第一章思考題解答

1.1答：平均速度是運動質(zhì)點在某?時間間隔/f/+△/內(nèi)位矢大小和方向改變的平均快慢

速度，其方向沿位移的方向即沿&對應(yīng)的軌跡割線方向；瞬時速度是運動質(zhì)點在某時刻或

某未知位矢和方向變化的快慢程度其方向沿該時刻質(zhì)點所在點軌跡的切線方向。在Affo

的極限情況，二者一致，在勻速直線運動中二者也一致的。

1.2答：質(zhì)點運動時，徑向速度V，和橫向速度V。的大小、方向都改變，而明中的尸只反映

了V,本身大小的改變，4中的「占+「@只是本身大小的改變。事實上，橫向速度方

向的改變會引起徑向速度V,.大小大改變，一廠）就是反映這種改變的加速度分量；經(jīng)向速

度V,的方向改變也引起V。的大小改變，另一個即為反映這種改變的加速度分量，故

%=尸_,%=e+2r6,。這表示質(zhì)點的徑向與橫向運動在相互影響，它們一起才能

完整地描述質(zhì)點的運動變化情況

1.3答：內(nèi)稟方程中，。n是由于速度方向的改變產(chǎn)生的，在空間曲線中，由于a恒位于密切

面內(nèi)，速度V總是沿軌跡的切線方向，而a“垂直于v指向曲線凹陷一方，故明總是沿助法

線方向。質(zhì)點沿空間曲線運動時，%=0,乙wOz何與牛頓運動定律不矛盾。因質(zhì)點除受

作用力F，還受到被動的約反作用力R，二者在副法線方向的分量成平衡力居+此=0，

故即=0符合牛頓運動率。有人會問：約束反作用力靠誰施加，當(dāng)然是與質(zhì)點接觸的周圍

其他物體由于受到質(zhì)點的作用而對質(zhì)點產(chǎn)生的反作用力。有人也許還會問：某時刻若

耳，與此大小不等，勺就不為零了？當(dāng)然是這樣，但此時刻質(zhì)點受合力的方向與原來不同，

質(zhì)點的位置也在改變，副法線在空間中方位也不再是原來/所在的方位，又有了新的副法

線，在新的副法線上仍滿足耳,+凡=0即即=0。這反映了牛頓定律得瞬時性和矢量性，

也反映了自然坐標(biāo)系的方向雖質(zhì)點的運動而變。

1.4答：質(zhì)點在直線運動中只有勺而無明,質(zhì)點的勻速曲線運動中只有%而無％;質(zhì)點作

變速運動時即有火又有凡。

1.5答：立即反應(yīng)位矢?■大小的改變又反映其方向的改變，是質(zhì)點運動某時刻的速度矢量，

dt

而它只表示「大小的改變。如在極坐標(biāo)系中，包=卉+「@而如=戶。在直線運動中，規(guī)

dtdtdt

定了直線的正方向后，—=—o且包的正負可表示如的指向，二者都可表示質(zhì)點的運

dtdtdtdt

動速度；在曲線運動中立力如，且@1也表示不了包的指向，二者完全不同。

dtdtdtdt

史表示質(zhì)點運動速度的大小，方向的改變是加速度矢量，而立只是質(zhì)點運動速度大小

dtdt

的改變。在直線運動中規(guī)定了直線的正方向后，二者都可表示質(zhì)點運動的加速度；在曲線運

動中，二者不同，變.=%+。而史=（。

dtT"dt「

1.6答：不論人是靜止投籃還是運動投籃，球?qū)Φ氐姆较蚩倯?yīng)指向籃筐，其速度合成如題1.6

題1-6圖

圖所示，故人以速度v向球網(wǎng)前進時應(yīng)向高于籃筐的方向投出。靜止投籃是直接向籃筐投

出，（事實上要稍高一點，使球的運動有一定弧度，便于投籃）。

1.7答：火車中的人看雨點的運動，是雨點的勻速下落運動及向右以加速度a的勻速水平直

線運動的合成運動如題1.7圖所示，

題1-7圖

2

o'x'y'是固定于車的坐標(biāo)系，雨點相對車的加速度a'=-a，其相對運動方程I"=2at消

yr=vt

去/的軌跡

y，2工

a

如題圖，有人會問：車上的人看雨點的軌跡是向上凹而不是向下凹呢？因加速度總是在曲線

凹向的內(nèi)側(cè)，a'垂直于V'方向的分量a；在改變著V'的方向，該軌跡上凹。

1.8答：設(shè)人發(fā)覺干落水時一，船已上行上行時船的絕對速度匕卅-V水，則

)x2

船反向追趕竿的速度V蠟+V水，設(shè)從反船到追上竿共用時間/，則

(丫船+丫水)/=600+5’

又竿與水同速，則

V水(2+f)=600

①+③=②得

L9答：不一定一致，因為是改變物體運動速度的外因，而不是產(chǎn)生速度的原因，加速度的

方向與合外力的方向一致。外力不但改變速度的大小還改變速度的方向，在曲線運動中外力

與速度的方向肯定不一致，只是在加速度直線運動二者的方向一致。

1.10答：當(dāng)速度與物體受的合外力同一方位線且力矢的方位線不變時，物體作直線運動。

在曲線運動中若初速度方向與力的方向不一致，物體沿出速度的方向減速運動，以后各時刻

既可沿初速度方向運動，也可沿力的方向運動，如以一定初速度上拋的物體，開始時及上升

過程中初速度的方向運動，到達最高點下落過程中沿力的方向運動。

在曲線運動中初速度的方向與外力的方向不一致，物體初時刻速度沿初速度的反方向，但以

后既不會沿初速度的方向也不會沿外力的方向運動，外力不斷改變物體的運動方向，各時刻

的運動方向與外力的方向及初速度的方向都有關(guān)。如斜拋物體初速度的方向與重力的方向不

一致，重力的方向決定了軌道的形狀開口下凹，初速度的方向決定了射高和射程。

1.11答：質(zhì)點僅因重力作用沿光滑靜止曲線下滑，達到任意點的速度只和初末時刻的高度

差有關(guān)，因重力是保守力，而光滑靜止曲線給予質(zhì)點的發(fā)向約束力不做功，因此有此結(jié)論

假如曲線不是光滑的，質(zhì)點還受到摩擦力的作用，摩擦力是非保守力，摩擦力的功不僅與初

末位置有關(guān)，還與路徑有關(guān)，故質(zhì)點到達任一點的速度不僅與初末高度差有關(guān)，還與曲線形

狀有關(guān)。

1.12答：質(zhì)點被約束在一光滑靜止的曲線上運動時，約束力的方向總是垂直于質(zhì)點的運動

方向，故約束力不做功，動能定理或能量積分中不含約束力，故不能求出約束力。但用動能

定理或能量積分可求出質(zhì)點在某位置的速度，從而得出a?，有牛頓運動方程Fn+R?=ma?

便可求出R“，即為約束力

1.13答：動量

p=mv=1?個3。+2?+百=4（*"吆）

動能

T--mv2=—xlx^32+22V3'j=8（N-m）

1.14答：

jk

J=rxmV=123=（2V3-6）+（9-V3）j+（2-6>

326

故

Jo=7（2^3-6）2+^-A/3）2+（-4）2?8.67（口用

小一代不

1.15答：動量矩守恒意味著外力矩為零，但并不意味著外力也為零，故動量矩守恒并不意

味著動量也守恒。如質(zhì)點受有心力作用而運動動量矩守恒是由于力過力心，力對力心的矩為

零，但這質(zhì)點受的力并不為零，故動量不守恒，速度的大小和方向每時每刻都在改變。

1.16答：若尸=尸(廠),在球坐標(biāo)系中有

er，%

□匚3ddSF(r)ar(r)

▽xF=———=——e-----e=n0

dr60d(pd(pn60ia

F(r)00

由于坐標(biāo)系的選取只是數(shù)學(xué)手段的不同，它不影響力場的物理性質(zhì)，故在三維直角坐標(biāo)系中

仍有VxF=0的關(guān)系。在直角坐標(biāo)系中

f=x\+yj+zk,F(r)=Fx(r)+Fy(z)j+Fz(r>

故

i

Ak

VF

X=—=VX.（r）"+）'j+水=VXVXF（r）-=VxFl

axdzrr

IF;(r

r

事實上據(jù)算符的性質(zhì)，上述證明完全可以簡寫為

VxF=VxF（r）r=0

這表明有心力場是無旋場記保守立場

1.17答平方反比力場中系統(tǒng)的勢能丫（r）=_￡竺，其勢能曲線如題圖1.17圖所示,

由T+y（r）=E知T=E-丫6）,因T>0,故有芯>V（r）。

若￡<0，其勢能曲線對應(yīng)于近日點r.和遠日點r之間的一段。近日點處

E-vG）-T即為進入軌道需要的初動能若￡〉0則質(zhì)點的運動無界，對應(yīng)于雙曲線軌道的

運動；若七=（）位于有界和無界之間，對應(yīng)于拋物線軌道的運動；這兩種軌道的運動都沒有

近日點，即對大的r質(zhì)點的運動是無界的，當(dāng)r很大時0,還是選無限遠為零勢點

的緣故，從圖中可知，做雙曲軌道運動比拋物軌道和橢圓軌道需要的進入軌道需要的動能要

大。事實及理論都證明，平方反比引力場中質(zhì)點的軌道正是取決于進入軌道時初動能的大小

由

得

,k2

vJ>—j

r

k2

<一

即速度V的大小就決定了軌道的形狀，圖中（,乙，73對應(yīng)于進入軌道時的達到第一二三宇

宙速度所需的能量由于物體總是有限度的，故「有一極小值此，既相互作用的二質(zhì)點不可

能無限接近，對于人造衛(wèi)星的發(fā)射R,其為地球半徑。"=E-丫（廠）為地面上發(fā)射時所需的

初動能，圖示心1,42,八3分別為使衛(wèi)星進入軌道時達到一二三宇宙速度在地面上的發(fā)射動

能。一q）i=1,2,3.為進入軌道前克服里及空氣阻力做功所需的能量。

1.18答：地球附近的物體都受到隨地球自轉(zhuǎn)引起的慣性離心力的作用，此力的方位線平行于

赤道平面，指向背離地軸。人造地球衛(wèi)星的軌道平面和地球赤道平面的夾角越大，則衛(wèi)星的

慣性離心力與軌道平面的家教越大，運動中受的影響也越大，對衛(wèi)星導(dǎo)向控制系統(tǒng)的要求越

高。交角越大，對地球的直接探測面積越大，其科學(xué)使用價值越高。

1.19答：對庫侖引力場有,機產(chǎn)_4=旦其中/=召若丫2）生，則，E〉0,軌道是雙

2r4fr

曲線的一點，與斥力情況相同，盧瑟福公式也適用，不同的是引力情況下力心在雙曲線凹陷

方位內(nèi)側(cè)；若丫24竺，則EK。，軌道橢圓仿⑹或拋物線仿=0）,盧瑟福公式不適用，

r

仿照課本上的推證方法，在入射速度匕〉竺的情況下即可得盧瑟福公式。近代物理學(xué)的正,

r

負粒子的對撞試驗可驗證這一結(jié)論的近似正確性。

第一章習(xí)題解答

1.1由題可知示意圖如題1.1.1圖:

題1.1.1圖

設(shè)開始計時的時刻速度為七,由題可知槍彈作勻減速運動設(shè)減速度大小為

則有:

12

§=匕）4一]。々

2s=+?2）_]。（，1+，2）2

由以上兩式得

S1

vo=1。+323

再由此式得

Q_2S(，2T])

斗2(6十，2)

證明完畢.

1.2解由題可知，以燈塔為坐標(biāo)原點建立直角坐標(biāo)如題1.2.1圖.

-------A<>-?--0-----------------?

題1.2.1圖

設(shè)A船經(jīng)過"小時向東經(jīng)過燈塔,則向北行駛的B船經(jīng)過(%+lg)小時經(jīng)過燈塔

任意時刻4船的坐標(biāo)

8船坐標(biāo)XB=0，

)'B=—[15,O+1；-15/

則A8船間距離的平方

22

d=(xA-xB)+(力

即

L/、-12

22

d=(15r0-15f)+15,+1；)-15f

=450f2-(9OOro+675>+225點+225bo+11]

/對時間,求導(dǎo)

誓900,-（900%+675）

AB船相距最近，即魚!）=0,所以

dt

3,

-o=7

即午后45分鐘時兩船相距最近最近距離

M4『+(】5x：15x|jkm

§min

1.3解⑴如題1.3.2圖

由題分析可知，點c的坐標(biāo)為

.￥=廠COS°+QCOS〃

y=asinI//

又由于在AAOB中，有」—=用_（正弦定理）所以

sin〃sincp

.2asin”2y

sin(p-------—=

rr

聯(lián)立以上各式運用

.221

sin(p+cos(p=I

由此可得

x-acosw_xJa2—o2

rr

得

22,22c2

4Ayx+a-y—2xyja-y

--Z--1-------------------------

得

3y2+x2+a2-r2=2x-^a2-y2

化簡整理可得

2222222

4x(?-/)=(x+3y+?-r)

此即為C點的軌道方程.

(2)要求c點的速度，分別求導(dǎo)

..ra)cos(p.

x=-rcosincp--------sin'

2cos少

._rcocos(/)

y=^~

其中

(o-<p

又因為

rsin(p=2。sin"

對兩邊分別求導(dǎo)

故有

.rcocoscp

所以

/、2

.rcoCOS69.

-rcosincp---------siny/

(2cos獷)4

-———Jcos20+4sin°cos夕sin(0+“)

2cos沙

1.4解如題1.4.1圖所示,

L

AxAx_______B

o

第1.4題圖

OL繞O點以勻角速度轉(zhuǎn)動，c在43上滑動，因此C點有一個垂直桿的速度分

量

22

v±=<yxOC=84d+x

C點速度

vi,2/）d~+x~

v=—―=v.asec6,=tat/sec0=co---------

cos。d

又因為g=o所以C點加速度

a=-=ftx/-2sec?sec-tan-<9=2d①2sec2。tan6=/+，）

dtd2

1.5解由題可知，變加速度表示為

a-cI-sin——

I2T）

由加速度的微分形式我們可知

dv

a--

dt

對等式兩邊同時積分

可得：

V=C7+VCCOSF+D（D為常數(shù)）

代入初始條件：/=0時，丫=0，故

D=-三c

又因為

ds

v=一

dt

所以

對等式兩邊同時積分，可得:

1.6解由題可知質(zhì)點的位矢速度

Vf/=々①

沿垂直于位矢速度

又因為=f=Ar9即

r=2r

v±=Ox-jU0即0=

r

T小，?)+*(取位矢方向八垂直位矢方向j)

所以

ddr..dz....6.

——(n)=——1+r——=ri+rd/

出、/出出

—(r=—0j+rj+rd—=r(^+r(^-r^2z

dtv7dtdtdt

故

a=（r-rO2\+（rO+2為）j

即沿位矢方向加速度

a-（r—r^2）

垂直位矢方向加速度

={rO+2r0]

對③求導(dǎo)

r=Ar=A2r

對④求導(dǎo)

d=一45+幺8=〃6（幺+/11

rryr）

把③④⑦⑧代入⑤⑥式中可得

1.7解由題可知

,x=rcos。①一②

y=rsin6

對①求導(dǎo)

x=rcos-rsin00③

對③求導(dǎo)

x=rcos0-2r0s\nO-rOsinO-rO2cos。④

對②求導(dǎo)

y=戶sin。+r6cos。⑤

對⑤求導(dǎo)

y=rsin0+2r0cos0-\-r6cos0-r02sind?

對于加速度〃，我們有如下關(guān)系見題L7.1圖

題1.7.1圖

即

x=arcos0+aosin^⑦—⑧

y=arsin0+aocos。

對⑦⑧倆式分別作如下處理：⑦XCOS。，⑧xsin。

即得

Heos。=arcos0-aosincos⑨—⑩

ysin^=arsin8+%sincos

⑨+⑩得

ar=xcos^+ysin^（”）

把④⑥代入（ID得

2

ar-r-rd

同理可得

a0=r。+2亍。

1.8解以焦點歹為坐標(biāo)原點，運動如題L8.1圖所示］

則〃點坐標(biāo)

x=rcosO

V

y=rsin0

對羽y兩式分別求導(dǎo)

x=rcosO-rOsind

y=rsin+rOcosO

故

v2=x2+y2=(rcos^-r^sin^)"+(戶sin。+rJcos'}=r2+r2a>2

如圖所示的橢圓的極坐標(biāo)表示法為

1+ecos。

對r求導(dǎo)可得（利用又因為

11ecos?

所以

故有

222

,'vsin^+r6;

a2(l-e2)2

/(』2)2[1_/(l—e2)2+：22〃(le2)+廣。

V=￡Jr（2a一廠）

（其中/=（1一為橢圓的半短軸）

1.9證質(zhì)點作平面運動，設(shè)速度表達式為

V=Vxi+VyJ

令為位矢與軸正向的夾角，所以

dvdv.didvdj

=——=-r-i+V——+--J+V—=

dtdtdrtdtvdt

所以

dv-dvdvdv、

=v^-vv8+v^v+vv6=v"+v-

*dtxyydtxyxdtydt

又因為速率保持為常數(shù)，即

丫21+鏟＞=。,0為常數(shù)

對等式兩邊求導(dǎo)

dvdv

2v,--+2v----v-=0

*dtyvdt

所以

a-v=0

即速度矢量與加速度矢量正交.

1.10解由題可知運動軌跡如題1.10.1圖所示,

題1.10』圖

則質(zhì)點切向加速度

dv

a.=—

1dt

2

法向加速度a=上，而且有關(guān)系式

"P

蟲=-2k《①

dtp

又因為

②

P(i+y咋

y2=2px

所以

③

y

-2

y“=_4④

y

聯(lián)立①②③④

p-

—=-2kv2—tL⑤

dtz

(周

又

dvdvdy.dv

--=---.--=y---

dtdydtdy

把y2=2pX兩邊對時間求導(dǎo)得

P

又因為

v2=x2+y2

所以

,2_V2

一科⑥

1+4

P-

把⑥代入⑤

2

(2dy(2

1+411+勺

IpJIy)

既可化為

dvdy

=2kp

vy-+p-

對等式兩邊積分

所以

v=ue-u

1.11解由題可知速度和加速度有關(guān)系如圖1.11.1所示

v

題I」1.1圖

a=——=asina

nr

.dv

a,=——=acosa

Idt

兩式相比得

2

v--1------d-v-----------

rsincrcosadt

即

1.dv

-cotcult=—

rv

對等式兩邊分別積分

f1.rdv

—coladt--

rI,,v2

即

11t

—=-------cota

u%「

此即質(zhì)點的速度隨時間而變化的規(guī)律.

1.12證由題L11可知質(zhì)點運動有關(guān)系式

v

—=Sin6Z

r①②

dv

—=acosa

[dt

所以處=也.".=如①,聯(lián)立①②，有

dtdedtde

dvv2

——CD=---------coscr

dOrsina

又因為

v=cor

所以女…甌對等式兩邊分別積分，利用初始條件r=o時，0=0.

V

V=%e?F）8ta

1.13證（。）當(dāng)嗎=0,即空氣相對地面上靜止的，有v絕=v#j+v布?式中-絕

U>LJTil￡巳

質(zhì)點相對靜止參考系的絕對速度，叫指向點運動參考系的速度，V牽指運動參

考系相對靜止參考系的速度.

可知飛機相對地面參考系速度：/=v，，即飛機在艦作勻速直線運動.所以

飛機來回飛行的總時間

（匕）假定空氣速度向東，則當(dāng)飛機向東飛行時速度

匕=—+.

飛行時間

I

’1二丁二一

V+v0

當(dāng)飛機向西飛行時速度

V=V相+丫牽=/-%

飛行時間

故來回飛行時間

IIIv'l

f=々+t,=-------+--------=―:------7

v+v0v-v0v-v0

即

2/

t=---F=-"

1-'

VV

同理可證，當(dāng)空氣速度向西時，來回飛行時間

（C）假定空氣速度向北.由速度矢量關(guān)系如題1.13.1圖

題1.13.1圖

v絕=%+"

所以來回飛行的總時間

21

21：

t-

同理可證空氣速度向南時,來回飛行總時間仍為

t=1%

1.14解正方形如題1.14.i圖。

口

由題可知“=丫風(fēng)=28km/h設(shè)風(fēng)速4一§,y相100km/h，當(dāng)飛機

A—>8，匕=(100+2S)km/h=128km/h

22

B-^D,V2=7100-28hn/h=96km/h

CD,v3=(\0Q-28)km/h=72km/h

O-A,匕=71002-2S2km/h=96km/h

故飛機沿此邊長6女加/人正方形飛行一周所需總時間

題IJ42圖二題1.14.3圖

1.15解船停止時，干濕分界線在蓬前3,由題畫出速度示意圖如題.15.1圖

題1.15.1圖

丫雨絕=u雨相+丫船

故

vat______________

sin(?+/?)sin(乃_2_￡_y)

又因為,+7=5，所以

_丫雨絕sin(a+夕)

v?

cosa

由圖可知

42

cosa=’>,一=—；=,cosa

“2+22V5

34

sinp=-,cos/?=—

丫雨絕=8〃z/s

所以

u雨絕(sinacos夕+sin/cosa)=8/

cosa

1.16解以一岸邊為x軸，垂直岸的方向為y軸.建立如題1.16.1圖所示坐標(biāo)系

d-丫水

0x

題1.16.1圖

所以水流速度

外［o<y<|

V=<

-wy〈d

又因為河流中心處水流速度為c

d_

c=kx-=kx\d

2I

所以人生。當(dāng)03/時，釀=^y即

d)2水d)

dx_2c

IT7y①--②

7=id

得小與團，兩邊積分

［dx=］苧dt

聯(lián)立②③，得

x=—y2fo<y<—④

udL2)

同理，當(dāng)dZyzl時，Vk嚀(d-y)即

-2

JJr=J§("i力)J.

二空y_￡Zi+0(O為一常數(shù))⑤

X

uud

由④知，當(dāng)y=4時，理代入⑤得

24u

_cd

D-----

2u

有

2ccy2cd(d

X=—->不""

uud2〃12)

所以船的軌跡

=-y2fo<y<—>|

Xud[2)

V

2cc2cd(d

XRRy

船在對岸的了；靠攏地點即/時有x=里.

2u

1.17解以A為極點,岸為極軸建立極坐標(biāo)如題.17.1圖.

/〃//////////////////

，―A4一二:,....一

/////0//////////////X

題1.17.1圖

船沿垂直于r的方向的速度為一C.sin^，船沿徑向r方向的速度為C?和Q沿徑向

的分量的合成，即

r--Cjsin(p

出①一②

—=C,cos-C

d2

②/①得—=--J---cot。d(p?對兩積分:

r(Gsin°

Inr=-Intan--Insin°+C

C,2

設(shè)￡1=&,鄉(xiāng)=見。為常數(shù)，即

C12

lnr=ln+C

2cost+1a

代入初始條件r=r。時，.設(shè)”=4,有C=lnr?！狪n里魯，得

22cosa。

k+\

sin1aCOS%

r=ro一.t-l

cos;*+lasm%

1.18解如題1.18.1圖

題1.1&I圖

質(zhì)點沿下滑，由受力分析我們可知質(zhì)點下滑的加速度為。=geos。.設(shè)豎直線

°B=h，斜槽。A='易知的皿吟—，由正弦定理

即

八cosa①

cos?-a)

又因為質(zhì)點沿光滑面CU下滑，即質(zhì)點做勻速直線運動.

所以

s=—at2=—gcos0t~②

22

有①②

；geosBcos（，-2-hcosa=0

欲使質(zhì)點到達A點時間最短，由產(chǎn)=一也當(dāng)一可知，只需求出

gC0S^C0S（^-6Z）

cos0cos（。-a）的極大值即可,令

y=cos^cos^-6z=cos^（cos0cos6^+sinsina）

y=cosacos26+—1sin26sina

2

把y對e求導(dǎo)

dv\1

—=2cos^（-sin9）?cosa+—cos20?2?sina

dO''2

極大值時空=0,故有

de

tan。=sin2。

由于是斜面的夾角，即ONaN5,。/%'

所以

1.19解質(zhì)點從拋出到落回拋出點分為上升和下降階段.取向上為正各力示意

圖如題1.19.1圖,

.V

▼

扁mg

上升時下降時

題1.19.1圖

則兩個過程的運動方程為:

上升

my=-mg-mk2gy2①

下降：

-my=-mg+mk2gy2②

對上升階段：

%—gQ+k2V2)

dvdyvdv(.,\

------=——=-e\l+k2v2

dydtdy'7

即

vdv,

i+T2Tdy

對兩邊積分

pvdv*i

11,22=1gd)'

J，01+^V

所以

h=ln(l+k%)③

2A2g\07

即質(zhì)點到達的高度.

對下降階段：

dvdyvdv,2

dyd「dy=i"2-

即

112,J,g，

h-----ln（l-Tv；）④

2k2g17

由③=④可得

Jl+zy

1.20解作子彈運動示意圖如題1.20.1圖所示.

題1.20.1圖

水平方向不受外力，作勻速直線運動有

Jcos/?=v0cosat①

豎直方向作上拋運動，有

2

ds\n/3-v0sinat-^gt②

由①得

t=d"③

v0cosa

代入化簡可得

_2u：cosasin(a-⑶

cl=------------；------

gCOSp

因為子彈的運動軌跡與發(fā)射時仰角a有關(guān)，即d是a的函數(shù)，所以要求d的最大

值.把d對a求導(dǎo)，求出極值點.

?102

一-=--工一［-sinasin(a-⑶+cosacos(a-=0

dagcos^(3

即

sin2sin（a一4）=cosacos（a一夕）

cos（2a-/?）=0

所以a=^+2,代入4的表達式中可得：

42

2說

maxgCOS2P

至W生

S4

此即為子彈擊中斜面的地方和發(fā)射點的距離d的最大值

1.21解阻力一直與速度方向相反，即阻力與速度方向時刻在變化，但都在軌道

上沒點切線所在的直線方向上，故用自然坐標(biāo)比用直角坐標(biāo)好.

題1.21.1圖

軌道的切線方向上有:

，=-mkv-mgsin0①

m

軌道的法線方向上有:

2

m—=mgcos0②

r

由于角是在減小的，故

一”③