八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)教學(xué)設(shè)計(jì)

第一章三角形的證明

§1.1.1等腰三角形

教學(xué)目標(biāo)：

1、理解作為證明基礎(chǔ)的幾條公理的內(nèi)容，應(yīng)用這些公理證明等腰三角形的性質(zhì)定理；

2、在證明過(guò)程中，進(jìn)一步感受證明過(guò)程，掌握推理證明的基本要求，明確條件和結(jié)論,

能夠借助數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言利用綜合法證明等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理；

3、熟悉證明的基本步驟和書寫格式。

教學(xué)重難點(diǎn)：

重點(diǎn)：探索證明等腰三角形性質(zhì)定理的思路與方法，掌握證明的基本要求和方法；

難點(diǎn)：明確推理證明的基本要求如明確條件和結(jié)論，能否用數(shù)學(xué)語(yǔ)言正確表達(dá)等。

教學(xué)過(guò)程：

一、回顧舊知導(dǎo)出公理

提請(qǐng)學(xué)生回憶并整理已經(jīng)學(xué)過(guò)的8條基本事實(shí)中的5條：

L兩直線被第三條直線所截,如果同位角相等,那么這兩條直線平行；

2.兩條平行線被第三條直線所截,同位角相等；

3.兩邊夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（SAS）；

4.兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（ASA）；

5.三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（SSS）；

在此基礎(chǔ)上回憶全等三角形的另一判別條件：1.（推論）兩角及其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相

等的兩個(gè)三角形全等（AAS）,并要求學(xué)生利用前面所提到的公理進(jìn)行證明；2.回憶全等三

角形的性質(zhì)。

教學(xué)中注意提請(qǐng)學(xué)生分析條件和結(jié)論，畫出簡(jiǎn)圖，寫出已知和求證，并規(guī)范地寫出證明

過(guò)程。具體證明如下：

已知：如圖，ZA=ZD,ZB=ZE,BC=EF.

求證：△ABCgZSDEF.

證明：VZA=ZD,ZB=ZE（已知），

又NA+/B+NC=180°,ZD+ZE+ZF=180°（三角形內(nèi)角和等于180°）,

.\ZC=180°-（ZA+ZB）,

ZF=180°-（ZD+ZE）,入久

.?.NC=/F（等量代換）。\\

又BC=EF（已知），\\

AAABC^ADEF（ASA）。3---\工--\

二、折紙活動(dòng)探索新知

在提問(wèn)：''等腰三角形有哪些性質(zhì)？以前是如何探索這些性質(zhì)的，你能再次通過(guò)折

紙活動(dòng)驗(yàn)證這些性質(zhì)嗎？并根據(jù)折紙過(guò)程，得到這些性質(zhì)的證明嗎？”的基礎(chǔ)上，讓學(xué)

生經(jīng)歷這些定理的活動(dòng)驗(yàn)證和證明過(guò)程。具體操作中，可以讓學(xué)生先獨(dú)自折紙觀察、探

索并寫出等腰三角形的性質(zhì)，然后再以六人為小組進(jìn)行交流，互相彌補(bǔ)不足。

在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)注意小組的巡視，提醒學(xué)生思考多種證明思路，思考不同的輔助

線之間的關(guān)系從而得到“三線合一”。

三、明晰結(jié)論和證明過(guò)程

在學(xué)生小組合作的基礎(chǔ)上，教師通過(guò)分析、提問(wèn)，和學(xué)生一起完成以上兩個(gè)個(gè)性質(zhì)定理

的證明，注意最好讓兩至三個(gè)學(xué)生板演證明，其余學(xué)生挑選其一證明.其后，教師通過(guò)課件匯

總各小組的結(jié)果以及具體證明方法，給學(xué)生明晰證明過(guò)程。

（1）等腰三角形的兩個(gè)底角相等；

（2）等腰三角形頂角的平分線、底邊中線、底邊上高三條線重合

四、隨堂練習(xí)鞏固新知

學(xué)生自主完成P4第2題：如圖（圖略），在aABD中,C是BD上的一點(diǎn)，且ACLBD,

AC=BC=CD,

（1）求證：4ABD是等腰三角形；

（2）求NBAD的度數(shù)。

鞏固全等三角形判定公理的應(yīng)用，復(fù)習(xí)等腰三角形“等邊對(duì)等角”的用法。

五、課堂小結(jié)

讓學(xué)生暢談收獲，包括具體結(jié)論以及其中的思想方法等。

形成及時(shí)總結(jié)語(yǔ)反思的意識(shí)與習(xí)慣，提高學(xué)生能力。

教師注意對(duì)學(xué)生的感想進(jìn)行適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，并在學(xué)生交流的基礎(chǔ)上，明晰部分收獲供學(xué)生

共享，如：

1、具體有關(guān)性質(zhì)定理：

2、通過(guò)折紙活動(dòng)對(duì)獲得的定理給予了嚴(yán)格的證明，為今后解決有關(guān)等腰三角形的問(wèn)題

提供了豐富的理論依據(jù).

3、體會(huì)了證明一個(gè)命題的嚴(yán)格的要求，體會(huì)了證明的必要性.

六、布置作業(yè)

P5習(xí)題1,2.

§1.1.2等腰三角形

教學(xué)目標(biāo)：

1、探索——發(fā)現(xiàn)——猜想——證明等腰三角形中相等的線段，進(jìn)一步熟悉證明的基本

步驟和書寫格式，體會(huì)證明的必要性；

2、經(jīng)歷“探索一發(fā)現(xiàn)一猜想一證明”的過(guò)程，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)證明是探索活動(dòng)的自

然延續(xù)和必要發(fā)展，發(fā)展學(xué)生的初步的演繹邏輯推理的能力；

教學(xué)重難點(diǎn)：

重點(diǎn)：經(jīng)歷“探索——發(fā)現(xiàn)一一猜想——證明”的過(guò)程，能夠用綜合法證明有關(guān)三角形

和等腰三角形的一些結(jié)論.

教學(xué)過(guò)程：

一、提出問(wèn)題，引入新課

在回憶上節(jié)課等腰三角形性質(zhì)的基礎(chǔ)上，提出問(wèn)題：

在等腰三角形中作出一些線段（如角平分線、中線、高等），你能發(fā)現(xiàn)其中一些相等的線

段嗎?你能證明你的結(jié)論嗎？

二、自主探究

在等腰三角形中自主作出一些線段（如角平分線、中線、高等），觀察其中有哪些相等的

線段，并嘗試給出證明。

教師應(yīng)注意給予適度的引導(dǎo)，如可以漸次提出問(wèn)題：

你可能得到哪些相等的線段？

你如何驗(yàn)證你的猜測(cè)？

你能證明你的猜測(cè)嗎？試作圖，寫出已知、求證和證明過(guò)程;

還可以有哪些證明方法？

通過(guò)學(xué)生的自主探究和同伴的交流，學(xué)生一般都能在直觀猜測(cè)、測(cè)量驗(yàn)證的基礎(chǔ)上探究

出：等腰三角形兩個(gè)底角的平分線相等；等腰三角形兩腰上的高相等；等腰三角形兩腰上的

中線相等.并對(duì)這些命題給予多樣的證明。

如對(duì)于“等腰三角形兩底角的平分線相等”，學(xué)生得到了下面的證明方法：

已知：如圖，在aABC中，AB二AC,BD、CE是AABC的角平分線.

求證:BD=CE.

證法1：；AB=AC,

二/ABC=NACB（等邊對(duì)等角）.

VZ1=1ZABC,Z2=|ZABC,

.*.Z1=Z2.

在和4CEB中，

ZACB=ZABC,BC=CB,Z1=Z2.

.,.△BDC^ACEB（ASA）.

BD=CE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）

證法2：證明：???AB=AC,

ZABC=ZACB.

又；N3=/4.

在△ABC和△ACE中，

Z3=Z4,AB=AC,ZA=ZA.

.,.△ABD^AACE(ASA).；.BD=CE(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等).

三、經(jīng)典例題變式練習(xí)

提請(qǐng)學(xué)生思考，除了角平分線、中線、高等特殊的線段外，還可以有哪些線段相等？

并在學(xué)生思考的基礎(chǔ)上，研究課本“議一議”：

在課本圖1一4的等腰三角形ABC中，

⑴如果/ABD」ZABC,ZACE=j/ACB呢？由此，你能得到個(gè)什么結(jié)論?

(2)如果AD=1AC,AE=|AB,那么BD=CE嗎?如果AD=|AC,AE=|AB呢？由止匕你得至I」什

么結(jié)論？

教學(xué)中應(yīng)注意對(duì)學(xué)生的引導(dǎo)，因?yàn)閷W(xué)生先前這樣的經(jīng)驗(yàn)比較少，可能學(xué)生一時(shí)不知如何

研究問(wèn)題，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考：把底角二等份的線段相等.如果是三等份、四等份……

結(jié)果如何呢?從而引出“議一議”。

由于課堂時(shí)間有限，如果學(xué)生全部解決上述問(wèn)題，時(shí)間不夠，可以在引導(dǎo)學(xué)生提出上述

這些問(wèn)題的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生證明其中部分問(wèn)題，而將其余問(wèn)題作為課外作業(yè)，延伸到課外；

當(dāng)然，也可以對(duì)不同的學(xué)生提出不同的要求，如普通學(xué)生僅僅證明其中部分問(wèn)題，而要求部

分學(xué)優(yōu)生解決所有的問(wèn)題，甚至要求這部分學(xué)優(yōu)生思考”還可以提出哪些類似問(wèn)題，你是如

何想到這些問(wèn)題的”。

在學(xué)生解決問(wèn)題的基礎(chǔ)上，教師還應(yīng)注意揭示蘊(yùn)含其中的思想方法。

四、拓展延伸，探索等邊三角形性質(zhì)

提請(qǐng)學(xué)生在上面等要三角形性質(zhì)定理的基礎(chǔ)上，思考等邊三角形的特殊性質(zhì)：等邊三角

形三個(gè)內(nèi)角都相等并且每個(gè)內(nèi)角都等于60°.

已知：如圖，△ABC中，AB=BC=AC.

求證：ZA=ZB=ZC=60°.

證明：在△ABC中，：AB=AC,...NBuNC（等邊對(duì)等角）.

同理：ZC=ZA,.*.ZA=ZB=ZC（等量代換）.

又；NA+NB+NC=180°（三角形內(nèi)角和定理），.?.NA=/B=/C=60°.

五、隨堂練習(xí)及時(shí)鞏固

在探索得到了等邊三角形的性質(zhì)的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生獨(dú)立完成以下練習(xí)。

1.如圖，已知AABC和aBDE都是等邊三角形.

求證:AE=CD

六、探討收獲課時(shí)小結(jié)

本節(jié)課我們通過(guò)觀察探索、發(fā)現(xiàn)并證明了等腰三角形中相等的線段，并由特殊結(jié)論歸

納出一般結(jié)論。作業(yè)：

§1.1.3等腰三角形

教學(xué)目標(biāo)：

1.探索等腰三角形判定定理.2.理解等腰三角形的判定定理，并會(huì)運(yùn)用其進(jìn)行簡(jiǎn)單的證

明.3.了解反證法的基本證明思路，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用。4.培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力。

教學(xué)重難點(diǎn)：

理解等腰三角形的判定定理，并會(huì)運(yùn)用其進(jìn)行簡(jiǎn)單的證明.

教學(xué)過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)引入：

通過(guò)問(wèn)題串回顧等腰三角形的性質(zhì)定理以及證明的思路，要求學(xué)生獨(dú)立思考后再進(jìn)交流。

問(wèn)題1.等腰三角形性質(zhì)定理的內(nèi)容是什么？這個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是什么？

問(wèn)題2.我們是如何證明上述定理的？

問(wèn)題3.我們把性質(zhì)定理的條件和結(jié)論反過(guò)來(lái)還成立么？如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相

等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等？

二、逆向思考，定理證明

上面，我們改變問(wèn)題條件，得出了很多類似的結(jié)論，這是研究問(wèn)題的一種常用方法，

除此之外，我們還可以“反過(guò)來(lái)”思考問(wèn)題，這也是獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的一條途徑.例如“等邊

對(duì)等角”，反過(guò)來(lái)成立嗎?也就是：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形嗎？

［生］如圖，在4ABC中，ZB=ZC,要想證明AB=AC,只要構(gòu)造兩個(gè)全等的三角形，使

AB與AC成為對(duì)應(yīng)邊就可以了.A

［師］你是如何想到的?

［生］山前面定理的證明獲得啟發(fā)，比如作BC的中線，或作A的平分線,

BC

或作BC上的高，都可以把AABC分成兩個(gè)全等的三角形.

［師］很好.同學(xué)們可在練習(xí)本上嘗試一下是否如此，然后分組討論.

［生］我們組發(fā)現(xiàn)，如果作BC的中線，雖然把AABC分成了兩個(gè)三角形，但無(wú)法用公理

和已證明的定理證明它們?nèi)?因?yàn)槲覀兊玫降臈l件是兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)兩邊及其一邊的對(duì)角

分別相等，是不能夠判斷兩個(gè)三角形全等的.后兩種方法是可行的.

［師］那么就請(qǐng)同學(xué)們?nèi)芜x一種方法按要求將推理證明過(guò)程書寫出來(lái).（教師可讓兩個(gè)同

學(xué)在黑板上演示，并對(duì)推理證明過(guò)程講評(píng)）

（證明略）

［師］我們用“反過(guò)來(lái)”思考問(wèn)題，獲得并證明了一個(gè)非常重要的定理——等腰三角形

的判定定理：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形.這一定理可以簡(jiǎn)單敘述為：等角對(duì)等

邊.我們不僅發(fā)現(xiàn)了幾何圖形的對(duì)稱美，也發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)語(yǔ)言的對(duì)稱美.

三、鞏固練習(xí)

將書中的隨堂練習(xí)提前到此，是為了及時(shí)鞏固判定定理。引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析。

已知：如圖,NCAE是AABC的外角,AD〃BC且N1=N2.

求證：AB=AC.

證明：VAD/ZBC,

.?.N1=NB（兩直線平行，同位角相等）,

N2=NC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.

又/.ZB=ZC.

...AB=AC（等角對(duì)等邊）.

四、適時(shí)提問(wèn)導(dǎo)出反證法

我們類比歸納獲得一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論，“反過(guò)來(lái)”思考問(wèn)題也獲得了一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論.如果

否定命題的條件，是否也可獲得一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論嗎?我們一起來(lái)“想一想”：

小明說(shuō)，在一個(gè)三角形中，如果兩個(gè)角不相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也不相等.你

認(rèn)為這個(gè)結(jié)論成立嗎?如果成立，你能證明它嗎?

有學(xué)生提出：“我認(rèn)為這個(gè)結(jié)論是成立的.因?yàn)槲耶嬃藘簜€(gè)三角形，觀察并測(cè)量發(fā)現(xiàn),

如果兩個(gè)角不相等，它們所對(duì)的邊也不相等.但要像證明“等角對(duì)等邊”那樣卻很難證明,

因?yàn)樗臈l件和結(jié)論都是否定的.”的確如此.像這種從正面人手很難證明的結(jié)論，我們有

沒有別的證明思路和方法呢?

我們來(lái)看一位同學(xué)的想法：

如圖，在aABC中，已知NBWNC,此時(shí)AB與Ac要么相等，要么不相

等.

假設(shè)AB=AC,那么根據(jù)“等邊對(duì)等角”定理可得/C=NB,但已知條件是

NBW/C."NC=/B”與已知條件"/BW/C”相矛盾，因此AB#AC

你能理解他的推理過(guò)程嗎?

再例如，我們要證明AABC中不可能有兩個(gè)直角，也可以采用這位同學(xué)的證法，假設(shè)

有兩個(gè)角是直角，不妨設(shè)ZA=90°,ZB=90°,可得ZA+ZB=180°,但

△ABNA+NB+NC=180°,“NA+NB=180°”與“NA+NB+NC=180°”相矛盾，SlltAABC

中不可能有兩個(gè)直角.

引導(dǎo)學(xué)生思考：上一道面的證法有什么共同的特點(diǎn)呢?引出反證法。

都是先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后由此推導(dǎo)出了與已知或公理或已證明過(guò)的定理相

矛盾，從而證明命題的結(jié)論一定成立.這也是證明命題的一種方法，我們把它叫做反證法.

接著用“反過(guò)來(lái)”思考問(wèn)題的方法獲得并證明了等腰三角形的判定定理”等角對(duì)等

邊”，最后結(jié)合實(shí)例了解了反證法的含義.

五、拓展延伸

在一節(jié)課結(jié)束之際，為培養(yǎng)學(xué)生思維的綜合性、靈活性特安排了2個(gè)練習(xí)。個(gè)是通

過(guò)平行線、角平分線判定三角形的形狀，再通過(guò)線段的轉(zhuǎn)換求圖形的周長(zhǎng)。另一個(gè)是一個(gè)開

放性的問(wèn)題，考察學(xué)生多角度多維度思考問(wèn)題的能力。學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上再小組交流。

1.如圖，BD平分/CBA,CD平分NACB,且MN〃BC,設(shè)AB=12,AC=18,求AAMN的周

2.現(xiàn)有等腰盤角形紙片-，如果能從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，將原紙片一次剪開成兩塊等腰三

角形紙片，問(wèn)此時(shí)的等腰三角形的頂角的度數(shù)？

六、課堂小結(jié)

(1)本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？

(2)等腰三角形的判定方法有哪幾種？

(3)結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)，談?wù)劦妊切涡再|(zhì)和判定的區(qū)別和聯(lián)系.

(4)舉例談?wù)動(dòng)梅醋C法說(shuō)理的基本思路

§1.1.4等腰三角形

教學(xué)目標(biāo)：

1、理解等邊三角形的判別條件及其證明，理解含有30°角的直角三角形性質(zhì)及其證明，

并能利用這兩個(gè)定理解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題。

2、經(jīng)歷實(shí)際操作，探索含有30°角的直角三角形性質(zhì)及其推理證明過(guò)程，發(fā)展合情推

理能力和初步的演繹推理的能力。

教學(xué)重難點(diǎn)：

重點(diǎn)：等邊三角形判定定理的發(fā)現(xiàn)與證明.含30°角的直角三角形性質(zhì)定理的發(fā)現(xiàn)與證明.

難點(diǎn)：含30°角的直角三角形性質(zhì)定理的探索與證明.引導(dǎo)學(xué)生全面、周到地思考問(wèn)題.

教學(xué)過(guò)程：

一、提問(wèn)問(wèn)題，引入新課

教師回顧前面等腰三角形的性質(zhì)和判定定理的基礎(chǔ)上，直接提出問(wèn)題：等邊三角形作

為一種特殊的等腰三角形,具有哪些性質(zhì)呢？又如何判別一個(gè)三角形是等腰三角形呢？從而

引入新課。(教師應(yīng)給學(xué)生自主探索、思考的時(shí)間)

二、自主探索

學(xué)生自主探究等腰三角形成為等邊三角形的條件，并交流匯報(bào)各自的結(jié)論，教師適時(shí)

要求學(xué)生給出相對(duì)規(guī)范的證明，概括出等邊三角形的判別條件，并引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出下表：

性質(zhì)判定的條件

等腰三角形等邊對(duì)等角等角對(duì)等邊

(含等邊三“三線合一”即等腰三有一角是60°

角形)角形頂角平分線，底邊

上的中線、高互相重合

等邊三角形三個(gè)角都相三個(gè)角都相等的三角

等,且每個(gè)角都是60°形是等邊三角形

三、實(shí)際操作提出問(wèn)題

教師直接提出問(wèn)題：我們還學(xué)習(xí)過(guò)直角三角形，今天我們研究個(gè)特殊的直角三角形:

含30°角的直角三角形。拿出三角板，做一做：

定理：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的'

半.

已知：如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,ZBAC=30°.求證：BC=^AB.

分析：從三角尺的拼擺過(guò)程中得到啟發(fā)，延長(zhǎng)BC至D,使CD=BC,連接AD.

證明：在aABC中，ZACB=90°,ZBAC=30°ZB=60°.A

延長(zhǎng)BC至D,使CD=BC,連接AD（如圖所示）./

VZACB=90"AZACB=90°/

VAC=AC,.,.△ABC^AADC（SAS）./

；.AB=AD（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）.-----iI）

??.△ABD是等邊三角形（有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等

邊三角形）.

BD=1AB.

四、變式訓(xùn)練鞏固新知

直接提請(qǐng)學(xué)生思考剛才命題的逆命題：在直角三角形中，如果?條直角邊等于斜邊的

一半，那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于30°嗎?如果是，請(qǐng)你證明它.

在師生分析的基礎(chǔ)上，給出證明：

已知：如圖,在RSABC中,ZC=90°,BC=1AB.

求證：NBAC=30°

證明：延長(zhǎng)BC至D,使CD=BC,連接AD.

VZACB=90°,AZACD=90°.

又：AC=AC.

.,.△ACB^AACD(SAS).

.\AB=AD.

VCD=BC,BD.

又；BC=|AB,.\AB=BD.

.*.AB=AD=BD,

即aABD是等邊三角形.

AZB=60°.在RtZXABC中，ZBAC=30°.

教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考：從前面定理證明的輔助線的作法中能否得到啟示？

呈現(xiàn)例題，在師生分析的基礎(chǔ)上，運(yùn)用所學(xué)的新定理解答例題。

［例題］等腰三角形的底角為15°,腰長(zhǎng)為2a,求腰上的高CD的長(zhǎng).

分析：觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)在RtAADC中，AC=2a而NDAC是4ABC的?個(gè)外角，而

ZDAC=X15°=30°,根據(jù)在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，可求出CD.

D

解：VZABC=ZACB=15°

A

C

AZDAC=ZABC+ZACB=15°+15°=30°

ACD=1AC=^X2a=a（在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°,那么它所對(duì)的直角

邊等于斜邊的一半）.

五、暢談收獲課時(shí)小結(jié)

讓學(xué)生對(duì)課堂學(xué)習(xí)進(jìn)行小結(jié)，注意總結(jié)具體的知識(shí)、結(jié)論，以及解決問(wèn)題的方法和蘊(yùn)

含其中的思想，如分類討論思想、逆向思維等。

六、布置作業(yè)

§1.2.1直角三角形

教學(xué)目標(biāo)：

1、掌握直角三角形的性質(zhì)定理（勾股定理）及判定定理的證明方法，并能應(yīng)用定理解

決與直角三角形有關(guān)的問(wèn)題。

2、結(jié)合具體例子了解逆命題的概念，會(huì)識(shí)別兩個(gè)互逆命題，知道原命題成立，其逆命

題不一定成立.

教學(xué)重難點(diǎn)：

重點(diǎn)：1、了解勾股定理及其逆定理的證明方法.2、結(jié)合具體例子了解逆命題的概念,

識(shí)別兩個(gè)互逆命題，知道原命題成立，其逆命題不一定成立.

難點(diǎn)：勾股定理及其逆定理的證明方法.

教學(xué)過(guò)程：

一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

通過(guò)問(wèn)題1,讓學(xué)生在解決問(wèn)題的同時(shí).，回顧直角三角形的一般性質(zhì)。

[問(wèn)題1]?個(gè)直角三角形房梁如圖所示，其中BC1AC,

B.C1AC,,垂足分別是氏、Ci,那么BC的長(zhǎng)是多少?BC呢?

由此提問(wèn)：”?般的直角三角形具有什么樣的性質(zhì)呢？”從而引入勾股定理及其證明。

教材中曾利用數(shù)方格和割補(bǔ)圖形的方法得到了勾股定理.如果利用公理及由其推導(dǎo)出

的定理，能夠證明勾股定理嗎？

請(qǐng)同學(xué)們打開課本P18,閱讀“讀一讀”，了解一下利用教科書給出的公理和推導(dǎo)出的

定理，證明勾股定理的方法.

二、講述新課

閱讀完畢后，針對(duì)“讀一讀”中使用的兩種證明方法，著重討論第一種，第二種方法

請(qǐng)有興趣的同學(xué)課后閱讀.

(1).勾股定理及其逆定理的證明.

反過(guò)來(lái)，如果在一個(gè)三角形中，當(dāng)兩邊的平方和等于第三邊的平方時(shí)，我們?cè)枚攘?/p>

的方法得出“這個(gè)三角形是直角三角形”的結(jié)論.你能證明此結(jié)論嗎？

師生共同來(lái)完成.A

已知：如圖：在aABC中，AB2+AC2=BC2/

求證：Z^ABC是直角三角形.Bc

總結(jié)得勾股逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平

方，那么這個(gè)三角形是直角三角形.

(2).互逆命題和互逆定理.

這樣的情況，在前面也曾遇到過(guò).例如“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”，交換條件和結(jié)

論，就得到“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”.又如“在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°,

那么它所對(duì)的直角邊就等于斜邊的一半”.交換此定理的條件和結(jié)論就可得“在直角三角形

中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于30°”。

三、議一議

觀察下面三組命題：學(xué)生以分組討論形式進(jìn)行，最后在教師的引導(dǎo)下得出命題與逆命題

的區(qū)別與聯(lián)系。

在兩個(gè)命題中，如果一個(gè)命題條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么這兩

個(gè)命題稱為互逆命題，其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆命題，相對(duì)于逆命題來(lái)說(shuō)，另一個(gè)

就為原命題.

山此我們可以發(fā)現(xiàn)：原命題是真命題，而逆命題不一定是真命題.

四、想一想

要寫出原命題的逆命題，需先弄清楚原命題的條件和結(jié)論，然后把結(jié)論變換成條件，

條件變換成結(jié)論，就得到了逆命題.

請(qǐng)學(xué)生寫出命題“如果兩個(gè)有理數(shù)相等，那么它們的平方相等”的逆命題嗎?它們都是

真命題嗎？

五、隨堂練習(xí)

說(shuō)出下列命題的逆命題，并判斷每對(duì)命題的真假；

(1)四邊形是多邊形；(2)兩直線平行，內(nèi)旁內(nèi)角互補(bǔ)；(3)如果ab=0,那么a=0,b=0

六、課時(shí)小結(jié)

這節(jié)課我們了解了勾股定理及逆定理的證明方法，并結(jié)合數(shù)學(xué)和生活中的例子了解逆命

題的概念，會(huì)識(shí)別兩個(gè)互逆命題，知道，原命題成立，其逆命題不一定成立，掌握了證明方

法，進(jìn)一步發(fā)展了演繹推理能力.

七、課后作業(yè)

習(xí)題1.5第1、2、3、4題

§1.2.2直角三角形

教學(xué)目標(biāo)：

1、能夠證明直角三角形全等的“HL”的判定定理，進(jìn)一步理解證明的必要性;

2、利用“HL”定理解決實(shí)際問(wèn)題。

教學(xué)重難點(diǎn):

利用“HL”定理解決問(wèn)題

教學(xué)過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)提問(wèn)

1.判斷兩個(gè)三角形全等的方法有哪兒種？

2.已知一條邊和斜邊，求作一個(gè)直角三角形。想一想，怎么畫？同學(xué)們相互交流。

3、有兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等嗎？如果其中一個(gè)角是直角

呢？請(qǐng)證明你的結(jié)論。

我們?cè)鴱恼奂埖倪^(guò)程中得到啟示，作了等腰三角形底邊上的中線或頂角的角平分線，運(yùn)

用公理，證明三角形全等，從而得出“等邊對(duì)等角“。那么我們能否通過(guò)作等腰三角形底邊

的高來(lái)證明“等邊對(duì)等角”.

教師順?biāo)浦郏儐?wèn)能否證明：”在兩個(gè)直角三角形中，直角所對(duì)的邊即斜邊和一條直

角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等.”，從而引入新課。

二、引入新課

(1).“HL”定理.由師生共析完成

已知：在RtZSABC和RtZXA'B'C1中，ZC=ZC/=90°，AB=A'B'，BC=B'C'.

求證：RtAABC^RtAA7B'C

證明：在RtaABC中,AC=AB?—BC2（勾股定理）.

又；在雙△A'B'C'中，A'C'=A'C=A'B'2—B'C'2（勾股定理）.

AB=A'B',BC=B'C',AC=A'C.

Z.RtAABC^RtAA'B'C'(SSS).

定理斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等.

這一定理可以簡(jiǎn)單地用“斜邊、直角邊”或“HL”表示.

練習(xí)：判斷F列命題的真假，并說(shuō)明理由：

(1)兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等；

(2)斜邊及一銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等；

(3)兩條直角邊時(shí)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等：

(4)一條直角邊和另一條直角邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等.

對(duì)于(1)、(2)、(3)一般可順利通過(guò)，這里教師將講解的重心放在了問(wèn)題(4),

學(xué)生感覺是真命題，一時(shí)有無(wú)法直接利用已知的定理支持，教師引導(dǎo)學(xué)生證明.

三、做一做

問(wèn)題你能用三角尺平分一個(gè)已知角嗎？請(qǐng)同學(xué)們用手中的三角尺操作完成，并在小

組內(nèi)交流，用自己的語(yǔ)言清楚表達(dá)自己的想法.

(設(shè)計(jì)做一做的目的為了讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)結(jié)論在實(shí)際中的應(yīng)用，教學(xué)中就要求學(xué)生能

用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言清楚地表達(dá)自己的想法，并能按要求將推理證明過(guò)程寫出來(lái)。)

四、議一議

已知NACB=NBDA=90°,要使△ACBZBDA,還需要什么條件?把它們分別寫出來(lái).

這是一個(gè)開放性問(wèn)題，答案不唯一，需要我們靈活地運(yùn)用公理和已學(xué)過(guò)的定理，觀察圖

形，積極思考，并在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)匕通過(guò)同學(xué)之間的交流，獲得各種不同的答案.

五、例題學(xué)習(xí)CC'

如圖，在aABC絲△A'B'C'中，CD,C'D'分別分別

是高，并且AC=A'C',CD=C'D'.ZACB=ZA'CB'.//\」\

4DBA"1)'B'

求證：aABC絲△A'B'C'.

六、課時(shí)小結(jié)

本節(jié)課我們討論了在一般三角形中兩邊及其一邊對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全

等.而當(dāng)一邊的對(duì)角是直角時(shí)，這兩個(gè)三角形是全等的，從而得出判定直角三角形全等的特

殊方法——HL定理，并用此定理安排了?系列具體的、開放性的問(wèn)題，不僅進(jìn)一步掌握了

推理證明的方法，而且發(fā)展了同學(xué)們演繹推理的能力.

七、課后作業(yè)

習(xí)題1.6第3、4、5題

§1.3.1線段的垂直平分線

教學(xué)目標(biāo)：

1.證明線段垂直平分線的性質(zhì)定里和判定定理。2.經(jīng)歷探索、猜測(cè)、證明的過(guò)程，進(jìn)

一步發(fā)展學(xué)生的推理證明能力.豐富對(duì)幾何圖形的認(rèn)識(shí)。

教學(xué)重難點(diǎn)：

重點(diǎn)是運(yùn)用幾何符號(hào)語(yǔ)言證明垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆命題。難點(diǎn)是垂直平分線的

性質(zhì)定理在實(shí)際問(wèn)題中的運(yùn)用。

教學(xué)過(guò)程：

一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

如圖，A、B表示兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)，要在A、B一側(cè)的河岸邊建造一個(gè)碼頭，使它到兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)的

距離相等，碼頭應(yīng)建在什么位置？

其中“到兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)的距離相等”，要強(qiáng)調(diào)這幾個(gè)字在題中有4.

很重要的作用.________?B

線段是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，其中線段的垂直平分線就是它的對(duì)

/------------

稱軸.我們用折紙的方法，根據(jù)折疊過(guò)程中線段重合說(shuō)明了線段

垂直平分線的一個(gè)性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.所以在這個(gè)問(wèn)

題中，要求在“A、B一側(cè)的河岸邊建造一個(gè)碼頭，使它到兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)的距離相等”利用此性

質(zhì)就能完成.

進(jìn)一步提問(wèn)：“你能用公理或?qū)W過(guò)的定理證明這一結(jié)論嗎？”

二、性質(zhì)探索與證明

教師鼓勵(lì)學(xué)生思考，想辦法來(lái)解決此問(wèn)題。

通過(guò)討論和思考，引導(dǎo)學(xué)生分析并寫出已知、求證的內(nèi)容。

己知：如圖，直線MNLAB,垂足是3且AC=BC,P是MN上的點(diǎn).

求證:PA=PB.

分析：要想證明PA=PB,可以考慮包含這兩條線段的兩個(gè)三角形是否全等.

證明：...MNLAB,

ZPCA=ZPCB=90°yk

VAC=BC,PC=PC,/I\

CTB

.,.△PCA^APCB(SAS).；|

，PA=PB(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等).

教師用多媒體完整演示證明過(guò)程.

三、逆向思維，探索判定

逆命題就很容易寫出來(lái).“如果有一個(gè)點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，那么這個(gè)點(diǎn)在這

條線段的垂直平分線上.”

寫出逆命題后時(shí)，就想到判斷它的真假.如果真，則需證明它；如果假，則需用反例說(shuō)

明.

引導(dǎo)學(xué)生分析證明過(guò)程，有如下證法：

已知：線段AB,點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn)且PA=PB.

求證：P點(diǎn)在AB的垂直平分線上.

證法一：過(guò)點(diǎn)P作已知線段AB的垂線PC,PA=PB,PC=PC,

證法二：取AB的中點(diǎn)C,過(guò)PC作直線.

證法三：過(guò)P點(diǎn)作/APB的角平分線.

從同學(xué)們的推理證明過(guò)程可知線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆命題是真命題，

我們把它稱做線段垂直平分線的判定定理.

四、鞏固應(yīng)用

在做完性質(zhì)定理和判定定理的證明以后，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行總結(jié)：(1)線段的垂直平分線

可以看成是到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合。

(2)到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等個(gè)點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.因此只需做出

這樣的兩個(gè)點(diǎn)即可做出線段的垂直平分線。

例題：已知：如圖1T8,在AABC中，AB=AC,0是z^ABC內(nèi)一點(diǎn)，且OB=0C.

求證：直線A0垂直平分線段BC。.

五、隨堂練習(xí)/'

課本P23；習(xí)題1.7：第1、2題

六、課堂小結(jié)BN―r

通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)你有哪些新的收獲？還有哪些困惑？

七、課后作業(yè)

習(xí)題1.7第3、4題

§1.3.2線段的垂直平分線

教學(xué)目標(biāo)：

1.能夠證明三角形三邊垂直平分線交于一點(diǎn)；2.經(jīng)歷猜想、探索，能夠作出符合條件的

三角形；

教學(xué)重難點(diǎn)：

重點(diǎn)：1、能夠證明與線段垂直平分線相關(guān)的結(jié)論.2、已知底邊和底邊上的高，能利

用尺規(guī)作出等腰三角形.難點(diǎn)：證明三線共點(diǎn)。

教學(xué)過(guò)程：

一、情景引入

尺規(guī)作圖作三條邊的垂直平分線。

“三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn).”、“這一點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.”

等都是學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)的直觀性質(zhì)。這節(jié)課我們來(lái)學(xué)習(xí)探索和線段垂直平分線有關(guān)的結(jié)論.

二、例題解析，

(1)教師引導(dǎo)學(xué)生分析，尋找證明方法。|/\

我們要從理論上證明這個(gè)結(jié)論，也就是證明“三線共點(diǎn)”，但

這是我們沒有遇到過(guò)的.不妨我們?cè)賮?lái)看一下演示過(guò)程，或許你能

從中受到啟示.色NN

通過(guò)演示和啟發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)同：“兩直線必交于一點(diǎn)，那么

要想證明'"三線共點(diǎn)'，只要證第三條直線過(guò)這個(gè)交點(diǎn)或者說(shuō)這個(gè)點(diǎn)在第三條直線上即可.”

雖然我們已找到證明“三線共點(diǎn)”的突破口，詢問(wèn)學(xué)生如何知道這個(gè)交點(diǎn)在第三邊的

垂直平分線上呢?師生共析，完成證明

(2)討論結(jié)束后，學(xué)生書寫證明過(guò)程。教師點(diǎn)評(píng)，注意幾

何符號(hào)語(yǔ)言的規(guī)范性。IA

我們得出的結(jié)論：\/I\

定理三角形三邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一

點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等

三、引申拓展

(D已知三角形的一條邊及這條邊上的高，你能作出三角形嗎?如果能，能作幾個(gè)?所

作出的三角形都全等嗎？

(2)一知等腰三角形的底邊，你能用尺規(guī)作出等腰三角形嗎?如果能，能作幾個(gè)?所作出

的三角形都全等嗎？

(3)已知等腰三角形的底邊及底邊上的高，你能用尺規(guī)作出等腰三角形嗎?能作幾個(gè)？

(4)例題學(xué)習(xí)

已知底邊及底邊上的高，求作等腰三角形.

已知：線段a、h

(5)做?做：課本第25頁(yè)：教師引導(dǎo)學(xué)生分析作出草圖，注意對(duì)學(xué)生作法敘述的準(zhǔn)

確性加以更正。

四、動(dòng)手操作

(1)例題：已知直線1和1上一點(diǎn)P,用尺規(guī)作1的垂線，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)P.

學(xué)生先獨(dú)立思考完成，然后交流：說(shuō)出做法并解釋作圖的理由。

(2)拓展：如果點(diǎn)P是直線1外一點(diǎn)，那么怎樣用尺規(guī)作1的垂線，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)P

呢？說(shuō)說(shuō)你的作法，并與同伴交流.

五、隨堂練習(xí)：：習(xí)題1.8第1、2題。

六、課時(shí)小結(jié)

本節(jié)課通過(guò)推理證明了“到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離的點(diǎn)是三角形三條邊的垂直平分線的

交點(diǎn)，及三角形三條邊的垂直平分線交于一點(diǎn)”的結(jié)論，并能根據(jù)此結(jié)論“已知等腰三角形

的底和底邊的高，求作等腰三角形”.

七、課后作業(yè)

習(xí)題1.8第3、4題

§1.4.1角平分線

教學(xué)目標(biāo)：

1.會(huì)證明角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理.2.進(jìn)?步發(fā)展學(xué)生的推理證明意識(shí)和能力，

培養(yǎng)學(xué)生將文字語(yǔ)言.轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言的能力.

教學(xué)重難點(diǎn)：

正確地表述角平分線性質(zhì)定理的逆命題及其證明。

教學(xué)過(guò)程：

一、情境引入

我們?cè)谜奂埖姆椒ㄌ剿鬟^(guò)角平分線上的點(diǎn)的性質(zhì)，步驟如下：

從折紙過(guò)程中，我們可以得出CD=CE,即角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.你能證明它

嗎？

二、探究新知

(1)引導(dǎo)學(xué)生證明性質(zhì)定理

請(qǐng)同學(xué)們自己嘗試著證明上述結(jié)論，然后在全班進(jìn)行交流.

我們用公理和已學(xué)過(guò)的定理證明了我們折紙過(guò)程中得出的結(jié)論.我們把它叫做角平分

線的性質(zhì)定理。

(2)你能寫出這個(gè)定理的逆命題嗎？

我們?cè)谇懊鎸W(xué)習(xí)線段的垂直平分線時(shí)，已經(jīng)歷過(guò)構(gòu)造其逆命題的過(guò)程，我們可以類比

著構(gòu)造角平分線性質(zhì)定理的逆命題.

引導(dǎo)學(xué)生分析結(jié)論后完整地?cái)⑹龀鼋瞧椒志€性質(zhì)定理的逆命題：

在一個(gè)角的內(nèi)部且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的角平分線上.

它是真命題嗎？你能證明它嗎？

沒有加“在角的內(nèi)部”時(shí)，是假命題.

證明如下：

已知：在么AOB內(nèi)部有一點(diǎn)P,且PD上OA,PE10B,D、E為垂足且PD=PE,

求證：點(diǎn)P在么AOB的角平分線上.

證明：PD10A,PE±OB,

AZPDO=ZPE0=90°.

在RtAODP和RtAOEP中

OP=OP,PD=PE,ARtAODPgRtZ\OEP(HL定理).

N1=N2(全等三角形對(duì)應(yīng)角相等).

逆命題利用公理和我們已證過(guò)的定理證明了，那么我們就可以把這個(gè)逆命題叫做原定

理的逆定理.我們就把它叫做角平分線的判定定理。

(3)用直尺和圓規(guī)畫已知角的平方線及作圖的依據(jù)討論。

三、鞏固練習(xí)

綜合利用角平分線的性質(zhì)和判定、直角三角形的相關(guān)性質(zhì)解決問(wèn)題。進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生

的推論證明能力。在學(xué)生獨(dú)立完成推理過(guò)程的基礎(chǔ)上，教師要給出書寫示范

例題：在AABC中，NBAC=60°,點(diǎn)D在BC上，AD=10,DE1AB,DF1AC,

垂足分別為E,F,且DE=DF,求DE的長(zhǎng).

(4)課本例題學(xué)習(xí)

四、隨堂練習(xí)課本第29頁(yè)1、2題。

五、課堂小結(jié)

這節(jié)課證明了角平分線的性質(zhì)定理和判定定理，在有角的平分線（或證明是角的平分線）時(shí)，

過(guò)角平分線上的點(diǎn)向兩邊作垂線段，利用角平分線的判定或性質(zhì)則使問(wèn)題迅速得到解決。

六、課后作業(yè)

習(xí)題1.9第1,2,3,4題.

§1.4.1角平分線

教學(xué)目標(biāo)：

1、證明與角的平分線的性質(zhì)定理和判定定理相關(guān)的結(jié)論.

2、角平分線的性質(zhì)定理和判定定理的靈活運(yùn)用.

教學(xué)重難點(diǎn)：

重點(diǎn)：1、三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線的性質(zhì).2、綜合運(yùn)用角平分線的判定和性質(zhì)定理，

解決幾何中的問(wèn)題.難點(diǎn)：角平分線的性質(zhì)定理和判定定理的綜合應(yīng)用.

教學(xué)過(guò)程：

一、設(shè)置情境問(wèn)題，搭建探究平臺(tái)

問(wèn)題1習(xí)題1.8的第1題作三角形的三個(gè)內(nèi)角的角平分線，你發(fā)現(xiàn)了什么？能證明自

己發(fā)現(xiàn)的結(jié)論一定正確嗎？于是，首先證明“三角形的三個(gè)內(nèi)角的角平分線交于一點(diǎn)”.

二、展示思維過(guò)程，構(gòu)建探究平臺(tái)\c/

已知：如圖，設(shè)的角平分線.BM、0V相交于點(diǎn)只

證明：P點(diǎn)在/B4C的角平分線上./A/,

在證明過(guò)程中，我們除證明了三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)外，還有什么“附帶”

的成果呢？（PFPFPF,即這個(gè)交點(diǎn)到三角形三邊的距離相等.）

于是我們得出了有關(guān)三角形的三條角平分線的結(jié)論，即定理三角形的三條角平分線相

交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等.

下血我通過(guò)列表來(lái)比較三角形三邊的垂直平分線和三條角平分線的性質(zhì)定理

三邊垂直平分線三條角平分線

銳角三角形交于三角形內(nèi)一點(diǎn)

三角形鈍角三角形交于三角形外一點(diǎn)交于三角形內(nèi)一點(diǎn)

直角三角形交于斜邊的中點(diǎn)

交點(diǎn)性質(zhì)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等到三角形三邊的距離相等

問(wèn)題2如圖：直線人心、心表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，

要求它到三條公路的距離相等，則可選擇的地址有幾處？你如何發(fā)現(xiàn)的？

三、例題講解

如圖，在AABC中.AC=BC,ZC=90°,AD是aABC的角平分線，DE1AB,垂足為E.

(1)已知CD=4cm,求AC的長(zhǎng)；

(2)求證：AB=AC+CD.

［例2］已知：如圖，P是么AOB平分線上的一點(diǎn)，PC±OA,J—yXB

PD10B,垂足分別為C、D.

求證：(1)OC=OD；(2)OP是CD的垂直平分線.

思考：圖中還有哪些相等的線段和角呢？

四、課時(shí)小結(jié)

本節(jié)課我們利用角平分線的性質(zhì)和判定定理證明了三角形三條角平分線交于一點(diǎn)，且

這一點(diǎn)到三角形各邊的距離相等.并綜合運(yùn)用我們前面學(xué)過(guò)的性質(zhì)定理等解決了幾何中的計(jì)

算和證明問(wèn)題.

五、課后作業(yè)

習(xí)題1.10第1、2題

§1.5三角形的證明回顧與思考

教學(xué)目標(biāo)：

在回顧與思考中建立本章的知識(shí)框架圖，復(fù)習(xí)有關(guān)定理的探索與證明，證明的思路和方

法，尺規(guī)作圖等.

進(jìn)一步掌握綜合法的證明方法，結(jié)合實(shí)例體會(huì)反證法的含義；提高學(xué)生用規(guī)范的數(shù)學(xué)語(yǔ)

言表達(dá)論證過(guò)程的能力.

教學(xué)重難點(diǎn)：

重點(diǎn)：通過(guò)例題的講解和課堂練習(xí)對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)鞏固是重點(diǎn)，

難點(diǎn)：是本章知識(shí)的綜合性應(yīng)用對(duì)學(xué)生來(lái)講是難點(diǎn)。

教學(xué)過(guò)程：

一、創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，搭建“回顧與思考”的平臺(tái)

通過(guò)提問(wèn)方式復(fù)習(xí)本章所學(xué)習(xí)的相關(guān)基本知識(shí)，如定理、逆定理等。

問(wèn)題1：你能說(shuō)說(shuō)作為證明基礎(chǔ)的幾條公理嗎？

教師通過(guò)學(xué)生回答并整理出六條公理如下：

1.兩直線被第三條直線所截,如果同位角相等,那么這兩條直線平行；

2.兩條平行線被第三條直線所截,同位角相等；

3.兩邊夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；（SAS）

4.兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；（ASA）

5.三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；（SSS）

6.全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等,對(duì)應(yīng)角相等.

問(wèn)題2：向你的同伴講述一兩個(gè)命題的證明思路和證明方法.

①綜合法：從己知出發(fā)利用學(xué)過(guò)的公理和己證明的定理進(jìn)行合情推理和演繹推理；

②反證法.

（教師可關(guān)注基礎(chǔ)較差的學(xué)生，給于關(guān)注和指導(dǎo)）

問(wèn)題3：你能說(shuō)出對(duì)互逆命題嗎？它們的真假性如何？

問(wèn)題4：任意畫一個(gè)角，利用尺規(guī)將其二等分、四等分.

已知：如圖,ZAOB

求作：（1）射線0C,使/AOC=/BOC：

（2）射線OD、0E,使/AOD=/DOC=NCOE=NEOB

二、建立本章的知識(shí)框架圖

本章所證明的命題大多與等腰三角形和直角三角形有關(guān)，主要包括哪些呢？

等腰三角形（含等邊三角形）、直角三角形的性質(zhì)定理及判定定理；線段垂直平分線

的性質(zhì)定理及判定定理；角平分線的性質(zhì)定理及判定定理.

1.通過(guò)探索、猜測(cè)、計(jì)算、證明得到的定理：

（1）與等腰三角形、等邊三角形有關(guān)的結(jié)論：

性質(zhì)：等腰三角形的兩個(gè)底角相等，即等邊對(duì)等角：

等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合；

等腰三角形兩底角的平分線相等，兩條腰上的中線相等，兩條腰上的高相等.

等邊三角形的三條邊都相等，三個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都等于60°；

等邊三角形的三條角平分線、三條中線、三條高互相相等.

判定：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形；

有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形；

三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.

（2）與直角三角形有關(guān)的結(jié)論:

勾股定理的逆定理；

在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；

斜邊和一直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等.（HL）

（3）與?般三角形有關(guān)的結(jié)論：

在一個(gè)三角形中，兩個(gè)角不相等，它們所對(duì)的邊也不相等（用反證法證明）.

2.命題的逆命題及其真假：

在兩個(gè)命題中，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么這

兩個(gè)命題稱為互逆命題.其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆命題.

一個(gè)命題是真命題，它的逆命題不一定是真命題.如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過(guò)證明是

真命題，那么它也是一個(gè)定理，這兩個(gè)定理稱為互逆定理.其中?個(gè)定理稱為另一個(gè)定理的

逆定理.例如勾股定理及其逆定理.

3.尺規(guī)作圖

線段垂直平分線的性質(zhì)定理和判定定理；用尺規(guī)作線段的垂直平分線；已知底邊和底

邊上的高，用尺規(guī)作等腰三角形

角平分線的性質(zhì)定理和判定定理；用尺規(guī)作已知角的平分線.

三、例題講解

例1、已知：如圖，D是AABC的BC邊上的中點(diǎn)，DE1AC,DE±AB,垂足分別是E、F,

且DE=DF.求證：AABC是等腰三角形.

分析：要證AABC是等腰三角形，可證/B=/C.

例2、如圖，在aABC中，AB=AC,AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)E,已知aBCE的周長(zhǎng)為

8,AC-BC=2.求AB與BC的長(zhǎng).

分析：由已知AC-BC=2,即AB-BC=2,要求AB和BC的長(zhǎng)，利用方程的思想，需找另

一個(gè)AB與BC的關(guān)系.

四、課時(shí)小結(jié)

本章的內(nèi)容總結(jié)如下:

與等腰二角形、等上二角形有關(guān)的結(jié)論

r通過(guò)探索、猜測(cè)、計(jì)算、證明得

到的定理與直角三角形有關(guān)的結(jié)論

與般三角形有關(guān)的結(jié)論

\命題的逆命題及其真假

~線段的垂直平分線

尺規(guī)作圖

、角的平分線

五、布置作業(yè)

課內(nèi)：A組題中的第3、4、5、6、7、8題;

課外：A組題中的9題，B組題第1、2、3題.

第二章一元一次不等式與一元一次不等式組

課題§2.1不等關(guān)系

學(xué)習(xí)①理解不等式的意義.

目標(biāo)

②能根據(jù)條件列出不等式.

學(xué)習(xí)通過(guò)探尋實(shí)際問(wèn)題中的不等式關(guān)系，認(rèn)識(shí)不等式。

重點(diǎn)

學(xué)習(xí)實(shí)際問(wèn)題中怎樣建立量與量之間的不等關(guān)系。

難點(diǎn)

學(xué)習(xí)過(guò)程學(xué)習(xí)內(nèi)容補(bǔ)充

調(diào)整

預(yù)習(xí)1.已知正方形的邊長(zhǎng)為a,則正方形的面積為________

導(dǎo)學(xué)2.已知圓的半徑為r,則該圓的面積為_____________

學(xué)1、不等關(guān)系在日常生活中十分常見，你能舉出一些關(guān)于不等關(guān)系的例子嗎？

2、如圖1—1,用兩根長(zhǎng)度均為/cm的繩子，分別圍成一個(gè)正方形和圓.

□O

習(xí)

圖1-1

(1)如果要使正方形的面積不大于25cm2,那么繩長(zhǎng)/應(yīng)滿足怎樣的關(guān)系式？

(2)如果要使圓的面積不小于100cn?,那么繩長(zhǎng)/應(yīng)滿足怎樣的關(guān)系式？

(3)當(dāng)/=8時(shí)，正方形和圓的面積哪個(gè)大？/=12呢？

(4)你能得到什么猜想？改變，的取值，再試一試

研分析：?個(gè)是正方形和圓的面積計(jì)算公式—

另一個(gè)是了解“不大于”“大于”等詞的含意

(1)因?yàn)槔K長(zhǎng)/為正方形的周長(zhǎng)，所以正方形的邊長(zhǎng)為______，得面積

為__________，

要使正方形的面積不大于25cm2,就是___________________

(2)因?yàn)閳A的周長(zhǎng)為1,所以圓的半徑為_________________要使圓的面

討積不小于100cm2,就是_____________

(3)當(dāng)/=8時(shí)，正方形的面積為

圓的面積為_____________________

二的面積大

當(dāng)1=12時(shí)，正方形的面積為_________

圓的面積為七(cm2)

此時(shí)_____的面積大.

(4)(4)我們可以猜想，用長(zhǎng)度均為/cm的兩根繩子分別圍成一個(gè)正方形

和圓，無(wú)論/取何值，圓的面積總大于正方形的面積，即

因?yàn)榉肿佣际窍嗟?、分?/p>