第3講圓周運(yùn)動(dòng)一、勻速圓周運(yùn)動(dòng)及描述1．勻速圓周運(yùn)動(dòng)(1)定義：做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，若在任意相等的時(shí)間內(nèi)通過的圓弧長相等，就是勻速圓周運(yùn)動(dòng)．(2)特點(diǎn)：加速度大小不變，方向始終指向圓心，是變加速運(yùn)動(dòng)．(3)條件：合外力大小不變、方向始終與速度方向垂直且指向圓心．2．運(yùn)動(dòng)參量定義、意義公式、單位線速度描述做圓周運(yùn)動(dòng)的物體沿圓弧運(yùn)動(dòng)快慢的物理量(v)(1)v＝eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(2πr,T)(2)單位：m/s角速度描述物體繞圓心轉(zhuǎn)動(dòng)快慢的物理量(ω)(1)ω＝eq\f(Δθ,Δt)＝eq\f(2π,T)(2)單位：rad/s周期物體沿圓周運(yùn)動(dòng)一圈的時(shí)間(T)(1)T＝eq\f(2πr,v)＝eq\f(2π,ω)，單位：s(2)f＝eq\f(1,T)，單位：Hz向心加速度(1)描述速度方向變化快慢的物理量(a)(2)方向指向圓心(1)a＝eq\f(v2,r)＝rω2(2)單位：m/s2自測1(多選)一質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其線速度大小為4m/s，轉(zhuǎn)動(dòng)周期為2s，則()C．軌跡半徑為eq\f(4,π)mD．加速度大小為4πm/s2答案BCD二、勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力1．作用效果向心力產(chǎn)生向心加速度，只改變速度的方向，不改變速度的大?。?/p>

2．大小F＝meq\f(v2,r)＝mrω2＝meq\f(4π2,T2)r＝mωv＝4π2mf2r.3．方向始終沿半徑方向指向圓心，時(shí)刻在改變，即向心力是一個(gè)變力．4．來源向心力可以由一個(gè)力提供，也可以由幾個(gè)力的合力提供，還可以由一個(gè)力的分力提供．自測2(多選)下列關(guān)于做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體所受向心力的說法正確的是()A．因向心力總是沿半徑指向圓心，且大小不變，故向心力是一個(gè)恒力B．因向心力指向圓心，且與線速度方向垂直，所以它不能改變線速度的大小C．向心力由物體所受的合外力提供D．向心力和向心加速度的方向都是不變的答案BC三、離心運(yùn)動(dòng)和近心運(yùn)動(dòng)1．離心運(yùn)動(dòng)：做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，在所受合外力突然消失或不足以提供圓周運(yùn)動(dòng)所需向心力的情況下，就做逐漸遠(yuǎn)離圓心的運(yùn)動(dòng)．2．受力特點(diǎn)(如圖1)圖1(1)當(dāng)F＝0時(shí)，物體沿切線方向飛出；(2)當(dāng)F<mrω2時(shí)，物體逐漸遠(yuǎn)離圓心；(3)當(dāng)F>mrω2時(shí)，物體逐漸向圓心靠近，做近心運(yùn)動(dòng)．3．本質(zhì)：離心運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)并不是受到離心力的作用，而是提供的力小于做勻速圓周運(yùn)動(dòng)需要的向心力．自測3(2019·河北省邢臺市調(diào)研)如圖2所示為公路自行車賽中運(yùn)動(dòng)員在水平路面上急轉(zhuǎn)彎的情景，運(yùn)動(dòng)員在通過彎道時(shí)如果控制不當(dāng)會發(fā)生側(cè)滑而摔離正常比賽路線，將運(yùn)動(dòng)員與自行車看做一個(gè)整體，下列論述正確的是()圖2A．運(yùn)動(dòng)員轉(zhuǎn)彎所需向心力由地面對車輪的支持力與重力的合力提供B．運(yùn)動(dòng)員轉(zhuǎn)彎所需向心力由地面對車輪的摩擦力提供C．發(fā)生側(cè)滑是因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)員受到的合力方向背離圓心D．發(fā)生側(cè)滑是因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)員受到的合外力大于所需的向心力答案B解析向心力為沿半徑方向上的合力．運(yùn)動(dòng)員轉(zhuǎn)彎時(shí)，受力分析如圖所示，可知地面對車輪的摩擦力提供所需的向心力，故A錯(cuò)誤，B正確；當(dāng)f<eq\f(mv2,r)，摩擦力不足以提供所需向心力時(shí)，就會離心發(fā)生側(cè)滑，故C、D錯(cuò)誤.命題點(diǎn)一圓周運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)問題1．對公式v＝ωr的理解當(dāng)r一定時(shí)，v與ω成正比．當(dāng)ω一定時(shí)，v與r成正比．當(dāng)v一定時(shí)，ω與r成反比．2．對a＝eq\f(v2,r)＝ω2r的理解在v一定時(shí)，a與r成反比；在ω一定時(shí)，a與r成正比．3．常見的傳動(dòng)方式及特點(diǎn)(1)皮帶傳動(dòng)：如圖3甲、乙所示，皮帶與兩輪之間無相對滑動(dòng)時(shí)，兩輪邊緣線速度大小相等，即vA＝vB.圖3(2)摩擦傳動(dòng)和齒輪傳動(dòng)：如圖4甲、乙所示，兩輪邊緣接觸，接觸點(diǎn)無打滑現(xiàn)象時(shí)，兩輪邊緣線速度大小相等，即vA＝vB.圖4(3)同軸轉(zhuǎn)動(dòng)：如圖5甲、乙所示，繞同一轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物體，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v與r成正比．圖5例1如圖6所示，輪O1、O3固定在同一轉(zhuǎn)軸上，輪O1、O2用皮帶連接且不打滑．在O1、O2、O3三個(gè)輪的邊緣各取一點(diǎn)A、B、C，已知三個(gè)輪的半徑之比r1∶r2∶r3＝2∶1∶1，求：圖6(1)A、B、C三點(diǎn)的線速度大小之比vA∶vB∶vC；(2)A、B、C三點(diǎn)的角速度大小之比ωA∶ωB∶ωC；(3)A、B、C三點(diǎn)的向心加速度大小之比aA∶aB∶aC.答案(1)2∶2∶1(2)1∶2∶1(3)2∶4∶1解析(1)令vA＝v，由于皮帶傳動(dòng)時(shí)不打滑，所以vB＝v.因ωA＝ωC，由公式v＝ωr知，當(dāng)角速度一定時(shí)，線速度跟半徑成正比，故vC＝eq\f(1,2)v，所以vA∶vB∶vC＝2∶2∶1.(2)令ωA＝ω，由于輪O1、O3同軸轉(zhuǎn)動(dòng)，所以ωC＝ω.因vA＝vB，由公式ω＝eq\f(v,r)知，當(dāng)線速度相同時(shí)，角速度跟半徑成反比，故ωB＝2ω，所以ωA∶ωB∶ωC＝1∶2∶1.(3)令A(yù)點(diǎn)向心加速度為aA＝a，因vA＝vB，由公式a＝eq\f(v2,r)知，當(dāng)線速度一定時(shí)，向心加速度跟半徑成反比，所以aB＝2a.又因?yàn)棣谹＝ωC，由公式a＝ω2r知，當(dāng)角速度一定時(shí)，向心加速度跟半徑成正比，故aC＝eq\f(1,2)a.所以aA∶aB∶aC＝2∶4∶1.變式1(多選)(2019·遼寧省丹東市質(zhì)檢)在如圖7所示的齒輪傳動(dòng)中，三個(gè)齒輪的半徑之比為2∶3∶6，當(dāng)齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)候，關(guān)于小齒輪邊緣的A點(diǎn)和大齒輪邊緣的B點(diǎn)，()圖7A．A點(diǎn)和B點(diǎn)的線速度大小之比為1∶1B．A點(diǎn)和B點(diǎn)的角速度之比為1∶1C．A點(diǎn)和B點(diǎn)的角速度之比為3∶1D．以上三個(gè)選項(xiàng)只有一個(gè)是正確的答案AC解析題圖中三個(gè)齒輪邊緣線速度相等，A點(diǎn)和B點(diǎn)的線速度大小之比為1∶1，由v＝ωr可得，線速度一定時(shí)，角速度與半徑成反比，A點(diǎn)和B點(diǎn)角速度之比為3∶1，選項(xiàng)A、C正確，選項(xiàng)B、D錯(cuò)誤．命題點(diǎn)二圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)問題1．向心力的來源向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、彈力、摩擦力等各種力，也可以是幾個(gè)力的合力或某個(gè)力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一個(gè)向心力．2．運(yùn)動(dòng)模型運(yùn)動(dòng)模型向心力的來源圖示飛機(jī)水平轉(zhuǎn)彎火車轉(zhuǎn)彎圓錐擺飛車走壁汽車在水平路面轉(zhuǎn)彎水平轉(zhuǎn)臺(光滑)例2(多選)(2018·湖北省黃岡市期末調(diào)研)如圖8所示，置于豎直面內(nèi)的光滑金屬圓環(huán)半徑為r，質(zhì)量為m的帶孔小球穿于環(huán)上，同時(shí)有一長為r的細(xì)繩一端系于圓環(huán)最高點(diǎn)，另一端系小球，當(dāng)圓環(huán)以角速度ω(ω≠0)繞豎直直徑轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)()圖8A．細(xì)繩對小球的拉力可能為零B．細(xì)繩和金屬圓環(huán)對小球的作用力大小可能相等C．細(xì)繩對小球拉力與小球的重力大小不可能相等D．當(dāng)ω＝eq\r(\f(2g,r))時(shí)，金屬圓環(huán)對小球的作用力為零答案CD解析因?yàn)閳A環(huán)光滑，小球受到重力、環(huán)對球的彈力和繩子的拉力，根據(jù)幾何關(guān)系可知，此時(shí)細(xì)繩與豎直方向的夾角為60°，當(dāng)圓環(huán)旋轉(zhuǎn)時(shí)，小球繞豎直軸做圓周運(yùn)動(dòng)，則有Tcos60°＋Ncos60°＝mg，Tsin60°－Nsin60°＝mω2rsin60°，解得T＝mg＋eq\f(1,2)mω2r，N＝mg－eq\f(1,2)mω2r,當(dāng)ω＝eq\r(\f(2g,r))時(shí)，金屬圓環(huán)對小球的作用力N＝0，故C、D正確，A、B錯(cuò)誤．變式2(多選)(2018·甘肅省蘭州一中模擬)在修筑鐵路時(shí)，彎道處的外軌會略高于內(nèi)軌．如圖9所示，當(dāng)火車以規(guī)定的行駛速度轉(zhuǎn)彎時(shí)，內(nèi)、外軌均不會受到輪緣的擠壓，設(shè)此時(shí)的速度大小為v，重力加速度為g，兩軌所在面的傾角為θ，則()圖9A．該彎道的半徑r＝eq\f(v2,gtanθ)B．當(dāng)火車質(zhì)量改變時(shí)，規(guī)定的行駛速度大小不變C．當(dāng)火車速率大于v時(shí)，內(nèi)軌將受到輪緣的擠壓D．當(dāng)火車速率大于v時(shí)，外軌將受到輪緣的擠壓答案ABD解析火車轉(zhuǎn)彎時(shí)不側(cè)向擠壓車輪輪緣，靠重力和支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律得：mgtanθ＝meq\f(v2,r)，解得：r＝eq\f(v2,gtanθ)，故A正確；根據(jù)牛頓第二定律得：mgtanθ＝meq\f(v2,r)，解得：v＝eq\r(grtanθ)，可知火車規(guī)定的行駛速度與質(zhì)量無關(guān)，故B正確；當(dāng)火車速率大于v時(shí)，重力和支持力的合力不足以提供向心力，此時(shí)外軌對火車有側(cè)壓力，輪緣擠壓外軌，故C錯(cuò)誤，D正確．命題點(diǎn)三豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的兩類模型問題1．兩類模型比較球—繩模型球—桿模型實(shí)例如球與繩連接、沿內(nèi)軌道運(yùn)動(dòng)的球等如球與輕桿連接、球在內(nèi)壁光滑的圓管內(nèi)運(yùn)動(dòng)等圖示最高點(diǎn)無支撐最高點(diǎn)有支撐最高點(diǎn)受力特征重力、彈力，彈力方向向下或等于零重力、彈力，彈力方向向下、等于零或向上受力示意圖力學(xué)特征mg＋N＝meq\f(v2,r)mg±N＝meq\f(v2,r)臨界特征N＝0，vmin＝eq\r(gr)豎直向上的N＝mg，v＝0過最高點(diǎn)條件v≥eq\r(gr)v≥0速度和彈力關(guān)系討論分析①恰好過最高點(diǎn)時(shí)，v＝eq\r(gr)，mg＝meq\f(v2,r)，N＝0，繩、軌道對球無彈力②能過最高點(diǎn)時(shí)，v≥eq\r(gr)，N＋mg＝meq\f(v2,r)，繩、軌道對球產(chǎn)生彈力N③不能過最高點(diǎn)時(shí)，v<eq\r(gr)，在到達(dá)最高點(diǎn)前小球已經(jīng)脫離了圓軌道做斜拋運(yùn)動(dòng)①當(dāng)v＝0時(shí)，N＝mg，N為支持力，沿半徑背離圓心②當(dāng)0<v<eq\r(gr)時(shí)，－N＋mg＝meq\f(v2,r)，N背離圓心，隨v的增大而減小③當(dāng)v＝eq\r(gr)時(shí)，N＝0④當(dāng)v>eq\r(gr)時(shí)，N＋mg＝meq\f(v2,r)，N指向圓心并隨v的增大而增大2．解題技巧(1)定模型：首先判斷是輕繩模型還是輕桿模型，兩種模型物體過最高點(diǎn)的臨界條件不同．(2)確定臨界點(diǎn)：抓住球—繩模型中球恰好能過最高點(diǎn)時(shí)v＝eq\r(gR)及球—桿模型中球恰好能過最高點(diǎn)時(shí)v＝0這兩個(gè)臨界條件．(3)研究狀態(tài)：通常情況下豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)只涉及最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況．(4)受力分析：對物體在最高點(diǎn)或最低點(diǎn)時(shí)進(jìn)行受力分析，根據(jù)牛頓第二定律列出方程：F合＝F向．(5)過程分析：應(yīng)用動(dòng)能定理或機(jī)械能守恒定律將初、末兩個(gè)狀態(tài)聯(lián)系起來列方程．模型1球—繩模型例3(多選)(2018·四川省涼山州三模)如圖10所示，兩段長均為L的輕繩共同系住一質(zhì)量為m的小球，另一端固定在等高的兩點(diǎn)O1、O2，兩點(diǎn)的距離也為L，在最低點(diǎn)給小球一個(gè)水平向里的初速度v0，小球恰能在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，重力加速度為g，則()圖10A．小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的速度v＝eq\r(\f(\r(3),2)Lg)B．小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的速度v＝eq\r(Lg)C．小球在最低點(diǎn)時(shí)每段繩子的拉力F＝mg＋meq\f(2\r(3)v02,3L)D．小球在最低點(diǎn)時(shí)每段繩子的拉力F＝eq\f(\r(3),3)mg＋meq\f(2v02,3L)答案AD解析小球恰能在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的條件是在最高點(diǎn)重力恰好提供向心力，則mg＝meq\f(v2,r)，r＝Lsin60°，解得v＝eq\r(\f(\r(3),2)gL)，A正確，B錯(cuò)誤；小球在最低點(diǎn)，由向心力公式得：T－mg＝meq\f(v02,r)，每段繩子的拉力F＝eq\f(T,2sin60°)，由以上兩式解得：F＝eq\f(\r(3),3)mg＋meq\f(2v02,3L)，C錯(cuò)誤，D正確．變式3(多選)(2018·甘肅省蘭州一中模擬)如圖11甲所示，用一輕質(zhì)繩拴著一質(zhì)量為m的小球，在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)(不計(jì)一切阻力)，小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)繩對小球的拉力為T，小球在最高點(diǎn)的速度大小為v，其T－v2圖像如圖乙所示，則()圖11A．輕質(zhì)繩長為eq\f(mb,a)B．當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣葹閑q\f(a,m)C．當(dāng)v2＝c時(shí)，輕質(zhì)繩最高點(diǎn)拉力大小為eq\f(ac,b)＋aD．若v2＝b，小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)繩的拉力為6a答案ABD解析在最高點(diǎn)，T＋mg＝meq\f(v2,L)，解得：T＝meq\f(v2,L)－mg，可知縱截距的絕對值為a＝mg，g＝eq\f(a,m)，圖線的斜率k＝eq\f(a,b)＝eq\f(m,L)，解得繩子的長度L＝eq\f(mb,a)，故A、B正確；當(dāng)v2＝c時(shí)，輕質(zhì)繩的拉力大小為：T＝meq\f(c,L)－mg＝eq\f(ac,b)－a，故C錯(cuò)誤；當(dāng)v2＝b時(shí)拉力為零，到最低點(diǎn)時(shí)根據(jù)動(dòng)能定理得：2mgL＝eq\f(1,2)mv22－eq\f(1,2)mv2，根據(jù)牛頓第二定律：T′－mg＝meq\f(v22,L)，聯(lián)立以上可得拉力為：T′＝6mg＝6a，故D正確．

模型2球—桿模型例4(2018·福建省廈門市質(zhì)檢)如圖12所示，在豎直平面內(nèi)固定的強(qiáng)磁性圓軌道半徑為R，A、B兩點(diǎn)分別為軌道的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)．質(zhì)點(diǎn)沿軌道外側(cè)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，受圓軌道的強(qiáng)磁性引力始終指向圓心O且大小恒為F，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)以速率v＝eq\r(gR)通過A點(diǎn)時(shí)，對軌道的壓力為其重力的7倍，不計(jì)摩擦和空氣阻力，重力加速度為g.圖12(1)求質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量；(2)質(zhì)點(diǎn)能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)過程中，若磁性引力大小恒定，試證明質(zhì)點(diǎn)對A、B兩點(diǎn)的壓力差為定值；(3)若磁性引力大小恒為2F，為確保質(zhì)點(diǎn)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，求質(zhì)點(diǎn)通過B點(diǎn)最大速率．答案見解析解析(1)在A點(diǎn)：F＋mg－FA＝eq\f(mv2,R)①根據(jù)牛頓第三定律：FA′＝FA＝7mg②由①②式聯(lián)立得：m＝eq\f(F,7g)③(2)質(zhì)點(diǎn)能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)磁性引力大小為F′，在A點(diǎn)有：F′＋mg－NA＝eq\f(mvA2,R)④根據(jù)牛頓第三定律：NA′＝NA⑤在B點(diǎn)有：F′－mg－NB＝eq\f(mvB2,R)⑥根據(jù)牛頓第三定律：NB′＝NB⑦從A點(diǎn)到B點(diǎn)過程，根據(jù)機(jī)械能守恒定律：mg2R＝eq\f(1,2)mvB2－eq\f(1,2)mvA2⑧由④⑤⑥⑦⑧聯(lián)立得：NA′－NB′＝6mg為定值，得到證明．(3)在B點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律：2F－mg－FB＝eq\f(mvB2,R)當(dāng)FB＝0，質(zhì)點(diǎn)速度最大2F－mg＝eq\f(mvBm2,R)⑨由③⑨聯(lián)立得：vBm＝eq\r(13gR)變式4(2018·山東省濟(jì)南一中期中)一輕桿一端固定質(zhì)量為m的小球，以另一端O為圓心，使小球在豎直面內(nèi)做半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)，如圖13所示，則下列說法正確的是()圖13A．小球過最高點(diǎn)時(shí)，桿所受到的彈力可以等于零B．小球過最高點(diǎn)的最小速度是eq\r(gR)C．小球過最高點(diǎn)時(shí)，桿對球的作用力一定隨速度增大而增大D．小球過最高點(diǎn)時(shí)，桿對球的作用力一定隨速度增大而減小答案A解析當(dāng)小球到達(dá)最高點(diǎn)彈力為零時(shí)，有mg＝meq\f(v2,R)，解得v＝eq\r(gR)，即當(dāng)速度v＝eq\r(gR)時(shí)，輕桿所受的彈力為零，所以A正確．小球通過最高點(diǎn)的最小速度為零，所以B錯(cuò)誤．小球在最高點(diǎn)，若v<eq\r(gR)，則有：mg－F＝meq\f(v2,R)，輕桿的作用力隨著速度的增大先減小后反向增大，若v>eq\r(gR)，則有：mg＋F＝meq\f(v2,R)，輕桿的作用力隨著速度增大而增大，所以C、D錯(cuò)誤．命題點(diǎn)四圓周運(yùn)動(dòng)中的兩類臨界問題1．與摩擦力有關(guān)的臨界極值問題物體間恰好不發(fā)生相對滑動(dòng)的臨界條件是物體間恰好達(dá)到最大靜摩擦力．(1)如果只是摩擦力提供向心力，則最大靜摩擦力f＝eq\f(mv2,r)，靜摩擦力的方向一定指向圓心．(2)如果除摩擦力以外還有其他力，如繩兩端連接物體隨水平面轉(zhuǎn)動(dòng)，其中一個(gè)物體存在一個(gè)恰不向內(nèi)滑動(dòng)的臨界條件和一個(gè)恰不向外滑動(dòng)的臨界條件，分別為靜摩擦力達(dá)到最大且靜摩擦力的方向沿半徑背離圓心和沿半徑指向圓心．2．與彈力有關(guān)的臨界極值問題(1)壓力、支持力的臨界條件是物體間的彈力恰好為零．(2)繩上拉力的臨界條件是繩恰好拉直且其上無彈力或繩上拉力恰好為最大承受力．例5(多選)如圖14所示，兩個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的、相同的木塊A和B放在轉(zhuǎn)盤上，兩者用長為L的細(xì)繩連接，木塊與轉(zhuǎn)盤的最大靜摩擦力均為各自重力的K倍，A放在距離轉(zhuǎn)軸L處，整個(gè)裝置能繞通過轉(zhuǎn)盤中心的轉(zhuǎn)軸O1O2轉(zhuǎn)動(dòng)，開始時(shí)，繩恰好伸直但無彈力，現(xiàn)讓該裝置從靜止開始轉(zhuǎn)動(dòng)，使角速度緩慢增大，以下說法正確的是()圖14A．當(dāng)ω>eq\r(\f(2Kg,3L))時(shí)，A、B相對于轉(zhuǎn)盤會滑動(dòng)B．當(dāng)ω>eq\r(\f(Kg,2L))，繩子一定有彈力C．ω在eq\r(\f(Kg,2L))<ω<eq\r(\f(2Kg,3L))范圍內(nèi)增大時(shí)，B所受摩擦力變大D．ω在0<ω<eq\r(\f(2Kg,3L))范圍內(nèi)增大時(shí)，A所受摩擦力一直變大答案ABD解析當(dāng)A、B所受摩擦力均達(dá)到最大值時(shí)，A、B相對轉(zhuǎn)盤即將滑動(dòng)，Kmg＋Kmg＝mω2L＋mω2·2L，解得：ω＝eq\r(\f(2Kg,3L))，A項(xiàng)正確；當(dāng)B所受靜摩擦力達(dá)到最大值后，繩子開始有彈力，即：Kmg＝m·2L·ω2，解得ω＝eq\r(\f(Kg,2L))，可知當(dāng)ω>eq\r(\f(Kg,2L))時(shí)，繩子有彈力，B項(xiàng)正確；當(dāng)ω>eq\r(\f(Kg,2L))時(shí)，B已達(dá)到最大靜摩擦力，則ω在eq\r(\f(Kg,2L))<ω<eq\r(\f(2Kg,3L))范圍內(nèi)增大時(shí)，B受到的摩擦力不變，C項(xiàng)錯(cuò)誤；ω在0<ω<eq\r(\f(2Kg,3L))范圍內(nèi)，A相對轉(zhuǎn)盤是靜止的，A所受摩擦力為靜摩擦力，所以f－T＝mLω2，當(dāng)ω增大時(shí)，靜摩擦力也增大，D項(xiàng)正確．變式5(多選)(2018·重慶市江津中學(xué)月考)摩擦傳動(dòng)是傳動(dòng)裝置中的一個(gè)重要模型，如圖15所示的兩個(gè)水平放置的輪盤靠摩擦力傳動(dòng)，其中O、O′分別為兩輪盤的軸心，已知兩個(gè)輪盤的半徑比r甲∶r乙＝3∶1，且在正常工作時(shí)兩輪盤不打滑．今在兩輪盤上分別放置兩個(gè)同種材料制成的完全相同的滑塊A、B，兩滑塊與輪盤間的動(dòng)摩擦因數(shù)相同，兩滑塊距離軸心O、O′的間距RA＝2RB.若輪盤乙由靜止開始緩慢地轉(zhuǎn)動(dòng)起來，且轉(zhuǎn)速逐漸增加，則下列敘述正確的是()圖15A．滑塊A和B在與輪盤相對靜止時(shí)，角速度之比為ω甲∶ω乙＝1∶3B．滑塊A和B在與輪盤相對靜止時(shí)，向心加速度的比值為aA∶aB＝2∶9C．轉(zhuǎn)速增加后滑塊B先發(fā)生滑動(dòng)D．轉(zhuǎn)速增加后兩滑塊一起發(fā)生滑動(dòng)答案ABC解析由題意可知兩輪盤邊緣的線速度v大小相等，由v＝ωr，r甲∶r乙＝3∶1，可得ω甲∶ω乙＝1∶3，所以滑塊相對輪盤滑動(dòng)前，A、B的角速度之比為1∶3，故A正確；滑塊相對盤開始滑動(dòng)前，根據(jù)加速度公式：a＝Rω2，又RA∶RB＝2∶1，ωA：ωB＝1∶3，所以A、B的向心加速度之比為aA∶aB＝2∶9，故B正確；滑塊的最大靜摩擦力分別為fA＝μmAg，fB＝μmBg，則最大靜摩擦力之比為fA∶fB＝mA∶mB；轉(zhuǎn)動(dòng)中所受的靜摩擦力之比為fA′∶fB′＝mAaA∶mBaB＝mAmB，由上可得滑塊B先達(dá)到最大靜摩擦力而先開始滑動(dòng)，故C正確，D錯(cuò)誤．例6(多選)(2018·廣東省惠州市第二次調(diào)研)如圖16所示，在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的水平圓盤上，沿半徑方向放著用細(xì)繩相連的質(zhì)量均為m的兩個(gè)物體A和B，它們分居圓心兩側(cè)，與圓心距離分別為RA＝r，RB＝2r，與盤間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ相同，當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)速緩慢加快到兩物體剛好要發(fā)生滑動(dòng)時(shí)，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，則下列說法正確的是()圖16A．此時(shí)繩子張力為3μmgB．此時(shí)A所受摩擦力方向沿半徑指向圓內(nèi)C．此時(shí)圓盤的角速度為eq\r(\f(2μg,r))D．此時(shí)燒斷繩子，A仍相對盤靜止，B將做離心運(yùn)動(dòng)答案AC解析兩物體A和B隨著圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，合外力提供向心力，則F＝mω2r，B的半徑比A的半徑大，所以B所需向心力大，細(xì)繩拉力相等，所以當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)速加快到兩物體剛好還未發(fā)生滑動(dòng)時(shí)，B的靜摩擦力方向指向圓心，A的最大靜摩擦力方向指向圓外，有相對圓盤沿半徑指向圓內(nèi)的運(yùn)動(dòng)趨勢，根據(jù)牛頓第二定律得：T－μmg＝mω2r，T＋μmg＝mω2·2r，解得：T＝3μmg，ω＝eq\r(\f(2μg,r))，故A、C正確，B錯(cuò)誤．燒斷細(xì)繩瞬間A物體所需的向心力為2μmg，此時(shí)燒斷細(xì)繩，A的最大靜摩擦力不足以提供向心力，則A做離心運(yùn)動(dòng)，故D錯(cuò)誤．變式6(多選)(2018·江西省吉安市模擬)質(zhì)量為m的小球由輕繩a和b分別系于一輕質(zhì)細(xì)桿的A點(diǎn)和B點(diǎn)，如圖17所示，繩a與水平方向成θ角，繩b在水平方向且長為l，當(dāng)輕桿繞軸AB以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則下列說法正確的是()圖17A．a(chǎn)繩的張力不可能為零B．a(chǎn)繩的張力隨角速度的增大而增大C．當(dāng)角速度ω>eq\r(\f(g,ltanθ))，b繩將出現(xiàn)彈力D．若b繩突然被剪斷，則a繩的彈力一定發(fā)生變化答案AC1．(多選)公路急轉(zhuǎn)彎處通常是交通事故多發(fā)地帶．如圖1所示，某公路急轉(zhuǎn)彎處是一圓弧，當(dāng)汽車行駛的速率為vc時(shí)，汽車恰好沒有向公路內(nèi)、外兩側(cè)滑動(dòng)的趨勢，則在該彎道處()圖1A．路面外側(cè)高、內(nèi)側(cè)低B．車速只要低于vc，車輛便會向內(nèi)側(cè)滑動(dòng)C．車速雖然高于vc，但只要不超出某一最高限度，車輛便不會向外側(cè)滑動(dòng)D．當(dāng)路面結(jié)冰時(shí)，與未結(jié)冰時(shí)相比，vc的值變小答案AC解析當(dāng)汽車行駛的速度為vc時(shí)，路面對汽車沒有摩擦力，路面對汽車的支持力與汽車重力的合力提供向心力，此時(shí)要求路面外側(cè)高、內(nèi)側(cè)低，選項(xiàng)A正確．當(dāng)速度稍大于vc時(shí)，汽車有向外側(cè)滑動(dòng)的趨勢，因而受到向內(nèi)側(cè)的摩擦力，當(dāng)摩擦力小于最大靜摩擦力時(shí)，車輛不會向外側(cè)滑動(dòng)，選項(xiàng)C正確．同樣，速度稍小于vc時(shí)，車輛不會向內(nèi)側(cè)滑動(dòng)，選項(xiàng)B錯(cuò)誤．vc的大小只與路面的傾斜程度和轉(zhuǎn)彎半徑有關(guān)，與路面的粗糙程度無關(guān)，D錯(cuò)誤．2．(多選)(2018·河北省“名校聯(lián)盟”質(zhì)量監(jiān)測一)如圖2為過山車以及軌道簡化模型，過山車車廂內(nèi)固定一安全座椅，座椅上乘坐“假人”，并系好安全帶，安全帶恰好未繃緊，不計(jì)一切阻力，以下判斷正確的是()圖2A．過山車在圓軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)B．過山車在圓軌道最高點(diǎn)時(shí)的速度應(yīng)至少等于eq\r(gR)C．過山車在圓軌道最低點(diǎn)時(shí)“假人”處于失重狀態(tài)D．若過山車能順利通過整個(gè)圓軌道，在最高點(diǎn)時(shí)安全帶對“假人”一定無作用力答案BD解析過山車在運(yùn)動(dòng)過程中，重力勢能和動(dòng)能相互轉(zhuǎn)化，即速度大小在變化，所以不是做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，A錯(cuò)誤；在最高點(diǎn)重力完全充當(dāng)向心力時(shí)，速度最小，故有mg＝meq\f(v2,R)，解得v＝eq\r(gR)，B正確；在最低點(diǎn)，“假人”受到豎直向上指向圓心的加速度，故處于超重狀態(tài)，C錯(cuò)誤；若過山車能順利通過整個(gè)圓軌道，即在最高點(diǎn)重力充當(dāng)向心力，或重力和座椅對“假人”的支持力的合力充當(dāng)向心力，所以安全帶對“假人”一定無作用力，D正確．3．(多選)(2018·廣西桂林市、賀州市期末聯(lián)考)如圖3所示，照片中的汽車在水平公路上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．已知圖中雙向四車道的總寬度為15m，內(nèi)車道內(nèi)邊緣間最遠(yuǎn)的距離為150m．假設(shè)汽車受到的最大靜摩擦力等于車重的0.7倍．g取10m/s2，則汽車()圖3A．所受的合力可能為零B．只受重力和地面支持力的作用C．所需的向心力不可能由重力和支持力的合力提供D．最大速度不能超過3eq\r(70)m/s答案CD解析汽車做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則所受的合力不可能為零，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；汽車做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，豎直方向受重力和地面支持力的作用，水平方向受摩擦力作用，提供汽車做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；車在水平公路上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則汽車所需的向心力不可能由重力和支持力的合力提供，只由摩擦力提供，選項(xiàng)C正確；汽車轉(zhuǎn)彎的最大半徑為r＝eq\f(150,2)m＋15m＝90m，由牛頓第二定律可得μmg＝meq\f(v2,r)，解得v＝eq\r(μgr)＝eq\r(0.7×10×90)m/s＝3eq\r(70)m/s，即汽車的最大速度不能超過3eq\r(70)m/s，選項(xiàng)D正確．4．(2019·福建省南平市模擬)2017年春晚，摩托車特技表演引爆上海分會場的氣氛，稱為史上最驚險(xiǎn)刺激的八人環(huán)球飛車表演．在舞臺中固定一個(gè)直徑為6.5m的球形鐵籠，八輛摩托車始終以70km/h的速度在鐵籠內(nèi)旋轉(zhuǎn)追逐，旋轉(zhuǎn)軌道有時(shí)水平，有時(shí)豎直，有時(shí)傾斜，非常震撼．關(guān)于摩托車的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，下列說法正確的是()A．摩托車在鐵籠的最低點(diǎn)時(shí)，對鐵籠的壓力最大B．摩托車駕駛員始終處于失重狀態(tài)C．摩托車始終機(jī)械能守恒D．摩托車的速度小于70km/h，就會脫離鐵籠答案A5．(多選)(2018·北京市大興區(qū)上學(xué)期期末)向心力演示儀可以利用控制變量法探究向心力的大小與質(zhì)量、角速度和半徑之間的關(guān)系．它通過皮帶傳動(dòng)改變兩輪的轉(zhuǎn)速，讓兩輪上的實(shí)心小球(體積相同)同時(shí)做圓周運(yùn)動(dòng)，然后通過連動(dòng)裝置使安放在圓盤中心套筒中的彈簧產(chǎn)生形變，利用形變大小來反映向心力的大小，形變越大，露出的標(biāo)尺格數(shù)越多．采用如圖4所示的實(shí)驗(yàn)裝置，可以實(shí)現(xiàn)的實(shí)驗(yàn)?zāi)康暮陀^察到的現(xiàn)象是()圖4A．控制角速度和半徑相同，研究向心力大小與質(zhì)量的關(guān)系B．控制半徑相同，研究向心力大小與角速度大小的關(guān)系C．鋼球比鋁球的質(zhì)量大，鋼球一側(cè)露出的標(biāo)尺格數(shù)多D．鋼球比鋁球的質(zhì)量大，鋁球一側(cè)露出的標(biāo)尺格數(shù)多答案AC6．兩根長度不同的細(xì)線下面分別懸掛兩個(gè)小球，細(xì)線上端固定在同一點(diǎn)，若兩個(gè)小球以相同的角速度，繞共同的豎直軸在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則兩個(gè)擺球在運(yùn)動(dòng)過程中，相對位置關(guān)系示意圖正確的是()答案B解析小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，對其受力分析如圖所示，則有mgtanθ＝mω2Lsinθ，整理得：Lcosθ＝eq\f(g,ω2)，則兩球處于同一高度，故B正確．7．(2019·山東省濟(jì)寧市期中)如圖5所示，一傾斜的勻質(zhì)圓盤繞垂直于盤面的固定對稱軸以恒定角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)，盤面上離轉(zhuǎn)軸距離2.5m處有一小物體與圓盤始終保持相對靜止．物體與盤面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為eq\f(\r(3),2)(設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力)，盤面與水平面的夾角為30°，g取10m/s2.則ω的最大值是()圖5A.eq\r(5)rad/s B.eq\r(3)rad/s D．0.5rad/s答案C解析當(dāng)小物體轉(zhuǎn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)為臨界點(diǎn)，由牛頓第二定律知，μmgcos30°－mgsin30°＝mω2r解得ω＝1.0rad/s，故選項(xiàng)C正確．8．(2018·陜西省寶雞市質(zhì)檢二)如圖6所示，長為L的輕質(zhì)硬桿，一端固定一個(gè)質(zhì)量為m的小球，另一端固定在水平轉(zhuǎn)軸上，現(xiàn)讓桿繞轉(zhuǎn)軸O在豎直平面內(nèi)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω，某時(shí)刻桿對球的作用力水平向左，則此時(shí)桿與水平面的夾角θ為()圖6A．sinθ＝eq\f(ω2L,g) B．sinθ＝eq\f(g,ω2L)C．tanθ＝eq\f(ω2L,g) D．tanθ＝eq\f(g,ω2L)答案B解析小球所受重力和桿的作用力的合力提供向心力，受力如圖所示根據(jù)牛頓第二定律有：eq\f(mg,sinθ)＝mLω2，解得：sinθ＝eq\f(g,ω2L)，故選B.9．(多選)(2018·湖南省益陽市4月調(diào)研)如圖7所示，四分之一光滑圓弧軌道AB固定在豎直平面內(nèi)，圓心為O，半徑OA水平，OB豎直，質(zhì)量為m的小球從A點(diǎn)由靜止釋放后，沿圓孤滑下從B點(diǎn)拋出，最后落在地面上C點(diǎn)，已知AC間的水平距離和豎直距離均為L，小球可視為質(zhì)點(diǎn)，重力加速度為g，不計(jì)空氣阻力，則下列說法正確的是()圖7A．當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到軌道最低點(diǎn)B時(shí)，軌道對其支持力為2mgLC．小球做平拋運(yùn)動(dòng)落到地面時(shí)的速度與水平方向夾角θ的正切值tanθ＝2D．如果在豎直平面內(nèi)A點(diǎn)正上方有一P點(diǎn)，OP連線與水平方向夾角β＝45°，則將小球從P點(diǎn)由靜止釋放后運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，對軌道的壓力大小為4mg答案BC解析對小球由動(dòng)能定理得mgR＝eq\f(1,2)mvB2，在最低點(diǎn)FB－mg＝meq\f(vB2,R)，解得FB＝3mg，故A錯(cuò)誤；小球做平拋運(yùn)動(dòng)，L－R＝eq\f(1,2)gt2，L－R＝vBt，解得RL，故B正確；設(shè)小球做平拋運(yùn)動(dòng)的位移與水平方向的夾角為α，則tanα＝1，因?yàn)閠anθ＝2tanα，所以tanθ＝2，故C正確；小球從P點(diǎn)到B點(diǎn)有mg·2R＝eq\f(1,2)mv2，在B點(diǎn)N－mg＝meq\f(v2,R)，解得N＝5mg，結(jié)合牛頓第三定律可知，小球?qū)壍赖膲毫Υ笮?mg，故D錯(cuò)誤．10．(2018·吉林省吉林市第二次調(diào)研)如圖8所示，兩個(gè)相同的小木塊A和B(均可看做質(zhì)點(diǎn))，質(zhì)量均為m，用長為L的輕繩連接，置于水平圓盤的同一半徑上，A與豎直軸的距離為L，此時(shí)繩子恰好伸直且無彈力，木塊與圓盤間的最大靜摩擦力為木塊所受重力的k倍，重力加速度大小為g.若圓盤從靜止開始繞轉(zhuǎn)軸緩慢地加速轉(zhuǎn)動(dòng)，用ω表示圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，下列說法正確的是()圖8A．木塊A、B所受的摩擦力始終相等B．木塊B所受摩擦力總等于木塊A所受摩擦力的兩倍C．ω＝eq\r(\f(kg,L))是輕繩開始產(chǎn)生彈力的臨界角速度D．若ω＝eq\r(\f(2kg,3L))，則木塊A、B將要相對圓盤發(fā)生滑動(dòng)答案D解析當(dāng)角速度較小時(shí)，A、B均靠靜摩擦力提供向心力，由于B轉(zhuǎn)動(dòng)的半徑較大，則B先達(dá)到最大靜摩擦力，角速度繼續(xù)增大，則輕繩出現(xiàn)拉力，當(dāng)A的靜摩擦力達(dá)到最大時(shí)，角速度增大，A、B開始發(fā)生相對滑動(dòng)，可知B的靜摩擦力方向