高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省深圳市普通高中2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由集合，根據(jù)集合交集的概念與運(yùn)算，可得.故選：B.2.設(shè)復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則（）A. B.2 C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，所以，所?故選：D.3.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故選：A．4.某戶居民今年上半年每月的用水量（單位：t）如下：月份1月2月3月4月5月6月用水量9.09.614.95.94.077小明在錄入數(shù)據(jù)時(shí)，不小心把一個(gè)數(shù)據(jù)9.6錄成96，則這組數(shù)據(jù)中沒有發(fā)生變化的量是（）A.平均數(shù) B.中位數(shù) C.極差 D.標(biāo)準(zhǔn)差〖答案〗B〖解析〗實(shí)際數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)?.0，5.9，7.7，9.0，9.6，14.9，其平均數(shù)為：，中位數(shù)為：，極差為：，錄錯(cuò)數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)?.0，5.9，7.7，9.0，14.9，96，其平均數(shù)為：，中位數(shù)為：，極差為：，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的含義，標(biāo)準(zhǔn)差反映數(shù)據(jù)的離散程度可知，錯(cuò)誤的錄入一個(gè)非常大的數(shù)據(jù)會(huì)導(dǎo)致數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差變化，所以這組數(shù)據(jù)中沒有發(fā)生變化的量是中位數(shù).故選：B.5.已知m，n是空間兩條不重合的直線，是兩個(gè)不重合的平面，則下列命題錯(cuò)誤的是（）A.，，，則B.，，，則C.，，，則D.，，，則〖答案〗C〖解析〗對(duì)于由線面平行的性質(zhì)定理可知正確；對(duì)于,，，或者，又則，故正確；對(duì)于,由，，，則或者與相交或者異面，則不一定成立，故錯(cuò)誤；對(duì)于,若，，，則與一定不平行，否則有，與已知矛盾，通過平移使與相交，設(shè)與確定的平面為，則與和的交線所成的角即為和所成的角，又，所以與所成的角為，故正確.故選：.6.在梯形中，若，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意，，化簡得，即，則.故選：A.7.已知正實(shí)數(shù)m，n滿足，則下列不等式恒成立的為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗對(duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，所以，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以，故D錯(cuò)誤.故選：C.8.已知函數(shù)，則不等式的解集為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗函數(shù)的定義域?yàn)?，且，即是偶函?shù)，當(dāng)時(shí)，，構(gòu)造，，令，則在上單調(diào)遞增，又也是增函數(shù)，則在上單調(diào)遞增，又是定義域內(nèi)的增函數(shù)，故在上單調(diào)遞增，不等式等價(jià)于，即，平方得：，解得且，則不等式的解集為.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為 B.的圖象關(guān)于對(duì)稱C.的圖象關(guān)于對(duì)稱 D.在上單調(diào)遞減〖答案〗AC〖解析〗由題意，在中，，A正確；∵函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，∴在中，，解得：，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；在函數(shù)中，函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，在中，，解得：，當(dāng)時(shí)，，C正確；在函數(shù)中，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在中，當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞減時(shí)，，解得：，∴在上單調(diào)遞減，在在上單調(diào)遞增，D錯(cuò)誤.故選：AC.10.將一枚質(zhì)地均勻的骰子拋擲兩次，記事件“第一次出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，事件“兩次點(diǎn)數(shù)之積為偶數(shù)”，事件“兩次點(diǎn)數(shù)之和為5”，則（）A.事件是必然事件 B.事件與事件是互斥事件C.事件包含事件 D.事件與事件是相互獨(dú)立事件〖答案〗ACD〖解析〗事件A的基本事件有：，事件B的基本事件有：，事件C的基本事件有：，事件AC的基本事件有：，A：事件是必然事件，故正確；B：因?yàn)椋允录c事件不是互斥事件，故錯(cuò)誤；C：因?yàn)?，所以事件包含事件，故正確；D：因?yàn)椋?，所以事件與事件是相互獨(dú)立事件，故正確.故選：ACD.11.用表示不超過的最大整數(shù)，例如，，.已知，則（）A. B.為奇函數(shù)C.，使得 D.方程所有根的和為〖答案〗AD〖解析〗對(duì)于A，，正確；對(duì)于B，舉反例，當(dāng)時(shí)，，而，所以，故函數(shù)不是奇函數(shù)，錯(cuò)誤；對(duì)于C，根據(jù)的定義，可知對(duì)，有，所以，所以，錯(cuò)誤；對(duì)于D，即，所以，即，又，所以，解得，當(dāng)時(shí)，滿足方程，即是方程的根，當(dāng)時(shí)，，方程化為，解得，故方程所有根的和為，正確.故選：AD.12.在直三棱柱中，，且，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A.B.三棱錐的體積不變C.的最小值為D.當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí)，過三點(diǎn)的平面截三棱柱外接球所得的截面面積為〖答案〗ABD〖解析〗連接，如圖所示，直三棱柱中，，為正方形，，，平面，平面，，平面，，平面，平面，，A選項(xiàng)正確；由直三棱柱的結(jié)構(gòu)特征，，故三棱錐的體積為定值，B選項(xiàng)正確；設(shè)，，，，，，其幾何意義是點(diǎn)和點(diǎn)到點(diǎn)的距離之和，最小值為點(diǎn)到點(diǎn)的距離，為，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí)，，，，，，，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，得，，直三棱柱是正方體的一半，外接球的球心為的中點(diǎn)，外接球的半徑，點(diǎn)到平面的距離為，則過三點(diǎn)的平面截三棱柱外接球所得截面圓的半徑為，截面面積為，D選項(xiàng)正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.______.〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗為：.14.母線長為的圓錐，其側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，則該圓錐的體積為_____________.〖答案〗〖解析〗設(shè)圓錐的底面半徑為，由題意，圓錐的母線長為，且其側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，則底面周長為，解得，則該圓錐的體積為.故〖答案〗為：.15.高中數(shù)學(xué)興趣小組計(jì)劃測(cè)量某大廈的高度，選取與底部在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)基測(cè)點(diǎn)與.現(xiàn)測(cè)得，，米，在點(diǎn)測(cè)得大廈頂?shù)难鼋?，則該大廈高度_____________米（精確到1米）.參考數(shù)據(jù)：，.〖答案〗〖解析〗在中，，，米，則，因?yàn)椋悦?，在中，，則，所以米.故〖答案〗為：.16.四邊形中，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，，，，點(diǎn)滿足，則的最大值為______.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，，又點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，所以，所以，，又，所以，又點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，即，設(shè)，，則，所以，所以，所以當(dāng)即時(shí)，有最大值1，即有最大值為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知函數(shù)，其中，且.（1）求；（2）若，求的值域.解：（1），，得.（2），，，當(dāng)時(shí)，即，函數(shù)取得最小值，當(dāng)時(shí)，即，函數(shù)取得最大值，所以函數(shù)值域是.18.在中，角所對(duì)的邊分別為，且.（1）求；（2）若，，求的面積.解：（1）因?yàn)橹?，，由正弦定理可得，得，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?（2）由余弦定理得，因?yàn)?，，所以，所以，因?yàn)?，所以，，所以的面積為.19.已知函數(shù)（且）在上的最大值為.（1）求的值；（2）當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，解得；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，舍去；綜上可知，.（2）由（1）得，，當(dāng)時(shí)，，即，化簡得，，構(gòu)造，，和分別在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.20.某工廠引進(jìn)了一條生產(chǎn)線，為了解產(chǎn)品的質(zhì)量情況，現(xiàn)從生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取100件產(chǎn)品，測(cè)量其技術(shù)參數(shù)，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）由頻率分布直方圖，估計(jì)樣本技術(shù)參數(shù)的平均數(shù)和75%分位數(shù)（精確到0.1）；（2）現(xiàn)從技術(shù)參數(shù)位于區(qū)間，，的三組中，采用分層抽樣的方法抽取6件產(chǎn)品，再從這6件產(chǎn)品中任選3件產(chǎn)品，記事件“這3件產(chǎn)品中技術(shù)參數(shù)位于區(qū)間內(nèi)的產(chǎn)品至多1件”，事件“這3件產(chǎn)品中技術(shù)參數(shù)位于區(qū)間內(nèi)的產(chǎn)品至少1件”，求事件的概率.解：（1）由頻率分布直方圖知，樣本技術(shù)參數(shù)的平均數(shù)，因?yàn)榍叭M頻率之和為，第四組的頻率為，，所以第75百分位數(shù)一定在第四組，設(shè)第75百分?jǐn)?shù)為x，則，解得，所以第75百分?jǐn)?shù)約為.（2）采用分層抽樣的方法，從技術(shù)參數(shù)唯一區(qū)間，，三組的產(chǎn)品中抽取6件產(chǎn)品，則從技術(shù)參數(shù)位于區(qū)間的產(chǎn)品應(yīng)抽取件，記為，從技術(shù)參數(shù)位于區(qū)間產(chǎn)品應(yīng)抽取件，記為，從技術(shù)參數(shù)位于區(qū)間的產(chǎn)品應(yīng)抽取件，記為，從這6件產(chǎn)品中任選3件產(chǎn)品，樣本空間，則，事件包含了三類，一是在這三組分別抽取1件，1件，1件；二是在這三組分別抽取0件，2件，1件；三在這三組分別抽取1件，2件，0件，則，，所以.21.如圖，三棱錐的三個(gè)頂點(diǎn)在圓上，為圓的直徑，且，，，平面平面，點(diǎn)是的中點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）點(diǎn)是圓上的一點(diǎn)，且點(diǎn)與點(diǎn)位于直徑的兩側(cè).當(dāng)平面時(shí)，畫出二面角的平面角，并求出它的正切值.解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)C在圓O上，,因此，又，即，所以是等腰直角三角形，由平面平面PBC，平面平面，所以平面PBC，平面PBC，所以可得，又，平面PAC，平面PAC，平面PAC，又平面ABC，所以平面平面ABC.（2）解法一：取AC的中點(diǎn)M，連接PM，則，由（1）可知平面平面ABC，平面平面，平面ABC，連接OM，OE，OF，則OM是中BC邊的中位線，，平面ABC，，即PM，AC，OM兩兩垂直，以M為原點(diǎn)，AC，OM，PM分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如下圖：由于O，E分別是AB，PB的中點(diǎn)，連接BM，取BM的中點(diǎn)N，連接EN，則有，平面ABC，平面ABC，平面ABC，，過N點(diǎn)作FB的垂線，得垂足S，平面ENS，平面ENS，，就是二面角的平面角；平面PAC，平面PAC，平面PAC，又平面，平面平面PAC，又平面EFO，平面PAC，又平面平面，平面，，其中，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，，令，得，可得；顯然平面ABC的一個(gè)法向量，設(shè)平面ABC與平面EFB的二面角為，則，綜上，二面角的余弦值為，正切值為.解法二：取的中點(diǎn)，連接，如下圖所示：又點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，平面，平面，所以平面；又是的中點(diǎn)，所以，平面，平面，所以平面；平面，所以可知平面平面，又平面平面，平面平面，所以，又平面，所以平面，又在平面內(nèi)，所以三點(diǎn)共線，即；所以四邊形為直角梯形，易知，作于點(diǎn)，如下圖所示：則，，所以；取的中點(diǎn)為，連接，作交于點(diǎn)，連接，由（1）可知平面，平面，所以，又，所以，且，平面，所以平面，平面，所以；所以即為二面角的平面角，也即的平面角；在四邊形中，交于點(diǎn)，如下圖所示：易知，，，可得，所以；又，所以；即二面角的正切值為.22.已知函數(shù)，，與的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn).（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）用表示中的最大值，設(shè)函數(shù)，用M，m分別表示的最大值與最小值，求M，m，并求出的取值范圍.解：（1）由題意得，顯然，且是函數(shù)與的圖象的一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，與的圖象無交點(diǎn)，在上，與的圖象至多有1個(gè)交點(diǎn)，不合要求，舍去；當(dāng)時(shí)，與的圖象有且僅