專題2-1勾股定理（考題猜想，巧用勾股定理求最短路徑的長）求最短距離的問題，第一種情況是通過計算和比較解最短距離問題；第二種情況是平面圖形，將分散的條件通過幾何變換(平移或軸對稱)進行集中，然后借助勾股定理解決；第三種情況是立體圖形，將立體圖形展開為平面圖形，在平面圖形中將路程轉(zhuǎn)化為兩點間的距離，然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路程(距離)．【方法總結(jié)】1、解決有關(guān)立體圖形中路線最短的問題，關(guān)鍵是把立體圖形中的路線問題轉(zhuǎn)化為平面上的路線問題，如圓柱側(cè)面展開圖為長方形，圓錐側(cè)面展開圖為扇形，長方體側(cè)面展開圖為長方形等。2、平面圖形中利用計算、平移、對稱等方法，運用平面上兩點間線段最短的道理，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解即可。3、長方體的展開圖有三種不同的情況，計算后進行比較。技巧1：用計算法解決平面中的最短問題【例題1】（22-23八年級下·遼寧丹東·期中）如圖，已知直線交x、y軸于A、B兩點，以為邊作等邊（A、B、C三點逆時針排列），D、E兩點坐標分別為，連接，則的最小值為（

）

A．6 B． C．6.5 D．7【變式1】（22-23八年級下·廣東廣州·期中）數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說：“對一個數(shù)學(xué)問題，改變它的形式，變換它的結(jié)構(gòu)，直到發(fā)現(xiàn)有價值的東西，這是數(shù)學(xué)解題的一個重要原則”．在復(fù)習(xí)二次根式時，老師提出了一個求代數(shù)式最小值的問題，如：“當時，求代數(shù)式的最小值”，其中可看作兩直角邊分別為和2的的斜邊長，可看作兩直角邊分別是和3的的斜邊長．于是構(gòu)造出如圖，將問題轉(zhuǎn)化為求的最小值．運用此方法，請你解決問題：已知a，b均為正數(shù)，且．則的最小值是．【變式2】（22-23八年級下·全國·單元測試）如圖，，兩個工廠位于一段直線形河的異側(cè)，廠距離河邊，B廠距離河邊，經(jīng)測量，現(xiàn)準備在河邊某處(河寬不計)修一個污水處理廠．(1)設(shè)，請用的代數(shù)式表示的長；(2)為了使兩廠的排污管道最短，污水廠的位置應(yīng)怎樣來確定此時需要管道多長？(3)通過以上的解答，充分展開聯(lián)想，運用數(shù)形結(jié)合思想，請你猜想的最小值為多少？【變式3】（22-23八年級上·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，一條河流的段長為，在點的正北方處有一村莊，在點的正南方處有一村莊，計劃在上建一座橋，使得橋到村和村的距離和最?。埜鶕?jù)以上信息，回答下列問題：(1)將橋建在何處時，可以使得橋到村和村的距離和最?。空堅趫D中畫出此時點的位置；(2)小明發(fā)現(xiàn)：設(shè)，則，則，根據(jù)（1）中的結(jié)論可以求出當______時，的值最小，且最小值為______；(3)結(jié)合（1）（2）問，請直接寫出下列代數(shù)式的最小值：①的最小值______；②的最小值為______．技巧2：用平移法解決平面中的距離問題已知A、B是兩個定點，在定直線l上找兩個動點M與N，且MN長度等于定長d（動點M位于動點N左側(cè)），使AM+MN+NB的值最小.提示：存在定長的動點問題一定要考慮平移作法一：將點A向右平移長度d得到點A’，作A’關(guān)于直線l的對稱點A’’，連接A’’B，交直線l于點N，將點N向左平移長度d，得到點M。作法二：作點A關(guān)于直線l的對稱點A1，將點A1向右平移長度d得到點A2，連接A2B，交直線l于點Q，將點Q向左平移長度d，得到點Q。（造橋選址）直線l1∥l2，在直線l1上找一個點C，直線l2上找一個點D，使得CD⊥l2,且AC＋BD＋CD最短．作法：將點A沿CD方向向下平移CD長度d至點A’，連接A’B，交l2于點D，過點D作DC⊥l2于點C，連接AC．則橋CD即為所求．此時最小值為A’B+CD【例題2】（22-23八年級上·浙江紹興·期末）如圖，在平面直角坐標系中，，，，M，N是線段上的兩個動點，且，則與周長和的最小值是．【變式1】（2021八年級上·全國·專題練習(xí)）如圖，小明在廣場上先向東走10m，又向南走40m，再向西走20m，又向南走40m，再向東走70m．則小明到達的終點與原出發(fā)點的距離是．【變式2】．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN，使從A到B的路徑AMNB最短的是（假定河的兩岸是平行線，橋與河岸垂直）（）A．B．C． D．【變式3】（22-23八年級下·山東青島·期末）閱讀材料：對于平面直角坐標系中的圖形G和圖形G上的任意點，給出如下定義：將點平移到稱為將點P進行“t型平移”，點稱為將點P進行“t型平移”的對應(yīng)點；將圖形G上的所有點進行“t型平移”稱為將圖形G進行“t型平移”．例如：將點平移到稱為將點P進行“1型平移”，將點平移到稱為將點P進行“型平移”．已知點和點．

(1)將點進行“1型平移”后的對應(yīng)點的坐標為___________；(2)①將線段AB進行“型平移”后得到線段，點，，中，在線段上的點是___________；②若線段AB進行“t型平移”后與坐標軸有公共點，則t的取值范圍是___________；(3)已知點，，點M是線段CD上的一個動點，將點B進行“t型平移”后得到的對應(yīng)點為，當t的取值范圍是___________時，的最小值保持不變．技巧3：用對稱法解決平面中的最短問題1.兩定一動型：兩定點到一動點的距離和最小。類型1：在定直線l上找一個動點P，使動點P到兩個定點A與B的距離之和最小，即PA+PB最小.作法：連接AB，與直線l的交點Q，Q即為所要尋找的點，即當動點P跑到了點Q處，PA+PB最小，且最小值等于AB.原理：兩點之間線段最短。類型2：在定直線l上找一個動點P，使動點P到兩個定點A與B的距離之和最小，即PA+PB的和最小.作法：作定點B關(guān)于定直線l的對稱點C，連接AC，與直線l的交點Q即為所要尋找的點，即當動點P跑到了點Q處，PA+PB和最小，且最小值等于AC.原理：兩點之間，線段最短2.兩動一定型類型3：在∠MON的內(nèi)部有一點A，在OM上找一點B，在ON上找一點C，使得△BAC周長最短．作法：作點A關(guān)于OM的對稱點A’，作點A關(guān)于ON的對稱點A’’

，連接A’A’’，與OM交于點B，與ON交于點C，連接AB，AC，△ABC即為所求．類型4：在∠MON的內(nèi)部有點A和點B，在OM上找一點C，在ON上找一點D，使得四邊形ABCD周長最短．作法：作點A關(guān)于OM的對稱點A’，作點B關(guān)于ON的對稱點B’

，連接A’B’，與OM交于點C，與ON交于點D，連接AC，BD，AB，四邊形ABCD即為所求．3.垂線段最短型類型5：在∠MON的內(nèi)部有一點A，在OM上找一點B，在ON上找一點C，使得AB＋BC最短．點A是定點，OM，ON是定線，點B、點C是OM、ON上要找的點，是動點．作法：作點A關(guān)于OM的對稱點A’，過點A’作A’C⊥ON，交OM于點B，B、C即為所求。類型6：在定直線l上找一個動點P，使動點P到兩個定點A與B的距離之差最小，即|PA-PB|最小.作法：連接AB，作AB的中垂線與l的交點，即為所求點P此時|PA-PB|=0類型7：在定直線l上找一個動點C，使動點C到兩個定點A與B的距離之差最大，即|PA-PB|最大作法：作點B關(guān)于l的對稱點B，連接AB，交交l于點P即為所求，最大值為AB的長度?！纠}3】（21-22八年級下·安徽合肥·期中）如圖，高速公路的同一側(cè)有A，B兩城鎮(zhèn)，它們到高速公路所在直線的距離分別為，，．要在高速公路上C，D之間建一個出口P，使A，B兩城鎮(zhèn)到P的距離之和最小，則這個最短距離為（

）A． B． C． D．【變式1】（22-23八年級下·廣西桂林·期中）如圖，在等腰直角中．，，的平分線交于點，點為邊的中點，點和分別是和上動點，則的最小值是．

【變式2】（22-23八年級下·云南昭通·期中）如圖，河的同側(cè)有、兩個村，且，、兩村到河的距離分別為，．現(xiàn)要在河邊上建一水廠分別向、兩村輸送自來水，鋪設(shè)水管的工程費每千米需2000元．請你在河岸上選擇水廠位置，使鋪設(shè)水管的費用最省，并求出鋪設(shè)水管的總費用（元）．

【變式3】（22-23八年級·山東濟南·期中）如圖，A，B兩個村莊在河CD的同側(cè)，兩村莊的距離為a千米，，它們到河CD的距離分別是1千米和3千米．為了解決這兩個村莊的飲水問題，鄉(xiāng)政府決定在河CD邊上修建一水廠向A，B兩村輸送水．(1)在圖上作出向A，B兩村鋪設(shè)水管所用材料最省時的水廠位置M．（只需作圖，不需要證明）(2)經(jīng)預(yù)算，修建水廠需20萬元，鋪設(shè)水管的所有費用平均每千米為3萬元，其他費用需5萬元，求完成這項工程鄉(xiāng)政府投入的資金至少為多少萬元．技巧4：用展開法解決立體圖形中的最短問題類型1：圓柱中的最短問題【例題4】（23-24八年級下·廣東惠州·階段練習(xí)）如圖是底面周長為24，高為5的圓柱體．一只小螞蟻要從點A爬到點，則螞蟻爬行的最短距離是（

）A．7 B．10 C．13 D．21【變式1】（22-23八年級下·山東臨沂·期中）如圖，透明圓柱的底面半徑為6厘米，高為12厘米，螞蟻在圓柱側(cè)面爬行．從圓柱的內(nèi)側(cè)點爬到圓柱的外側(cè)點處吃食物，那么它爬行最短路程是厘米．

【變式2】（23-24八年級上·貴州貴陽·期中）（1）如圖①，圓柱的高為，底面圓的周長為，在圓柱下底面的點A有一只螞蟻，它想吃到上底面上與點A相對的點B處的食物，沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是多少？（2）如圖2，是一個無蓋的長方形罐頭盒，盒高，盒底周長，盒外一只螞蟻在底部A處，想吃到盒內(nèi)與A相對的點B處的食物，求螞蟻爬行的最短路程長度．【變式3】（22-23八年級下·全國·單元測試）我國古代有這樣一道數(shù)學(xué)問題：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根纏繞而上，五周而達其頂，問葛藤之長幾何？”題意是：如圖所示，把枯木看作一個圓柱體，因一丈是十尺，則該圓柱的高為20尺，底面周長為3尺，有葛藤自點處纏繞而上．(1)若繞五周后其末端恰好到達點處，則問題中葛藤的最短長度是________尺．(2)若繞周后其末端恰好到達點處，則問題中葛藤的最短長度是________尺．類型2：圓錐中的最短問題【例題5】（2024八年級·全國·競賽）有一個圓錐，其母線長是，底面圓的直徑是，點為底面圓周上的任意一點，現(xiàn)在用筆在該圓錐的側(cè)面上畫出一條線，這條線從點開始繞圓錐側(cè)面一圈后又回到點，則這條線最短為（

）．A． B． C． D．【變式1】（2023八年級下·全國·專題練習(xí)）如圖，底面半徑為1，母線長為4的圓錐，一只小螞蟻若從A點出發(fā)，繞側(cè)面一周又回到A點，它爬行的最短路線長是．【變式2】（20-21八年級上·山西運城·期中）如圖，圓錐的底面圓直徑為，母線長為，若小蟲從點開始繞著圓錐表面爬行一圈到的中點，則小蟲爬行的最短距離為．【變式3】已知：如圖，觀察圖形回答下面的問題：(1)此圖形的名稱為________．(2)請你與同伴一起做一個這樣的物體，并把它沿AS剪開，鋪在桌面上，則它的側(cè)面展開圖是一個________．(3)如果點C是SA的中點，在A處有一只蝸牛，在C處恰好有蝸牛想吃的食品，但它又不能直接沿AC爬到C處，只能沿此立體圖形的表面爬行，你能在側(cè)面展開圖中畫出蝸牛爬行的最短路線嗎？(4)SA的長為10，側(cè)面展開圖的圓心角為90°，請你求出蝸牛爬行的最短路程．類型3：長方體中的最短問題【例題6】（23-24八年級上·四川宜賓·期末）如圖，在一個長方形草坪上，放著一根長方體的木塊．已知米，米，該木塊的較長邊與平行，橫截面是邊長為2米的正方形，一只螞蟻從點爬過木塊到達處需要走的最短路程是（）A．8m B．10m C．m D．m【變式1】（22-23八年級下·河南駐馬店·期中）如圖，一只螞蟻從長、寬、高分