第9講破解離心率問題之頂?shù)捉枪揭唬x擇題（共6小題）1．如圖，已知雙曲線上有一點，它關于原點的對稱點為，點為雙曲線的右焦點，且滿足，設，且，則該雙曲線離心率的取值范圍為)A． B． C． D．2．已知，是橢圓的兩個焦點，若存在點為橢圓上一點，使得，則橢圓離心率的取值范圍是A． B． C． D．3．設，是橢圓的兩個焦點，是橢圓上一點，，則該橢圓離心率的最小值為A． B． C． D．4．已知，是橢圓的左、右焦點，橢圓上一點滿足，則該橢圓離心率取值范圍是A． B． C． D．5．橢圓的焦點、在軸上，點為橢圓上一點且不大于，則它的離心率的取值范圍是A． B． C． D．6．已知橢圓，點，是長軸的兩個端點，若橢圓上存在點，使得，則該橢圓的離心率的取值范圍是A． B． C． D．二．多選題（共3小題）7．已知橢圓的左、右兩個焦點分別為，，為橢圓上一動點，，則下列結論正確的有A．△的周長為6 B．△的最大面積為 C．存在點使得 D．的最大值為58．已知橢圓的離心率為，、分別為橢圓的兩個焦點，若橢圓上存在點使得是鈍角，則滿足條件的一個的值A． B． C． D．9．已知是橢圓的右焦點，為左焦點，為橢圓上的動點，且橢圓上至少有21個不同的點，2，3，，，，，組成公差為的等差數(shù)列，則A．的面積最大時， B．的最大值為8 C．的值可以為 D．橢圓上存在點，使三．填空題（共7小題）10．已知雙曲線的左右焦點分別為，，為坐標原點，點為雙曲線右支上一點，若，，則雙曲線的離心率的取值范圍為．11．橢圓的左右焦點為，，是橢圓上一點，若，且，則橢圓的離心率的取值范圍是．12．已知雙曲線右支上有一點，它關于原點的對稱點為，雙曲線的右焦點為，滿足，且，則雙曲線的離心率的值是．13．已知、是橢圓的焦點，是橢圓上一點，且，則橢圓的離心率的取值范圍是．14．已知橢圓的兩個焦點分別為，，為橢圓上一點，且，則橢圓的離心率的取值范圍為．15．設橢圓兩焦點為，，若橢圓上存在點，使得，則橢圓離心率的取值范圍為．16．已知橢圓的離心率為，，分別為橢圓的兩個焦點，若橢圓上存在點使得是鈍角，則滿足條件的范圍．第9講破解離心率問題之頂?shù)捉枪絽⒖即鸢概c試題解析一．選擇題（共6小題）1．如圖，已知雙曲線上有一點，它關于原點的對稱點為，點為雙曲線的右焦點，且滿足，設，且，則該雙曲線離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．【解答】解：在中，，，在直角三角形中，，可得，，取左焦點，連接，，可得四邊形為矩形，，，，，，故選：．2．已知，是橢圓的兩個焦點，若存在點為橢圓上一點，使得，則橢圓離心率的取值范圍是A． B． C． D．【解答】解：如圖，當動點在橢圓長軸端點處沿橢圓弧向短軸端點運動時，對兩個焦點的張角漸漸增大，當且僅當點位于短軸端點處時，張角達到最大值．由此可得：存在點為橢圓上一點，使得，△中，，可得△中，，所以，即，其中，可得，即橢圓離心率，且故選：．3．設，是橢圓的兩個焦點，是橢圓上一點，，則該橢圓離心率的最小值為A． B． C． D．【解答】解：在以為直徑，原點為圓心的圓上，圓與橢圓相交的條件為圓的半徑在橢圓半長軸和半短軸之間，即：，，由可得：故選：．4．已知，是橢圓的左、右焦點，橢圓上一點滿足，則該橢圓離心率取值范圍是A． B． C． D．【解答】解：設，，由余弦定理得：，，又，即，解得，，，，得，，．故選：．5．橢圓的焦點、在軸上，點為橢圓上一點且不大于，則它的離心率的取值范圍是A． B． C． D．【解答】解：因為橢圓中位于短軸端點時，最大，由題意可知，所以，即，解得．又因為，，解得．所以．故選：．6．已知橢圓，點，是長軸的兩個端點，若橢圓上存在點，使得，則該橢圓的離心率的取值范圍是A． B． C． D．【解答】解：點，是長軸的兩個端點，若橢圓上存在點，使得，則的最大值大于等于即可，即當為短軸端點時，即可，如圖所示，，，又，該橢圓的離心率的取值范圍是．故選：．二．多選題（共3小題）7．已知橢圓的左、右兩個焦點分別為，，為橢圓上一動點，，則下列結論正確的有A．△的周長為6 B．△的最大面積為 C．存在點使得 D．的最大值為5【解答】解：根據題意可得，，，對于：△的周長為，故正確，對于：△的最大面積為，故正確，對于：若要存在點使得，則，即點在以為直徑的圓上，且，所以點為以為直徑的圓與橢圓的交點，而橢圓的短軸一半長為，所以不存在點，故錯誤，對于，所以最大值為5，故正確，故選：．8．已知橢圓的離心率為，、分別為橢圓的兩個焦點，若橢圓上存在點使得是鈍角，則滿足條件的一個的值A． B． C． D．【解答】解：如圖，當動點在橢圓長軸端點處沿橢圓弧向短軸端點運動時，對兩個焦點的張角漸漸增大，當且僅當點位于短軸端點處時，張角達到最大值．橢圓上存在點使得是鈍角，△中，，△中，，，即，，可得，，又，，結合選項可得，滿足條件的一個的值為．故選：．9．已知是橢圓的右焦點，為左焦點，為橢圓上的動點，且橢圓上至少有21個不同的點，2，3，，，，，組成公差為的等差數(shù)列，則A．的面積最大時， B．的最大值為8 C．的值可以為 D．橢圓上存在點，使【解答】解：由已知橢圓方程可得：，，，由橢圓的性質可得：當點為橢圓的短軸端點時，最大，且此時三角形的面積也最大，此時，正確，錯誤，橢圓上的動點滿足，即，又橢圓上至少有21個不同的點組成公差為的等差數(shù)列，所以的最大值為8，正確，設已知的等差數(shù)列為，公差為，則，，又，所以，所以，即的最大值為，正確，故選：．三．填空題（共7小題）10．已知雙曲線的左右焦點分別為，，為坐標原點，點為雙曲線右支上一點，若，，則雙曲線的離心率的取值范圍為，．【解答】解：法一：，，，，，，設，則，，，．法二：，，令，，，，，，，，，．故答案為：，．11．橢圓的左右焦點為，，是橢圓上一點，若，且，則橢圓的離心率的取值范圍是，．【解答】解：橢圓的左右焦點為，，是橢圓上一點，若，且，可得，則，短軸的端點與兩個焦點所成角大于等于，．因為，所以．故答案為：．12．已知雙曲線右支上有一點，它關于原點的對稱點為，雙曲線的右焦點為，滿足，且，則雙曲線的離心率的值是．【解答】解：，可得，在中，，，在直角三角形中，，可得，，取左焦點，連接，，可得四邊形為矩形，，．故答案為：．13．已知、是橢圓的焦點，是橢圓上一點，且，則橢圓的離心率的取值范圍是．【解答】解：、是橢圓的焦點，是橢圓上一點，且，以為直徑的圓與橢圓有交點，圓的半徑，，，，又，橢圓的離心率的取值范圍是，，故答案為，．14．已知橢圓的兩個焦點分別為，，為橢圓上一點，且，則橢圓的離心率的取值范圍為，．【解答】解：如圖，當動點在橢圓長軸端點處沿橢圓弧向短軸端點運動時，對兩個焦點的張角漸漸增大，當且僅當點位于短軸端點處時，張角達到最大值．由此可得：存在點為橢圓上一點，使得，△中，，△中，，所以，即，，可得，，，．故答案為：，．15．設橢圓兩焦點為，，若橢圓上存在點，使得，則橢圓離心率的取值范圍為，．【解答】解：點滿足，點的軌跡是以為直徑的圓，其方程為．又橢圓上存在點，使得，以為直徑的圓與橢圓有公共點，由此可得橢圓短軸的頂點在圓上或在圓的內部，，即，化簡得，解得．因此，橢圓的離心率．橢圓離心率在之間取值，橢圓的離心率，．故答案為：，16．已知橢圓的離心率為