20212022學年上海市奉賢區(qū)致遠高級中學高二（上）期

末數(shù)學試卷

一、單選題（本大題共4小題，共20.（）分）

1.為比較甲、乙兩地某月14時的氣溫狀況，隨機選取該月中的5天，將這5天中14時

的氣溫數(shù)據(jù)（單位：?）制成如圖所示的莖葉圖,考慮以下結論：

①甲地該月14時的平均氣溫低于乙地該月14時的平均氣溫；

②甲地該月14時的平均氣溫高于乙地該月14時的平均氣溫；

③甲地該月14時的平均氣溫的標準差大于乙地該月14時的氣溫的標準差.

④甲地該月14時的平均氣溫的標準差小于乙地該月14時的氣溫的標準差；

甲乙

9862S9

113012

其中根據(jù)莖葉圖能得到的統(tǒng)計結論的標號為（）

A.①③B.①④C.②③D.②④

2.他游記》修國演義》《水滸傳少和《紅樓夢是中國古典文學瑰寶，并稱為中國

古典小說四大名著.某中學為了解本校學生閱讀四大名著的情況，隨機調查了100位

學生，其中閱讀過鵡游記》或《紅樓夢》的學生共有90位，閱讀過山:樓夢的

學生共有80位，閱讀過他游記》且閱讀過《紅樓夢》的學生共有60位，則該校

閱讀過他游記》的學生人數(shù)與該學校學生總數(shù)比值的估計值為（）.

A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8

3.如圖，在棱長為1的正方體4BC。一48165中，P、Q、

R分別是棱力B、BC、的中點，以APQR為底面作一

個直三棱柱，使其另一個底面的三個頂點也都在正方體

ABCD-4B1GD1的表面上，則這個直三棱柱的體積為

（）

3V3

A-W8BD.

-T1616

4.若空間中n個不同的點兩兩距離都相等，則正整數(shù)n的取值（)

A.至多等于3B.至多等于4C.等于5D.大于5

二、單空題(本大題共12小題，共54.0分)

5.點(1,2)到直線x+2y+5=0的距離為.

6.已知15件產品中有2件次品、3件合格品，從這5件產品中任取2件，求2件都是合格

品的概率.

7.某區(qū)老年、中年和青年教師的人數(shù)見下表，采用分層抽樣的方法調查教師的新冠疫

苗接種情況，在抽取的樣本中，青年教師有320人，則該樣本的老年教師人數(shù)為

類別人數(shù)

老年教師900

中年教師1800

青年教師1600

合計4300

8.直線y-2=0與直線y=x-l的夾角大小等于.

9.已知圓錐的側面積為券，若其過軸的截面為正三角形，則該圓錐母線的長為.

10.若圓柱的高、底面半徑均為1,則其表面積為.

11.給定點4(1,0,0)、8(3,1,1)、C(2,0,l)與點。(5,—4,3),求點。到平面4BC的距離

12.在梯形ABC。中，/-ABC=看AD//BC,BC=2AD=2AB=2.將梯形4BC0繞40所

在的直線旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為

13.如圖，在三棱錐P—ABC的平面展開圖中，AC=1,

AB=4。=百，ABLAC,ABLAD,Z.CAE=30°,

則COS4FCB=.

14.甲、乙兩隊進行籃球決賽，采取七場四勝制(當一隊贏得四場勝利時，該隊獲勝，

決賽結束).根據(jù)前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”.設甲

隊主場取勝的概率為0.6,客場取勝的概率為0.5,且各場比賽結果相互獨立，則甲

隊以4：1獲勝的概率是.

第2頁，共20頁

15.設4B,C,。是同一個半徑為4的球的球面上四點，△ABC為等邊三角形且其面積

為9遍，則三棱錐。-4BC體積的最大值為.

16.如圖，四邊形ABCD和AOPQ均為正方形,他們所在的

平面互相垂直，動點M在線段PQ上，E、F分別為AB、

BC的中點，設異面直線EM與AF所成的角為。，則cos。的

最大值為.

三、解答題(本大題共5小題，共76.0分)

17.已知直線小x+ay-2=0,l2；(a-2)x+3ay+2a=0,分別求實數(shù)a的值,

使得：

⑴"/%；

(2)，i1%；

(3)k與%相交.

18.某企業(yè)為了解下屬某部門對本企業(yè)職工的服務情況，隨機訪問50名職工，根據(jù)這50

名職工對該部門的評分，繪制頻率分布直方圖(如圖所示)，其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間

為[40,50],[50,60],[80,90],[90,100]

0.028.................................................

0.022............................................................

0018......................................................................

0.0M=二;…1

5070$090100分的

(1)求頻率分布圖中a的值;

(2)估計該企業(yè)的職工對該部門評分不低于80的概率；

⑶從評分在［40,60］的受訪職工中，隨機抽取2人，求此2人評分都在［40,50］的概率.

19.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面4BCD是平行四邊形，Z.ABC=120°,AB=1,

BC=4,M=V15，M,N分別為8C,PC的中點，PD1DC,PM1MD.

(I)證明：AB1PM；

(II)求直線AN與平面PDM所成角的正弦值.

20.仇章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬,

將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉腌.如圖，在陽馬P-ABCD中，側棱

PD1底面ABC。，S.PD=CD,過棱PC的中點E,作EF1PB交PB于點F,連接DE,

第4頁，共20頁

DF,BD,BE.

(1)證明：PB，平面DEF.試判斷四面體OBEF是否為鱉席，若是，寫出其每個面的

直角(只需寫出結論)；若不是，說明理由；

(2)若面。EF與面4BC。所成二面角的大小為g求能的值.

3DC

21.如圖，在三棱錐P-4BC中，PAJL底面ABC,/.BAC=

90。，點D,E,N分別為棱P4PC,BC的中點，M是

線段AD的中點，PA=AC=8,AB=4.

(1)求證：MN〃平面BDE；

(2)求二面角C-EM-B的正弦值；

(3)已知點”在棱P4上，且直線NH與直線BE所成角的

余弦值為亞，求線段的長.

21

第6頁，共20頁

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：由莖葉圖，得：

甲地該月14時的平均氣溫廂=|(26+28+29+31+31)=29,

甲地該月14時的平均氣溫的標準差S伊=*[(—3)2+(—1)2+02+22+22]=6石，

乙地該月14時的平均氣溫正=1(28+29+30+31+32)=30,

乙地該月14時的平均氣溫的標準差S乙=R[(一2/+(—1)2+()2+/+22]=V2,

二甲地該月14時的平均氣溫低于乙地該月14時的平均氣溫，

甲地該月14時的平均氣溫的標準差大于乙地該月14時的氣溫的標準差.

根據(jù)莖葉圖能得到的統(tǒng)計結論的標號為①③.

故選：力.

利用莖葉圖分別求出甲、乙兩地某月14時的氣溫的平均值和標準差，由此能求出結果.

本題考查平均值、標準差的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意莖葉圖、平均值、

標準差的合理運用.

2.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查用樣本估計總體，考查Venn圖的性質等基礎知識，考查推理能力與計算能力，

屬于基礎題.

作出Venn圖，得到100名學生中閱讀過他游記少的學生人數(shù)為70人，由此能求出該學

校閱讀過他游記少的學生人數(shù)與該學校學生總數(shù)比值的估計值.

【解答】

解：根據(jù)題意作出以加圖，得:

.-.100名學生中閱讀過他游記》的學生人數(shù)為70人,

則該學校閱讀過您游記少的學生人數(shù)與該學校學生總數(shù)比值的估計值為：^=0.7.

故選：C.

3.【答案】C

【解析】解：如圖，連接&G，BG，gD,并分別取它們

的中點Ri，Pi，Q],連接力G，RR],PPi，QQ「R』i，P。,

Q/i,

則RRJ/ACi，PP1//AC1，QQ1//AC1,且R&=\ACV,PPr=

1QQi=)1G，

連接4C,可得力CJ.PQ,

因為CCi1平面4BCD,又PQu平面4BCD,

則CCi1PQ,

又CGn4C=C,AC,CC]U平面QCA,

所以PQJ■平面GCA,又4Gu平面QC4

所以PQ14Ci，

同理可得，AC-y1PR,

又PQCiPR=P,

則4clJL平面PQR,

所以RRiJ■平面PQR,PPi，平面PQR,QQi_L平面PQR,

則三棱柱PQR-P1Q1R1為直三棱柱，

第8頁，共20頁

由正方體的棱長為1,可得PQ=QR=PR=亨RR[=與

2

故VPQR_P]QIR]=亨x：x(y)x苧=卷.

故選：C.

連接&的，BQ,JD,并分別取它們的中點％,Pi，Qi，連接4G，RR「PP「QQ「

RR,PiQi，QR,利用線面垂直的判定定理和性質證明三棱柱PQR—PiQi%為直三

棱柱，由體積公式求解即可.

本題考查了空間中線線、線面位置關系的判斷，線面垂直的判定定理和性質的應用，棱

柱的體積公式的理解與應用，屬于中檔題.

4.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查空間幾何體的特征，考查空間兩點的距離相等的情況，注意結合外接球求解,

屬于中檔題.

只有四個點的情況成立，注意運用外接球知識，即可判斷.

【解答】

解：在空間中，4個點兩兩距離相等，構成一個正四面體，成立：

若n>4,由于任三點不共線，當n=5時，考慮四個點構成的正四面體，

第五個點，與它們距離相等，必為正四面體的外接球的球心，

且球的半徑等于邊長，而外接球半徑與正四面體邊長比是漁，矛盾，故不成立；

4

同理幾>5,不成立.

故選3.

5.【答案】2岳

【解析】解：點(L2)到直線x+2y+5=0的距離為d=嗤碧=2%

故答案為：2匹

直接利用點到直線的距離公式求解.

本題考查了點到直線的距離公式，解答的關鍵是對公示的記憶，是基礎的計算題.

6.【答案】,

【解析】解：5件產品中有2件次品、3件合格品，從這5件產品中任取2件，

基本事件總數(shù)九=C5=10,

2件都是合格品包含的基本事件個數(shù)m=或=3,

.-?2件都是合格品的概率P=巴=亮.

n10

故答案為：*

基本事件總數(shù)n=Cj=10,2件都是合格品包含的基本事件個數(shù)m=量=3,由此能求

出2件都是合格品的概率.

本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎知識，考查運算求解能力，是基

礎題.

7.【答案】180

【解析】解：設該樣本的老年教師人數(shù)為4,則^=孤，

x—180,

所以樣本中老年教師人數(shù)為180.

故答案為：180.

根據(jù)分層抽樣原理列方程求出該樣本中老年教師人數(shù).

本題考查了分層抽樣原理應用問題，是基礎題.

8.【答案】=

【解析】解：直線y-2=0與直線y=x—l的斜率分別為0和2,設它們的夾角為6,

則tan。=||=1,0=?

故答案為：

由題意利用兩條直線的夾角公式，得出結論.

本題主要考查兩條直線的夾角公式，屬于基礎題.

第10頁，共20頁

9.【答案】|

【解析】解：設圓錐的底面圓半徑為r,母線長為I,

因為圓錐的側面積為與，

所以E=第

則"=1①，

又過軸的截面為正三角形，

則2r=[②,

由①②可得，1=1,

所以該圓錐母線的長為|.

故答案為：

設圓錐的底面圓半徑為r,母線長為，，利用圓錐側面展開圖的弧長等于底面周長，半徑

等于圓錐的母線長，以及正三角形的性質，列式求解即可.

本題考查了圓錐的側面展開圖的理解與應用，解題的關鍵是掌握圓錐側面展開圖的弧長

等于底面周長，半徑等于圓錐的母線長，考查了邏輯推理能力，屬于基礎題.

10.【答案】47r

【解析】解：由題意得，表面積S=27rxlxl+27rxlxl=4TT.

故答案為：47r.

由題意結合圓柱的表面積公式即可直接求解.

本題主要考查了圓柱的表面積公式的應用，屬于基礎題.

11.【答案】也

3

【解析】解：點4(1,0,0)、3(3,1,1)、C(2,0,l)、￡)(5,-4,3)，

而=(2,1,1)，近=(1,0,1)，AD=(4,-4,3).

設平面4BC的法向量元=(x,y,z),

貝阻翌=2x+y+z=0,取”1,得元“，一…,

Ln-AC=x+z=0

???點。到平面4BC的距離d=噂=2=壁.

|n|近3

故答案為：速.

3

求出平面4BC的法向量，利用向量法能求出點D到平面ABC的距離.

本題考查點到平面的距離的求法，考查向量法求點到平面的距離公式等基礎知識，考查

運算求解能力，是中檔題.

12.【答案】y.

【解析】解：由題意可知幾何體的直觀圖如圖：旋轉體

是底面半徑為1,高為2的圓錐，挖去一個相同底面高為1

的倒圓錐，

幾何體的體積為：7T-l2-2-i-7T-l2-l=y.

故答案為：y.

畫出幾何體的直觀圖，利用已知條件，求解幾何體的體積即可.

本題考查幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及計算能力.畫出幾何體的直觀圖

是解題的關鍵.

13.【答案】一；

4

【解析】

【分析】

根據(jù)條件可知。、E、F三點重合，分別求得8C、CF、BF即可.

本題考查三棱錐展開圖，涉及余弦定理的應用，屬于中檔題.

【解答】

解：由已知得BD=V2AB=V6.BC=2,

因為。、E、尸二點重合，所以AE-AD-V3>BF—BD—y/2AB—V6，

則在△4CE中，由余弦定理可得Cf2=AC2+AE2-2AC-AE-cos^CAE=1+3-

2V3Xy=1,

所以CE=CF=1,

第12頁，共20頁

則在△BCF中，由余弦定理得cos/FCB=O+CFi=1+4-6=_1；

2BCCF2X1X24

故答案為：一：.

14.【答案】0.18

【解析】

【分析】

本題考查相互獨立事件同時發(fā)生的概率，考查運算求解能力，是一般題.

甲隊以4：1獲勝包含的情況有：①前5場比賽中，第一場負，另外4場全勝，②前5場比

賽中，第二場負，另外4場全勝，③前5場比賽中，第三場負，另外4場全勝，④前5場

比賽中，第四場負，另外4場全勝，由此能求出甲隊以4：1獲勝的概率.

【解答】

解：甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”.

甲隊主場取勝的概率為0.6,客場取勝的概率為0.5,且各場比賽結果相互獨立，

甲隊以4：1獲勝，則第五場一定是甲勝，

甲隊以4：1獲勝包含的情況有：

①前5場比賽中，第一場負，另外4場全勝，其概率為：pi=0.4x0.6x0,5x0.5x0.6=

0.036,

②前5場比賽中，第二場負，另外4場全勝，其概率為：p2=0.6x0.4x0.5x0.5X0.6=

0.036,

③前5場比賽中，第三場負，另外4場全勝，其概率為：P3=0.6x0,6x0.5x0.5x0.6=

0.054,

④前5場比賽中，第四場負，另外4場全勝，其概率為：p4=0.6X0.6x0.5X0.5x0.6=

0.054,

則甲隊以4：1獲勝的概率為：

p=p1+p2+p3+p4

=0.036+0.036+0.054+0.054=0.18.

故答案為：0.18.

15.【答案】18V3

【解析】

【分析】

本題考查球的內接多面體，棱錐的體積的求法，考查運算求解能力，是中檔題.

求出△ABC的邊長，畫出圖形，判斷。的位置，然后求解即可.

【解答】

解：設4B,C,D是同一個半徑為4的球的球面上四點，

△4BC為等邊三角形且其面積為9次，

^XAB2Xsin60°=9b，解得4B=6,

球心為0,三角形ABC的外心為。'，顯然。在。'0的延長線與球的交點如圖：

D

0zC=|x^x6=2V3.00'=J42-(2V3)2=2-

則三棱錐。一4BC高的最大值為：6,

則三棱錐。-ABC體積的最大值為：1x9V3x6=18遍.

故答案為：18-73.

16.【答案】|

【解析】

【分析】

考查建立空間直角坐標系，利用空間向量解決異面直線所成角的問題，以及運用導數(shù)探

究函數(shù)單調性，屬于中檔題.

首先以AB,AD,4Q三直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，并設正方形邊長為2,

M(0,y,2),從而可求出向量兩，萬的坐標，由cos。=|cos＜前，刀＞|得到cos9=

石備，對函數(shù)/3)=熹不求導，根據(jù)導數(shù)符號即可判斷該函數(shù)為減函數(shù)，從而求

出cos。的最大值.

【解答】

解：根據(jù)已知條件，AB,AD,4Q三直線兩兩垂直，

第14頁，共20頁

分別以這三直線為x,y,z軸，建立如圖所示空間直角坐標系,

/I(0,0,0).E(l,0,0),F(2,l,0)；

M在線段PQ上，設M(0,y,2),0<y<2；

.?.麗=(-l.y,2),AF=(2,1,0):

???cosQ=|cos<EM,AF>\—

設f⑶)=盛焉((y)=7S(^+5)A2+S：

函數(shù)g(y)=-2y-5是一次函數(shù)，且為減函數(shù)，g(0)=-5<0；

???g(y)<0在［0,2］恒成立,

在［0,2］上單調遞減;

???y=0時,f(y)取到最大值泉

故答案為：|.

.【答案】解:直線小當時,

17(1)x+ay-2=0,Z2：(a-2)x+3ay+2a=0,Z"/%

所以3Q-Q(Q-2)=0,整理得Q=0或5；

故Q=0或5.

(2)直線A：%+ay-2=0,%：(a—2)x+3ay+2Q=041G時，所以3a?+a—2=0,

解得Q=-1或I，

直線與%相交時即且

(3)L：x+ay-2=0,l2：(a-2)x+3ay+2a=0，k，a=#0aC5

時，兩直線相交.

【解析】(1)直接利用直線平行的充要條件的應用求出結果；

(2)利用直線垂直的充要條件的應用求出結果；

(3)直線相交的條件的應用求出結果.

本題考查的知識要點：直線平行的充要條件，直線垂直的充要條件，直線相交的條件,

主要考查學生的運算能力和數(shù)學思維能力，屬于基礎題.

18.【答案】解：(1)因為(0.004+a+0.018+0.022x2+0.028)x10=1,解得a=

0.006；

(2)由已知的頻率分布直方圖可知，50名受訪職工評分不低于80的頻率為(0.022+

0.018)x10=0.4,所以該企業(yè)職工對該部門評分不低于80的概率的估計值為0.4；

(3)受訪職工中評分在［50,60)的有：50x0.006x10=3(A),記為A2,4；

受訪職工評分在［40,50)的有：50X0.004X10=2(人)，記為a,B2.

從這5名受訪職工中隨機抽取2人，所有可能的結果共有10種，

分別是｛41，42bWi，公｝，Mi>B［｝,｛Ai,B2］,［A2,&｝，｛421BJ,｛&,為｝,｛公,BJ,｛A3,B2｝<

｛%4｝，

又因為所抽取2人的評分都在［40,50)的結果有1種，即｛%%｝,

故所求的概率為P=總

【解析】(1)利用頻率分布直方圖中的信息，所有矩形的面積和為1,得到a；

(2)對該部門評分不低于80的即為［80,90］和［90,100］,求出頻率，估計概率；

(3)求出評分在［40,60］的受訪職工和評分都在［40,50］的人數(shù)，隨機抽取2人，列舉法求

出所有可能，利用古典概型公式解答.

本題考查了頻率分布直方圖的認識以及利用圖中信息求參數(shù)以及由頻率估計概率，考查

了利用列舉法求滿足條件的事件，并求概率.

19.【答案】（I）證明：在平行四邊形4BCD中，由己

知可得，CD=AB=1,

CM=-2BC=2,zDCM=60°,

?,?由余弦定理可得，DM2=CD2+CM2-2CDx

CMxcos60°

=1+4—2xlx2x—=3,

2

則亦+0M2=1+3=4=CM2,即CD1DM,

又PD1.DC,PDHDM=D,??.CD_L平面PDM,

而PMu平面POM,ACD1PM,

vCD//AB,AAB1.PM；

第16頁，共20頁

(口)解：由(I)知，CD1平面PDM,

又COu平面4BCD,.?.平面ABCCJ_平面POM,

且平面4BC0C平面PDM=DM,

■■■PM1MD,且PMu平面PDM,PMJ_平面力BCD,

連接AM,則PM1M4

在△力BM中，AB=1,BM=2,^ABM=120°,

可得AM?=1+4-2X1X2X(-1)=7,

又在Rtz\PM4中，求得PM=7PA2-M42=2或,

取AD中點E,連接ME,則ME〃CC,可得ME、MD、MP兩兩互相垂直，

以M為坐標原點，分別以MD、ME、MP為x、y、z軸建立空間直角坐標系,

則4(-6,2,0),P(0,0,2魚)，C(V3,-l,0).

又N為PC的中點，二AN=(^,-|,V2).

平面POM的一個法向量為元=(0,1,0),

設直線4N與平面POM所成角為仇

則sin9=|cos(而，元>|=繇=J=誓.

*--；—<NX1

\]I~4Z4

故直線4N與平面PDM所成角的正弦值為叵.

6

【解析】(I)由己知求解三角形可得CO_LOM,結合PO_LOC,可得CO1平面PDM,

進一步得到4B1PM；

(II)由(I)證明PM_L平面4BCD,由已知求解三角形可得力M,PM,取4D中點E,連接

ME,以M為坐標原點，分別以MO、ME、MP為x、y、z軸建立空間直角坐標系，求出而

的坐標及平面POM的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得直線4N與平面POM

所成角的正弦值.

本題考查直線與平面垂直的判定與性質，考查空間想象能力與思維能力，訓練了利用空

間向量求直線與平面所成的角，是中檔題.

20.【答案】⑴???PO1底面4BCD,且BCu底面ABCD,

???PD1BC,

???4BCD為長方形，???BCLCD,

且POCCO=O,PD,COu平面PC。,

8C1平面PCD,而DEu平面PDC,BCIDE,

又?：PD=CD,點E是PC的中點，???DEIPC.

而PCnCB=C,PC,CBu平面PBC,

???DE_L平面PBC,而PBu平面PBC,；.PB1DE.

又?；PBLEF,DEOFE=E,

且DE,FEu平面。EF,

PB_L平面DEF.

由DE_1_平面PBC,PB_L平面。EF,

可知四面體8DEF的四個面都是直角三角形，

即四面體BDEF是一個鱉膈，其四個面的直角分別為NDE8,4DEF,乙EFB,4DFB.

(2)如圖，

在面8PC內，延長BC與FE交于點G,貝IJOG是平面OEF與平面4CB0的交線.

由（1）知，PB!_平面DEF,且DGu平面DEF,

PB1DG,

又?；PD_L平面4BC0,且DGu平面4BC0,

PD1DG,而POCPB=P,

且PD,PBu平面PBD,

DG1平面PBD,

且DF,DBu平面PBD,

所以DG1DF,DG1DB,

故NBDF是面DEF與面4BCD所成二面角的平面角，

設PD=DC=1,BC=X,有BD=

在RtaPDB中，由DFJ.PB,得乙DPB=4FDB

則tan；=tan/OPF=PD="+”=V3,解得a=V2.

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所以些=三=在

CBX2

故當面DEF與面4BCC所成二面角的大小為郛h三=這

3BC2

【解析】本題綜合考查了空間直線平面的垂直問題，直線與直線，直線與平面的垂直的

轉化，空間角的求解，屬于中檔題.

(1)直線與直線，直線與平面的垂直的轉化證明得出PB1EF,DE(\FE