第一章特殊平行四邊形3正方形的性質(zhì)與判定（第一課時(shí)）數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)BS版課前導(dǎo)入典例講練目錄CONTENTS課前預(yù)習(xí)數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)BS版01課前預(yù)習(xí)1.正方形的定義.有一組

相等，并且有一個(gè)角是

?的平行四邊形

叫做正方形.2.正方形的性質(zhì)定理.（1）正方形的四個(gè)角都是

，四條邊

?；（2）正方形的兩條對(duì)角線

且互相

?.注：正方形具有一般平行四邊形、菱形、矩形的一切性質(zhì).鄰邊

直角

直角

相等

相等

垂直平分

數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)BS版02課前導(dǎo)入觀察下面圖形，正方形是我們熟悉的幾何圖形，在生活中無處不在.情景引入你還能舉出其他的例子嗎？

矩形||||問題1：矩形怎樣變化后就成了正方形呢?你有什么發(fā)現(xiàn)？問題引入正方形的性質(zhì)正方形問題2：菱形怎樣變化后就成了正方形呢?你有什么發(fā)現(xiàn)？正方形鄰邊相等矩形〃〃正方形〃〃

菱形一個(gè)角是直角正方形∟正方形的定義：

有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫正方形.歸納總結(jié)(1)已知：如圖，四邊形

ABCD是正方形.求證：正方形

ABCD四邊相等，四個(gè)角都是直角.ABCD證明：∵

四邊形

ABCD是正方形. ∴∠A=90°，AB=AD(正方形的定義).

又∵

正方形是平行四邊形， ∴正方形是矩形(矩形的定義)，

正方形是菱形

(菱形的定義).

∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，

AB=BC=CD=AD.證一證(2)已知：如圖，四邊形

ABCD是正方形.對(duì)角線

AC、BD相交于點(diǎn)

O.求證：AO=BO=CO=DO，AC⊥BD.ABCDO證明：∵

正方形

ABCD是矩形，

∴AO=BO=CO=DO.

∵

正方形

ABCD是菱形， ∴

AC⊥BD.思考請(qǐng)同學(xué)們拿出準(zhǔn)備好的正方形紙片，折一折，觀察并思考：正方形是不是軸對(duì)稱圖形？如果是，那么對(duì)稱軸有幾條？對(duì)稱性：

，對(duì)稱軸：

.軸對(duì)稱圖形4條ABCD

矩形

菱形正方形平行四邊形平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關(guān)系：性質(zhì)：1.正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊相等；2.正方形的對(duì)角線相等且互相垂直平分.歸納總結(jié)正方形是特殊的平行四邊形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性質(zhì)，正方形都有.數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)BS版03典例講練

下列關(guān)于正方形的說法中，正確的是

（填序號(hào)）.①它的四條邊相等，四個(gè)角相等；②兩條對(duì)角線把正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形；③是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形；④它的對(duì)稱軸有4條.【思路導(dǎo)航】根據(jù)正方形具有菱形和矩形的所有性質(zhì)，以及正

方形的特有性質(zhì)判斷即可.①②④

【解析】正方形的四條邊相等，四個(gè)角都是直角，故①正確；根據(jù)正方形的對(duì)角線互相垂直平分且相等，可得出兩條對(duì)角線把正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形，故②正確；正方形既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形，故③錯(cuò)誤；正方形有4條對(duì)稱軸，故④正確.故答案為①②④.【點(diǎn)撥】（1）正方形具有平行四邊形、菱形、矩形的所有性質(zhì).（2）正方形的每一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形，兩條對(duì)角線把正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形.（3）正方形既是中心對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱中心是對(duì)角線的交點(diǎn)；又是軸對(duì)稱圖形，它有四條對(duì)稱軸，分別是對(duì)角線所在的直線和對(duì)邊中點(diǎn)連線所在的直線.

1.下列描述中，錯(cuò)誤的是（

C

）A.正方形的四個(gè)角都是直角B.正方形的對(duì)角線相等且互相垂直C.菱形、矩形的對(duì)角線都相等D.正方形、矩形、菱形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形C2.如圖,在正方形ABCD中,連接BD，點(diǎn)O是BD的中點(diǎn).點(diǎn)

M,N是邊AD上的兩點(diǎn),連接MO,NO,并分別延長(zhǎng)交邊BC

于點(diǎn)M',N',則圖中的全等三角形共有（

C

）A.2對(duì)B.3對(duì)C.4對(duì)D.5對(duì)C

（2022·恩施）如圖，已知四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)G為線段

AD上任意一點(diǎn)，CE⊥BG于點(diǎn)E，DF⊥CE于點(diǎn)F.

求證：DF

＝BE＋EF.

【思路導(dǎo)航】先證出△BCE≌△CDF，即可求得BE＝CF，

CE＝DF，最后根據(jù)線段的和差、等量代換即可得證.證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝90°.∴∠BCE＋∠DCF＝90°.∵CE⊥BG，DF⊥CE，∴∠BEC＝∠CFD＝90°.∴∠BCE＋∠CBE＝90°.∴∠CBE＝∠DCF.

如圖，在正方形ABCD中，已知AB＝1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是正方形的邊BC，DC上的一點(diǎn)，且∠EAF＝45°.（1）求證：EF＝BE＋DF；（1）證明：如答圖，將△ADF繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABF'，則∠1＝∠2，∠ABF'＝∠D，

AF'＝AF，BF'＝

DF.

∵四邊形ABCD為正方形，答圖

（2）求△CEF的周長(zhǎng).（2）解：由（1）可知，EF＝BE＋DF.

∵C△CEF＝EC＋FC＋EF，∴C△CEF＝EC＋FC＋BE＋DF＝BC＋CD.

∵四邊形ABCD為正方形，∴CD＝BC＝AB＝1.∴C△CEF＝1＋1＝2.

如圖，已知四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)F是線段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CF，以CF為對(duì)角線作正方形CGFE（點(diǎn)C，G，F(xiàn)，

E按逆時(shí)針方向排列），連接BE，DG.

求證：

【點(diǎn)撥】解與正方形有關(guān)的問題時(shí)，要充分利用正方形的四邊相等、四個(gè)角為直角和對(duì)角線互相垂直平分且相等的性質(zhì)，再結(jié)合全等三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理進(jìn)行綜合運(yùn)用.（2）如圖，在線段CD上截取CH＝FD，連接HG，設(shè)FG與

CD相交于點(diǎn)M.

∵四邊形ABCD和四邊形CGFE都是正方形，∴∠ADC＝∠CGF＝90°，GC＝GF.∴∠MFD＋∠FMD＝90°，∠

MCG＋∠CMG＝90°.

∵∠FMD＝∠CMG，∴∠MFD＝∠MCG.在△FDG和△CHG中，

∴DG＝HG，∠DGF＝∠HGC.

∴∠DGF＋∠FGH＝∠HGC＋∠FGH＝90°，即∠DGH＝90°.在Rt△DGH中，∵DH2＝DG2＋HG2＝2DG2，

∵CD－FD＝CD－HC＝DH，

如圖，在正方形ABCD中，AB＝2，點(diǎn)E是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），連接AE，以AE為邊，在AE右側(cè)作正方形

AEFG，連接CF.

當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠ECF的大小會(huì)不會(huì)發(fā)生變化？如果會(huì)變化，請(qǐng)說明理由；如果不會(huì)變化，請(qǐng)求出∠ECF

的度數(shù).解：∠ECF的大小不會(huì)變化.理由如下：如答圖，過點(diǎn)F作FH⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.

∵四邊形ABCD和四邊形AEFG都是正方形，∴∠H＝∠ABC＝∠AEF＝90°，AE＝EF.

∴∠EAB＋∠AEB＝