專題04軸對稱問題的三種考法類型一、函數(shù)中的最值問題（和最小，差最大問題）例1．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與軸交于點(diǎn)A、與軸交于點(diǎn)B，且∠ABO＝45°，A（－6，0），直線BC與直線AB關(guān)于軸對稱.(1)求△ABC的面積；(2)如圖2，D為OA延長線上一動點(diǎn)，以BD為直角邊，D為直角頂點(diǎn)，作等腰直角△BDE，求證：AB⊥AE；(3)如圖3，點(diǎn)E是軸正半軸上一點(diǎn)，且∠OAE＝30°，AF平分∠OAE，點(diǎn)M是射線AF上一動點(diǎn)，點(diǎn)N是線段AO上一動點(diǎn)，判斷是否存在這樣的點(diǎn)M，N，使OM＋NM的值最?。咳舸嬖?，請寫出其最小值，并加以說明.【變式訓(xùn)練1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)，，，．（1）如圖①，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，求的長；（2）如圖②，若點(diǎn)在軸上，且，求的度數(shù)；（3）如圖③，設(shè)平分交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是射線上一動點(diǎn)，點(diǎn)是射線上一動點(diǎn)，的最大值為，判斷是否存在這樣點(diǎn)，，使的值最?。咳舸嬖?，請在答題卷上作出點(diǎn)，，并直接寫出作法和的最小值；若不存在，請說明理由．【變式訓(xùn)練2】在平面直角坐標(biāo)系中，B(2，2)，以O(shè)B為一邊作等邊△OAB（點(diǎn)A在x軸正半軸上）．（1）若點(diǎn)C是y軸上任意一點(diǎn)，連接AC，在直線AC上方以AC為一邊作等邊△ACD．①如圖1，當(dāng)點(diǎn)D落在第二象限時，連接BD，求證：AB⊥BD；②若△ABD是等腰三角形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）如圖2，若FB是OA邊上的中線，點(diǎn)M是FB一動點(diǎn)，點(diǎn)N是OB一動點(diǎn)，且OM+NM的值最小，請在圖2中畫出點(diǎn)M、N的位置，并求出OM+NM的最小值．【變式訓(xùn)練3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)，，，．（1）如圖①，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，求的長；（2）如圖②，若點(diǎn)在軸上，且，求的度數(shù)；（3）如圖③，設(shè)平分交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是射線上一動點(diǎn)，點(diǎn)是射線上一動點(diǎn)，的最大值為，判斷是否存在這樣點(diǎn)，，使的值最??？若存在，請在答題卷上作出點(diǎn)，，并直接寫出作法和的最小值；若不存在，請說明理由．類型二、幾何圖形中的最短路徑問題例．已知點(diǎn)在內(nèi)．（1）如圖1，點(diǎn)關(guān)于射線的對稱點(diǎn)是，點(diǎn)關(guān)于射線的對稱點(diǎn)是，連接、、.①若，則______；②若，連接，請說明當(dāng)為多少度時，；（2）如圖2，若，、分別是射線、上的任意一點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L最小時，求的度數(shù)．【變式訓(xùn)練1】如圖，將邊長為的正三角形紙片按如下順序進(jìn)行兩次折疊，展開后，得折痕（如圖①），點(diǎn)為其交點(diǎn).（1）探求與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖②，若分別為上的動點(diǎn).①當(dāng)?shù)拈L度取得最小值時，求的長度；②如圖③，若點(diǎn)在線段上，，則的最小值=.【變式訓(xùn)練2】如圖，等邊（三邊相等，三個內(nèi)角都是的三角形）的邊長為，動點(diǎn)和動點(diǎn)同時出發(fā)，分別以每秒的速度由向和由向運(yùn)動，其中一個動點(diǎn)到終點(diǎn)時，另一個也停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為，，和交于點(diǎn)．（1）在運(yùn)動過程中，與始終相等嗎？請說明理由；（2）連接，求為何值時，；（3）若于點(diǎn)，點(diǎn)為上的點(diǎn)，且使最短．當(dāng)時，的最小值為多少？請直接寫出這個最小值，無需說明理由．【變式訓(xùn)練3】如圖1，已知直線的同側(cè)有兩個點(diǎn)、，在直線上找一點(diǎn)，使點(diǎn)到、兩點(diǎn)的距離之和最短的問題，可以通過軸對稱來確定，即作出其中一點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，對稱點(diǎn)與另一點(diǎn)的連線與直線的交點(diǎn)就是所要找的點(diǎn)，通過這種方法可以求解很多問題.（1）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，動點(diǎn)在軸上，求的最小值；（2）如圖3，在銳角三角形中，，，的角平分線交于點(diǎn)，、分別是和上的動點(diǎn)，則的最小值為______.（3）如圖4，，，，點(diǎn)，分別是射線，上的動點(diǎn)，則的最小值為__________.【變式訓(xùn)練4】已知：如圖，ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，E是AC上的一點(diǎn)，∠ABE＝∠ABC，過點(diǎn)C作CD⊥AB于D，交BE于點(diǎn)P．(1)直接寫出圖中除ABC外的所有等腰三角形；(2)求證：BD＝PC；(3)點(diǎn)H、G分別為AC、BC邊上的動點(diǎn)，當(dāng)DHG周長取取小值時，求∠HDG的度數(shù)．類型三、最短路徑問題的實(shí)際應(yīng)用例1.如圖1，直線表示一條河的兩岸，且現(xiàn)在要在這條河上建一座橋，橋的長度等于河寬度且橋與河岸垂直．使村莊經(jīng)橋過河到村莊現(xiàn)在由小明、小紅兩位同學(xué)在圖2設(shè)計兩種：小明：作，交于點(diǎn)，點(diǎn)．在處建橋．路徑是．小紅：作，交于點(diǎn)，點(diǎn)；把平移至BE，連AE，交于，作于．在處建橋．路徑是．（1）在圖2中，問：小明、小紅誰設(shè)計的路徑長較短？再用平移等知識說明理由．（2）假設(shè)新橋就按小紅的設(shè)計在處實(shí)施建造了，上游還有一座舊橋，早上10點(diǎn)某小船從舊橋下到新橋下，到達(dá)后立即返回，在兩橋之間不停地來回行駛，船的航行方向和水流方向與橋保持垂直船在靜水每小時14千米，水流每小時2千米，第二天早上6點(diǎn)時小明發(fā)現(xiàn)船在兩橋之間（未到兩橋）且離舊橋40千米處行駛求這兩橋之間的距離．【變式訓(xùn)練1】（1）如圖1，，是直線同旁的兩個定點(diǎn)，請在直線上確定一點(diǎn)P，使得最小；（2）如圖2，已知，P是內(nèi)一點(diǎn)，．請在上找一點(diǎn)，上找一點(diǎn)，使得的周長最小，畫出圖形并求出這個最小值．【變式訓(xùn)練2】閱讀下列材料，解決提出的問題：最短路徑問題:如圖（1），點(diǎn)A，B分別是直線l異側(cè)的兩個點(diǎn)，如何在直線l上找到一個點(diǎn)C，使得點(diǎn)C到點(diǎn)A，點(diǎn)B的距離和最短？我們只需連接AB，與直線l相交于一點(diǎn)，可知這個交點(diǎn)即為所求．如圖（2），如果點(diǎn)A，B分別是直線l同側(cè)的兩個點(diǎn)，如何在l上找到一個點(diǎn)C，使得這個點(diǎn)到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離和最短？我們可以利用軸對稱的性質(zhì)，作出點(diǎn)B關(guān)于的對稱點(diǎn)B，這時對于直線l上的任一點(diǎn)C，都保持CB＝CB，從而把問題（2）變?yōu)閱栴}（1）．因此，線段AB與直線l的交點(diǎn)C的位置即為所求．為了說明點(diǎn)C的位置即為所求，我們不妨在直線上另外任取一點(diǎn)C′，連接AC′，BC′，B′C′．因?yàn)锳B′≤AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC'+C′B，即AC+BC最?。蝿?wù)：數(shù)學(xué)思考：（1）材料中劃線部分的依據(jù)是．（2）材料中解決圖（2）所示問題體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是．（填字母代號即可）A．轉(zhuǎn)化思想B．分類討論思想C．整體思想遷移應(yīng)用（3）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝15°，點(diǎn)P為AC邊上的動點(diǎn)，點(diǎn)D為AB邊上的動點(diǎn)，若AB＝8cm，則BP+DP的最小值為cm．專題04軸對稱問題的三種考法類型一、函數(shù)中的最值問題（和最小，差最大問題）例1．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與軸交于點(diǎn)A、與軸交于點(diǎn)B，且∠ABO＝45°，A（－6，0），直線BC與直線AB關(guān)于軸對稱.(1)求△ABC的面積；(2)如圖2，D為OA延長線上一動點(diǎn)，以BD為直角邊，D為直角頂點(diǎn)，作等腰直角△BDE，求證：AB⊥AE；(3)如圖3，點(diǎn)E是軸正半軸上一點(diǎn)，且∠OAE＝30°，AF平分∠OAE，點(diǎn)M是射線AF上一動點(diǎn)，點(diǎn)N是線段AO上一動點(diǎn)，判斷是否存在這樣的點(diǎn)M，N，使OM＋NM的值最?。咳舸嬖?，請寫出其最小值，并加以說明.【答案】（1）36；（2）證明見解析；（3）3，理由見解析.【詳解】解：（1）由已知條件得：

AC=12，OB=6，∴（2）過E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，延長EA交y軸于點(diǎn)H,∵△BDE是等腰直角三角形，∴DE=DB,∠BDE=90°,∴∵∴∴∵EF軸，∴∴DF=BO=AO,EF=OD∴AF=EF∴∴∠BAE＝90°（3）由已知條件可在線段OA上任取一點(diǎn)N,再在AE作關(guān)于OF的對稱點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動時，最短為點(diǎn)O到直線AE的距離,即點(diǎn)O到直線AE的垂線段的長，∵，OA=6，∴OM+ON=3【變式訓(xùn)練1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)，，，．（1）如圖①，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，求的長；（2）如圖②，若點(diǎn)在軸上，且，求的度數(shù)；（3）如圖③，設(shè)平分交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是射線上一動點(diǎn)，點(diǎn)是射線上一動點(diǎn)，的最大值為，判斷是否存在這樣點(diǎn)，，使的值最?。咳舸嬖?，請在答題卷上作出點(diǎn)，，并直接寫出作法和的最小值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）6；（2）15°；（3）存在，圖見解析，3【詳解】解：（1），,，又∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴；（2），，∴,是等腰直角三角形，，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，∵,∴是等腰直角三角形，∵,∴，∵,∴,∵,,，，，，，是等腰直角三角形，即，∵,；（3）存在點(diǎn)，；作點(diǎn)O關(guān)于BF的對稱點(diǎn)D，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，并與射線交于點(diǎn)，連接,則BF垂直平分OD，∴,,∴,當(dāng)D，N，M在一條直線上時，m最小，最小值為DN的長度，∵,∴,∴為AB的中點(diǎn)，∵,∴,∴,∴．故的最小值為．【變式訓(xùn)練2】在平面直角坐標(biāo)系中，B(2，2)，以O(shè)B為一邊作等邊△OAB（點(diǎn)A在x軸正半軸上）．（1）若點(diǎn)C是y軸上任意一點(diǎn)，連接AC，在直線AC上方以AC為一邊作等邊△ACD．①如圖1，當(dāng)點(diǎn)D落在第二象限時，連接BD，求證：AB⊥BD；②若△ABD是等腰三角形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）如圖2，若FB是OA邊上的中線，點(diǎn)M是FB一動點(diǎn)，點(diǎn)N是OB一動點(diǎn)，且OM+NM的值最小，請在圖2中畫出點(diǎn)M、N的位置，并求出OM+NM的最小值．【答案】（1）①見解析；②點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，﹣4)或(0，4)；（2）2【詳解】解：（1）①證明：∵△OAB和△ACD是等邊三角形，∴BO＝AO＝AB，AC＝AD，∠OAB＝∠CAD＝60°，∴∠BAD＝∠OAC，在△ABD和△AOC中，，∴△ABD≌△AOC（SAS），∴∠ABD＝∠AOC＝90°，∴AB⊥BD；②解：存在兩種情況：當(dāng)點(diǎn)D落在第二象限時，如圖1所示：作BM⊥OA于M，∵B（2，2），∴OM＝2，BM＝2，∵△OAB是等邊三角形，∴AO＝2OM＝4，同①得：△ABD≌△AOC（SAS），∴BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°，若△ABD是等腰三角形，則BD＝AB，∴OC＝AB＝OA＝4，∴C（0，﹣4）；當(dāng)點(diǎn)D落在第一象限時，如圖1﹣1所示：作BM⊥OA于M，∵B（2，2），∴OM＝2，BM＝2，∵△OAB是等邊三角形，∴AO＝2OM＝4，同①得：△ABD≌△AOC（SAS），∴BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°，若△ABD是等腰三角形，則BD＝AB，∴OC＝AB＝OA＝4，∴C（0，4）；綜上所述，若△ABD是等腰三角形，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣4）或（0，4）；（2）解：作ON'⊥AB于N'，作MN⊥OB于N，如圖2所示：∵△OAB是等邊三角形，ON'⊥AB，F(xiàn)B是OA邊上的中線，∴AN'＝AB＝2，BF⊥OA，BF平分∠ABO，∵ON'⊥AB，MN⊥OB，∴MN＝MN'，∴N'和N關(guān)于BF對稱，此時OM+MN的值最小，∴OM+MN＝OM+MN'＝ON，∵ON＝＝＝2，∴OM+MN＝2；即OM+NM的最小值為2．【變式訓(xùn)練3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)，，，．（1）如圖①，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，求的長；（2）如圖②，若點(diǎn)在軸上，且，求的度數(shù)；（3）如圖③，設(shè)平分交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是射線上一動點(diǎn)，點(diǎn)是射線上一動點(diǎn)，的最大值為，判斷是否存在這樣點(diǎn)，，使的值最??？若存在，請在答題卷上作出點(diǎn)，，并直接寫出作法和的最小值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）6；（2）15°；（3）存在，圖見解析，3【詳解】解：（1），,，又∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴；（2），，∴,是等腰直角三角形，，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，∵,∴是等腰直角三角形，∵,∴，∵,∴,∵,,，，，，，是等腰直角三角形，即，∵,；（3）存在點(diǎn)，；作點(diǎn)O關(guān)于BF的對稱點(diǎn)D，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，并與射線交于點(diǎn)，連接,則BF垂直平分OD，∴,,∴,當(dāng)D，N，M在一條直線上時，m最小，最小值為DN的長度，∵,∴,∴為AB的中點(diǎn)，∵,∴,∴,∴．故的最小值為．類型二、幾何圖形中的最短路徑問題例．已知點(diǎn)在內(nèi)．（1）如圖1，點(diǎn)關(guān)于射線的對稱點(diǎn)是，點(diǎn)關(guān)于射線的對稱點(diǎn)是，連接、、.①若，則______；②若，連接，請說明當(dāng)為多少度時，；（2）如圖2，若，、分別是射線、上的任意一點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L最小時，求的度數(shù)．【答案】（1）①100°；②當(dāng)時，；（2）．【詳解】（1）①∵點(diǎn)P關(guān)于射線OM的對稱點(diǎn)是G，點(diǎn)P關(guān)于射線ON的對稱點(diǎn)是H，

∴OG=OP，OM⊥GP，∴OM平分∠POG，同理可得ON平分∠POH，

∴∠GOH=2∠MON=2×50°=100°，故答案為：100°；②，，、、三點(diǎn)其線，，，當(dāng)時，；（2）如圖所示：分別作點(diǎn)關(guān)于、的對稱點(diǎn)、，連接，、、，交、于點(diǎn)、，則，，此時周長的最小值等于的長.由軸對稱性質(zhì)可得，，，，，，由軸對稱性質(zhì)可得，．【變式訓(xùn)練1】如圖，將邊長為的正三角形紙片按如下順序進(jìn)行兩次折疊，展開后，得折痕（如圖①），點(diǎn)為其交點(diǎn).（1）探求與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖②，若分別為上的動點(diǎn).①當(dāng)?shù)拈L度取得最小值時，求的長度；②如圖③，若點(diǎn)在線段上，，則的最小值=.【答案】（1）AO=2OD，理由見解析；（2）①；②．【詳解】（1）AO=2OD，理由：∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAO=∠ABO=∠OBD=30°，∴AO=OB，∵BD=CD，∴AD⊥BC，∴∠BDO=90°，∴OB=2OD，∴OA=2OD；（2）如圖②，作點(diǎn)D關(guān)于BE的對稱點(diǎn)D′，過D′作D′N⊥BC于N交BE于P，則此時PN+PD的長度取得最小值，∵BE垂直平分DD′，∴BD=BD′，∵∠ABC=60°，∴△BDD′是等邊三角形，∴BN=BD=，∵∠PBN=30°，∴，∴PB=；（3）如圖③，作Q關(guān)于BC的對稱點(diǎn)Q′，作D關(guān)于BE的對稱點(diǎn)D′，連接Q′D′，即為QN+NP+PD的最小值．根據(jù)軸對稱的定義可知：∠Q′BN=∠QBN=30°，∠QBQ′=60°，∴△BQQ′為等邊三角形，△BDD′為等邊三角形，∴∠D′BQ′=90°，∴在Rt△D′BQ′中，D′Q′=．∴QN+NP+PD的最小值=，【變式訓(xùn)練2】如圖，等邊（三邊相等，三個內(nèi)角都是的三角形）的邊長為，動點(diǎn)和動點(diǎn)同時出發(fā)，分別以每秒的速度由向和由向運(yùn)動，其中一個動點(diǎn)到終點(diǎn)時，另一個也停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為，，和交于點(diǎn)．（1）在運(yùn)動過程中，與始終相等嗎？請說明理由；（2）連接，求為何值時，；（3）若于點(diǎn)，點(diǎn)為上的點(diǎn)，且使最短．當(dāng)時，的最小值為多少？請直接寫出這個最小值，無需說明理由．【答案】（1）CD與BE始終相等；（2）5；（3）7【詳解】解：（1）由已知可得AD=t，EC=t，∴AD=CE，∵△ABC是等邊三角形∴∠A=∠ACB=60°，BC=AC，∴△ADC≌△CEB（SAS），∴BE=CD，∴CD與BE始終相等；（2）∵DE∥BC，∴AD=AE，∵AB=AC=10，∴t=10-t，∴t=5；（3）∵BM⊥AC，∴BM平分∠ABC，作D點(diǎn)關(guān)于BM的對稱點(diǎn)D'交BC于點(diǎn)D'，連接D'E，交BM于點(diǎn)P，∵DP=D'P，∴DP+PE=D'P+PE=D'E，∵t=7，∴AE=BD=BD′=3，AD=CE=7，∴CD′=7，又∠C=60°，∴△CD′E為等邊三角形，∴D'E=CD′=7，∴PD+PE的最小值為7．【變式訓(xùn)練3】如圖1，已知直線的同側(cè)有兩個點(diǎn)、，在直線上找一點(diǎn)，使點(diǎn)到、兩點(diǎn)的距離之和最短的問題，可以通過軸對稱來確定，即作出其中一點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，對稱點(diǎn)與另一點(diǎn)的連線與直線的交點(diǎn)就是所要找的點(diǎn)，通過這種方法可以求解很多問題.（1）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，動點(diǎn)在軸上，求的最小值；（2）如圖3，在銳角三角形中，，，的角平分線交于點(diǎn)，、分別是和上的動點(diǎn)，則的最小值為______.（3）如圖4，，，，點(diǎn)，分別是射線，上的動點(diǎn)，則的最小值為__________.【答案】（1）5；（2）；（3）13.【詳解】解：（1）作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，連接，的最小值即為的長，構(gòu)造以為斜邊的直角三角形，在中，由勾股定理得，即，所以的最小值為5.（2）作于點(diǎn)H，交AD與點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則的最小值為，平分，，，，在中，，，由勾股定理得，，所以的最小值為.（3）作點(diǎn)C關(guān)于OB的對稱點(diǎn)，作點(diǎn)D關(guān)于OA的對稱點(diǎn)，連接分別交OA、OB于點(diǎn)，連接，則的最小值為的長.由對稱可得OA垂直平分，OB垂直平分，在中由勾股定理得所以的最小值為13.【變式訓(xùn)練4】已知：如圖，ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，E是AC上的一點(diǎn)，∠ABE＝∠ABC，過點(diǎn)C作CD⊥AB于D，交BE于點(diǎn)P．(1)直接寫出圖中除ABC外的所有等腰三角形；(2)求證：BD＝PC；(3)點(diǎn)H、G分別為AC、BC邊上的動點(diǎn)，當(dāng)DHG周長取取小值時，求∠HDG的度數(shù)．【答案】(1)△ADC，△CPE，△BCE都是等腰三角形，理由見解析；(2)見解析；(3)45°【解析】(1)解：△ADC，△CPE，△BCE都是等腰三角形，理由如下：∵AB=AC，∠A=45°，∴∠ABC=∠ACB=(180°-45°)=67.5°，∵∠ABE＝∠ABC，∴∠ABE=22.5°，∴∠CBE=45°，∴∠BEC=180°-∠CBE-∠ACB=67.5°，∴∠BEC=∠ACB，∴BC=BE，即△BCE為等腰三角形，∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠CDB=90°，∴∠ACD=90°–∠A=45°∴∠A=∠ACD=45°，∴DA=DC，∴△ADC是等腰三角形，∵∠CPE=∠BPD=90°–∠ABE=67.5°，∠BEC=180°-∠CBE-∠ACB=67.5°，∠CEP=67.5°，∴∠CPE=∠CEB=67.5°，∴CP=CE，∴△CPE是等腰三角形，綜上所述，除ABC外的所有等腰三角形有△ADC，△CPE，△BCE；(2)證明：如圖，在線段AD上取點(diǎn)H，使DH=DB，連接CH，∵DH=DB，CD⊥AB，∴BC=CH，∴∠BHC=∠ABC=67.5°，∵∠BEC=∠ACB=67.5°，∴∠BHC=∠ABC=∠BEC=∠ACB，∵BC=CB，∴△BCH≌△CBE，∴BH=CE，∵CE=CP，∴BH=CP，∴；(3)解：如圖，作點(diǎn)D關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)M，作點(diǎn)D關(guān)于AC的對稱點(diǎn)F，連接FM交BC于點(diǎn)G，交AC于點(diǎn)H，此時△DGH的周長最小，∵∠ABC=67.5°，CD⊥AB，∴∠BCD=90°-∠ABC=22.5°，∵DM⊥CB，∴∠CDM=90°-∠BCD=90°-22.5°=67.5°，∵DA=DC，DF⊥AC，∴∠CDF=∠CDA=45°，∴∠MDF=45°+67.5°=112.5°，∴∠M+∠F=180°-112.5°=67.5°，∵GD=GM，HF=HD，∴∠M=∠GDM，∠F=∠HDF，∵∠DGH=∠M+∠GDM=2∠M，∠DHG=∠F+∠HDF=2∠F，∴∠DGH+∠DHG=2(∠M+∠F)=135°，∴∠GDH=180°-(∠DGH+∠DHG)=45°．類型三、最短路徑問題的實(shí)際應(yīng)用例1.如圖1，直線表示一條河的兩岸，且現(xiàn)在要在這條河上建一座橋，橋的長度等于河寬度且橋與河岸垂直．使村莊經(jīng)橋過河到村莊現(xiàn)在由小明、小紅兩位同學(xué)在圖2設(shè)計兩種：小明：作，交于點(diǎn)，點(diǎn)．在處建橋．路徑是．小紅：作，交于點(diǎn)，點(diǎn)；把平移至BE，連AE，交于，作于．在處建橋．路徑是．（1）在圖2中，問：小明、小紅誰設(shè)計的路徑長較短？再用平移等知識說明理由．（2）假設(shè)新橋就按小紅的設(shè)計在處實(shí)施建造了，上游還有一座舊橋，早上10點(diǎn)某小船從舊橋下到新橋下，到達(dá)后立即返回，在兩橋之間不停地來回行駛，船的航行方向和水流方向與橋保持垂直船在靜水每小時14千米，水流每小時2千米，第二天早上6點(diǎn)時小明發(fā)現(xiàn)船在兩橋之間（未到兩橋）且離舊橋40千米處行駛求這兩橋之間的距離．【答案】（1）小紅設(shè)計的路徑更短一些，原因見解析；（2）兩橋之間的距離為千米或千米或千米；【詳解】解：（1）小紅設(shè)計的路徑更短一些；理由如下：連接CE，∵，且，∴為平行四邊形，可得，小紅走的路線是：，小明走的路線是：，∵在三角形中，，,所以小明的路線比小紅的要長，即：小紅設(shè)計的路徑更短一些；（2）設(shè)小船一共走了次完整的來回，兩橋之間距離為千米，由題可得順流所需時間為，逆流所需要的時間是，所以一個完整來回所需時間為，次完整的來回所需時間為：；∵小船早上點(diǎn)出發(fā)，第二天早上點(diǎn)發(fā)現(xiàn)，∴小船行駛了小時；①若小明發(fā)現(xiàn)小船時，船是從舊橋到新橋的，則依題意可得：，化簡可得：，∵為整數(shù)，且，∴，即：兩橋之間的距離為千米；②若小明發(fā)現(xiàn)小船時，船是從新橋到舊橋的，則依題意可得：，化簡可得：，∵為整數(shù)，且，∴，或；即：兩橋之間的距離為千米或千米；綜上可得：兩橋之間的距離為千米或千米或千米；【變式訓(xùn)練1】（1）如圖1，，是直線同旁的兩個定點(diǎn)，請在直線上確定一點(diǎn)P，使得最小；（2）如圖2，已知，P是內(nèi)一點(diǎn)，．請在上找一點(diǎn)，上找一點(diǎn)，使得的周長最小，畫出圖形并求出這個最小值．【答案】（1）畫圖見詳解；（2）畫圖見詳解，【詳解】解：（1）過點(diǎn)作，并在上截取，連接交于點(diǎn)，由“兩點(diǎn)之