人教A版（2019）必修第二冊(cè)過關(guān)斬將第八章立體幾何初步

達(dá)標(biāo)檢測(cè)

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.對(duì)于用斜二測(cè)畫法畫水平放置的圖形的直觀圖來說，下列描述不正確的是

A.三角形的直觀圖仍然是一個(gè)三角形B.90。的角的直觀圖會(huì)變?yōu)?5。的角

c.與y軸平行的線段長度變?yōu)樵瓉淼囊话隓.原來平行的線段仍然平行

2.已知，"和〃是兩條不同的直線，。和夕是兩個(gè)不重合的平面，那么下面給出的條件

中，一定能推出機(jī)，￡的是（）

A.?///?,且機(jī)uaB.mlln,且

C.mLn,且“u#D.mJ.n,且，

3.圓木長2丈4尺，圓周為5尺，葛藤從圓木的底部開始向上生長，繞圓木兩周，剛

好頂部與圓木平齊，問葛藤最少長多少尺？這個(gè)問題的答案為（注：1丈等于10尺）（）

A.29尺B.24尺C.26尺D.30尺

4.設(shè)%月,7為三個(gè)不同的平面，私〃為兩條不同的直線，則下列命題中假命題是

A.當(dāng)時(shí)，若尸則a_Ly

B.當(dāng)〃_!_P時(shí)，若。〃/?,貝!］相〃”

C.當(dāng)機(jī)ua,〃u尸時(shí)，若&〃￡,則孤"是異面直線

D.當(dāng)miln,nV/3,若根ua,則

5.已知正三棱柱的側(cè)棱長為4,底面邊長為2G.若點(diǎn)M是線段AC的中

點(diǎn)，則直線8M與底面ABC所成角的正切值為（）

4

D.

6.表面積為26的正八面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則此球的體積為

AV2RLr2n2V2

3333

7.已知三棱錐尸—ABC中，尸4=后，AB=3,AC=4,AS_LAC,PA_L面"。，則

此三棱錐的外接球的內(nèi)接正方體的體積為

A.16B.28C.64D.96

8.如圖，在棱長為1正方體A5co中，點(diǎn)、E,尸分別為邊BC,AD的中點(diǎn)，^AABF

沿所在的直線進(jìn)行翻折，將ACDE沿。E所在直線進(jìn)行翻折，在翻折的過程中，下

列說法簿送的是

A.無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，A、C兩點(diǎn)都不可能重合

B.存在某個(gè)位置，使得直線AF與直線CE所成的角為60°

C.存在某個(gè)位置，使得直線A尸與直線CE所成的角為90°

D.存在某個(gè)位置，使得直線4B與直線8所成的角為90°

9.等體積的球和正方體的表面積岳,S2的大小關(guān)系是（）

A.St>S2B.S,<S2

C.S,=S2D.無法確定

10.已知棱長為6的正方體ABCD-AiBiCiDi內(nèi)部有一圓柱，此圓柱恰好以直線ACi

為軸，則該圓柱側(cè)面積的最大值為（）

9岳口9垃兀

D.-----C.2也兀D.3岳

84

二、多選題

11.下列命題為真命題的是（）

A.若兩個(gè)平面有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合

B.若一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面相互垂直

C.垂直于同一條直線的兩條直線相互平行

D.若兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面不垂直

12.如圖所示，在四個(gè)正方體中，/是正方體的一條體對(duì)角線，點(diǎn)",N,P分別為其所在

試卷第2頁，總6頁

棱的中點(diǎn)，能得出平面MNP的圖形為（）

三、雙空題

13.已知一圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為2的半圓，則該圓錐的表面積為體積為

四、填空題

14.已知正四棱錐的側(cè)棱長為26,側(cè)棱與底面所成的角為60。，則該四棱錐的高為

15.如圖所示，直線?！ㄆ矫纥c(diǎn)A在a另一側(cè)，點(diǎn)氏C,Dea線段AB,AC,AO分別

交a于點(diǎn)耳尸,G.若5。=4,C尸=4,AF=5,則EG=

16.如圖，在長方形ABCO中，AB=2,AD=\,E是CO的中點(diǎn)，沿AE將ADAE向

上折起，使。為。'，且平面AED」平面ABCE.則直線與平面ABC所成角的正弦值

為

D'

C

BB

17.一個(gè)圓錐形容器和一個(gè)圓柱形容器的軸截面如圖所示，兩容器內(nèi)所盛液體的體積正

好相等，且液面高度”也相等，用。將表示出來.

a

五、解答題

18.已知正方體A8cr>-A4CiR,

(1)證明：〃①〃平面。^。；

(2)求異面直線0A與8。所成的角.

19.如圖，三棱柱A8C-44C］中，CA=CB,AB=AAi,ZBAA,=60°.

(1)證明：,纏」重修；

(2)若/燔=，疹=普，境固=5,求三棱柱4BC-ABC的體積.

20.如圖，直三棱柱ABC-AiBiCi中，D,E分別是AB,BBi的中點(diǎn).

試卷第4頁，總6頁

(I)證明：BCi〃平面AiCD;

(II)設(shè)AAi=AC=CB=2,AB=20,求三棱錐C一AQE的體積.

21.如圖，在四棱錐P-ABCD中，右上"是正三角形，四邊形ABCD是正方形.

(I)求證：PC=PD-,

(II)若2PD=?：D,求直線與平面PCD所成角的正弦值.

22.如圖所示，在斜三棱柱44c「ABC中，底面是等腰三角形，AB^AC,D是BC的

中點(diǎn)，側(cè)面底面ABC.

(1)求證：AD_LCCj；

(2)過側(cè)面BB&C的對(duì)角線BCi的平面交側(cè)棱AA于點(diǎn)M,若4M=兒用，求證：截

面?zhèn)让?2℃；

(3)若截面平面84GC,4M=M4,成立嗎？請(qǐng)說明理由.

試卷第6頁，總6頁

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參考答案

1.B

【詳解】

根據(jù)斜二測(cè)畫法，三角形的直觀圖仍然是一個(gè)三角形，故A正確；90。的角的直觀圖不一定

45。的角，例如也可以為135。，所以3不正確；由斜二測(cè)畫法可知，與＞軸平行的線段長度

變?yōu)樵瓉淼囊话耄蔆正確；根據(jù)斜二測(cè)畫法的作法可得原來平行的線段仍然平行，故。正確,

故選B.

2.B

【解析】

【分析】

根據(jù)線面垂直的判定方式分析加〃叫且〃，尸一定能推出根，尸，其余選項(xiàng)錯(cuò)誤.

【詳解】

A中，alip,且mua,則加〃力，故A錯(cuò)誤；

一條直線垂直于平面，則與這條平行的直線也垂直于這個(gè)平面，易知2正確；

C、。中，mu6或m//6或相與月相交均有可能，故C、D錯(cuò)誤.

故選：B

【點(diǎn)睛】

此題考查線面位置關(guān)系的判斷，關(guān)鍵在于熟練掌握線面垂直的判定方式.

3.C

【分析】

葛藤從圓木的底部開始向上生長，繞圓木兩周，底邊長為底面圓周的二倍，高為圓柱的高，

形成的矩形的對(duì)角線即葛藤長度.

【詳解】

由題意可知，圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，其中一條邊（即圓木的高）長為24尺，其鄰邊長

為5尺，葛藤從圓木的底部開始向上生長，繞圓木兩周，因止匕葛藤長）24」+（5x2）2=26（尺）.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

此題考查幾何體側(cè)面路徑的最值求法，根據(jù)題意對(duì)側(cè)面進(jìn)行展開，利用兩點(diǎn)之間線段最短求

解.

4.C

答案第1頁，總15頁

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【分析】

根據(jù)空間線面垂直、面面垂直、面面平行的性質(zhì)定理對(duì)選項(xiàng)分別分析選擇.

【詳解】

對(duì)于A,根據(jù)平面與平面平行、垂直的性質(zhì)，可得正確；

對(duì)于B,根據(jù)平面與平面平行、線面垂直的性質(zhì)，可得正確；

對(duì)于C,私〃可能異面，也可能平行，故錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由機(jī)〃"，可知m_L/,又mua,所以c_L￡,可得正確.

故選C

【點(diǎn)睛】

本題考查了空間線面垂直、面面垂直、面面平行的性質(zhì)定理和判定定理的運(yùn)用；牢固掌握運(yùn)

用定理是關(guān)鍵.

5.B

【分析】

根據(jù)定義作出直線與平面所成角，計(jì)算出正切值即可.

【詳解】

過點(diǎn)M作于點(diǎn)N,連接5N,

根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得：MV-L平面ABC,

則ZMBN為直線BM與底面ABC所成的角.

4

由已知，可得肱V=4,BN=3,所以tan/MBN=].

故選：B.

【點(diǎn)睛】

此題考查求直線與平面所成角的正切值，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確找出線面角.

6.A

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【解析】

解：此正八面體是每個(gè)面的邊長均為。的正三角形，所以由8x運(yùn)=26知，?=1,則此

4

球的直徑為故選A.

7.C

【解析】

【分析】

將三棱錐補(bǔ)成長方體，它的對(duì)角線是其外接球的直徑，也是外接球的內(nèi)接正方體的體對(duì)角線

長.

【詳解】

由以，平面ABC,AB±AC,將三棱錐補(bǔ)成長方體，它的對(duì)角線是其外接球的直徑，也是外

接球的內(nèi)接正方體的體對(duì)角線長.

PA=,AB=3,AC=4,

三棱錐外接球的直徑為J23+9+16=4G,

...三棱錐外接球的直徑為4石

A外接球的內(nèi)接正方體的體對(duì)角線長4石.

/.正方體的棱長為4,即正方體的體積為64

故選：C.

【點(diǎn)睛】

空間幾何體與球接、切問題的求解方法

(1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時(shí)，一般過球心及接、切點(diǎn)作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化

為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解.

(2)若球面上四點(diǎn)尸，A,B,C構(gòu)成的三條線段E4,PB,PC兩兩互相垂直，且E4=a,PB

=b,PC=c,一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長方體，利用4我2=4+/+02求解.

8.D

【分析】

利用圓錐的幾何特征逐一判斷即可.

【詳解】

解：過A點(diǎn)作AMLBF于M,過C作CNLDE于N點(diǎn)

答案第3頁，總15頁

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在翻折過程中，AF是以F為頂點(diǎn)，AM為底面半徑的圓錐的母線，同理，AB,EC,DC也

可以看成圓錐的母線；

在A中，A點(diǎn)軌跡為圓周，C點(diǎn)軌跡為圓周，顯然沒有公共點(diǎn)，故A正確；

在8中，能否使得直線AF與直線CE所成的角為60。，又AF,EC分別可看成是圓錐的母

線，只需看以F為頂點(diǎn)，AM為底面半徑的圓錐的軸截面的頂角是否大于等于60。即可，故

B正確；

在C中，能否使得直線AP與直線CE所成的角為90。，只需看以F為頂點(diǎn)，AM為底面半

徑的圓錐的軸截面的頂角是否大于等于90。即可，故C正確；

在。中，能否使得直線AB與直線8所成的角為90。，只需看以B為頂點(diǎn)，AM為底面半

徑的圓錐的軸截面的頂角是否大于等于90。即可，故。不成立；

故選D

【點(diǎn)睛】

本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查邏

輯推理能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.

9.B

【分析】

根據(jù)體積相等得出正方體棱長和球的半徑的大小關(guān)系，求出表面積即可得解.

【詳解】

40°

設(shè)正方體的棱長為d球的半徑為R,由題意得V=］乃

所以°=玳^，R=J—?

V4萬

所以邑=6/=6*'=#216卜2,

4==56兀V?,

答案第4頁，總15頁

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所以邑＞幾

故選：B

【點(diǎn)睛】

此題考查正方體和球體的體積表面積計(jì)算，根據(jù)體積相等得出等量關(guān)系，關(guān)鍵在于對(duì)代數(shù)式

的準(zhǔn)確化簡(jiǎn).

10.A

【分析】

由題知，只需考慮圓柱的底面與正方體的表面相切的情況，即可得出結(jié)論.

【詳解】

由題知，只需考慮圓柱的底面與正方體的表面相切的情況，由圖形的對(duì)稱性可知，圓柱的上

底面必與過A點(diǎn)的三個(gè)面相切，且切點(diǎn)分別在線段ABi,AC,ADi上，設(shè)線段ABi上的切

點(diǎn)為E,ACiC面AIBD=O2,圓柱上底面的圓心為OI,半徑即為OiE=r,貝。

22222

AO2=|1VV3+V3+A/3=1，O2F=7AF-AO2=7=與,由O正〃ChF

知第==則圓柱的高為3-2Aq=3—20r,

Or2ACq

f3忘

r+--------r=卓當(dāng)且僅當(dāng)『不取

4

2

7

等號(hào).

【點(diǎn)睛】

本題考查求圓柱側(cè)面積的最大值，考查正方體與圓柱的內(nèi)切問題，考查學(xué)生空間想象與

分析解決問題的能力，屬于中檔題.

11.BD

【分析】

答案第5頁，總15頁

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A選項(xiàng)兩個(gè)平面相交也滿足,C選項(xiàng)這兩條直線位置不確定,B選項(xiàng)是面面垂直的判定定理，

利用反證法可以證明D選項(xiàng).

【詳解】

A錯(cuò)，兩個(gè)平面相交時(shí)，也有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)；

B選項(xiàng)就是面面垂直的判定定理，正確；

C錯(cuò)，比如a_La,bua,cua,顯然有：_)_，，a±c,但6與c也可能相交；

D利用反證法證明，假設(shè)這條直線與另一個(gè)平面垂直，則這條直線垂直于平面內(nèi)的任何一條

直線，當(dāng)然就垂直于這條交線，與已知條件矛盾，所以原說法正確.

故選：BD.

【點(diǎn)睛】

此題考查空間中線面位置關(guān)系的辨析，關(guān)鍵在于熟練掌握相關(guān)公理定理，準(zhǔn)確推導(dǎo).

12.AD

【分析】

利用線面垂直的判定定理證明AD滿足，結(jié)合空間向量在BC中證明直線/與平面內(nèi)的某條

直線不垂直，即可得線面不可能垂直.

【詳解】

如圖所示，正方體ABCD-AB'C'D.連接??加,尸分別為其所在棱的中點(diǎn)，

:.MP//AC.

四邊形ABCD為正方形，

AC±BD,

??,88'_L平面ABC￡>,ACu平面ABC。，

BB±AC,

?.?ACABD,3￡>門班'=8，=4。，平面。88'，;.￡>8'匚平面。88'，，4。，。3'.

答案第6頁，總15頁

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?：MP//AC,DB1MP，同理，可證OB'_LACV,DB±NP,

?;MPcNP=P,MPu平面腦VP,NPu平面腦VP,

,DB'_L平面肱VP,即/垂直平面腦VP,故A正確.

在。中，由A中證明同理可證/_LMP,ILMN,又?；MPcMN=M,

平面MNP.故D正確.

假設(shè)直線與平面垂直，則這條直線垂直于面內(nèi)任何一條直線.

對(duì)于B選項(xiàng)建立直角坐標(biāo)系如圖：設(shè)棱長為2,

：\i

‘：工N

TC

M（l,0,0）,N（2,2,l）,直線I所在體對(duì)角線兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)（0,0,2）,（2,2,0）,

所以其方向向量7=（2,2,-2）,麗=（1,2,1）,

n-MN=4^Q,所以直線不可能垂直于平面腦VP.

同理可在C中建立相同直角坐標(biāo)系，M（2,0,1）,（1,2,0）,W=（-1,2,-1）,

n-MN=4^0,所以直線不可能垂直于平面MNP.

故選：AD.

【點(diǎn)睛】

此題考查空間線面垂直的辨析，在四個(gè)圖形中分別判定是否滿足線面垂直，根據(jù)線面垂直的

判定定理證明.

13.3萬B兀

3

【分析】

①根據(jù)側(cè)面展開圖求出底面圓的半徑，即可求得底面圓的面積，得出表面積；

答案第7頁，總15頁

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②根據(jù)底面圓的半徑結(jié)合母線長，求出錐體的高，即可求得體積.

【詳解】

圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為2的半圓，該扇形弧長為2萬，即底面圓周長，

設(shè)圓錐的底面半徑為廣，根據(jù)題意，得2療=2萬，解得r=l,

根據(jù)勾股定理，得圓錐的高為次二系=也,

所以圓錐的表面積S=』x%x22+;rxl2=3兀,

2

體積V=—x^-xl2x^=^^萬.

33

故答案為：①3萬，②旦兀

3

【點(diǎn)睛】

此題考查求圓錐體積和表面積，根據(jù)側(cè)面展開圖求底面圓半徑和錐體的高，根據(jù)公式計(jì)算求

解.

14.3

【分析】

根據(jù)立體圖形，作出直線與平面所成的角，結(jié)合線面角即可求得錐體的高.

【詳解】

如圖，過點(diǎn)S作SO,平面ABCD,連接OC,/SCO就是側(cè)棱與底面所成的角，

則ZSCO=60°,SO=sin60°-SC=—x2>/3=3.

2

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】

此題考查根據(jù)線面角求線段長度，關(guān)鍵在于弄清正四棱錐的幾何特征.

20

15.

9

答案第8頁，總15頁

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【分析】

根據(jù)線面平行的性質(zhì)可得：BD//EG,利用平行線分線段成比例即可求解.

【詳解】

因?yàn)樗渣c(diǎn)A與直線a確定個(gè)平面，

即平面ABZ).因?yàn)閍//a,且aPl平面ABD=EG,平面ABD,

所以a//EG,即BD//EG,

,AFEG

所CC以I1——=——.

ACBD

〒日》AFBD5x420

AC5+49

,20

故答案為：—.

【點(diǎn)睛】

此題考查線面平行的性質(zhì)，根據(jù)線面平行得面面平行，進(jìn)行長度關(guān)系的計(jì)算.

16.紅

2

【分析】

由面面垂直，易得斜線在平面的射影，進(jìn)而得角.

【詳解】

解：由題意，AAD'E為等腰直角三角形，

??,平面AED±平面ABCE,

?*.A力在底面的射影為AE,

二ZD'AE為直線A￡>'與平面A3c所成角，

。

且ZDAE=45

V2I

其正弦值為

V2I

故答案為：

【點(diǎn)睛】

此題考查了斜線與平面所成角，難度不大.

17.2

2

【分析】

分別根據(jù)圓錐和圓柱的體積公式表示出其中液體的體積，列出等量關(guān)系即可求解.

答案第9頁，總15頁

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【詳解】

由題意，得Vai徘，=h，丫囪槎液=萬｛3'h>

由已知得當(dāng)h,

所以心旦.

2

【點(diǎn)睛】

此題考查錐體與柱體體積公式的應(yīng)用，根據(jù)體積相等列出等式，得出等量關(guān)系.

7T

18.(1)證明見解析；(2)y.

【分析】

(1)證明RA//GB,再根據(jù)線面平行的判定定理即可證明結(jié)論；

(2)NC/。即為異面直線RA與3。所成的角，求出即可.

【詳解】

(1)證：在正方體ABC。-A4G。中，

ABgD\,且A8=CQ,

四邊形A3CQ為平行四邊形，

/.D、AHC\B,

又：QA<Z平面GB。，G3u平面G8D；

24〃平面。足。；

⑵解：；RA//C3,

NGBD即為異面直線與8。所成的角，

設(shè)正方體A3。-44GR的邊長為。，

則易得QB=BD=CQ=?a,

為等邊三角形，

答案第10頁，總15頁

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71

：.ZCiBD=-

故異面直線AA與所成的角為

【點(diǎn)睛】

本題主要考查線面平行的判定與異面直線所成的角，屬于基礎(chǔ)題.

19.（1）見解析；（2）3

【詳解】

(1)取AB的中點(diǎn)O,連接OCfl、0A]0、48,因?yàn)镃A=CB，所以O(shè)C,AB,由于AB=AAi,

NBAAi=60。,所以所以平面。AC,因?yàn)锳Cu平面O4C，所以AB^AiC；

（2）有（1）可知A3,4。，因?yàn)锳ABC為等邊三角形，所以CO=招，由勾股定理可得

COLAtO,所以A。_L平面ABC,

底面積S=gx括X2=75,所以體積丫=&、百=3

20.⑴見解析（II）底品應(yīng)=1

【詳解】

試題分析：（I）連接ACi交AC于點(diǎn)F,則DF為三角形ABCi的中位線，故DF〃:BCi.再

根據(jù)直線和平面平行的判定定理證得BCi〃平面AiCD.（II）由題意可得此直三棱柱的底

面ABC為等腰直角三角形，由D為AB的中點(diǎn)可得CD,平面ABBiAi.求得CD的值，利

用勾股定理求得AiD、DE和A正的值，可得AiDLDE.進(jìn)而求得SAAQE的值，再根據(jù)

三棱錐C-AiDE的體積為『SAAIDE?CD,運(yùn)算求得結(jié)果

試題解析：（1）證明：連結(jié)ACi交AC于點(diǎn)E則F為AG中點(diǎn)又D是AB中點(diǎn)，

連結(jié)DF,貝|BCi〃DF.3分

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因?yàn)镈Fu平面AiCD,BCi不包含于平面AiCD,4分

所以BCi〃平面AiCD.5分

(2)解：因?yàn)锳BC-AiBC是直三棱柱，所以AAJCD.由已知AC=CB,D為AB的中

點(diǎn)，所以CDJ_AB.又AAiPlAB=A,于是CDJ_平面ABB1A1.8分

由AAi=AC=CB=2,AB=2”‘工得NACB=90。，CDj?人業(yè)=、后，DE=\B，AIE=3,故

AID2+DE2=AIE2,即DE_LAQ10分

所以三菱錐C-AiDE的體積為：Vc-DE=1XXXX.^=1.12分

o4

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

21.(I)見解析(II)叵

【解析】

【分析】

(I)取42的中點(diǎn)”及的中點(diǎn)N,連結(jié)PM,PN,MN.要證PC=PD,即證CCPN；

(II)過8作出/_1_平面PCD,垂足為"，連接尸BH,ZBPH為直線PB與平面PCD

所成角.

【詳解】

(I)取A3的中點(diǎn)Af及CD的中點(diǎn)N,連結(jié)尸M,PN,MN.

由△上鉆是正三角形，四邊形A3CD是正方形得ABLMN,

BC

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又尸M,肱Vu平面PAW,PMcMN=M,

所以平面PMN.

因?yàn)锳B〃CD,所以CDJ_平面PMN,

又PNu平面PMN,所以C￡)_LPN,

又C。的中點(diǎn)是N,所以PC=PD.

(II)過B作平面PCD,垂足為H,連接P”，BH,

ZBPH為直線PB與平面PCD所成角，sin/BPH=器.

過Af作MVLRV于歹，

由CD_L平面PMN及叱u平面PMN,得CDLMF,

又MF1.PN,PN,C￡>u平面尸CD,PNcCD=N,

所以MF_L平面PCD.

由A5//CD,A5Z平面尸CD,CDu平面尸CD,得AB//平面PCD.

于是點(diǎn)B到平面PCD的距離BH等于點(diǎn)M到平面PCD的距離等于MF

設(shè)8=2,貝1」尸。=百，PA=PB=AB=AD=BC=MN=2,

計(jì)算得PM=乖：,PN=2,

在