九年級

上冊華東師大版初中數(shù)學(xué)期中素養(yǎng)綜合測試(滿分120分,限時100分鐘)一、選擇題(每小題3分,共24分)1.(2024海南陵水期末)二次根式

在實數(shù)范圍內(nèi)有意義,則x的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是

(

)

A

BD

C

D解析二次根式

在實數(shù)范圍內(nèi)有意義,則x-1≥0,解得x≥1,則x的取值范圍在數(shù)軸上表示如下:

2.(新獨家原創(chuàng))斑馬線一般是由多條相互平行、間隔相等的

白實線組成的,好似斑馬身上的線條,所以稱為“斑馬線”.

如圖,李奶奶過馬路時不小心將拐杖掉落在斑馬線上,拐杖上

的三個點A,B,C都在斑馬線上.若線段BC=2,則線段AB的長度

是

(

)A.1

B.2

C.3

D.4D解析如圖,過點A作AN⊥直線n,交直線n于點N,交直線m于

點M,依據(jù)平行線分線段成比例定理可得

=

=

,∵BC=2,∴AB=4.

3.(2024河南新鄉(xiāng)封丘期中)下列計算錯誤的是

(

)A.3

×2

=6

B.

(2

-2)=6-2

C.(2+

)(2-

)=1

D.

÷(

-

)=2-

D解析

÷(

-

)=

=2

(

+

)=6+2

,故D選項計算錯誤.4.(新考向·新定義試題)(2024湖南張家界永定期末)定義一種

新運算“m※n”,對于任意實數(shù)m,n,都有m※n=m2-2mn-1,如3

※4=32-2×3×4-1=-16,若x※k=0(k為實數(shù))是關(guān)于x的方程,則它

的根的情況為

(

)A.只有一個實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根C.有兩個不相等的實數(shù)根D.沒有實數(shù)根C解析∵x※k=0,∴x2-2kx-1=0,∴Δ=(-2k)2-4×(-1)=4k2+4,∵k為

實數(shù),∴4k2≥0,∴Δ=4k2+4>0,∴關(guān)于x的方程有兩個不相等的

實數(shù)根.5.(2024湖南衡陽期末)如圖,能使△ABC∽△AED成立的條件

是

(

)

A.∠A=∠A

B.∠ADE=∠AEDC.

=

D.

=

C解析由題意得∠A=∠A,若添加

=

,利用兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似,可判定△ABC∽△AED.6.(2023河南洛陽偃師期中)設(shè)α,β是方程x2+3x+1=0的兩根,則

(α2+4α)(β2+4β)的值是

(

)A.-1

B.1

C.5

D.-5C解析∵α,β是方程x2+3x+1=0的兩根,∴α2+3α+1=0,β2+3β+1=

0,α+β=-3,αβ=1,∴α2+3α=-1,β2+3β=-1,∴(α2+4α)(β2+4β)=(α2+3α

+α)(β2+3β+β)=(α-1)(β-1)=αβ-(α+β)+1=1-(-3)+1=5.7.(情境題·數(shù)學(xué)文化)(2024山西晉城實驗中學(xué)一模)古希臘數(shù)

學(xué)家丟番圖在《算術(shù)》中提到了一元二次方程的問題,歐幾

里得的《幾何原本》中記載了形如x2+bx=m2(b>0,m>0)的方

程的圖解法:如圖,畫Rt△ABC,使∠ACB=90°,BC=

,AC=m,在斜邊AB上截取BD=

,則該方程的一個正實數(shù)根等于

(

)A

A.AD的長

B.AC的長C.BC的長

D.CD的長解析∵∠ACB=90°,BC=

,AC=m,∴AB=

=

=

,∴AD=AB-BD=

-

=

,∵x2+bx=m2(b>0,m>0),∴x=

,∴x1=

,x2=

,∴AD的長就是該方程的正實數(shù)根.8.(一題多解)(“8”字相似模型)(2021廣西貴港中考)如圖,在

正方形ABCD中,E,F是對角線AC上的兩點,且EF=2AE=2CF,

連結(jié)DE并延長交AB于點M,連結(jié)DF并延長交BC于點N,連結(jié)

MN,則

=

(

)

A.

B.

C.1

D.

A解析解法1(利用平行線分線段成比例定理計算):∵四邊形

ABCD是正方形,∴AB∥CD,BC∥AD,∴

=

=

,

=

=

.∵四邊形ABCD為正方形,∴AB=BC=CD=AD,∴AM=CN.設(shè)AM=CN=a,∴AB=BC=CD=AD=3a,∴BM=BN=2a,∴

=

=

.解法2(利用全等三角形的性質(zhì)計算):設(shè)AB=AD=BC=CD=3a,

∵四邊形ABCD是正方形,∴∠DAE=∠DCF=45°,∠DAM=∠DCN=90°,在△DAE和△DCF中,

∴△DAE≌△DCF,∴∠ADE=∠CDF,在△DAM和△DCN中,

∴△DAM≌△DCN,∴AM=CN,∵AB=BC,∴BM=BN,∵EF=2AE=2CF,∴AF∶FC=3∶1,∵CN∥AD,∴

=

=

,∴CN=AM=a,∴BM=BN=2a,∴

=

=

.二、填空題(每小題3分,共24分)9.(2024福建泉州南安期末)若m是方程x2-x=1的一個根,則m2-

m+2023的值為

.2024解析由題意得m2-m=1,∴m2-m+2023=2024.10.(2024福建泉州永春期末)最簡二次根式

與

是同類二次根式,則x+3y=

.2解析∵最簡二次根式

與

是同類二次根式,∴3+x=5-3y,∴x+3y=2.11.(新考向·過程性學(xué)習(xí)試題)(2024重慶沙坪壩南開中學(xué)期末)下圖展示了某位同學(xué)解方程的步驟,他是在第

步開始出錯的.(填序號)解方程:2x2+8x=-4-x.解:2x(x+4)=-(x+4),…①2x=-1,…②x=-

.…③②解析他是在第②步開始出錯的,錯誤的原因是等式的兩邊

同時除以(x+4),而x+4可能為0.12.(2024甘肅天水武山期末)已知實數(shù)a在數(shù)軸上的對應(yīng)點位

置如圖所示,則化簡

-

的結(jié)果是

.

2a-3解析由數(shù)軸可知1<a<2,∴a-1>0,a-2<0,∴

-

=|a-1|-|a-2|=(a-1)-(2-a)=a-1-2+a=2a-3.13.(2024北京北師大附屬實驗華夏女子中學(xué)期中)已知實

數(shù)a,b滿足3a2+4a-2=0,3b2+4b-2=0,則

+

=

.-解析∵實數(shù)a,b滿足3a2+4a-2=0,3b2+4b-2=0,∴可將a,b看成

一元二次方程3x2+4x-2=0的兩個實數(shù)根,∴a+b=-

,ab=-

,∴

+

=

=

=

=-

.14.(跨學(xué)科·物理)(2024河南南陽十三中期中)凸透鏡成像的原理如圖所示,AD∥l∥BC,在凸透鏡左側(cè),若物體到焦點F1的距離與焦點F1到凸透鏡中心線DB的距離之比為5∶4,則物體AH與縮小的實像CG之比為

.

5∶4解析依題意可知HF1∶OF1=5∶4,∵AH∥BO,∴△AHF1∽

△BOF1,∴

=

=

,∵CG=OB,∴AH∶CG=AH∶BO=5∶4.15.(2024河南洛陽新安期末)在△ABC中,AB=10,BD平分∠ABC,AD⊥BD于點D,E是AC的中點,DE=1,則BC的長度是

.8或12解析依題意分情況求解如下:(1)如圖1,延長AD交BC的延長線于F,∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠FBD,∵AD⊥BD,∴∠ADB=∠FDB=90°,∵BD=BD,∴△ABD≌△FBD,∴BF=AB=10,AD=DF,∵E是AC的中點,

∴DE是△ACF的中位線,∴CF=2DE=2×1=2,∴BC=BF-CF=10-2=8.

圖1

圖2(2)如圖2,同理得CF=2,BF=AB=10,∴BC=BF+FC=12.綜上所述,BC的長度是8或12.16.(易錯題)(2023黑龍江綏化中考)如圖,在平面直角坐標(biāo)系

中,△ABC與△AB'C'的相似比為1∶2,點A是位似中心,已知點

A(2,0),點C(a,b),∠C=90°,則點C'的坐標(biāo)為

.(結(jié)果用

含a,b的式子表示)

(6-2a,-2b)解析如圖,過C作CM⊥AB于M,過C'作C'N⊥AB'于N,則∠

ANC'=∠AMC=90°,∵△ABC與△AB'C'的相似比為1∶2,∴

=

,∵∠NAC'=∠CAM,∴△ACM∽△AC'N,∴

=

=

=

,∵點A(2,0),點C(a,b),∴OA=2,OM=a,CM=b,∴AM=a-2,∴

=

=

,∴AN=2a-4,C'N=2b,∴ON=AN-OA=2a-6,∴點C'的坐標(biāo)為(6-2a,-2b).三、解答題(共72分)17.[答案含評分細(xì)則](2024河南南陽方城期末)(8分)計算:(1)

×

;(2)(

+1)(

-1)-(

-1)2;(3)

÷

-

×

+

.解析

(1)原式=

+

1分=2

+3

=5

.

2分(2)原式=3-1-(2-2

+1)

4分=2-3+2

=2

-1.

5分(3)原式=

-

+4

6分=

-

+4

=

-2+4

7分=4-2+4

=2+4

.

8分18.[答案含評分細(xì)則](新考向·代數(shù)推理)(2024陜西商洛期末)

(8分)已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2mx+m2-4=0.(1)求證:無論m為何值,該方程總有兩個不相等的實數(shù)根;(2)若該方程的兩個根為p和q,且滿足pq-p-q=0,求m的值.解析

(1)證明:∵Δ=b2-4ac=4m2-4(m2-4)=16>0,

2分∴無論m為何值,該方程總有兩個不相等的實數(shù)根.

3分(2)由根與系數(shù)的關(guān)系得p+q=-2m,pq=m2-4.

5分∵pq-p-q=0,∴m2-4+2m=0,

6分解得m1=

-1,m2=-

-1.

8分19.[答案含評分細(xì)則](跨學(xué)科·地理)(2024河南開封蘭考二模)

(10分)“會當(dāng)凌絕頂,一覽眾山小”,說的是登得高,看得遠(yuǎn).

如圖,若觀測點的高度為h(單位:km),觀測者能看到的最遠(yuǎn)距

離為d(單位:km),則d≈

,其中R是地球半徑,通常取6400km.(1)小麗站在海邊的一塊巖石上,眼睛離海平面的高度h為20m,她觀測到遠(yuǎn)處一艘船剛露出海平面,求此時d的值.(2)泰山被稱為五岳之首,其海拔約為1533m,到海邊的距離

超過200km,那么你認(rèn)為站在泰山之巔能看到大海嗎?(參考數(shù)據(jù):

≈1.414,

≈1.238)

解析

(1)∵R=6400km,h=0.02km,∴d≈

=

=16(km).

3分(2)1533m=1.533km,

4分站在泰山之巔,視線能到達(dá)的最遠(yuǎn)距離d≈

=80×

×

≈80×1.414×1.238≈140.04(km)<200km,

9分故站在泰山之巔看不到大海.

10分20.[答案含評分細(xì)則](2024重慶銅梁巴川中學(xué)期末)(10分)重

慶位于中國內(nèi)陸西南部、長江上游地區(qū),地貌以丘陵、山地

為主,故有“山城”之稱.重慶有很多旅游景區(qū),游客滿意度

綜合排名居全國第一.據(jù)統(tǒng)計重慶某4A級景區(qū)在2021年共接

待游客達(dá)10萬人次,在2023年接待游客達(dá)12.1萬人次.(1)若該4A級景區(qū)2021年到2023年接待游客人數(shù)的年平均增

長率都相同,求這兩年的年平均增長率.(2)某旅行社專門定制了一條來重慶的旅游線路,收費標(biāo)準(zhǔn)

為:如果人數(shù)不超過25,人均旅游費為1000元;如果人數(shù)超過25,每增加1人,人均旅游費用降低20元,但人均旅游費用不得

低于700元.如果該旅行社組織的一個旅行團(tuán)共收取了27000

元的費用,求這個旅行團(tuán)的人數(shù).解析

(1)設(shè)這兩年的年平均增長率為x,根據(jù)題意得10(1+x)2

=12.1,

2分解得x1=0.1=10%,x2=-2.1(不符合題意,舍去),故這兩年的年平

均增長率為10%.

4分(2)設(shè)這個旅行團(tuán)共y人,∵1000×25=25000(元),25000<27000,∴y>25,根據(jù)題意得[1000-20(y-25)]·y=27000,

6分整理得y2-75y+1350=0,解得y1=30,y2=45,

8分當(dāng)y=30時,1000-20(y-25)=1000-20×(30-25)=900>700,符合題

意;當(dāng)y=45時,1000-20(y-25)=1000-20×(45-25)=600<700,不

符合題意,舍去.故這個旅行團(tuán)共30人.

10分21.[答案含評分細(xì)則](2024吉林長春雙陽期末)(10分)如圖,△ABC在方格紙中.(1)請在方格紙上建立平面直角坐標(biāo)系,使A(2,3),C(6,2),并寫

出點B的坐標(biāo);(2)以坐標(biāo)原點O為位似中心,相似比為2∶1,在第一象限內(nèi)將

△ABC放大,畫出放大后的圖形△A1B1C1,并寫出點A的對應(yīng)

點A1的坐標(biāo);(3)若線段AB繞原點O旋轉(zhuǎn)90°后點B的對應(yīng)點為B2,寫出點B2

的坐標(biāo).

解析

(1)建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示,B(2,1).

2分

(2)如圖所示,△A1B1C1即為所求,A1(4,6).

6分(3)如圖,點B2的坐標(biāo)為(1,-2)或(-1,2).

10分22.[答案含評分細(xì)則](2023山東泰安中考)(12分)如圖,△ABC

和△CDE均是等腰直角三角形,EF⊥AD.(1)當(dāng)AF=DF時,求∠AED的度數(shù);(2)求證:△EHG∽△ADG;(3)求證:

=

.

解析

(1)∵△ABC和△CDE均是等腰直角三角形,∴∠ECD

=90°,∠ACB=45°,EC=DC,

1分∴∠ACD=∠ECD-∠ACB=90°-45°=45°,∴AC垂直平分ED,∴AE=AD.

2分∵EF⊥AD,AF=DF,∴AE=ED,∴AD=AE=ED,∴∠AED=60°.

3分(2)證明:由(1)得AC⊥ED,∴∠AGD=∠AGE=90°,∵EF⊥AD,

∴∠AFE=90°,∴∠AGE=∠AFE,

5分∵∠EHG=∠AHF,∴∠DAG=∠GEH,

7分∴△EHG∽△ADG.

8分(3)證明:由(2)知△EHG∽△ADG,∴

=

=

,由(1)知AD=AE,∴

=

,

10分易知∠GEC=∠GCE=45°,EG=DG,∴CG=EG=DG,∴

=

=

,∴

=

=

.

12分23.[答案含評分細(xì)則](14分)在等腰△ABC中,AB=AC,點D是

BC邊上一點(不與點B、C重合),連結(jié)AD.(1)如圖①,若∠C=60°,點D關(guān)于直線AB的對稱點為點E,連結(jié)

AE,DE,則∠BDE=

.(2)若∠C=60°,將線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60