專題07預(yù)備知識七：基本不等式1、學會推導并掌握基本不等式，理解這個基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號“≥”取等號的條件是：當且僅當這兩個數(shù)相等2、基本不等式的推導與證明過程，提升邏輯推理的思維能力3、基本不等式的簡單應(yīng)用，理解積定與和定問題知識點一：基本不等式（一正，二定，三相等，特別注意“一正”，“三相等”這兩類陷阱）基本不等式:,,（當且僅當時，取“”號）其中叫做正數(shù)，的幾何平均數(shù)；叫做正數(shù)，的算數(shù)平均數(shù)．如果，有（當且僅當時，取“”號）特別的，如果,用分別代替,代入，可得：，當且僅當時，“”號成立.知識點二：利用基本不等式求最值①已知，是正數(shù)，如果積等于定值，那么當且僅當時，和有最小值；②已知，是正數(shù)，如果和等于定值，那么當且僅當時，積有最大值；知識點三：基本不等式鏈（其中，當且僅當時，取“”號）知識點四：三個正數(shù)的基本不等式如果，，，那么（當且僅當時，取“”號）對點特訓一：對基本不等式的理解典型例題例題1．（23-24高一上·全國·課后作業(yè)）判斷正誤（正確的填“正確”，錯誤的填“錯誤”）（1）兩個不等式與成立的條件是相同的.()（2）當時，.()（3）當時，.()（4）函數(shù)的最小值是2.()例題2．（23-24高一上·全國·課后作業(yè)）下列不等式的推導過程正確的是．①若，則；②若，則；③若，則.精練1．（多選）（23-24高一上·江蘇南通·階段練習）下列說法中正確的有（

）A．不等式恒成立B．存在實數(shù),使得不等式成立C．若,,則D．若,且,則2．（23-24高一上·上海松江·期末）“”是“”的條件.（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”）對點特訓二：利用基本不等式求最值角度1：和為定值求積的最值典型例題例題1．（23-24高一上·湖南婁底·期末）若，，且，則的最大值是（

）A． B． C． D．1例題2．（2024高二下·湖南株洲·學業(yè)考試）已知，則的最大值為（

）A． B．1 C． D．3例題3．（23-24高三上·四川雅安·期中）已知，，則“”是“”的（

）A．充分必要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件精練1．（23-24高三上·湖北武漢·期末）已知正數(shù)，滿足，則（

）A． B． C． D．2．（23-24高一上·北京·期中）已知，，，則xy的最大值是（）A． B． C． D．13．（23-24高一上·貴州六盤水·期末）已知，則的最大值為．角度2：積為定值求和的最值典型例題例題1．（23-24高二下·福建三明·階段練習）若，則的最小值是（

）A． B． C．4 D．2例題2．（2024·甘肅定西·一模）的最小值為（

）A． B． C． D．例題3．（23-24高一上·上海·期末）函數(shù)（）的最小值是.精練1．（23-24高一上·重慶·期末）函數(shù)的最小值是（

）A．4 B．5 C． D．2．（23-24高一上·廣東·期中）已知，則的最小值為（

）A．50 B．40 C．20 D．103．（23-24高一上·新疆·期末）的最小值為.角度3：常數(shù)代換法典型例題例題1．（2024高三上·全國·專題練習）若，，且，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5例題2．（23-24高一上·貴州黔南·階段練習）已知且，則的最小值為（）A． B．8 C．9 D．10例題3．（23-24高二上·陜西西安·期中）已知且，則的最小值為（

）A． B．10 C．9 D．精練1．（23-24高一上·河南南陽·階段練習）若，，則的最小值是（

）A．2 B．4 C．3 D．82．（2024·四川南充·二模）已知x，y是實數(shù)，，且，則的最小值為3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，若，則的最小值為.角度4：湊配法典型例題例題1．（23-24高三上·陜西西安·階段練習）函數(shù)的最小值為（

）A．2 B．5 C．6 D．7例題2．（23-24高一上·吉林·階段練習）已知，則的最小值是（

）A．6 B．8 C．10 D．12例題3．（23-24高一上·陜西西安·期末）已知，則的最小值是.精練1．（23-24高一上·湖南衡陽·階段練習）若，則的最小值為（

）A．-2 B．0 C．1 D．2．（23-24高一下·湖南株洲·階段練習）已知，則的最小值為．3．（23-24高一上·北京·期中）已知，則當時，取最小值為．角度5：二次與二次（或一次）商式典型例題例題1．（23-24高一上·云南楚雄·階段練習）函數(shù)的最小值是（

）A． B．3 C．6 D．12例題2．（23-24高二上·云南昆明·期末）函數(shù)的值域是.例題3．（23-24高三上·福建泉州·期中）函數(shù)在上的最大值為．精練1．（23-24高一·全國·課后作業(yè)）已知，則的最小值為．2．（2024高三·全國·專題練習）函數(shù)的最大值為.3．（2024高三·全國·專題練習）函數(shù)的最小值為．對點特訓三：基本不等式在實際中的應(yīng)用典型例題例題1．（23-24高一上·浙江杭州·期中）2023年8月29日，華為在官方網(wǎng)站發(fā)布了Mate60系列手機，全系搭載麒麟芯片強勢回歸，5G技術(shù)更是遙遙領(lǐng)先，正所謂“輕舟已過萬重山”.發(fā)布后的第一周銷量約達80萬臺，第二周的增長率為a，第三周的增長率為b，這兩周的平均增長率為x（a，b，x均大于零），則（

）A． B．C． D．例題2．（22-23高一上·廣東廣州·期中）港珠澳大橋通車后，經(jīng)常往來于珠港澳三地的劉先生采用自駕出行．由于燃油的價格有升也有降，現(xiàn)劉先生有兩種加油方案，第一種方案：每次均加升的燃油；第二種方案，每次加元的燃油．(1)分別用表示劉先生先后兩次加油時燃油的價格，請你計算出每種加油方案的均價；(2)選擇哪種加油方案比較經(jīng)濟劃算？請你給出證明．例題3．（21-22高一上·吉林白山·期末）某工廠分批生產(chǎn)某產(chǎn)品，生產(chǎn)每批產(chǎn)品的費用包括前期的準備費用?生產(chǎn)過程中的成本費用以及生產(chǎn)完成后產(chǎn)品的倉儲費用.已知生產(chǎn)每批產(chǎn)品前期的準備費用為800元，成本費用與產(chǎn)品數(shù)量成正比，倉儲費用與產(chǎn)品數(shù)量的平方成正比.記生產(chǎn)件產(chǎn)品的總費用為y元.當時，成本費用為3000元，倉儲費用為450元.(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)試問當每批產(chǎn)品生產(chǎn)多少件時平均費用最少？平均費用最少是多少？精練1．（23-24高一上·河北·階段練習）一家商店使用一架兩臂不等長的天平稱黃金.一位顧客到店里購買10g黃金，售貨員先將5g的砝碼放在天平左盤中，取出一些黃金放在天平右盤中使天平平衡；再將5g的砝碼放在天平右盤中，再取出一些黃金放在天平左盤中使天平平衡；最后將兩次稱得的黃金交給顧客.你認為顧客購得的黃金10g.（填“大于”“小于”“等于”“不確定”）附：依據(jù)力矩平衡原理，天平平衡時有，其中，分別為左右盤中物體質(zhì)量，，分別為左右橫梁臂長.2．（22-23高二上·廣西南寧·開學考試）一家貨物公司計劃租地建造倉庫儲存貨物，經(jīng)過市場調(diào)查了解到下列信息：每月土地占地費（單位：萬元）與倉庫到車站的距離x（單位：）成反比，每月庫存貨物費（單位：萬元）與x成正比；若在距離車站處建倉庫，則和分別為2萬元和8萬元，這家公司應(yīng)該把倉庫建在距離車站多少千米處，才能使兩項費用之和最小？并求出該值．3．（23-24高一·全國·課后作業(yè)）某公司為一家制冷設(shè)備廠設(shè)計生產(chǎn)一種長方形薄板，其周長為4米，這種薄板須沿其對角線折疊后使用．如圖所示，為長方形薄板，沿折疊后，交于點.當?shù)拿娣e最大時最節(jié)能．（1）設(shè)米，用表示圖中的長度，并寫出的取值范圍；（2）若要求最節(jié)能，應(yīng)怎樣設(shè)計薄板的長和寬？對點特訓四：與基本不等式有關(guān)的恒成立問題典型例題例題1．（23-24高一上·福建廈門·階段練習）“對所有，不等式恒成立”的充分不必要條件是（

）A． B． C． D．例題2．（多選）（23-24高一下·湖南株洲·開學考試）若對于任意，恒成立，則實數(shù)的取值可以是（

）A． B． C． D．例題3．（23-24高一上·四川成都·階段練習）設(shè)，，若，且不等式恒成立，則的取值范圍是.精練1．（2024高一·全國·專題練習）若關(guān)于x的不等式對任意實數(shù)x＞0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（）A．{a|﹣1≤a≤4} B．{a|a≤﹣2或a≥5} C．{a|a≤﹣1或a≥4} D．{a|﹣2≤a≤5}2．（2024高三·全國·專題練習）當時，不等式恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（23-24高二上·福建廈門·期中）若對有恒成立，則的取值范圍是一、單選題1．（22-23高一上·江蘇宿遷·階段練習）若，則的最小值是（

）A． B． C． D．2．（23-24高一上·山東青島·期末）已知x，y為正實數(shù)，則的最小值為（

）A．1 B． C．2 D．3．（20-21高一下·內(nèi)蒙古赤峰·期末）若，且，則的最小值是（

）A． B． C．2 D．4．（23-24高一下·福建南平·期中）已知，，，則的最小值為（

）A．2 B．1 C． D．5．（23-24高一上·陜西延安·階段練習）當時，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（23-24高一下·四川眉山·開學考試）阿基米德有這樣一句流傳很久的名言：“給我一個支點，我就能撬起整個地球！”這句話說的便是杠桿原理，即“動力×動力臂=阻力×阻力臂”．現(xiàn)有一商店使用兩臂不等長的天平稱黃金，一位顧客到店里購買黃金，售貨員先將的砝碼放在天平左盤中，取出黃金放在天平右盤中使天平平衡；再將的砝碼放在天平右盤中，取黃金放在天平左盤中使天平平衡，最后將稱得的黃金交給顧客，則下列選項正確的是（

）A． B． C． D．以上選項都有可能7．（23-24高三下·浙江·階段練習）已知實數(shù)x，y滿足，且，則的最小值為（

）A． B．8 C． D．8．（2023·河南信陽·模擬預(yù)測）若，則函數(shù)有（

）A．最小值1 B．最大值1 C．最小值 D．最大值二、多選題9．（2024高三·全國·專題練習）【多選題】下列命題中，為真命題的有（

）A． B．C． D．三、填空題10．（2024·