2025屆新高考數學沖刺精準復習數列的綜合應用01課前自學02課堂導學目錄【課時目標】能用不等式及其他相關知識解決數列的綜合問題，能在

具體情境中識別等差數列、等比數列.【考情概述】情境中的數列問題一般以選擇題和填空題為主，難

度中等偏上；數列與不等式等知識的綜合問題通常以解答題為主，

難度中等.

知識梳理本章數學思想（1）

函數與方程：對等差、等比數列建立關于首項、公差或公比等

“基本量”的方程或方程組，將所研究的問題歸結為依托“基本量”求

解的問題.（2）

特殊與一般：根據數列的前幾項，猜想、歸納出數列的通項公式

或前

n

項和公式，根據部分項的特征與性質歸納出數列一般項的特征與

性質.體會“歸納→猜想→驗證”的數學方法.（3）

轉化與化歸：能通過構造輔助數列、運用化歸與換元等方法，將

一般的數列問題轉化為用等差數列、等比數列模型進行求解的問題；能

將與數列有關的運算求值問題轉化為方程（組）的求解問題；能將有關

數列求和的問題轉化為用倒序相加法、錯位相減法、分組求和法、裂項

相消法等方法求解的問題；能將數列的單調性問題轉化為相鄰項大小關

系的不等式的問題或函數的單調性問題.

常用結論1.判斷：（1）

（RA選二P54小結5改編）設

a

，

b

為正數，則

a

，

b

的等差中項

不小于它們的等比中項.

（

√

）（2）

常數列既是等差數列又是等比數列.

（

?

）

（4）

設數列{

an

}的前

n

項積為

Tn

，則

an

＝

√?√?回歸課本2.（RA選二P24練習第4題改編）集合

A

＝{

m

｜

m

＝3

n

＋1，

n

∈N*，

且

m

＜100}中所有元素的和為（

D

）A.5050B.4753C.1716D.16163.（RA選二教參P84本章學業(yè)水平測試題第1題）1個蜂巢里有1只蜜蜂.

第1天，它飛出去找回了5個伙伴；第2天，6只蜜蜂飛出去，各自找回了

5個伙伴……如果這個找伙伴的過程繼續(xù)下去，那么第6天所有的蜜蜂都

歸巢后，蜂巢中蜜蜂的只數為（

B

）A.55986B.46656C.216D.36DB4.（多選）設{

an

}為等比數列，{

bn

}為等差數列，且

b

1＝0.若數列{

cn

}

的前三項依次是1，1，2，且

cn

＝

an

＋

bn

，則下列結論正確的是

（

AD

）A.

an

＝2

n

－1B.

bn

＝

n

－1C.500是數列{

cn

}中的項D.數列{

cn

}的前10項和為978AD5.（RA選二教參P79目標檢測設計第4題改編）記

Sn

為等差數列{

an

}的

前

n

項和，

S

9＝－

a

5.若

a

3＝4，則等差數列{

an

}的通項公式為

an

＝

?

；若

a

1＞0，則滿足

Sn

≥

an

的

n

的最大值為

.

10

－2

n

10

考點一

等差數列與等比數列的綜合問題例1設{

an

}是等差數列，其前

n

項和為

Sn

（

n

∈N*），{

bn

}是等比數

列，公比大于0，其前

n

項和為

Tn

（

n

∈N*）.已知

b

1＝1，

b

3＝

b

2＋2，

b

4＝

a

3＋

a

5，

b

5＝

a

4＋2

a

6.（1）

求

Sn

和

Tn

；

（2）

若

Sn

＋（

T

1＋

T

2＋

T

3＋…＋

Tn

）＝

an

＋4

bn

，求正整數

n

的值.

[對點訓練]1.設等比數列{

an

}滿足

a

1＋

a

2＝4，

a

3－

a

1＝8.（1）

求等比數列{

an

}的通項公式.解：（1）

設等比數列{

an

}的公比為

q

（

q

≠0）.由

a

1＋

a

2＝4，得

a

1＋

a

1

q

＝4①.由

a

3－

a

1＝8，得

a

1

q

2－

a

1＝8②.聯立①②，解得

a

1＝1，

q

＝3.所以等比數列{

an

}的通項公式為

an

＝3

n

－1.（2）

記

Sn

為數列{log3

an

}的前

n

項和.若

Sm

＋

Sm

＋1＝

Sm

＋3，求

m

的值.

2.已知數列{

an

}是等差數列，其前

n

項和為

Sn

，

a

2＝2，

S

9＝45，數列

{

bn

}滿足

a

1

b

1＋

a

2

b

2＋…＋

anbn

＝（

n

－1）·2

n

＋1.（1）

求數列{

an

}，{

bn

}的通項公式；

（2）

對于數列{

an

}，{

bn

}，在

ak

與

ak

＋1之間插入

bk

個2（

k

∈N*），

組成一個新數列{

dn

}，求數列{

dn

}的前2023項和

T

2023.解：（2）

因為

an

＝

n

，所以在數列{

dn

}中，從項

a

1開始到項

ak

為止，

共有

k

＋20＋21＋…＋2

k

－2＝（

k

＋2

k

－1－1）項.當

k

＝11時，11＋210－

1＝1034＜2023；當

k

＝12時，12＋211－1＝2059＞2023.所以數列{

dn

}的

前2023項包括

a

1，

a

2，…，

a

11及2023－11＝2012（個）2.所以

T

2023＝

（1＋2＋…＋11）＋2012×2＝4090.考點二

數列與函數、不等式的綜合

（1）

求數列{

an

}的通項公式；

總結提煉

1.數列與函數綜合問題的主要類型及求解策略（1）

已知函數的條件，解決數列問題，此類問題一般利用函數的性

質、圖象研究數列問題.（2）

已知數列的條件，解決函數問題，解決此類問題一般要利用數

列的通項公式、前

n

項和公式、遞推公式等對式子化簡變形.注意數列與函數的不同，數列只能看作是自變量為正整數的一類函

數，在解決問題時要注意這一特殊性.2.數列與不等式綜合問題的求解策略解決數列與不等式的綜合問題時，若是證明題，則要靈活選擇不等式

的證明方法，如比較法、綜合法、分析法、放縮法等；若是含參數的

不等式恒成立問題，則可分離參數，轉化為最值問題來解決.3.已知數列{

an

}的前

n

項和為

Sn

，點（

n

，

Sn

＋3）（

n

∈N*）在函數

y

＝3×2

x

的圖象上，等比數列{

bn

}滿足

bn

＋

bn

＋1＝

an

（

n

∈N*），其前

n

項和為

Tn

，則下列結論正確的是（

D

）A.

Sn

＝2

Tn

B.

Tn

＝2

bn

＋1C.

Tn

＞

an

D.

Tn

＜

bn

＋1D[對點訓練]

（1）

Sn

＜2；

（1）

求{

an

}，{

bn

}的通項公式；

考點三

數列在實際問題中的應用例3（2023·湖南?？迹┰诹餍胁W中，基本傳染數

R

0是指在沒有外力

介入，同時所有人都沒有免疫力的情況下，一個感染者平均傳染的人

數.

R

0一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸

過程中傳染的概率決定.對于

R

0＞1，而且死亡率較高的傳染病，一般要

隔離感染者，以控制傳染源，切斷傳播途徑.假設某種傳染病的基本傳

染數

R

0＝3，平均感染周期為7天（初始感染者傳染

R

0個人為第一輪傳

染，經過一個感染周期后這

R

0個人每人再傳染

R

0個人為第二輪傳

染……），則感染人數由1增加到1000大約需要的天數為（參考數據：

36＝729，45＝1024）（

B

）BA.35B.42C.49D.56總結提煉

解決具體情境中數列問題的步驟第一步：讀懂題意，整理情境中的事情變化的過程；第二步：提取信息，用數學語言或數學關系表達事情發(fā)展變化的過

程；第三步：構建模型，依據提取的數學關系，構建等差數列或等比數列

或遞推關系的模型；第四步：求解模型，利用數列的相關知識，求解相應問題，如求特定

項、通項公式、前

n

項和等.[對點訓練]6.某種細胞開始時有2個，1小時后分裂成4個并死去1個，2小時后分裂

成6個并死去1個，3小時后分裂成10個并死去1個.按照此規(guī)律，6小時后

存活

個細胞，至少經過

小時后存活的細胞個數超過1000.65

10

（1）

設第

n

年該設備的維護費為

an

元，求數列{

an

}的通項公式.

7.某科技創(chuàng)新公司在第一年年初購買了一臺設備，該設備的第1年的維

護費為20萬元，從第2年到第6年，每年的維護費增加4萬元，從第7年開

始，每年維護費為上一年的125％.

對接高考（2023·天津卷）已知{

an

}是等差數列，

a

2