第2章軸對稱圖形2.5等腰三角形的軸對稱性第二課時等腰三角形的判定基礎(chǔ)過關(guān)全練知識點3等腰三角形的判定1.(2024江蘇南京聯(lián)合體期中)在△ABC中,其兩個內(nèi)角如下,

則能判定△ABC為等腰三角形的是

()A.∠A=40°,∠B=50°

B.∠A=40°,∠B=60°C.∠A=40°,∠B=70°

D.∠A=40°,∠B=80°C解析

A.180°-40°-50°=90°,故選項A錯誤;B.180°-40°-60°=80

°,故選項B錯誤;C.180°-40°-70°=70°,故選項C正確;D.180°-40

°-80°=60°,故選項D錯誤.故選C.2.如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠A=15°,點D是AC上一點,連接

BD,∠DBC=60°,BD=4,則AD的長是

()

A.4

B.5

C.6

D.8A解析∵∠C=90°,∠DBC=60°,∴∠BDC=90°-∠DBC=30°.∵

∠A=15°,∴∠ABD=∠BDC-∠A=15°,∴∠A=∠ABD,∴AD=

BD=4.故選A.3.某城市幾條道路的位置關(guān)系如圖所示,道路AB∥CD,道路

AB與AE的夾角∠BAE=54°,城市規(guī)劃部門想新修一條道路

CE,要求使CF=EF,則∠E的度數(shù)為

()

A.23°

B.25°

C.27°

D.30°C解析∵AB∥CD,∴∠DFE=∠BAE=54°.當(dāng)∠C=∠E時,CF=

EF.∵∠DFE=∠C+∠E,∴∠E=

∠DFE=

×54°=27°.故選C.4.將一張長方形紙片折疊成如圖所示的圖形,若AB=6cm,CB

=5cm,則AC=

cm.6解析如圖,延長原長方形的邊.

∵長方形的對邊平行,∴∠1=∠ACB.由折疊的性質(zhì)得,∠1=

∠ABC,∴∠ABC=∠ACB,∴AC=AB.∵AB=6cm,∴AC=6cm.

故答案為6.5.(教材變式·P67T7)如圖,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BE平

分∠ABC交AC于E,CD平分∠ACB交BE于D,則圖中有

個等腰三角形.5解析∵AB=AC,∠A=36°,∴△ABC是等腰三角形,∴∠ACB

=∠ABC=72°.∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠EBC=36°,∠A=

∠ABE,∴△ABE是等腰三角形.∵∠BEC=∠A+∠ABE=72°=

∠ACB,∴△BEC是等腰三角形.∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=

∠BCD=36°=∠EBC,∴△BCD是等腰三角形.∵∠EDC=∠

DBC+∠DCB=72°=∠DEC,∴△CDE是等腰三角形.綜上,題

圖中共有5個等腰三角形.6.(分類討論思想)如圖,在△ABC中,AB=AC,∠B=40°,點D在

線段BC上運動(D不與B,C重合),連接AD,作∠ADE=40°,DE與

AC交于E.在點D的運動過程中,∠BDA的度數(shù)為

時,△ADE的形狀是等腰三角形.110°或80°解析∵AB=AC,∴∠C=∠B=40°,∴∠BAC=180°-40°-40°=1

00°.①當(dāng)∠ADE=∠AED=40°時,AD=AE,∵∠AED>∠C,∴此情況不符合題意.②當(dāng)∠DAE=∠DEA=

×(180°-40°)=70°時,DA=DE,∴∠BAD=100°-70°=30°,∴∠BDA=180°-30°-40°=110°.③當(dāng)∠ADE=∠DAE=40°時,EA=ED,∴∠BAD=100°-40°=60°,∴∠BDA=180°-60°-40°=80°.綜上,當(dāng)∠BDA的度數(shù)為110°或80°時,△ADE的形狀是等腰

三角形.故答案為110°或80°.7.如圖,在△ABC中,AB=BC,點D在邊AB的延長線上,過點D作

DF⊥AC于F,交BC于E.求證:BD=BE.證明∵DF⊥AC,∴∠DFA=∠EFC=90°.∵AB=BC,∴∠A=

∠C,∵∠D=90°-∠A,∠CEF=90°-∠C,∴∠D=∠CEF.∵∠BED=∠CEF,∴∠D=∠BED,∴BD=BE.8.如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB邊上的高,AE是∠

BAC的平分線,AE與CD交于點F.求證:△CEF是等腰三角形.

證明∵在△ABC中,∠ACB=90°,∴∠B+∠BAC=90°.∵CD

是AB邊上的高,∴∠ACD+∠BAC=90°,∴∠B=∠ACD.∵AE

是∠BAC的平分線,∴∠BAE=∠EAC,∴∠B+∠BAE=∠ACD

+∠EAC,即∠CEF=∠CFE,∴CE=CF,∴△CEF是等腰三角形.9.(2024江蘇徐州豐縣期末,7,★☆☆)如圖,共有等腰三角形

()

A.4個

B.5個

C.3個

D.2個B能力提升全練解析根據(jù)三角形的外角的性質(zhì),得∠AOB=∠COD=72°,根

據(jù)三角形內(nèi)角和定理,得∠ABO=∠DCO=36°,∴∠ABC=∠

DCB=36°+36°=72°,由等角對等邊得等腰三角形有△AOB,△

COD,△ABC,△CBD和△BOC.故選B.10.(2024北京朝陽期中,7,★★☆)如圖,在△ABC中,∠B=∠C

=36°,D、E分別是線段BC、AC上的一點,根據(jù)下列條件之一,

不能判定△ADE是等腰三角形的是

()

A.∠1=2∠2

B.∠1+∠2=72°C.∠1+2∠2=90°

D.2∠1=∠2+72°C解析當(dāng)∠1+2∠2=90°時,∠1=90°-2∠2,∴∠DAE=180°-∠B-∠C-∠1=108°-∠1=108°-(90°-2∠2)=18

°+2∠2,∠AED=36°+∠2,∠ADE=36°+∠1-∠2=36°+90°-2∠2

-∠2=126°-3∠2,∴∠DAE、∠AED、∠ADE之間的大小關(guān)系無法確定.故根

據(jù)選項C的條件不能判定△ADE是等腰三角形.故選C.11.(2023江蘇連云港東海三模,16,★★☆)在△ABC中,∠A=8

0°,當(dāng)∠B=

時,△ABC是等腰三角形.80°或50°或20°解析由題意得,①當(dāng)∠B=80°=∠A時,△ABC是等腰三角形;

②當(dāng)∠B=(180°-80°)÷2=50°時,△ABC是等腰三角形;③當(dāng)∠B

=180°-80°×2=20°時,△ABC是等腰三角形.故答案為80°或50°

或20°.12.(分類討論思想)(2024江蘇淮安淮陰期中,16,★★★)如圖,

在△ABC中,AB=AC,∠BAC=80°,射線AH⊥BC于點D,點M為

射線AH上一點,如果點M滿足△ABM為等腰三角形,則∠

ABM的度數(shù)為

.40°或70°或100°解析∵AB=AC,∠BAC=80°,AH⊥BC于點D,∴∠BAD=

∠BAC=40°.如圖1,當(dāng)∠ABM=∠AMB=

×(180°-40°)=70°時,AM=AB,此時△ABM為等腰三角形.如圖2,當(dāng)∠AMB=∠BAD=40°時,

AB=MB,此時△ABM為等腰三角形,∴∠ABM=180°-∠BAD-

∠AMB=100°.如圖3,當(dāng)∠ABM=∠BAM=40°時,AM=BM,此時

△ABM為等腰三角形.綜上,∠ABM的度數(shù)是40°或70°或100°.13.(2024江蘇蘇州相城期中,25,★★☆)如圖,已知AB=AC,∠

ACB=2∠BAC,點D為BC中點,CE平分∠ACB交AD于點I,交

AB于點E,連接BI.(1)求∠AIC的度數(shù).(2)求證:△IBE為等腰三角形.

解析(1)∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵∠ACB=2∠BAC,∴

∠BAC+2∠BAC+2∠BAC=180°,∴∠BAC=36°,∴∠ACB=72°.∵CE平分∠ACB,∴∠ACI=

∠ACB=36°.∵點D為BC中點,∴AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠BAD=

∠BAC=18°,∴∠AIC=180°-∠CAD-∠ACI=126°.(2)證明:∵AB=AC,點D為BC中點,∴AD垂直平分BC,∴BI=

CI,∴∠BID=∠CID.∵∠AIC=126°,∴∠BID=∠CID=180°-126°=54°,∴∠BIE=180°-54°-54°=72°.∵∠BEI=∠BAC+∠ACE=72°,∴∠BIE=∠BEI,∴BE=BI,即△IBE是等腰三角形.14.(創(chuàng)新意識)規(guī)定:從三角形一個頂點引出一條射線與對邊

相交,頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三

角形,如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形,另一個

與原三角形的三個角分別相等,我們把這條線段叫做這個三

角形的“等角分割線”.示例:如圖①,在△ABC中,∠ACB=110°,∠A=40°,∠ABC=30°,

CD把△ABC分割成△ADC和△CDB兩個小三角形,其中,素養(yǎng)探究全練∠CDB=110°,∠DCB=40°,∠ACD=∠ADC=70°.∵∠ACD=∠

ADC,∴AC=AD,即△ADC為等腰三角形,又∵∠B=∠B,∠DCB=∠A=40°,∠ACB=∠CDB=110°,∴△BDC與△BCA的三

個角分別相等,∴CD為△ABC的等角分割線.(1)如圖②,在△ABC中,CD為角平分線,∠A=50°,∠B=30°,求

證:CD為△ABC的等角分割線.(2)在△ABC中,∠A=48°,CD是△ABC的等角分割線,求∠ACB

的度數(shù).

解析(1)證明:∵在△ABC中,∠A=50°,∠B=30°,∴∠ACB=180°-∠A-∠B=100°.∵CD為角平分線,∴∠ACD=∠DCB=

∠ACB=50°,∴∠BCD=∠A,∠DCA=∠A,∴CD=AD,∴△ACD為等腰三角形.又∵∠BCD=50°,∠B=30°,∴∠BDC=180°-∠B-∠BCD=100°,∴∠BDC=∠ACB,∵∠B=∠B,∠BCD=∠A,∴△BDC與△BCA的三個角分別相等,∴CD為△ABC的等角分割線.(2)∵∠A=48°,CD是△ABC的等角分割線,∴△ACD為等腰三角形或者△BCD為等腰三角形.當(dāng)△ACD是等腰三角形時,①當(dāng)AC=AD,∠A=∠BCD=48°時,如圖1,則∠ACD=∠ADC=

=66°,∴∠BDC=∠A+∠ACD=48°+66°=114°,∠ACB=∠ACD+∠BCD=66°+48°=114°;

圖1

圖2

②當(dāng)DA=DC,∠A=∠BCD=48°時,如圖2,