微專題3空間距離?？汲Ｓ媒Y(jié)論1．點(diǎn)到直線的距離：已知A，B是直線l上隨意兩點(diǎn)，P是l外一點(diǎn)，PQ⊥l，則點(diǎn)P到直線l的距離為PQ＝＝.2．求點(diǎn)到平面的距離已知平面α的法向量為n,A是平面α內(nèi)的任一點(diǎn)，P是平面α外一點(diǎn)，過點(diǎn)P作平面α的垂線l，交平面α于點(diǎn)Q，則點(diǎn)P到平面α的距離為|PQ|＝.1．如圖，在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1、BB1的中點(diǎn)，G為棱A1B1上的一點(diǎn)，且A1G＝λ(0≤λ≤1)則點(diǎn)G到平面D1EF的距離為()A.B．C．D．2．[2024·浙江溫州三模]四面體OABC滿意∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，OA＝1，OB＝2，OC＝3，點(diǎn)D在棱OC上，且OC＝3OD，點(diǎn)G為△ABC的重心，則點(diǎn)G到直線AD的距離為()A．B．C．D．3.(1)《九章算術(shù)·商功》：“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑．陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也．合兩鱉臑三而一，驗(yàn)之以棊，其形露矣．”文中“陽馬”是底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐．在陽馬PABCD中，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，且PA＝1，AB＝AD＝2，則點(diǎn)A到平面PBD的距離為()A．B．C．D．(2)[2024·湖北武漢模擬]如圖所示的多面體是由底面為ABCD的長方體被截面AEC1F所截得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1，則點(diǎn)C到平面AEC1F的距離為()A．B．C．D．技法領(lǐng)悟1．用幾何法求空間距離時，一般接受等體積法．2．用向量法求空間距離時，要熟記公式，還要正確建立空間直角坐標(biāo)系．[鞏固訓(xùn)練3](1)在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝1，若二面角CABC1的大小為60°，則點(diǎn)C到平面C1AB的距離為()A．1B．C．D．(2)[2024·北京石景山模擬]如圖，已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，點(diǎn)P為線段BC1上的動點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線AC的距離的最小值為()A．1B．C．D．微專題3空間距離保分題1．解析：因?yàn)锳1B1∥EF，所以A1B1∥平面D1EF，所以點(diǎn)G到平面D1EF的距離就是直線A1B1到平面D1EF的距離，即點(diǎn)A1到平面D1EF的距離，點(diǎn)A1引直線D1E的垂線，垂足為點(diǎn)M，A1M就是所求距離，在直角三角形A1ED1中，A1D1＝1，A1E＝，D1E＝，所以1×＝×A1M?A1M＝.故選B.答案：B2．解析：四面體OABC滿意∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，即OA，OB，OC兩兩垂直，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，以射線OA，OB，OC的正方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，因?yàn)镺A＝1，OB＝2，OC＝3，OC＝3OD，則A(1，0，0)，D(0，0，1)，G(，1)，于是＝(－，1)，＝(－1，0，1)，||＝＝·＝－×(－1)＋1＝，所以點(diǎn)G到直線AD的距離d＝＝＝.故選A.答案：A提分題[例3](1)解析：設(shè)A到平面PBD的距離為h，則三棱錐PABD的體積為：×S△ABD×PA＝×S△PBD×h，即有×2×2×1＝×2×h，∴h＝.故選B.(2)解析：以D為原點(diǎn)，分別以DA，DC，DF所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，4，0)，C(0，4，0)，E(2，4，1)，C1(0，4，3)，＝(－2，4，3)，＝(0，4，1)．設(shè)平面AEC1F的法向量n＝(x，y，z)，由，得，令z＝1，∴，所以n＝(1，－，1)．又＝(0，0，3)，∴點(diǎn)C到平面AEC1F的距離d＝＝.故選C.答案：B答案：C[鞏固訓(xùn)練3](1)解析：取AB的中點(diǎn)O，連接OC和OC1，依據(jù)二面角的定義，∠COC1＝60°，OC＝，所以CC1＝，OC1＝，依據(jù)等體積轉(zhuǎn)化＝VC1ABC，即×1×＝×1××h，解得：h＝，就是點(diǎn)C到平面C1AB的距離．故選D.(2)解析：正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，點(diǎn)P為線段BC1上的動點(diǎn)，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則A(2，0，0)，C(0，2，0)，B(2，2，0)，設(shè)P(2－t，2，t)，(0≤t≤2)，＝(－t，0，t)，＝(－2，2，0)，＝