二次函數(shù)得圖像與性質(zhì)一、二次函數(shù)得基本形式1、二次函數(shù)基本形式：得性質(zhì)：a得絕對(duì)值越大,拋物線得開口越小。得符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上軸時(shí)，隨得增大而增大；時(shí)，隨得增大而減小;時(shí),有最小值．向下軸時(shí),隨得增大而減小;時(shí),隨得增大而增大；時(shí)，有最大值.2、得性質(zhì):上加下減。得符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上軸時(shí)，隨得增大而增大;時(shí)，隨得增大而減小；時(shí),有最小值.向下軸時(shí)，隨得增大而減?。粫r(shí),隨得增大而增大;時(shí)，有最大值.3、得性質(zhì)：左加右減。得符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上Ｘ=h時(shí)，隨得增大而增大；時(shí),隨得增大而減小；時(shí)，有最小值.向下Ｘ=ｈ時(shí),隨得增大而減??；時(shí),隨得增大而增大;時(shí)，有最大值.4、得性質(zhì)：得符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上X=h時(shí),隨得增大而增大；時(shí)，隨得增大而減小;時(shí)，有最小值。向下X=h時(shí),隨得增大而減小;時(shí)，隨得增大而增大;時(shí)，有最大值。二、二次函數(shù)圖象得平移1、平移步驟：方法一：⑴將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo);⑵保持拋物線得形狀不變,將其頂點(diǎn)平移到處，具體平移方法如下:2、平移規(guī)律在原有函數(shù)得基礎(chǔ)上“值正右移，負(fù)左移；值正上移，負(fù)下移”.概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減"。方法二：⑴沿軸平移:向上(下)平移個(gè)單位,變成(或）⑵沿軸平移:向左（右)平移個(gè)單位,變成（或)三、二次函數(shù)與得比較從解析式上瞧，與就是兩種不同得表達(dá)形式,后者通過配方可以得到前者,即,其中。四、二次函數(shù)圖象得畫法五點(diǎn)繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式,確定其開口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對(duì)稱軸兩側(cè)，左右對(duì)稱地描點(diǎn)畫圖、一般我們選取得五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與軸得交點(diǎn)、以及關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱得點(diǎn)、與軸得交點(diǎn),（若與軸沒有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱得點(diǎn))、畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn):開口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)，與軸得交點(diǎn)，與軸得交點(diǎn)、五、二次函數(shù)得性質(zhì)1、當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，對(duì)稱軸為,頂點(diǎn)坐標(biāo)為.當(dāng)時(shí)，隨得增大而減小；當(dāng)時(shí),隨得增大而增大;當(dāng)時(shí),有最小值.2、當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，對(duì)稱軸為,頂點(diǎn)坐標(biāo)為。當(dāng)時(shí)，隨得增大而增大;當(dāng)時(shí),隨得增大而減小;當(dāng)時(shí)，有最大值.六、二次函數(shù)解析式得表示方法1、一般式：（,,為常數(shù),）；2、頂點(diǎn)式：（,，為常數(shù),）;３、兩根式:（,,就是拋物線與軸兩交點(diǎn)得橫坐標(biāo))、注意:任何二次函數(shù)得解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有得二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式,只有拋物線與軸有交點(diǎn)，即時(shí)，拋物線得解析式才可以用交點(diǎn)式表示。二次函數(shù)解析式得這三種形式可以互化、七、二次函數(shù)得圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間得關(guān)系１、二次項(xiàng)系數(shù)二次函數(shù)中，作為二次項(xiàng)系數(shù),顯然。⑴當(dāng)時(shí),拋物線開口向上,得值越大，開口越小，反之得值越小,開口越大；⑵當(dāng)時(shí),拋物線開口向下,得值越小，開口越小,反之得值越大，開口越大．總結(jié)起來(lái)，決定了拋物線開口得大小與方向，得正負(fù)決定開口方向,得大小決定開口得大小．２、一次項(xiàng)系數(shù)在二次項(xiàng)系數(shù)確定得前提下,決定了拋物線得對(duì)稱軸．⑴在得前提下,當(dāng)時(shí)，，即拋物線得對(duì)稱軸在軸左側(cè)；當(dāng)時(shí),,即拋物線得對(duì)稱軸就就是軸；當(dāng)時(shí),，即拋物線對(duì)稱軸在軸得右側(cè)。⑵在得前提下,結(jié)論剛好與上述相反，即當(dāng)時(shí),，即拋物線得對(duì)稱軸在軸右側(cè);當(dāng)時(shí)，,即拋物線得對(duì)稱軸就就是軸；當(dāng)時(shí)，,即拋物線對(duì)稱軸在軸得左側(cè)?？偨Y(jié)起來(lái),在確定得前提下,決定了拋物線對(duì)稱軸得位置.得符號(hào)得判定:對(duì)稱軸在軸左邊則，在軸得右側(cè)則,概括得說(shuō)就就是“左同右異”總結(jié)：3、常數(shù)項(xiàng)⑴當(dāng)時(shí)，拋物線與軸得交點(diǎn)在軸上方,即拋物線與軸交點(diǎn)得縱坐標(biāo)為正；⑵當(dāng)時(shí)，拋物線與軸得交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與軸交點(diǎn)得縱坐標(biāo)為；⑶當(dāng)時(shí),拋物線與軸得交點(diǎn)在軸下方,即拋物線與軸交點(diǎn)得縱坐標(biāo)為負(fù)?？偨Y(jié)起來(lái)，決定了拋物線與軸交點(diǎn)得位置。總之，只要都確定，那么這條拋物線就就是唯一確定得.二次函數(shù)解析式得確定:根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法。用待定系數(shù)法求二次函數(shù)得解析式必須根據(jù)題目得特點(diǎn),選擇適當(dāng)?shù)眯问剑拍苁菇忸}簡(jiǎn)便.一般來(lái)說(shuō),有如下幾種情況：１、已知拋物線上三點(diǎn)得坐標(biāo)，一般選用一般式;2、已知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大（?。┲?一般選用頂點(diǎn)式；3、已知拋物線與軸得兩個(gè)交點(diǎn)得橫坐標(biāo)，一般選用兩根式;4、已知拋物線上縱坐標(biāo)相同得兩點(diǎn),常選用頂點(diǎn)式。八、二次函數(shù)圖象得對(duì)稱二次函數(shù)圖象得對(duì)稱一般有五種情況,可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá)1、關(guān)于軸對(duì)稱關(guān)于軸對(duì)稱后，得到得解析式就是；關(guān)于軸對(duì)稱后，得到得解析式就是；2、關(guān)于軸對(duì)稱關(guān)于軸對(duì)稱后,得到得解析式就是;關(guān)于軸對(duì)稱后，得到得解析式就是;３、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到得解析式就是；關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到得解析式就是;４、關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱（即:拋物線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)18０°)關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后,得到得解析式就是；關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后,得到得解析式就是。5、關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱后，得到得解析式就是根據(jù)對(duì)稱得性質(zhì)，顯然無(wú)論作何種對(duì)稱變換,拋物線得形狀一定不會(huì)發(fā)生變化，因此永遠(yuǎn)不變。求拋物線得對(duì)稱拋物線得表達(dá)式時(shí)，可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算得原則，選擇合適得形式，習(xí)慣上就是先確定原拋物線(或表達(dá)式已知得拋物線)得頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向,再確定其對(duì)稱拋物線得頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向,然后再寫出其對(duì)稱拋物線得表達(dá)式．二次函數(shù)圖像參考:十一、【例題精講】一、一元二次函數(shù)得圖象得畫法【例1】求作函數(shù)得圖象【例２】求作函數(shù)得圖像。分析:畫二次函數(shù)圖象步驟：（1）配方;（2）列表;（3)描點(diǎn)成圖;也可利用圖象得對(duì)稱性，先畫出函數(shù)得左(右）邊部分圖象,再利用對(duì)稱性描出右(左)部分就可。二、一元二次函數(shù)性質(zhì)【例３】求函數(shù)得最小值及圖象得對(duì)稱軸與頂點(diǎn)坐標(biāo)，并求它得單調(diào)區(qū)間?！纠?】求函數(shù)圖象得頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸、最值。【點(diǎn)評(píng)】要研究二次函數(shù)頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、最值、單調(diào)區(qū)間等性質(zhì)時(shí),方法有兩個(gè):配方法;如例3公式法:適用于不容易配方題目（二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)或分?jǐn)?shù))如例4，可避免出錯(cuò)。任何一個(gè)函數(shù)都可配方成如下形式:【二次函數(shù)題型總結(jié)】１、關(guān)于二次函數(shù)得概念例１如果函數(shù)就是二次函數(shù),那么ｍ得值為。例2拋物線得開口方向就是；對(duì)稱軸就是;頂點(diǎn)為。-1-1OX=1YX2、關(guān)于二次函數(shù)得性質(zhì)及圖象例3函數(shù)得圖象如圖所示，則a、b、c,，，得符號(hào)為，例4已知a－b+ｃ＝09ａ＋3b+c=０，則二次函數(shù)y＝ax2＋bｘ+ｃ得圖像得頂點(diǎn)可能在（）第一或第二象限(B)第三或第四象限(C)第一或第四象限(D）第二或第三象限3、確定二次函數(shù)得解析式3o3o-13yx(Ａ）（B)(C)(Ｄ）4、一次函數(shù)圖像與二次函數(shù)圖像綜合考查例6已知一次函數(shù)ｙ=ａx＋ｃ二次函數(shù)y=ax2+ｂｘ+c(a≠０)，它們?cè)谕蛔鴺?biāo)系中得大致圖象就是()、例７如圖:△ABC就是邊長(zhǎng)為４得等邊三角形,AＢ在X軸上,點(diǎn)C在第一象限，AC與Ｙ軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)A得坐標(biāo)為（-1，0）（１)求Ｂ、C、D三點(diǎn)得坐標(biāo)；（2）拋物線經(jīng)過B、C、D三點(diǎn),求它得解析式；【練習(xí)題】一、選擇題1、二次函數(shù)得頂點(diǎn)坐標(biāo)就是（）Ａ、(２,—11）B、(－２,7)C、(２,11）D、(２,-3)2、把拋物線向上平移1個(gè)單位，得到得拋物線就是(）A、Ｂ、Ｃ、D、3、函數(shù)與在同一直角坐標(biāo)系中圖象可能就是圖中得()4、已知二次函數(shù)得圖象如圖所示,則下列結(jié)論：①a,ｂ同號(hào)；②當(dāng)與時(shí)，函數(shù)值相等；③④當(dāng)時(shí),得值只能取0、其中正確得個(gè)數(shù)就是（)A、1個(gè)B、２個(gè)Ｃ、3個(gè)D、4個(gè)5、已知二次函數(shù)得頂點(diǎn)坐標(biāo)(－1，—3、２）及部分圖象（如圖)，由圖象可知關(guān)于得一元二次方程得兩個(gè)根分別就是()A.－１、3B、-2、3C、—0、３D、－3、３6、已知二次函數(shù)得圖象如圖所示，則點(diǎn)在()A。第一象限Ｂ.第二象限C。第三象限D(zhuǎn)。第四象限７、方程得正根得個(gè)數(shù)為（)A、0個(gè)B、１個(gè)C、2個(gè)、3個(gè)8、已知拋物線過點(diǎn)A(2,0），Ｂ（-1,0）,與軸交于點(diǎn)C，且OC=２、則這條拋物線得解析式為A、Ｂ、C、或Ｄ、或二、填空題９．二次函數(shù)得對(duì)稱軸就是,則＿＿_(dá)＿_(dá)__。１0。已知拋物線ｙ=-2(x＋3）2+5，如果y隨x得增大而減小,那么ｘ得取值范圍就是＿_(dá)＿_(dá)___、11。一個(gè)函數(shù)具有下列性質(zhì)：①圖象過點(diǎn)（－1，2）,②當(dāng)<0時(shí),函數(shù)值隨自變量得增大而增大；滿足上述兩條性質(zhì)得函數(shù)得解析式就是（只寫一個(gè)即可)。12．拋物線得頂點(diǎn)為C，已知直線過點(diǎn)Ｃ,則這條直線與兩坐標(biāo)軸所圍成得三角形面積為.13、二次函數(shù)得圖象就是由得圖象向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位得到得，則b＝,c=。１4．如圖，一橋拱呈拋物線狀，橋得最大高度就是16米，跨度就是４0米，在線段AB上離中心M處５米得地方，橋得高度就是(π取3、14)、三、解答題：1５、已知二次函數(shù)圖象得對(duì)稱軸就是，圖象經(jīng)過（１,—6），且與軸得交點(diǎn)為(0，)、（1）求這個(gè)二次函數(shù)得解析式；（２)當(dāng)x為何值時(shí)，這個(gè)函數(shù)得函數(shù)值為0?（3)當(dāng)x在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，這個(gè)函數(shù)得函數(shù)值隨x得增大而增大?第15題圖第15題圖16、某種爆竹點(diǎn)燃后,其上升高度h(米）與時(shí)間t