2.2直線的方程1|

直線的方程形式與適用條件名稱(chēng)點(diǎn)斜式斜截式兩點(diǎn)式截距式方程一般式方程形式y(tǒng)-y0=k(x-x0)y=kx+b(y2-y1)(x-x1)-

(x2-x1)·(y-y1)=

0

=

(x2≠x1且y2≠y1)

+

=1(ab≠0)Ax+By+C=0

(A,B不同時(shí)

為0)已知條件直線上一定

點(diǎn)(x0,y0),斜

率k

斜率k,直線在y軸上的截距b直線上兩點(diǎn)(x1,y1),(x2,y2)直線在x軸上的非零截距a,直線在y軸上的非零

截距b系數(shù)A,B,C適用范圍不垂直于x軸的直線不垂直于x

軸的直線過(guò)任意兩點(diǎn)

的直線不平行于x

軸和y軸的

直線不平行于x

軸和y軸,且

不過(guò)原點(diǎn)的

直線任何位置的

直線1.與直線平行、垂直的非零向量分別稱(chēng)為該直線的方向向量、法向量,直線的方

向向量和法向量不唯一.2.斜率為k的直線的方向向量為(1,k)的非零實(shí)數(shù)倍,直線Ax+By+C=0的法向量可取

(A,B).2

|

直線的方向向量、法向量1.方程k=

與y-y0=k(x-x0)表示的意義相同嗎?不相同.方程k=

表示的圖形中不含點(diǎn)(x0,y0).2.直線y-3=k(x+1)是否恒過(guò)定點(diǎn)?是.恒過(guò)定點(diǎn)(-1,3).3.直線l在y軸上的截距是直線l與y軸交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離嗎?不是.直線l在y軸上的截距是直線l與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo),而不是距離.4.直線y=kx+b一定是一次函數(shù)y=kx+b的圖象嗎?不一定.當(dāng)k≠0時(shí),y=kx+b為一次函數(shù);當(dāng)k=0時(shí),y=b,不是一次函數(shù),所以只有直線

方程y=kx+b中的k≠0時(shí),該直線才是一次函數(shù)的圖象.知識(shí)辨析5.直線的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式方程在任何情況下都可以與一般式方程進(jìn)行互化嗎?不是.直線的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式方程均可以化為一般式方程,但

一般式方程轉(zhuǎn)化為其他形式時(shí),必須要在適用范圍內(nèi).直線方程的幾種常見(jiàn)設(shè)法(1)若已知一點(diǎn)的坐標(biāo),則一般選用點(diǎn)斜式,再由其他條件確定直線的斜率.(2)若已知直線的斜率,則一般選用斜截式,再由其他條件確定直線在y軸上的截距.(3)若已知兩點(diǎn)坐標(biāo),則一般選用兩點(diǎn)式或點(diǎn)斜式,當(dāng)兩點(diǎn)是直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)

時(shí),選用直線的截距式方程.無(wú)論選用怎樣的直線方程,都要注意各自方程的適用范圍,對(duì)特殊情況下的

直線要單獨(dú)討論.1直線方程的選擇和求解

典例寫(xiě)出滿足下列條件的直線的方程:(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,-3),傾斜角是直線y=

x的傾斜角的2倍;(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(5,-2),且與y軸平行;(3)過(guò)P(-2,3),Q(5,-4)兩點(diǎn);(4)過(guò)點(diǎn)A(3,4),且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù).解析

(1)∵直線y=

x的斜率為

,∴直線y=

x的傾斜角為30°,∴所求直線的傾斜角為60°,∴所求直線的斜率為

.∴所求直線方程為y+3=

(x-2),即

x-y-2

-3=0.(2)與y軸平行的直線,其斜率不存在,但直線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為5,故直線方程為x=

5.(3)解法一:所求直線方程為

=

,整理得x+y-1=0.解法二:kPQ=

=

=-1.∵直線過(guò)點(diǎn)P(-2,3),∴所求直線方程為y-3=-(x+2),即x+y-1=0.(4)①當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)且不為0時(shí),可設(shè)直線方程為

+

=1.又直線過(guò)點(diǎn)A(3,4),所以

+

=1,解得a=-1.所以直線方程為

+

=1,即x-y+1=0.②當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)且為0,即直線過(guò)原點(diǎn)時(shí),設(shè)直線方程為

y=kx,因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)(3,4),所以4=k·3,解得k=

,所以直線方程為y=

x,即4x-3y=0.綜上,直線方程為x-y+1=0或4x-3y=0.易錯(cuò)警示

若題目中出現(xiàn)直線在兩坐標(biāo)軸上的“截距相等”“截距互為相反

數(shù)”“在一坐標(biāo)軸上的截距是另一坐標(biāo)軸上截距的m(m>0)倍”等條件時(shí),可采用

直線的截距式方程,但一定要注意考慮截距為0的情況.1.對(duì)于含參數(shù)的直線方程,可將方程整理成點(diǎn)斜式或斜截式,利用系數(shù)的幾何意

義,結(jié)合圖形探求和證明過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題.2.根據(jù)斜截式中k,b的幾何意義,可確定對(duì)應(yīng)函數(shù)的大致圖象.2如何利用直線方程中系數(shù)的幾何意義解決相關(guān)問(wèn)題

典例已知直線l:5ax-5y-a+3=0.(1)求證:無(wú)論a為何值,直線l總經(jīng)過(guò)第一象限;(2)為使直線l不經(jīng)過(guò)第二象限,求a的取值范圍.解析

(1)證明:將直線l的方程整理為y-

=a

,∴直線l的斜率為a,且過(guò)定點(diǎn)

,設(shè)為A,又點(diǎn)A在第一象限,∴無(wú)論a為何值,直線l總經(jīng)過(guò)第一象限.(2)由(1),知k