專題小卷（5）比較含有二次根式的式子大小的8種方法類型一平方法1.(★★☆)在二次根式的比較大小中,有時候用“平方法”會取得很好的效果.例如,比較a=2

和b=3

的大小,我們可以把a(bǔ)和b分別平方,因?yàn)閍2=12,b2=18,所以a2<b2,所以a<b.請利用“平方法”解決下列問題:(1)已知c=4

,d=2

,則c

d(填“>”“<”或“=”).(2)猜想m=2

+

,n=2

+

的大小關(guān)系,并證明.(1)∵c=4

,d=2

,∴c2=(4

)2=32,d2=(2

)2=28,∴c2>d2,∴c>d.故答案為>.(2)m<n.證明:∵m=2

+

,n=2

+

,∴m2=(2

+

)2=20+6+4

=26+4

,n2=(2

+

)2=12+14+4

=26+4

,∴m2<n2,∴m<n.2.(★★☆)用平方法比較二次根式的大小:-5

與-3

.(-5

)2=75,(-3

)2=45,∵75>45,∴-5

<-3

.當(dāng)a>0,b>0時,若a2>b2,則a>b;當(dāng)a<0,b<0時,若a2>b2,則a<b.方法點(diǎn)撥類型二作商法3.(★★☆)用作商法比較下列根式大小:(1)

與

.(2)8

與14

.(1)

=

=

>1,所以

>

.(2)

=

>1,所以8

>14

.當(dāng)a>0,b>0時,若

>1,則a>b;若

=1,則a=b;若

<1,則a<b.方法點(diǎn)撥類型三分母有理化法4.(★★☆)閱讀材料:在二次根式中有種相輔相成的“對子”,如(

+3)×(

-3)=-4,(

+

)×(

-

)=1,它們的積不含根號,我們說這兩個二次根式互為有理化因式,其中一個是另一個的有理化因式.于是,二次根式除法可以這樣解:如

=

=

,

=

=7+4

.像這樣通過分子、分母同乘一個式子把分母中的根號化去,叫分母有理化.解決問題:(1)比較大小:

(填“>”“<”或“=”).(2)計(jì)算:

+

+

+…+

.(1)

=

=

,

=

=

,∵

>

,∴

>

.故答案為>.(2)

+

+

+…+

=

+

+

+…+

=

+

+

+…+

=

+

+

+…+

=1-

.5.(★★☆)比較大小:

與

.

-

=

-

=

+2

-(

+

)=

+2

-

-

=2

-

=

-

,∵

-

<0,∴

<

.對于分母形如

+

或

-

的式子,可先分母有理化,再比較大小.方法點(diǎn)撥類型四分子有理化法6.(★★☆)我們在學(xué)習(xí)二次根式時,熟悉了分母有理化及其應(yīng)用.其實(shí),有一個類似的方法叫做分

子有理化.例如:

-

=

=

.分子有理化可以用來比較某些二次根式的大小,也可以用來處理一些二次根式的最值問題.例如:比較

-

和

-

的大小.解:

-

=

,

-

=

.因?yàn)?/p>

+

>

+

,所以

-

<

-

.利用上面的方法,解決下列問題:(1)比較

-

和

-

的大小.(2)求y=

-

+3的最大值.(1)

-

=

=

,

-

=

=

,∵

+

>

+

,∴

-

<

-

.(2)由題意得x+1≥0,x-1≥0,∴x≥1,∴y=

-

+3=

+3=

+3,當(dāng)x=1時,分母

+

有最小值,是

,∴y=

+3的最大值是3+

,即y=

-

+3的最大值是3+

.7.(★★☆)已知a=

-

,b=

-

,c=

-

,比較a,b,c的大小.a=

=

,b=

=

,c=

=

,∵

+

>

+

>

+

,∴

-

<

-

<

-

,即a<b<c.類型五作差法8.(★★☆)“作差法”是數(shù)學(xué)中常用的比較兩個數(shù)大小的方法,即

例如:比較

-2與2的大小.因?yàn)?/p>

-2-2=

-4,又因?yàn)?/p>

>

,所以

>4,所以

-4>0,所以

-2>2.請根據(jù)上述方法解答以下問題:(1)

的整數(shù)部分是

,7-

的小數(shù)部分是

.(2)比較2-

與-3的大小.(3)比較

+

與2

的大小.(1)∵5<

<6,∴

的整數(shù)部分是5,∴-6<-

<-5,∴1<7-

<2,∴7-

的整數(shù)部分是1,∴7-

的小數(shù)部分是7-

-1=6-

.故答案為5;6-

.(2)∵2-

-(-3)=5-

=

-

>0,∴2-

>-3.(3)

+

-2

=(

-

)-(

-

)=

-

=

-

,∵

+

>

+

,∴

-

<0,∴

+

<2

.9.(★★☆)已知a=2-

,b=

-

,c=

-1,那么a,b,c的大小關(guān)系是()A.a<b<c

B.a<c<bC.c<b<a

D.b<c<aA類型六倒數(shù)法∵a=2-

,b=

-

,c=

-1,∴

=

=2+

,

=

=

+

,

=

=

+1,∵2+

>

+

>

+1,∴

>

>

,∴a<b<c.當(dāng)ab>0時,若

>

,則a<b.方法點(diǎn)撥類型七特殊值法10.(★★☆)用“<”連接x,

,x2,

,其中,0<x<1.∵0<x<1,∴取特殊值x