運(yùn)用勾股定理的逆定理解決問(wèn)題的實(shí)質(zhì)就是判斷一個(gè)角是不是直角．然后進(jìn)一步結(jié)合其他已知條件來(lái)解決問(wèn)題．注意：要判斷一個(gè)角是不是直角，先要構(gòu)造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是．【例4】．（2023春?科左中旗校級(jí)期末）以下列各組數(shù)為邊長(zhǎng)，不能構(gòu)成直角三角形的是A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，7，8 D．1，，【分析】由勾股定理的逆定理，只要驗(yàn)證兩小邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方即可．【解答】解：、，故是直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；、，故是直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；、，故不是直角三角形，故此選項(xiàng)符合題意；、，故是直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的逆定理，正確驗(yàn)證兩小邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】．（2023春?蘿北縣期末）如圖，一塊草坪的形狀為四邊形，其中，，，，．求這塊草坪的面積．【分析】連接，則為直角三角形，為斜邊，解直角求，根據(jù)，，判定為直角三角形，根據(jù)直角三角形面積計(jì)算可以計(jì)算該草坪的面積．【解答】解：連接，因?yàn)?，所以直角中，由勾股定理得又所以中，所以是直角三角形所以答：該草坪的面積為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理在實(shí)際生活中的運(yùn)用，考查了直角三角形面積計(jì)算，本題中正確的根據(jù)勾股定理的逆定理判定是直角三角形是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】．（2023春?莘縣期末）燕塔廣場(chǎng)視野開(kāi)闊，阻擋物少，成為不少市民放風(fēng)箏的最佳場(chǎng)所，某校八年級(jí)的王明和孫亮兩位同學(xué)在學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，為了測(cè)得風(fēng)箏的垂直高度，他們進(jìn)行了如下操作：①測(cè)得的長(zhǎng)度為8米；（注②根據(jù)手中剩余線的長(zhǎng)度計(jì)算出風(fēng)箏線的長(zhǎng)為17米；③牽線放風(fēng)箏的王明身高1.6米；（1）求風(fēng)箏的垂直高度；（2）若王明同學(xué)想讓風(fēng)箏沿方向下降9米，則他應(yīng)該往回收線多少米？【分析】（1）利用勾股定理求出的長(zhǎng)，再加上的長(zhǎng)度，即可求出的高度；（2）根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）在中，由勾股定理得，，所以，（負(fù)值舍去），所以，（米，答：風(fēng)箏的高度為16.6米；（2）由題意得，米，，（米，（米，他應(yīng)該往回收線7米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟悉勾股定理，能從實(shí)際問(wèn)題中抽象出勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】．（2023春?江津區(qū)期末）2023年江津區(qū)積極摸排城市建成區(qū)內(nèi)可利用的建設(shè)用地邊角地、閑置地，在摸排中發(fā)現(xiàn)，在某住宅建成區(qū)一處閑置地，城市綠化管理部門(mén)決定將其打造成“口袋公園”．如圖，四邊形為該住宅建成區(qū)一處閑置地，經(jīng)過(guò)測(cè)量得知：，，，，．（1）如圖，連接，試求的長(zhǎng)；（2）該塊閑置用地相關(guān)政府部門(mén)計(jì)劃投入24萬(wàn)元進(jìn)行打造，經(jīng)測(cè)算，每平方米打造的費(fèi)用為1000元，請(qǐng)你計(jì)算說(shuō)明將這塊地打造成“口袋公園”政府投入的費(fèi)用是否夠用？【分析】（1）根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)勾股定理的逆定理得到，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【解答】解：（1），，，，答：的長(zhǎng)為；（2），，，，，四邊形的面積，，答：政府投入的費(fèi)用夠用．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，靈活運(yùn)用定理及其逆定理是解題的關(guān)鍵．3種方法【考查題型五】化曲（折）為直法【例5】．（22-23八年級(jí)上·山東青島·期中）如圖，長(zhǎng)方體的底面長(zhǎng)和寬分別為和（），高為．如果用一根細(xì)線從點(diǎn)A開(kāi)始如圖所示纏繞一圈到達(dá)點(diǎn)B，那么所用細(xì)線最短需要（）cm．A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了平面展開(kāi)—最短路徑問(wèn)題，本題就是把長(zhǎng)方體的側(cè)面展開(kāi)“化立體為平面”，用勾股定理解決．如圖，將長(zhǎng)方體側(cè)面展開(kāi)，連接，求出的長(zhǎng)度即可．【詳解】解：將長(zhǎng)方體展開(kāi)，連接，∵，，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，．故選：A．【變式5-1】．（22-23八年級(jí)上·山東青島·期中）如圖，一個(gè)圓柱形水杯，底面直徑為，高為，則一只小蟲(chóng)從下底點(diǎn)處爬到上底處，則小蟲(chóng)所爬的最短路徑長(zhǎng)是（取3）．

【答案】15【分析】本題考查了圓柱側(cè)面展開(kāi)圖的運(yùn)用，兩點(diǎn)之間線段最短的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用．在解答時(shí)將圓柱的側(cè)面展開(kāi)式關(guān)鍵．先將圓柱的側(cè)面展開(kāi)為一矩形，而矩形的長(zhǎng)就是地面周長(zhǎng)的一半，高就是圓柱的高，再根據(jù)勾股定理就可以求出其值．【詳解】解：展開(kāi)圓柱的側(cè)面如圖，

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短就可以得知最短．由題意，得，在中，由勾股定理，得．故答案為：．【變式5-2】．（21-22八年級(jí)下·廣西桂林·期中）如圖，C為線段上一動(dòng)點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)B，D作，連接．已知．(1)求當(dāng)x等于何值時(shí)，?(2)當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．(3)利用圖形求代數(shù)式的最小值．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了勾股定理，線段和最小，數(shù)形結(jié)合思想（1）根據(jù)題意，時(shí)，，繼而得到，結(jié)合，得到，解方程即可．（2）當(dāng)時(shí)，，利用勾股定理計(jì)算即可．（3）根據(jù)得，構(gòu)造．當(dāng)A，C，E三點(diǎn)共線時(shí)，最小，計(jì)算即可．【詳解】（1）根據(jù)題意，，當(dāng)時(shí)，，∴，∵，∴，∴，解得．（2）根據(jù)題意，，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，，∴，故．（3）根據(jù)得，構(gòu)造．如圖所示，當(dāng)A，C，E三點(diǎn)共線時(shí)，最小，延長(zhǎng)到點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)F，則四邊形是矩形，故．故．【考查題型六】分類(lèi)計(jì)算法【例6】．（23-24八年級(jí)上·廣東深圳·期末）如圖是盼盼家新裝修的房子，其中三個(gè)房間甲、乙、丙，他將一個(gè)梯子斜靠在墻上，梯子頂端距離地面的垂直距離記作，如果梯子的底端不動(dòng)，頂端靠在對(duì)面墻上，此時(shí)梯子的頂端距離地面的垂直距離記作．(1)當(dāng)盼盼在甲房間時(shí)，梯子靠在對(duì)面墻上，頂端剛好落在對(duì)面墻角處，若米，米，則甲房間的寬度＝______米．(2)當(dāng)他在乙房間時(shí)，測(cè)得米，米，且，求乙房間的寬；(3)當(dāng)他在丙房間時(shí)，測(cè)得米，且，．求丙房間的寬．【答案】(1)；(2)；(3)丙房間的寬是米．【分析】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，全等三角形的應(yīng)用，解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)以及的度數(shù)得到為等邊三角形是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；（2）證明，從而得到米，米，即可求出；（3）根據(jù)以及的度數(shù)得到為等邊三角形利用相應(yīng)的三角函數(shù)表示出，的長(zhǎng)，可得到房間寬和長(zhǎng)相等．【詳解】（1）解：在中，∵，米，米，∴，∵，∴甲房間的寬度米，（2）解：∵，∴，∵，∴，在與中，，∴，∴，∴，∴米．（3）解：過(guò)點(diǎn)作垂線，垂足點(diǎn)，連接，設(shè)，且．∵梯子的傾斜角為，∴為等腰直角三角形，為等邊三角形，梯子長(zhǎng)度相同，，∵，∴，∴，∵為等邊三角形，∴，∴，∴，∴米，即丙房間的寬是米．【變式6-1】．（23-24八年級(jí)上·貴州貴陽(yáng)·期中）如圖①，等腰三角形中，，點(diǎn)在邊上，且．(1)如圖①，當(dāng)時(shí)，將沿折疊，點(diǎn)落在處，再將沿折疊，點(diǎn)也恰好落在點(diǎn)處，此時(shí)，的形狀是，線段之間的關(guān)系是__________；(2)如圖②，繞點(diǎn)在內(nèi)部任意位置時(shí)，線段之間的數(shù)量關(guān)系是__________．試證明你的猜想：若，求的長(zhǎng)．(3)當(dāng)圖③的位置時(shí)，線段之間的數(shù)量關(guān)系是__________．（不要求證明）【答案】(1)等腰直角三角形；(2)，；(3)【分析】此題主要考查了幾何變換綜合題，需要綜合掌握?qǐng)D形的翻折變換，勾股定理的應(yīng)用．（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)知：，，所以，首先可得到是直角三角形，故、、的數(shù)量關(guān)系符合勾股定理，即；而，所以可得到，即是等腰直角三角形，因此．（2）參照（1）的思路，可將沿折疊，得，然后連接，證，后面的解法同（1）．（3）解法同（2）．【詳解】（1）解：如圖①，根據(jù)折疊的性質(zhì)知：，；，，，；，，故是等腰直角三角形，（或．故答案為：等腰直角三角形；；（2）解：；如圖②，將沿折疊，得，連，則，，，，同理可知，，，而，，，．當(dāng)，時(shí)，．．故答案為：．（3）解：；如圖，將沿折疊，得，連，則，，，，同理可知，，，而，，，，．故答案為：．【變式6-2】．（23-24八年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·期中）如圖，在中，，，，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿射線AC以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．．(1)AC的長(zhǎng)為_(kāi)_____．(2)①當(dāng)點(diǎn)P在AC延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PC的長(zhǎng)為_(kāi)_____；（用含t的代數(shù)式表示）②當(dāng)點(diǎn)P在的角平分線上，則PC的長(zhǎng)為_(kāi)_____；(3)當(dāng)是直角三角形時(shí)，求t的值；(4)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中，直接寫(xiě)出為軸對(duì)稱(chēng)圖形時(shí)t的值______．【答案】(1)(2)①；②(3)或(4)或或【分析】本題主要考查了勾股定理在動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中的應(yīng)用，等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)；（1）在中，利用勾股定理即可求解；（2）①根據(jù)當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的長(zhǎng)度為：，即可求解．②過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，證明，設(shè)，則，在中，，得出，即可求解．（3）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，當(dāng)時(shí)，設(shè)，根據(jù)等面積法求得，進(jìn)而勾股定理，即可求解；（4）分當(dāng)作為底邊時(shí)，當(dāng)作為腰時(shí)，分別畫(huà)出圖形，求得的長(zhǎng)，即可求解．【詳解】（1）解：∵在中，，，，∴，故答案為：．（2）①∵已知點(diǎn)從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的長(zhǎng)度為：，，．故答案為：．②解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖所示：

∵，∴，∵點(diǎn)在的角平分線上，，∴，又∵，∴，，∴，設(shè)，則，在中，，，解得：，∴故答案為：．（3）解：當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，當(dāng)時(shí)，如圖所示，設(shè)，則∴在中，∴解得：（負(fù)值舍去）∴綜上所述，當(dāng)是直角三角形時(shí)，或（4）解：當(dāng)作為等腰三角形的底邊時(shí)，如圖所示：

則，設(shè)，則，在中，，，解得：，此時(shí)；當(dāng)作為腰時(shí)，如圖所示：

，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，∵，∴，此時(shí)，綜上分析可知，的值為或或．【考查題型七】化斜為直法【例7】．在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面積．某學(xué)習(xí)小組經(jīng)過(guò)合作交流，給出了下面的解題思路，請(qǐng)你按照他們的解題思路完成解答過(guò)程．【解析】解：在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，設(shè)BD＝x，則CD＝14－x，由勾股定理，得AD2＝AB2－BD2＝152－x2，AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2，∴152－x2＝132－(14－x)2，解得x＝9，∴AD＝12，∴S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AD＝eq\f(1,2)×14×12＝84.2個(gè)應(yīng)用【考查題型八】勾股定理的應(yīng)用【例8】．（22-23八年級(jí)上·浙江杭州·期中）如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時(shí)，梯子底端到左墻角的距離為米，頂端距離地面2.4米．如果保持梯子底端位置不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻時(shí)，頂端距離地面2米，則小巷的寬度為米．【答案】//【分析】本題考查勾股定理，將圖形進(jìn)行標(biāo)注，利用勾股定理算出，再利用勾股定理算出，根據(jù)計(jì)算求解，即可解題．【詳解】解：根據(jù)上圖，進(jìn)行如下標(biāo)注：由題知，，，，，，，梯子長(zhǎng)度不變，，，，故答案為：．【變式8-1】．（23-24八年級(jí)上·陜西榆林·期中）明朝數(shù)學(xué)家程大位在他的著作《算法統(tǒng)宗》中寫(xiě)了一首計(jì)算秋千繩索長(zhǎng)度的詞《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步恰竿齊，五尺板高離地…”翻譯成現(xiàn)代文為：如圖，秋千靜止的時(shí)候，踏板離地高一尺（尺），將它往前推進(jìn)兩步（尺，于），此時(shí)踏板升高離地五尺（尺），求秋千繩索（或）的長(zhǎng)度．【答案】秋千繩索的長(zhǎng)度為14.5尺．【分析】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵．設(shè)尺，用表示出的長(zhǎng)，在直角三角形中，利用勾股定理列出關(guān)于的方程，求出方程的解即可得到結(jié)果．【詳解】解：設(shè)尺，尺，尺，（尺，尺，在中，尺，尺，尺，根據(jù)勾股定理得：，整理得：，即，解得：，則秋千繩索的長(zhǎng)度為14.5尺．【變式8-2】．（22-23八年級(jí)上·四川成都·期中）交通安全是社會(huì)關(guān)注的熱點(diǎn)問(wèn)題，安全隱患主要是超速和超載，某中學(xué)八年級(jí)數(shù)學(xué)活動(dòng)小組的同學(xué)進(jìn)行了測(cè)試汽車(chē)的速度的實(shí)驗(yàn)，如圖，先在筆直的公路旁選取一點(diǎn)，在公路上確定點(diǎn)，使得，米，，這時(shí)，一輛轎車(chē)在公路上由向勻速駛來(lái)，測(cè)得此車(chē)從處行駛到處所用的時(shí)間為3秒，并測(cè)得，求的距離和此車(chē)的速度．（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，）【答案】距離為73米，速度為24米/秒【分析】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用．根據(jù)，米，，可知的長(zhǎng)，，在中，可求出的長(zhǎng)，從而確定的長(zhǎng)度，根據(jù)速度等于路程除以時(shí)間可以算出轎車(chē)的速度，由此即可求解．【詳解】解：，，，∴，∵，則，，∴在中，，∴，∵從處行駛到處所用的時(shí)間為3秒，∴轎車(chē)的速度是（米/秒）.【變式8-3】．（22-23八年級(jí)上·山東青島·期中）問(wèn)題：在平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)，，如何求線段的長(zhǎng)度？小明在網(wǎng)上搜索到下面的文字材料：在軸上有兩個(gè)點(diǎn)，它們的坐標(biāo)分別為和．則這兩點(diǎn)所成線段長(zhǎng)為；同樣的，若在軸上的兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為和，則這兩點(diǎn)所成線段長(zhǎng)為．

根據(jù)上面材料，完成探究：（1）如圖1，在直角坐標(biāo)系中的任意兩點(diǎn)其坐標(biāo)分別是和，分別過(guò)這兩點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的平行線，構(gòu)成一個(gè)直角三角形，其中直角邊，，利用勾股定理可得，．應(yīng)用：（2）平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)和，線段．（3）若點(diǎn)在軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)是，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．拓展：（4）如圖2，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為和，點(diǎn)是軸上的動(dòng)點(diǎn)，且，，三點(diǎn)不在同一條直線上，點(diǎn)在什么位置時(shí)的周長(zhǎng)最?。孔钚≈凳嵌嗌伲俊敬鸢浮浚?），，；（2）5；（3）或；（4）點(diǎn)，【分析】本題考查了兩點(diǎn)之間距離公式，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)；（1）先求出點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解；（2）由兩點(diǎn)之間距離公式可求解；（3）由兩點(diǎn)之間距離公式可求解；（4）作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，的周長(zhǎng)有最小值，再由兩點(diǎn)之間距離公式和等腰直角三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：（1）兩點(diǎn)其坐標(biāo)分別是和，軸，軸，點(diǎn)，，，，故答案為：，，；（2）兩點(diǎn)和，，故答案為：；（3）設(shè)點(diǎn)C(x,0)，∵點(diǎn)D的坐標(biāo)是(0,-4)，，∴，∴，∴點(diǎn)C坐標(biāo)為(4,0)或(,0)；（4）如圖2，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接

，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為和，，的周長(zhǎng)，的周長(zhǎng)，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，的周長(zhǎng)有最小值，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為和，，的周長(zhǎng)最小值為，過(guò)點(diǎn)作于，點(diǎn)，，，點(diǎn)，，，，，，點(diǎn)．綜上所述：點(diǎn)，的周長(zhǎng)最小值為．【考查題型九】勾股定理的逆定理的應(yīng)用【例9】．（23-24八年級(jí)上·河南鄭州·期中）著名的趙爽弦圖（如圖（1），其中四個(gè)直角三角形較大的直角邊長(zhǎng)都為a，較小的直角邊長(zhǎng)都為，斜邊長(zhǎng)都為，大正方形的面積可以表示為），可以推導(dǎo)出重要的勾股定理．

(1)請(qǐng)你利用圖（2）推導(dǎo)勾股定理．(2)如圖（3）一條東西走向河的一側(cè)有一村莊，河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)，其中，由于種種原因，由到的路現(xiàn)在已經(jīng)不通了，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個(gè)取水點(diǎn)（在一條直線上），并新修一條路，測(cè)得千米，千米，千米．是不是從村莊到河邊的最近路，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算加以說(shuō)明；并求比原來(lái)的路線近了多少．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)是從村莊到河邊的最近路，理由見(jiàn)解析；千米【分析】此題主要考查了勾股定理的證明與應(yīng)用，勾股定理的逆定理：（1）梯形的面積可以由梯形的面積公式求出，也可利用三個(gè)直角三角形面積求出，兩次求出的面積相等列出關(guān)系式，化簡(jiǎn)即可得證；（2）在中，根據(jù)勾股定理的逆定理可得，從而得到是從村莊到河邊的最近路；設(shè)千米，則千米，在中，根據(jù)勾股定理列方程，解得即可得到結(jié)果．【詳解】（1）解：梯形的面積為，也可以表示為，∴，即；（2）解：是從村莊到河邊的最近路，理由如下：在中，千米，千米，千米，∴，∴為直角三角形，，即，∴是從村莊到河邊的最近路，設(shè)千米，則千米在中，，∴，解得：，即千米，千米．即比原來(lái)的路線近了千米．【變式9-1】．（23-24八年級(jí)上·廣東梅州·期中）森林火災(zāi)是一種常見(jiàn)的自然災(zāi)害，危害很大，隨著中國(guó)科技、經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，開(kāi)始應(yīng)用飛機(jī)灑水的方式撲滅火源．如圖，有一臺(tái)救火飛機(jī)沿東西方向，由點(diǎn)A飛向點(diǎn)B，已知點(diǎn)C為其中一個(gè)著火點(diǎn)，且點(diǎn)C與直線上兩點(diǎn)A，B的距離分別為和，又，飛機(jī)中心周?chē)詢(xún)?nèi)可以受到灑水影響．(1)著火點(diǎn)C受灑水影響嗎？為什么？(2)若飛機(jī)的速度為，要想撲滅著火點(diǎn)C估計(jì)需要13秒，請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算判斷著火點(diǎn)C能否被撲滅？【答案】(1)著火點(diǎn)C受灑水影響，理由見(jiàn)詳解(2)能，理由見(jiàn)詳解【分析】本題考查了勾股定理與勾股定理的逆定理的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，（1）過(guò)點(diǎn)C作，垂足為D，勾股定理的逆定理證明是直角三角形，進(jìn)而等面積法求得長(zhǎng)度，與260進(jìn)行比較即可求得答案；（2）以點(diǎn)C為圓心，為半徑作圓，交于點(diǎn)E，F(xiàn)．勾股定理求得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)而求得的長(zhǎng)，根據(jù)飛機(jī)的速度得到飛行時(shí)間，再根據(jù)題意求得滅火時(shí)間，即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）著火點(diǎn)C受灑水影響，理由如下，如圖，過(guò)點(diǎn)C作，垂足為D，∵，，，∴，∴，∴是直角三角形，∴，所以，∵，∴著火點(diǎn)C受灑水影響．（2）如圖，以點(diǎn)C為圓心，為半徑作圓，交于點(diǎn)E，F(xiàn)．則，∵，∴，在中，，∴，∴，∵，∴著火點(diǎn)C能被撲滅．【變式9-2】．（22-23八年級(jí)上·四川成都·期中）問(wèn)題背景：如圖1，某車(chē)間生產(chǎn)了一個(gè)豎直放在地面上的零件，過(guò)點(diǎn)A搭了一個(gè)支架AC，測(cè)得支架AC與地面成角，即；在的中點(diǎn)D處固定了一個(gè)激光掃描儀，需要對(duì)零件進(jìn)行掃描，已知掃描光線的張角恒為，即．問(wèn)題提出：數(shù)學(xué)興趣小組針對(duì)這個(gè)裝置進(jìn)行探究，研究零件邊上的被掃描部分（即線段EF），和未掃到的部分（即線段和線段）之間的數(shù)量關(guān)系．問(wèn)題解決：(1)先考慮特殊情況：①如果點(diǎn)E剛好和點(diǎn)A重合，或者點(diǎn)B剛好和點(diǎn)F重合時(shí)，________（填“>”，“<”或“=”）；②當(dāng)點(diǎn)E位于特殊位置，比如當(dāng)時(shí)，________（填“>”或“<”）；(2)特殊到一般：猜想：如圖2，當(dāng)時(shí)，________，證明你所得到的結(jié)論：(3)研究特殊關(guān)系：如果，求出的值．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）連接，先證明是等邊三角形，即，當(dāng)F點(diǎn)與B點(diǎn)重合時(shí)，即，根據(jù)“三線合一”可得，即有，同理：如果點(diǎn)E剛好和點(diǎn)A重合，同樣有；問(wèn)題得解；先證明是等邊三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，再結(jié)合含角的直角三角形的性質(zhì)可以求出，即問(wèn)題得解；（2）將繞D點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至，連接，先證明，再證明，問(wèn)題即可得解；（3）將繞D點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接，根據(jù)（2）中的方法，同理可證明：，，再證明是直角三角形，，結(jié)合含角的直角三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）如圖，連接根據(jù)題意有，，即，∵點(diǎn)D為中點(diǎn)，∴，∴是等邊三角形，（此結(jié)論也適用于第（2）和（3）問(wèn)）∴，∵，∴在中，，∴，當(dāng)F點(diǎn)與B點(diǎn)重合時(shí)，如上圖左圖，即，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，同理：如果點(diǎn)E剛好和點(diǎn)A重合，同樣有，故答案為：；當(dāng)時(shí)，如圖，∵，，∴，，∵，∴是等邊三角形，，∴，∴，∵，，∴在中，，∴，∴，∴，∵，，∴，故答案為：；（2），理由如下：將繞D點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至連接如圖，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)有：，，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，即：，∵，，∴，∵，，∴，∴，∴在中，，∴，故答案為：；（3）將繞D點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接如圖，根據(jù)（2）中的方法，同理可證明：，，∴，，，∵，∴，∴是直角三角形，，∵在（1）中已證明，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，含角直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理及其逆定理等知識(shí)，合理構(gòu)筑輔助線，證明三角形全等是解答本題的關(guān)鍵．【變式9-3】．（22-23八年級(jí)上·遼寧丹東·期中）如圖，在中，，，.(1)試判斷的形狀，并證明：(2)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)從A出發(fā)，以1個(gè)單位/秒的速度沿折線運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，①當(dāng)平分時(shí)，求的值：②當(dāng)點(diǎn)落在邊的垂直平分線上時(shí)，求的值；③在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，直接寫(xiě)出為等腰三角形時(shí)的值.【答案】(1)是直角三角形(2)①秒；②秒或秒；③秒或11秒或2.5秒或1.4秒【分析】（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)可得，即可判斷的形狀；（2）①根據(jù)題意作出圖形，再過(guò)點(diǎn)作，垂足為，可發(fā)現(xiàn)，設(shè)，則，，通過(guò)是直角三角形建立方程解答即可；②根據(jù)題意作出圖形，分兩種情況：點(diǎn)在中點(diǎn)；點(diǎn)在上．當(dāng)點(diǎn)在中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)即可解答；當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，連接，設(shè)為，則，根據(jù)是直角三角形列出方程即可解答；③由題意可知，當(dāng)點(diǎn)在上，且；當(dāng)點(diǎn)在上，；當(dāng)點(diǎn)在上，且過(guò)的垂直平分線，；當(dāng)點(diǎn)在上，；分別求出四種情況的值即可．【詳解】（1）解：，，，則，，是直角三角形；（2）解：當(dāng)時(shí)，，，，①如圖，平分，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，在和中，，，，設(shè)，，，在中，有，，，此時(shí)，，（秒）；②如圖，垂直平分，點(diǎn)可能在點(diǎn)處，也可能在點(diǎn)處，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)處時(shí)，，（秒），當(dāng)點(diǎn)在處時(shí)，連接，垂直平分，，設(shè)為，則，在中，有，，，，（秒），綜上，秒或秒；③當(dāng)點(diǎn)在上，時(shí)，此時(shí)，（秒），當(dāng)點(diǎn)在上，時(shí)，此時(shí)，（秒），當(dāng)點(diǎn)在上，且過(guò)的垂直平分線，時(shí)，如圖，此時(shí)點(diǎn)為的中點(diǎn)，，（秒），當(dāng)點(diǎn)在上，時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，，，，，，，在中，有，，或（舍去），綜上，秒或11秒或2.5秒或1.4秒．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理及其逆定理、角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的定義，掌握勾股定理及其逆定理、靈活運(yùn)用分類(lèi)討論思想是解題關(guān)鍵．【變式9-4】．（22-23八年級(jí)上·福建漳州·期中）問(wèn)題提出如圖，等腰直角中，，，點(diǎn)，在邊上，且，問(wèn)是否存在以，，為邊的三角形？若存在，判斷該三角形的形狀，并說(shuō)明理由，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．笑笑同學(xué)看完題后，經(jīng)過(guò)認(rèn)真思考，給出了如下解答思路：將沿翻折，得到，連接

(1)問(wèn)題解決請(qǐng)你按笑笑同學(xué)的思路，在圖中補(bǔ)全圖形，并完成解答；(2)問(wèn)題拓展如圖，正方形（正方形的四條邊相等，四個(gè)角為直角）中，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，使得平分，問(wèn)是否存在以，，為邊的三角形？若存在，判斷該三角形的形狀，并說(shuō)明理由，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)不存在，理由見(jiàn)解析【分析】（1）將沿翻折，得到，連接，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，從而可得，，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得：，，，，從而可得，，進(jìn)而利用可得≌，然后利用全等三角形的性質(zhì)可得，，從而可得，進(jìn)而可得，最后利用等量代換可得，即可解答；（2）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接，根據(jù)垂直定義可得，再根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，，從而可得，然后利用角平分線的定義可得，再利用證明≌，從而可得，，進(jìn)而可得，最后利用證明≌，從而可得，進(jìn)而可得，即可解答．【詳解】（1）解：存在以，，為邊的三角形，該三角形是直角三角形，理由：如圖，將沿翻折，得到，連接，

，，，，，，由折疊得：，，，，，，，≌，，，，，，存在以，，為邊的三角形，該三角形是直角三角形；（2）解：不存在以，，為邊的三角形，理由：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接，

，四邊形是正方形，，，，平分，，，≌，，，，，≌，，，，不存在以，，為邊的三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換折疊問(wèn)題，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形，正方形的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．2種思想【考查題型十】分類(lèi)討論思想【例10】．（2022春?蜀山區(qū)校級(jí)期中）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2cm的速度沿折線A→C→B→A運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．（1）若點(diǎn)P在AC上，且滿(mǎn)足PA＝PB時(shí)，求出此時(shí)t